Parametric decomposition of the multi-phase transport models Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 338.242

ПАРАМЕТРИЧНА ДЕКОМПОЗИЦ1Я БАГАТОЕТАПНИХ ТРАНСПОРТНИХ

МОДЕЛЕЙ

ГамбаровЛ. А., д.т.н., професор, Шевченко С. В., к.т.н., доцент, Чернишова Н. П., к.т.н., доцент (НТУ «ХП1») Светлова Л. Ф. ст.наук.ствробтник (1нститут тформатики i управлшня НАН i МОН Укрални)

Багатоетапю транспортш Modeni займають особливе мкце серед задач математичного програмувант. При дeталiзoванoму пiдхoдi до 1х розв'язання, з описом елементарних актiв управлiнськoi дiяльнoстi, вините проблема пошуку екстремуму алгoритмiчнoi функцп на бeзлiчi алгoритмiчниx обмежень в умовах високо1 рoзмiрнoстi простору змтних. В таких випадках мае сенс застосовувати параметричну декомпозищю, пов'язану з проблемами негладко1 oптимiзацii опуклих функцш багатоетапних транспортних моделей. У статтi розглянуто застосування алгоритму найшвидшого спуску для розв 'язання таких задач.

Ключовi слова виробничо-транспортне планування, багатоетапна транспортна модель, блокова структура, негладка оптим1зацш, градiентнi методи, алгоритмы.

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ МНОГОЭТАПНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ МОДЕЛЕЙ

Гамбаров Л. А., д.т.н., профессор, Шевченко С. В., к.т.н., доцент, Чернышева Н. П., к.т.н., доцент (НТУ «ХПИ»), Светлова Л. Ф. ст.науч.сотрудник (Институт информатики и управления НАН и МОН Украины)

Многоэтапные транспортные модели занимают особое место среди задач математического программирования. При детализированном подходе к их решению, с описанием элементарных актов управленческой деятельности, возникает проблема поиска экстремума алгоритмической функции на множестве алгоритмических ограничений в условиях высокой размерности пространства переменных. В таких случаях имеет смысл применять параметрическую декомпозицию, связанную с проблемами негладкой оптимизации выпуклых функций многоэтапных транспортных моделей. В статье рассмотрено применение алгоритма наискорейшего спуска для решения таких задач.

Ключевые слова производственно-транспортное планирование, многоэтапная транспортная модель, блочная структура, негладкая оптимизация, градиентные методы, алгоритмы

PARAMETRIC DECOMPOSITION OF THE MULTI-PHASE TRANSPORT

MODELS

Gambarov L. A., Doctor of Technical Sciences, professor, Shevchenko S. V., Ph.D, associate professor, Chernysheva N. P., Ph.D, associate professor (NTU "KPI"), Svetlova L. F. senior researcher (Institute of informatics and management of the national Academy of Sciences and Misnistry of education and science of Ukraine)

Flighted transport models occupy a special place among the problems of mathematical programming. With granular approach to their solution, describing the elementary acts of administrative activity, there arises the problem of the extremum of algorithmic functions on the set of algorithmic restrictions in the conditions of high dimensionality of the space of variables. Given that multi-stage transportation problem has a block structure with a small number of links, it makes sense to use such decomposition schemes that lead to the problem of minimizing nonsmooth convex piecewise-linear function of the related parameters, relevant constraints of the problem in a binder. The most promising and appropriate for solving such problems is the approximate analytical description of the object of management and development of approaches for solving the problem offinding an extremum algorithmic functions on the set of algorithmic constraints in high dimensional space of the variables of the problem and the limited time calculations. In such cases, it makes sense to use a parametric

© Гамбаров Л. А Шевченко С.В., Чернишова Н.П., Светлова Л.Ф.

BiciiiiK економжи транспорту i промисловост1 № 45, 2014

decomposition associated with nonsmooth optimization problems of convex functions, multi-phase transport models. The article considers the application of the algorithm steepest descent algorithm for solving such problems.

Keywords: production and transport planning transport multistage model, block structure, nonsmooth optimization, gradient methods, algorithms.

Постановка проблеми та и зв'язок з науковими чи практичними завданнями. Задачi оптимального планування математично належать до екстремальних задач, в яких необхвдно визначити екстремум функци при певних обмеженнях. Транспорта задачi займають особливе мкце серед таких задач, що пояснюеться акгуальнiстю проблеми транспортних перевезень в економщ. В багатоетапних задачах, пов'язаних у часi, процес планування складаеться з дек1лькох етап1в, на кожному з яких визначаеться екстремум функци з урахуванням можливих варiангiв на попередтх етапах. Оск1льки класичнi методи мало ефективт для розв'язання багатоетапних транспортних задач, так як вимагають значного обсягу обчислень, мае сенс використовувати спещальт методи, як1 значно проспше. Одним з таких напрямюв е параметрична декомпозицiя, яка пов'язана з проблемами негладко! опташзаци опуклих функцiй i обгрунтуванням алгоритму неповношагово! лшеаризаци, а також iз завданням оптишзаци багатоетапних транспортних моделей.

Аналiз останнгх до^джень i публшацш. В даний час створено цiлий арсенал економжо-математичних моделей виробничо-транспортного планування, що вщображае рiзнi особливостi галузевих задач.

Дослщженню теоретичних пiдходiв системно! опташзаци до розв'язання таких задач присвячет роботи таких вiдомих науковцiв , як: В. Макаров [1] , В. Глушков [7] та ш.

Серед вчених-математиюв, яю придiлили увагу проблемам параметрично! оптимiзацi! слад визначити: Н. Шора [2, 3], М. Серпенка [4], Л. Расюна [5] та ш.

Аналiз iснуючих економжо-математичних моделей показуе, що дослiджуванi в них крш^альш функцi! мають властивосп, як1 досить добре вивченi, як правило, використовуеться апарат лiнiйного, нелтйного i стохастичного програмування. Центр тяжшня дослiджень лежить у сферi побудови ефективних алгоршмв вирiшення подiбного класу задач i вдосконалення вiдповiдного апарату математичного програмування.

Незважаючи на загальнонаукову i практичну значишсть робiт цього напрямку, подiбний тдхвд, що став вже традицiйним, до постановки та виршення оптимiзацiйних виробничо-транспортних завдань не е ефективним при поточному планувант в силу притаманних йому iстотних недолiкiв. До числа остантх необхвдно вiднести наступнi:

- збшьшетсть параметрiв i обмежень моделей;

- неповний облж специфiки дослщжуваних галузевих систем;

- переважання екзогенних характеристик стану галузевих систем над ендогенними, що обмежуе реалiзацiю потенцiйних можливостей системи планування;

- вщсутшсть облiку характеристик систем споживання.

Проблема поточного виробничо-транспортного планування складна i не може бути виршена подiбним чином. Подолати зазначеш недолiки можна, якщо вiдмовитися ввд традицiйного пiдходу i копiювати не зовтшню сторону модельованого об'екта, а його внутршню структуру в такш мiрi деталiзацi! , яка дозволяе описувати елементарт акти господарсько! та управлшсько! дiяльностi, а також результати здшснення цих елементарних акт1в [1]. При цьому виникае проблема пошуку екстремуму алгоритмiчно! функцi! на безлiчi алгоритмiчних обмежень в умовах високо! розмiрностi простору змiнних i обмеженого часу розрахуншв [2-4].

Видтення невиршених частин загальног проблеми. Незважаючи на значну кшьюсть наукових робiт, недостатньо опрацьованим залишаються питання, як1 висвгтлюють багатоетапнiсть транспортних задач, потребують уточнення пiдходи та приблизнi методи оптишзаци в алгоритмiчних моделях, що описують елементарнi акти господарсько! та управлшсько! даяльносп в достатнiй мiрi деталiзацi!. У зв'язку з цим, метою статтi е обгрунтування застосування механiзмiв параметрично! декомпозицi! для багатоетапних транспортних моделей , а також використання методу найшвидшого спуску стосовно негладко! опукло! кусково-лiнiйно! цiльово! функцi! вiдповiдних задач.

Виклад основного матерiалу. Очевидно, що перебiр варiантiв рiшення або випадковий пошук екстремуму пов'язанi з непереборними обчислювальними труднощами при дослiдженнi функцш iз зазначеними властивостями. Найбiльш перспективний п1дх1д до вирiшення таких задач приводить до доцшьносп наближеного (анали'ичного) опису об'екта управлiння та використання напрямку спуску функцi! мети ще! наближено! моделi в якост1 оцшки напрямку спуску початково! алгоритмiчно! функци. Реалiзацiя цього пiдходу до виршення проблеми поточного виробничо-транспортного планування передбачае розробку вiдповiдних моделей, методiв i алгоритмiв, що дозволяють здiйснити наближений (аналiтичний) опис об'екта управлшня. Вирiшенню цiе! проблеми i присвячена ця робота.

Не порушуючи спiльностi мiркувань, розглянемо двоетапну транспортну задачу, яка

полягае у знаходженнi плану транспортувань в пункти споживання X Е Л в умовах складсько!

неоднорщного ресурсу I з пунктiв виробництва i ЕЕ форми постачання, який мiнiмiзуе загальнi витрати.

Модель задачi мае вигляд: знайти

ш Р2(зс2) =

де Л'г - безшч векторш. обмеженням

що задовольняють

= п,т

е / ={1......ц},! Е £ = [1.....<?},

, к е К = [1......г2}. I е Ь.

л е Л = [1......|ь}, I е £,

*И1 *

к е К.

.1еа 'е!

*й? й о, > 0,1 Е 1,к Е ЯД Е ЛЛ Е I.

Ця модель е узагальненням ввдомо! в лiтературi транспортно! задачi з промгжними центрами, яка пов'язана з ввдшуканням плану транспортувань однорщно! продукцп. Нехай к1льк1сть номенклатур q = 1 i виконуеться умова

ч =

¿к

1Е; ЛеЛ ^ г/

тодi початкова модель розпадаеться на двi незалежнi двохiндекснi транспортнi модели Проте в даному випадку

:'■=!' ,1ЕЛ ¡¿ей

що дозволяе здiйснити перехiд до трипланарно! транспортно! задачi i скористатися узагальненням [5] вiдомого методу потенцiалiв для вирiшення двохвдексно! транспортно! задача З iншого боку, коли число еташв транспортно! модел1 т > 2, то

застосування зазначеного прийому призводить до проблеми багатсяндексносп та, як наслвдок, до проблеми розмiрностi задач лiнiйного програмування. Зрозумшо, що зростання числа iндексiв у змшних до трьох, навiть при т = 2, рiзко збшьшуе розмiрнiсть задачi i робить принципово неможливим !! рiшення простими способами, подiбними методу потенцiалiв i його модифтащям. Використання ж методiв лтйного програмування при значних д (точшше, при досить

великому значенню !х добутку) також утруднено через зростання розмiрностi.

Основна особливкть дано! задачi математичного програмування полягае в тому, що вона мае блокову структуру з порiвняно невеликим числом зв'язюв м1ж блоками. Ц зв'язки визначенi наступними обмеженнями

Ш _

*ан -

- г,

к е К = {1......г-}, I е £,

[б1

ЛеЛ

Тодi використання схеми декомпозици приводить до задачi мiнiмiзацi! негладко! функцi! [6] вад зв'язаних змшних (пара метр ¡в) к е К', . ± '-, яю е вiдповiднi до зв'язуючих обмежень.

Таким чином, якщо передбачити, що = :■, визначенi, то початкова модель розпадаеться на 2q незалежних двох1ндексних транспортних моделей.

Для першо! групи моделей завдання полягають у ввдшуканш

СО

со

СС/ КЕЯ

де ХУ" - бс!л1ч вектор ¡в. що задовольняють ^ ~ к £ К,

обмеженням ¿е;

¿е/, I в I, к е К,

н:ЕЯ

Для друго! групи моделей завдання полягають у вiдшуканнi

де

обмеженням

Y а>

ЛсА

V та

безлiч BeKTopiB, що задовольняють

функци i„(iij Р М

на

- = - ...' . Зрозумiло, що

iiii = ii kl-1

' t'i

= ь

4l>

к £ К,

Л Е А,

ЧЕК

»MC ^ 0'

(fe/fje Л.

Введемо до розгляду вектор кг = ih^i.

опукло1 кусково-лiнiйноl опуклш 6cuiLii виринення питання про формування 6cuiLii Нт„ яка задовольняе вказаним вище вимогам, завершуе процедуру побудови моделi задачi негладко! оптишзацд. Проте, це рiшення не е тривiальним. Охарактеризуемо ¿e-mawtiuie проблему формування допустимо! обласп Н„, що мае .шсце, В даний час в математичному програмуваннi можна видшити наступш основнi

Оптимальне значения Fj.x'-1-'") функци цш при напрями: перший з них пов'язан з побудовою

математичних моделей, а другий - з розвитком математичних методiв i вдосконаленням

fi. = h.

позначимо через

.

Остання кусково-

визначена, безперервна i е опуклою лшшною функщоо на 6cuiLii Я'. що задаеться

вiдповiдних !м обчислювальних схем. Вказанi напрями, не е незалежними, а це означае, що моделi умовами доводиться пристосовувати до iснуючих методiв.

Аналiз обчислювальних схем дозволяе бшьш V1 ^ _ V1 ^ I е I, обгрунтовано, чим теор1я, казати про достошства

'■ ''' " " того або iншого алгоритму i, отже, ефективносп

вживаного методу для певного класу задач. З iншого боку, напрям розробок обчислювальних схем повинен визначатися щлями операци, яка Аналопчно знаходиться функщя проводиться, \. як правило, щ цш володиоть рядом

особливостей. Основна з них полягае в тому, що задача вццнукання е нт зам1нюеться на задачу пошуку Й

hl = кеК

ки > О,

к С К,1 Е L,

Визначення оптимальних наборiв

Cü» Г (O-l • 'й* г тао х- = ^¡ÜL } 1 xz = [-i^ü j' початково1 задаш,

що задовольняють вимозi

пов'яжемо i3 завданням побудови послщовносп [fr^G)}, de s - номер кроку,

S = 12.....

Розглянемо функцш

Ф*Од =

.... = '-'..., яка задовольняе вимозi

1 поставимо

, такий, що

знайти

вектор

тйж(Ф3 Cftj) | hz Е = Фп (fi.jp

де Н- - опукла 6euiLi.

Очевидно, що для m-етапно! транспортно! задачi функщя Ф №) мае наступний вшляд

LEI- IbiE&

деП =il......т>1}.

Таким чином, початкову задачу лтйного програмування ми звели до задачi мiнiмiзацi1

-й^ОО Л-еИ^йОЫ (1)

де ' алгоритм1чний функцюнал

оптимiзацiйно! задачi виробничо-транспортного планування. А це означае, що напрямок розробок вiдповiдних обчислювальних схем вiдшукання Е не повинен бути пов'язан з високими вимогами до точносп обчислень Фп (А^Д В той же час умова (1), будучи критерiем зупинки обчислювального процесу вццнукання Я*^ е Нт ¡. отже, знаходження функци Фш (а^), одночасно пред'являе вимоги до швидкосп практично! збiжностi розроблюваних алгоршмв. Останне пояснюеться обмеженiстю часу, ввдведеного для проведення iмiтацiйного експерименту, що дозволить в цих умовах реалiзувати велику к1льк1сть iмiтацiйних прогонiв ^ таким чином, п1двищити точнiсть обчислень, пов'язаних з пошуком вектора ■■■ = г'--, який задовольняе (1).

Наступною важливою ознакою

розроблюваних алгоршмв розв'язання

багатоетапних транспортних задач е умова

монотонностi. Виконання останньо!, з одного боку, збшьшуе трудомютюсть обчислювального процесу вщшукання й'^. е Нп. а з ¡ншого □ сприяе пiдвищенню ефективносп процедури системно! ошгашзаци [7], так як з'являеться можливють звуження допустимо! обласп И т в хода проведения iмiтацiйного експерименту. Очевидно, що звуження допустимо! обласп Нт буде впливати на точшсть визначення йв умовах обмеженого рахункового часу.

Таким чином, конструктивна побудова допустимо! обласп Н„ повинна припускати

можливiсть використання таких методiв, обчислювальнi схеми яких не суперечать вимогам вiдносно! простоти, обчислювально! ефективностi та монотонностi.

Пропонуеться наступний пiдхiд до формування допустимо! обласп Яи.

Тут також, не порушуючи спiльностi мiркувань, будемо розглядати двоетапну транспортну задачу, пов'язану з пошуком вектора , що задовольняе вимогу

ФШ = ^ Ш +&и{Ь>) |Ьея! = ФОь"),

1Е1 )

г<а,

Припустимо, що Й^Се) - бс !л1ч векторш

Позначимо через

субградiент

ЛЬ+1} + 1}}, що задовольняють функцп ФОО \ виршимо задачу вщшукання

вимогам

^ км О + 1) = У^Дд , {Ей.

к ЕК ЁЕ1

^ Аи С? + 1) < ¿к. к е К, 1е1

ЛцЬ + О > й - к Е К, I Е ь,

де Ь^С?} - вектори обрат на (л-1)-м крощ. г ^ = 1.1 ..., а безлiч Н моделi не

залежить вщ 5, тобто Аг =

^ У, '■, такого, що мiнiмiзуе функцiю

яка е скалярним добутком вiдповiдних векторш.

Субгращент од (лОг)) виразимо через дво!сп

оцiнки моделей вщповщних задач. Тодi сформульовану задачу можна переписати у виглядi: знайти

риОг). к е К. I Е Ь -1

эг

1Е1

а ы ^СуХ к Е К, I е Ь - оптимальш дво!сп оцшки вимог

де кея,(££г - оптимальш двотсп ощнки

вимог

4гь + и еейле)

ХМ[ = к Е К; 1е I.

Для визначення використовуеться задача наступного виду: знайти

{ф(йЬ +13) +1} Е > Е > о} = ф(й(д + и).

Вона припускае розв'язання послiдовностi 1теративний процес визначення рiшення

допо\пжни\ задач (3), в яких е вибираеться з к' задачи (2) полягае в наступному. певним кроком дискрстносп. починаючи з е = 1. Задаеться вектор йсо е Я,(1). Його

Як ЕС? +■ О береться рпнення -I- О можна знайти, наприклад, за формулами

допо\пжно1 задач! (3) при е = .г(5]. на якш

досягаеться м1шмум функцп ф [йС? -И 1)1 дискретних значень е.

з йи = ¿к л

П

йь, kEK.lt I.

О)

-.с а"

Спiввiдношення (5) означають, що через пром1жт вузли проходять потоки, пропорщйш до !х пропускних можливостей. Для будь-якого з>1 вектор ЬС? +■ 1) визначаеться на ¡тсрацп 5, що включае илька еташв.

1. Обчислюеться ф(ь{$У) шляхом виршення 2q незалежних транспортних задач будь-яким методом, наприклад, потенцiалiв, що дозволяе отримати оптимальнi дво!сп ощнки.

2. Визначаеться субградаент ).

3. Виринуеться задача (4) для знаходження оптимального значения е = I знаходження ЬС? +1).

Розглянута обчислювальна схема е рiзновидом методу лшеаризаци. I! основна особливiсть полягае в тому, що область лтйно! апроксимаци е змiнною. Ця обставина дае можливють розглянути одне параметричне амейство напрямк1в спуску i вибрати, в певному сенсi, найбiльш доцiльне.

Зi сказаного випливае, що кожний напрямок спуску, який визначаеться субградаентом Й-йС^С?}) у вщювщюсп п заданим правилом, е функщею параметра (крокового множника) е. Визначимо поняття «повний крок». Останне пов'язане з такою оргатзащею обчислювального процесу розв'язання задачi (4), коли для будь-якого номеру 5>1 параметр е вибираеться з певним кроком дискретностi в iнтервалi [1,0]. Алгоритм лшеаризаци, що задовольняе вказанш вимозi, будемо називати повнокроковим. Однак у розглядуваному випадку обчислювальний процес розв'язання задачi (4) оргатзовано таким чином, що для будь-якого номера 5> 1 кроковий множник е = еСО вибираеться в ¡нтсрвал1 [еС? — 11,0]. Така обчислювальна схема iстотно знижуе обсяг обчислень i дозволяе Г! визначити як алгоритм неповнокроково! лiнеаризацi!.

Висновки. Таким чином, в стати, визначено шдхвд до звуження в хода iмiтацiйного експерименту припустимо! обласп ршень багатоетапно! транспортно! задачi та використання субградiенту функцi! цiлi, який задае напрям спуску для пошуку оптимального ршення.

Зазначений п1дх1д i запропоноват алгоритми мають широке практичне значення для розв'язання суттевих економiчних питань для державних та приватних шдприемств, зокрема, для вирiшення задачi узгодження обсяг^в виробництва

електроенерг^! iз потребами на и попит в умовах функцюнування балансуючого енергоринку Укра!ни. Так, якщо враховувати, що електроенергiя поступае споживачам через промiжнi вузли (гiдроакумулюючi станцi!), то знаходження оптимального плану транспортування цього ресурсу при мiнiмiзацi! витрат досить ефективно може бути виршено з використанням багатовимiрно! моделi транспортно! задачi.

Перспективним напрямком подальших дослiджень вважаемо використання приблизних методав оптимiзацi! стосовно задач мiнiмiзацi! негладких опуклих кусково-лiнiйних функцiй в1д зв'язаних параметрiв.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Макаров В.Л. О развитии экономико-математического инструментария на современном этапе / В.Л. Макаров // Экономика и математические методы. - 1986. - №3. - С. 412-415.

2. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения / Н.З. Шор. - Киев, Наукова думка, 1979. - 199 с.

3. Шор Н.З. Обобщенные градиентные методы минимизации негладких функций и их применение к задачам математического программирования / Н.З. Шор // Экономика и математические методы. - 1976. - 12, № 2. - С. 337356.

4. Сергиенко, И.В. Модели и информационные технологии для поддержки принятия решений при проведении структурно-технологических преобразований / И.В. Сергиенко, М.В. Михалевич, П.И. Стецюк, Л.Б. Кошлай // Кибернетика и системный анализ. — 2009. — № 2. — С. 26-49.

5. Раскин Л.Г. Многоиндексные задачи линейного программирования. Теория, методы, приложения / Л.Г. Раскин, И.О. Кириченко. - М. Радио и связь, 1982. - 240 с.

6. Гамбаров Л.А. Об одном методе декомпозиции многопродуктовой транспортной задачи с промежуточными узлами / Л.А. Гамбаров // Экономика и математические методы. - 1987. — № 1. — С. 165- 168.

7. Глушков В.М. О системной оптимизации // Кибернетика. - 1980. -№5. - С. 8990.

Рецензент д. е. н., професор НТУ «ХП1» Кузьминчук Н.В. Експерт редакцшног колегИ к.е.н., доцент УкрДАЗТ Слагт Ю.В.