CC BY
12
УДК 519.85 Б01: 10.20998/2411-0558.2016.44.05
А.1. КОСОЛАП, д-р. фiз.-мат. наук, проф, зав. каф., Укра!нський
державний хiмiко-технолоriчний унiверситет, Дншро
Г.М. КОДОЛА, викл., Укра!нський державний хiмiко-
технологiчний унiверситет, Днiпро
ОПТИМ1ЗАЦ1Я В ЗАДАЧАХ Л1Н1ЙНОГО РОЗКРОЮ
МАТЕР1АЛ1В
В статп розглянута класична задача лшшного розкрою, яка е № -складною. Для розв'язку даного класу задач пропонуеться метод точно! квадратично! регуляризацп (EQR), який е ефективним для розв'язання задач неперервно! оптишзацц велико! розм!рносп. Проведен! обчислювальн! експерименти для задач лшшного розкрою засввдчили перевагу методу EQR над методом розгалужень та границь, як по часу так ! по точносп розв'язку. Приведен! приклади це щдтверджують. Табл.: 6. Б!бл!огр.: 14 назв.
Ключовi слова: л!н!йний розкр!й, отгашзащя, метод точно! квадратично! регуляризац!!.
Постановка проблеми та анал1з останн1х дослщжень 1 публжацш. Задачi лiнiйного розкрою матерiалiв виникають в багатьох галузях промисловосп: машинобудуваннi, металурги, деревообробно! та швейно! промисловостi, целюлозно-паперово! промисловосп та iн. Оптимальний розкрiй матерiалiв дозволяе мiнiмiзувати вiдходи виробництва, тому данш темi присвяченi численнi дослщження. Близькою задачею до розкрою е задача лшшного пакування, яка виникае в рiзних галузях, зокрема в шформацшних системах, наприклад, завдання розподшу обмеженого структурованого ресурсу з метою рацiоналiзацi! структури збер^ання аналогично! бази даних шдивщуально! шформацшно! системи - розбиття доступного обсягу ресурсу на квазютатичний i динамiчний роздiли, перший з яких призначаеться для постшного збер^ання найкращого набору об'ектiв, а другий - для динамiчного завантаження або генераци рiдко запитуваних об'екпв [1].
Значний економiчний потенцiал, властивий завданням рацюнального розкрою, !х невщ'емний зв'язок з реальним виробництвом, а також с^мкий розвиток обчислювально! техшки пояснюе актуальнiсть дано! теми i донинi.
Але розв'язок задач оптимального лшшного розкрою i сьогоднi е складною обчислювальною проблемою. Iснуючi методи розгалужень та границь для цього класу задач дозволяють отримати розв'язки тшьки для
© А.1. Косолап, Г.М. Кодола, 2016
задач мало! розмiрностi, а евристичш та стохастичш методи дають досить часто розв'язки далею вщ оптимальних.
Завдання про ращональний розкрiй вперше була сформульована Л.В. Канторовичем [2] в 1939 рощ. Вш зазначив, що задача формування такого плану розкрою, яка дозволяе отримати заготовки в потрiбному асортиментi i при цьому забезпечуе мЫмальш витрати матерiалу, е типовою задачею лшшного програмування. 1стотний внесок у розробку теори i методiв вирiшення задач рацiонального розкрою внесли американсью вченi Гiлмор i Гомори [3], яю займалися вивченням розкрою на пщприемствах з виробництва паперу та скла в першш половиш 60-х рокiв. Розв'язку задач ращонального розкрою присвяченi монографи [4, 5].
Питання класифкацп задач рацiонального розкрою i пакування, були розглянутi в [6 - 8]. В робот [9] приведений огляд методiв розв'язування класичних задач розкрою-пакування.
Задача рацiонального розкрою вiдноситься до класу КР-повних дискретних оптимiзацiйних задач комбшаторного типу. Слiд розрiзняти наближеш i точнi методи розв'язку задач дискретно! оптимiзащi. До наближених методiв, в свою чергу, вiдносять евристики i метаевристики [8].
Розробка точних методiв побудови оптимальних планiв розкрою ведеться досить давно. Поширеш тдходи передбачають використання методу вiдсiкання для розв'язку вщповщних задач цiлочисельного лшшного програмування або реалiзацiю ефективних переборних алгоршмв на основi загально! схеми методу гшок i меж [ 9, 10]. Складнють цих методiв зростае експоненцiйно при зростаннi розмiрностi задачi.
Евристичнi методи не гарантують отримання оптимальних ршень, але при цьому вiдрiзняються порiвняльною простотою i дозволяють при незначних витратах отримувати рiшення, прийнятнi для практичного використання. Евристичш методи, використовуваш для розв'язання задач ращонального розкрою, умовно можна подшити на двi групи. Методи першо! групи грунтуються на розв'язанш допомiжноi задачi лiнiйного програмування. Отримане ршення розкршно! задачi не е щлочисельним i потребуе вщповщно! корекци. У методах друго! групи застосовуеться шший пiдхiд, який передбачае покрокову побудову допустимого розв'язку за кшцеве число ггерацш [11].
Метаевристичш методи набули широко! популярностi вщносно недавно i стрiмко еволюцiонували вщ простих концепцiй до складних iерархiчних моделей, якi вiдтворюють органiзацiю i поведiнку об'ектiв живо! i неживо! природи, в тому чист i людини. Узагальнена структура довiльного метаевристичного методу передбачае наявнють
штелектуально! стратеги, яка керуе проблемно-орiентованою евристикою нижнього рiвня i запоб^ае збiжнiсть до локальних екстремумiв. Прикладами метаевристик е - iмiтацiя вiдпалу, пошук iз заборонами, рiзнi види еволюцшних алгоритмiв, метод мурашино! колони i т. i. Ефективнiсть метаевристичних методiв у розв'язаннi задач рацiонального розкрою пщтверджена безлiччю успiшних дослiджень [12].
В робот для задач лшшного розкрою використовуеться новий метод точно! квадратично! регулярiзацii (EQR) [13], який е ефективним для розв'язку задач розкрою велико! розмiрностi.
Мета роботи - адаптувати метод точно! квадратично! регуляризацп для розв'язку задач лшшного розкрою. Цей метод показав значш переваги над юнуючими методами пошуку глобального екстремуму для неперервних задач оптимiзацii [2].
Постановка задачi лшшного розкрою матерiалiв передбачае: маються вихщш заготiвлi заданого розмiру Ь , як необхiдно розкро!ти на т заготiвель задано! довжини Ч^,., Чт. Вiдома потреба Ъ^,.., Ът в заготвлях вщповщно! довжини. Для математично! постановки задачi необхiдно визначити технологiчну матрицю варiантiв розкрою ("карта розкрою") вихщно! заготiвлi на заготiвлi задано! довжини. Дана матриця породжуе матрицю А, де елемент а^ означае кшькють заготвель / -го
виду при ] -то! технологи розкрою. Пов'язуемо з кожною технолопею позитивну цшу змiнну х, яка показуе скшьки раз /-та технологiя розкрою використовувалась. Для кожно! технологи розкрою визначим вектор залишюв с. Тодi задача оптимального розкрою полягае в наступному:
Знайти
п
сх\ ^ацх ^Ъ},У/ =1..., т х >°цiлi}, (1)
¡=1 1=\
що дозволяе мiнiмiзувати залишки розкрою.
Як було сказано рашше, математичною моделлю задач розкрою е оптимiзацiйнi задачi з цiлочисельними змiнними. Таю задачi складнi для чисельного розв'язку. Найчаспше використовуеться метод гiлок i меж, складнiсть якого зростае експоненщально при збiльшеннi розмiрностi задачi. В данш роботi для розв'язку задач лшшного розкрою було запропоновано новий метод точно! квадратично! регулярiзацii (EQR) [13].
Перетворимо дискретну задачу (1) до неперервно!
n n n
min{££aj-Xj > bj, Vj = 1,..., m, x > 0, £(1 -cos(2^Xi)) < 0}, (2) i=1 i=1 i=1
де добавленому обмеженню задовольняють тшьки цiлi значення x •
Використаемо точну квадратичну регулярiзацiю для перетворення задачi (2) до вигляду [12]:
2 П
max{||zll | £ cx + 5
| £CjXj + 5 + (r -1)||z|| < d, i=1
n
£ aijxi > bj' VJ=1'...'m> (3)
i=1 n
xi > 0 , £ (1 - cos(2xxi)) + r|z|| < d},
i=1
де z = (x, xn+1) •
Задача (3) мютить нову змiнну d , та два нових параметра 5, r . Для того, щоб допустима множина задачi (3) була опуклою достатньо визначити r > 40.
Параметр 5 визначаемо з нерiвностi
5 >
-£ ciX i =1
*
де x - розв'язок задачi (1).
Розв'язок задачi (3) виконуеться в 3 етапи.
На першому етат знаходимо початкове значення d з розв'язку опукло! задачi:
max{ d | £ cixi + 5 + (r -1)||z|| < d, i=1
n
£aijxi > bj' VJ=1'...'m>
у i=1
n „ „2 xi > 0, £ (1 - cos(2^xi)) + r|z| < d},
i=1
яка ефективно розв'язуеться методом локально! оптимiзащi, наприклад, прямо-двоютим методом внутршньо! точки [14]. Якщо для розв'язку
n
(2* ё*), дано! задачi виконуеться умова г||г*||2 = ё* то !! розв'язок ствпадае з розв'язком задачi (2).
На другому етат в задачi (3) необхiдно знайти мiнiмальне значення ё, для якого виконуеться умова
п+1
г X г* = й. (4)
I=1
Для цього використовуемо метод дихотоми, змiнюючи значення й , з певним кроком, та розв'язуючи для кожного фшсованого й задачу (3). При збiльшеннi й лiва частина виразу (4) буде монотонно збшьшуватись до виконування рiвностi. Крок змши значення й може бути рiзним для кожно! ггерацп. Його слщ вибирати в залежностi вщ швидкостi спадання цшьово! функци задачi (2) та ступеня наближеностi до рiвностi (4).
На третьому етат розв'язуемо задачу (2), в якост вихщних даних використовуючи знайденi х^ на попередньому етапi.
Таким чином, суть методу EQR полягае в наступному:
- використовуеться точна квадратична регуляризащя для перетворення задачi (1) до задачi максимуму норми вектора на опуклш множинi (3);
- в задачi (3) знаходиться мЫмальне значення змiнноi ё методом дихотоми. Для кожного фжсованого значення ё розв'язуеться задача (3) прямо-дво!стим методом внутршньо! точки. Метод дихотомii завершуе роботу при виконаннi умови (4) з заданою точшстю. Для знайденого значення ё розв'язок задачi (3) ствпадае з розв'язком задачi (1).
Теоретичне обгрунтування методу EQR приведено в робот [14].
Розглянемо приклади задач лшшного розкрою.
Приклад 1. Маемо вихщну заготвлю довжиною 12 м. Необхщно виконати замовлення: потрiбно розкро!ти вихiдну заготiвлю на деталi довжиною 2 м в кшькосп 101 штуки, 3 м в кшькосп 100 штук, 4 м в кшькосп 75 штук с мЫмальною кiлькiстю вiдходiв.
Таким чином, маемо: Ь = 12; т = 3 ; Ч1 = 2, Ч2 = 3, Чз = 4; Ъ1 = 101, Ъ2 = 100, Ъ3 = 75.
Карта розкрою (технолопчна матриця варiантiв розкрою) вщображена в табл. 1, де маеться 10 варiантiв розкрою, тобто п = 10. З кожною технолопею розкрою пов'яжемо позитивну цшу змшну Х1,
I = 1, п . Останнш рядок таблищ 1 вiдображае вiдходи при використанш вiдповiдноi технологii.
Таблиця 1
Технолопчна матриця варiантiв розкрою
Технологи розкрою
х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10
2 2 2 2 2 2 3 3 3 4
2 2 2 2 2 3 3 3 4 4
2 2 2 2 4 3 3 4 4 4
2 2 2 3 4 3 3 2 0 0
2 3 4 3 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Сг 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0
Дана карта породжуе матрицю А, яку вщобразимо в табл. 2.
Таблиця 2
Кшькють заготiвель / -го виду, при ] -то! технологи розкрою
Технологи розкрою
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10
2 м 6 4 4 3 2 1 0 1 0 0
3 м 0 1 0 2 0 3 4 2 1 0
4 м 0 0 1 0 2 0 0 1 2 3
Розв'язок задачу з використанням точно! квадратично! регуляр1зацп, представлено в табл. 3.
Таблиця 3
Варiанти розв'язку задачi
Технологи розкрою Кшь-юсть заготь вель В1дходи
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10
1 4 0 5 1 3 0 0 48 2 4 67 2
2 5 0 3 0 5 2 0 47 0 5 67 2
3 0 0 5 3 13 2 0 44 0 0 67 2
4 2 0 8 0 4 0 0 49 2 2 67 2
5 1 0 10 0 3 2 0 47 0 4 67 2
6 6 0 0 0 9 0 1 48 0 3 67 1
7 1 2 4 0 11 0 1 49 0 0 68 3
8 1 2 4 0 12 0 1 47 0 0 67 3
9 0 0 0 20 7 0 1 28 0 0 67 1
З табл. 3 видно, що серед дев'яти вар1ант1в розв'язку задач1 шостий та дев'ятий вар1анти - сам1 найкращ1, тому що для них найменша
кшькють заготвель використовуеться для розкрою з найменшими вщходами.
Розв'язок ще! задачi методом розгалужень та границь протягом 60 хвилин за допомогою надбудови "Пошук ршень" дав значення цшьово! функцп рiвне 19, яке далеке вщ оптимального.
Приклад 2. Маемо вихщну заготiвлю довжиною 20 м. Необхщно виконати розкрiй: потрiбно розкро!ти вихщну заготвлю на деталi довжиною 2 м в кшькосп 300 штуки, 3 м в кшькосп 240 штук, 4 м в кшькосп 165 штук з мшмальною кшькютю вiдходiв.
Таким чином, маемо: Ь = 20; т = 3 ; = 2, Ч2 = 3, Чз = 4; Ъ = 307, Ъ2 = 240, Ъ3 = 165.
Карта розкрою (технолопчна матриця варiантiв розкрою) вiдображена в табл. 4, де е 21 варiант розкрою, тобто п = 21.
Таблиця 4
Технолопчна матриця вар1ант1в розкрою
Технологи розкрою
Х1 х2 х3 Х4 х5 Х6 х7 х8 х^ х10 х11 х12 х13 х14 х15 х1б х17 х18 х19 х20 х21
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 3 3 3 4 4
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 3 3 4 4 4
5 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 3 3 3 3 4 4 3 4 4 4 4
6 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 3 4 3 3 4 4 3 4 4 0 0
7 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 0 0 3 0 0 0 0
8 2 2 2 3 4 3 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 2 3 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
с, 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
В табл. 5 вщображена матриця А, яку отримали на основi карти розкрою, представлено! в табл. 4.
Таблиця 5
Кшькють загопвель I -го виду при у -то! технологи розкрою
Технологи розкрою
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 х9 х10 х11 х12 х13 х14 х15 х1б х17 х18 х19 х20 х21
2 м 10 8 8 7 6 5 5 4 4 4 3 3 2 2 2 2 1 1 1 0 0
3 м 0 1 0 2 1 3 2 4 1 0 3 2 5 4 1 0 6 3 2 1 0
4 м 0 0 1 0 1 0 1 0 2 3 1 2 0 1 3 4 0 2 3 4 5
Розв'язок задачу з використанням точно! квадратично! регулярiзацii, представлено в табл. 6.
Таблиця 6
Розв'язок задач!
Технологи розкрою Юль-кють заго-■пвель Вщ-ходи
X1 x2 x3 X4 x5 x6 x7 x8 X9 x10 X11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 X21
27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 33 100 0
З табл. 6 видно, що отриманий розв'язок задачi представляе варiанти розкрою з найменшою кшькють заго^вель та з вщходами, що дорiвнюють 3-м додатковим заготсвлям довжиною 2 м. Розв'язок ще! задачi методом розгалужень та границь тсля 60 хвилин розрахунку надбудовою "Пошук рiшеньм було перервано та отримано розкрш з вiдходами, що дорiвнюють 16.
Висновки. Для розв'язку задач лшшного розкрою побудована математична оптимiзацiйна модель. Адаптовано метод EQR для розв'язку цього класу задач. Проведет обчислювальн експерименти для задач лшшного розкрою засвщчили перевагу методу EQR над методом розгалужень та границь, як по часу так i по точност розв'язку. Приведет приклади це тдтверджують. Метод EQR може бути застосовано для розв'язку задач лшшного розкрою велико! розмiрностi, адже вш використовуе тшьки перетворення простору, ефективний прямо-дво'ютий метод внутршньо! точки та метод дихотоми.
Список лггератури: 1. Брейман А.Д. Рациональная организация данных аналитического компонента в индивидуальных информационных системах с использованием алгоритма упаковки с динамической внутренней границей объема / А.Д. Брейман, М.В. Ульянов // Справочник. Инженерный журнал. - № 12. - 2004. - C. 17-22. 2. Канторович Л.В. Рациональный раскрой промышленных материалов / Л В. Канторович, В.А. Залгаллер // Изд. 3-е, испр. и доп. СПб.: Невский Диалект, 2012. - 303 с. 3. Gilmore P.C. A linear programming approach to cutting-stock problem / P.C. Gilmore, R.E. Gomory // Operations Research. - 1961. - Vol. 9, № 6. - P. 849-859. 4. Стоян Ю.Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования / Ю.Г. Стоян, С.В. Яковлев.
- К.: Наук. думка, 1986. - 268 с. 5. Мухачева Э.А. Рациональный раскрой промышленных материалов: Применение АСУ / Э.А. Мухачева. - М.: Машиностроение, 1984. - 176 с. 6. Dyckhoff H. Cutting and packing in production and distribution: A typology and bibliography / H. Dyckhoff, U. Finke. - Heidelberg: Physica-Verlag, 1992. - 248 p. 7. Wascher G. An improved typology of cutting and packing problems / G. Wascher, H. Haussner, H. Schumann // European Journal of Operational Research. - 2007. - Vol. 183.
- № 3. - P. 1109-1130. 8. Валиахметова Ю.И. Теория оптимального использования ресурсов Л.В. Канторовича в задачах раскроя-упаковки: обзор и история развития методов решения / Ю.И. Валиахметова, А.С. Филиппова // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. - 2014. - № 1 (62). - Том. 18 - С. 186-197. 9. Балабанов В.Н. Многокритериальная задача рационального планирования продольного раскроя рулонного материала / В.Н. Балабанов // Проблемы информационных технологий. - 2009. - № 2 (006). - Режим доступу: http://www.nbuv.gov.ua/old_jrn/natural/Pit/2009_2/Balab.htm/ - 17.11.2016. - Назва з
екрану. 10. Belov G. A cutting plane algorithm for the one-dimensional cutting stock problem with multiple stock lengths / G. Belov, G. Scheithauer // European Journal of Operational Research. - 2002. - Vol. 141. - № 2. - P. 274-294. 11. Fekete S.P. An exact algorithm for higher-dimensional orthogonal packing / S.P. Fekete, J. Schepers, J.C. van der Veen // Operations Research. - 2007. - Vol. 55. - № 3. - P. 569-587. 12. Poldi K.C. Heuristics for the one-dimensional cutting stock problem with limited multiple stock lengths / K. C. Poldi, M.N. Arenales // Computers & Operations Research. - 2009. - Vol. 36. - № 6. - P. 20742081. 13. Nocedal J. Numerical optimization / J. Nocedal, S.J. Wright. - Springer, 2006. -685 p. 14. Косолап А.И. Глобальная оптимизация. Метод точной квадратичной регуляризации / А.И. Косолап. - Днепропетровск: ПГАСА, 2015. - 164 с.
References:
1. Brejman, A. and Ul'janov, M. (2004), "The rational organization of the data of the analytical component in the individual information systems with the use of an algorithm with dynamic packaging internal volume abroad", Directory. Engineering magazine, No 12, pp. 1722.
2. Kantorovich, L.V. and Zalgaller, V.A. (2012), A rational cutting of industrial materials, Edition 3, revised and enlarged, Nevskij Dialekt, Saint Peterburg, 303 p.
3. Gilmore, P.C. and Gomory, R.E. (1961), "A linear programming approach to cutting-stock problem", Operations Research, Vol. 9, No 6, pp. 849-859.
4. Stojan, Ju.G. and Jakovlev, S.V. (1986). Mathematical models and optimization methods of the geometrical design, Naukova dumka, Kiev, 268 p.
5. Muhacheva, Je.A,. (1984), A rational cutting of industrial materials: The use of ACS, Mashinostroenie, Moscow, 176 p.
6. Dyckhoff, H. and Finke, U. (1992), Cutting and packing in production and distribution: A typology and bibliography, Physica-Verlag, Heidelberg, 248 p.
7. Wascher, G., Haussner H. and Schumann H. (2007), "An improved typology of cutting and packing problems", European Journal of Operational Research, Vol. 183, No 3, pp.11091130.
8. Valiahmetova, Ju.I. and Filippova, A.S. (2014), "The theory of optimal use of resources Kantorovich in cutting-packing problems: an overview and history of the development of methods for solving", Bulletin of the Ufa State Aviation Technical University, No 1 (62), pp. 186-197.
9. Balabanov, V.N. (2009), "Multicriteria task of rational planning of the longitudinal cutting of the web material", The problems of information technologies, No 2 (006). -http://www.nbuv.gov.ua/old_jrn/natural/Pit/ 2009_2/Balab.htm/ - 17.11.2016.
10. Belov, G. and Scheithauer G. (2002), "A cutting plane algorithm for the one-dimensional cutting stock problem with multiple stock lengths", European Journal of Operational Research, Vol. 141, No 2, pp. 274-294.
11. Fekete, S.P., Schepers, J. and van der Veen, J.C. (2007) "An exact algorithm for higher-dimensional orthogonal packing", Operations Research, Vol. 55, No 3, pp. 569-587.
12. Poldi, K.C. and Arenales, M.N. (2009) "Heuristics for the one-dimensional cutting stock problem with limited multiple stock lengths", Computers & Operations Research, Vol. 36, No 6, pp. 2074-2081.
13. Nocedal, J. and Wright, S.J. (2006), Numerical optimization, Springer, 685 p.
14. Kosolap A.I. (2015), Global optimization. The method of exact quadratic regularization, PGASA, Dnepropetrovsk, 164 p.
Статью представил д-р техн. наук, профессор НТУ "ХПИ" Серков А.А.
Надшшла (received) 06.12.2016
Kosolap Anatolii, Dr.Ph.-m.Sc., Professor, The Ukrainian State Chemical-Technological University Ave Gagarin, 8, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49005 e-mail: anivkos@ua.fm.
Kodola Galina, Lecturer
The Ukrainian State Chemical-Technological University Ave Gagarin, 8, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49005 Tel.: (067) 636 34 94; e-mail: gkodola@gmail.com
УДК 519.85
Оптимiзaщя в задачах лшшного розкрою MaTepia™ / Косолап АЛ., Кодола Г.М. // В!сник НТУ "ХШ". Сер!я: 1нформатика та моделювання. - Харшв: НТУ "ХП1". - 2016. - № 44 (1216). - С. 56 - 66.
В статт! розглянута класична задача лшшного розкрою, яка е NP-складною. Для розв'язку даного класу задач пропонуеться метод точно! квадратично! регуляризац!! (EQR), який е ефективним для розв'язання задач неперервно! оптим!зац!! велико! розм!рност!. Проведен! обчислювальн! експерименти для задач лшшного розкрою засв!дчили перевагу методу EQR над методом розгалужень та границь, як по часу так ! по точност! розв'язку. Приведен! приклади це шдтверджують. Табл.: 6. Б!бл!огр.: 14 назв.
Ключовi слова: лшшний розкр!й, оптим!зац!я, метод точно! квадратично! регуляризац!!.
УДК 519.85
Оптимизация в задачах линейного раскроя материалов / Косолап А.И., Кодола Г.Н. // Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2016. - № 44 (1216). - С. 56 - 66.
В статье рассмотрена классическая задача линейного раскроя, которая является NP-сложной. Для решения данного класса задач предлагается метод точной квадратичной регуляризации (EQR), который является эффективным для решения задач непрерывной оптимизации большой размерности. Проведенные вычислительные эксперименты для задач линейного раскроя показали преимущество метода EQR над методом ветвей и границ, как по времени так и по точности решения. Приведенные примеры это подтверждают. Табл.: 6. Библиогр.: 14 назв.
Ключевые слова: линейный раскрой, оптимизация, метод точной квадратичной регуляризации.
UDC 519.85
Optimization problems of linear cutting materials / Kosolap A.I., Kodola G.N.
// Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2016. - №. 44 (1216). - P. 56 - 66.
In the article the classic problem of linear cutting, which is NP-difficult. For solving this class of problems a method for accurate quadratic regularization (EQR), which is effective for solving problems of continuous optimization of large dimensions. Conducted computing experiments for problems of linear cutting method showed superiority over EQR by branch and bound, both in time and the accuracy of the interpretation. The examples confirm this. Tabl. 6. Refs.: 14 titles.
Keywords: linear cutting, optimization, method accurate quadratic regularization.
