CC BY
17
УДК 519.6:004.021 Л.П. ВАКАЛ*
АПРОКСИМАЦ1Я ФУНКЦ1Й БАГАТЬОХ ЗМ1ННИХ 13 ЗАСТОСУВАННЯМ АЛГОРИТМУ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНО1 ЕВОЛЮЦП
1нститут к1бернетики 1меш В.М. Глушкова НАН Украши, Ки1в, Украша
Анотаця. У cmammi запропоновано алгоритм диферен^альног еволюцИ для найкращог pieHOMip-ног апроксимацИ' функцт багатьох змтних. Наведет результати обчислювальних eKcnepuMeHmie, як тдтверджують його ефективтсть. Показан переваги алгоритму диферен^альног еволюцИ' поpiвня-но з традицтними алгоритмами апроксимацИ.
Ключов1 слова: алгоритм диферен^альног еволюцИ, функцiя багатьох змтних, найкраща piвномipна апроксимащя.
Аннотация. В статье предложен алгоритм дифференциальной эволюции для наилучшей равномерной аппроксимации функций многих переменных. Приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие его эффективность. Показаны преимущества алгоритма дифференциальной эволюции по сравнению с традиционными алгоритмами аппроксимации.
Ключевые слова: алгоритм дифференциальной эволюции, функция многих переменных, наилучшая равномерная аппроксимация.
Abstract. It is proposed a differential evolution algorithm for best uniform approximation of many-variables functions. It is presented numerical experiments results confirming the algorithm efficiency. It is shown advantages of the differential evolution in comparison with the traditional approximation algorithms.
Keywords: differential evolution algorithm, many- variables function, best uniform approximation.
1. Вступ
Найкраиц piBHOMipHi (чебишовсыа) наближення функщй використовують для виконання розрахушав у багатьох областях науки i техшки [1-11]. Для випадку функщй одшеТ змш-но1 створено ефективш алгоритми наближення лшшними апроксимантами (многочленами, узагальненими полшомами та ш.), а також деякими типами нелшшних апроксимант1в [1, 3, 10, 12]. Алгоритм1чний арсенал для апроксимацИ функцш багатьох змшних е значно скро-мшшим. Знайти найкраще наближення у багатовим1рному випадку досить складно, вщпо-вщш алгоритми використовують чисельш методи, яю мають значну обчислювальну тру-домюткють як самих розрахунюв, так i тдготовки даних.
У статтi для найкращого рiвномiрного наближення функци багатьох змшних пропону-еться алгоритм диференщально! еволюцп (ДЕ). Вiн грунтуеться на моделюванш процесу створення, модифшаци та вщбору кращих розв'язкiв (у термiнах алгоритму ДЕ - векторiв) з метою появи нових, ще кращих варiантiв розв'язання задачi. Алгоритм ДЕ простий у реа-лiзащi та використанш (мiстить мало параметрiв, що потребують пiдбору), легко розпара-лелюеться.
2. Постановка задач1
Нехай D = {Xk =(xlk,x2k,...,xlk)}™=l - множина тонок /-вим1рного простору, f{X) - задана на D функщя, Ф - клас функщй . .,«„)}, де а1,а2,...,ап - параметри. Задача найкращо! зважено! (з ваговою функщею w(X) > 0) piBHOMipHOi апроксимацп фор-мулюеться таким чином. Необхiдно знайти величину
© Вакал Л.П., 2017
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2017, № 1
(2)
Величина р 1 функщя . називаються вщповщно похибкою та апрок-
симантом найкращого р1вном1рного (чебишовського, мш1максного) наближення. При м?(Х) = 1 маемо задачу найкращого абсолютного наближення, при м>(Х) = \J j\X) - найкращого вiдносного наближення.
Сдишсть апроксиманта найкращого р1вном1рного наближення для функцп багатьох змшних у загальному випадку не доведена. В залежносп вщ функцп /(X), класу Ф 1 об-
ласт О апроксимант найкращого наближення може бути один або таких апроксимантсв може бути багато [1].
Методи й алгоритми наближення функцш багатьох змшних розроблеш в основному для випадку, коли апроксимант ср залежить вщ параметр!в а1,...,ап лшшно, наприклад, е узагальненим полшомом
за системою базисних функцш у/1(Х\...,ц/п(_Х'). Найбшыпого поширення на практищ для знаходження апроксимашив вигляду (3) набув шдхщ, який полягае у зведенш зада1п найкращого р1вном1рного наближення до задач1 лшшного програмування [1, 13-16]. Кр1м того, для побудови узагальненого полшома (3) можна застосовувати методи м^мзацп опуклих функцiй, зокрема, метод узагальненого градieнтного спуску, та iншi методи без використання похщних функцп [17, 18].
Для випадку, коли параметри а1,...,ап входять в апроксимант нелшшно, алгоритми
найкращого рiвномiрного наближення розроблеш переважно для апроксимаци ращональ-ними дробами. Зокрема, декшька алгоритмiв дробово-рацiонального наближення функцiй багатьох змшних [19, 20] створено на основi методу диференщально'1 корекцп для функцп одше'1 змшно!' [21], в якому розв'язання задачi нелшшно'1 апроксимаци зводиться до посль довного розв'язання задач лшшного програмування.
Кожний з алгорш^в багатовимiрноi апроксимаци мае сво'1 переваги й недолiки, але водночас спшьним для них е вузька спецiалiзацiя, тобто наближення апроксимантами тшь-ки певного класу, а також громiздкiсть чисельно'1 реалiзацii. Тому актуальна задача ство-рення унiверсальних i водночас ефективних та нескладних у реалiзацii алгоритмiв найкра-що'1 рiвномiрноi апроксимаци функцiй багатьох змiнних.
У статп пропонуеться пiдхiд, зпдно з яким параметри апроксиманта найкращого рiв-номiрного наближення для функцп багатьох змшних знаходяться за допомогою методу диференщально'1 еволюци як розв'язок задачi оптимiзацii
п
(3)
(4)
Хг е£>Д = \,т,Л>0.
3. Диференщальна еволюцiя
Метод ДЕ, запропонований Р. Сторном i К. Прайсом [22], служить для знаходження глобального оптимуму недиференцшовних, нелшшних, мультимодальних функцш багатьох змiнних i належить до прямих методiв оптимiзацii, тобто в ходi його роботи потрiбно об-числювати лише значення цшьово'1 функцп (критерiю оптимiзацii), але не п похiдних.
Еволюцiйний процес в алгоритмi ДЕ органiзовано таким чином. Спочатку з викори-станням випадкових чисел генеруеться деяка множина векторiв (поколшня популяцп), якi представляють собою можливi розв'язки задачi оптимiзацii. Далi на кожнiй ^ерацп алгоритму (епос еволюцiйного процесу) створюеться нове поколшня. Для кожного вектора старого поколшня, який називаеться базовим вектором, генеруеться мутантний вектор з використанням трьох шших випадкових векторiв i операцш додавання та вщшмання 1'хшх координат. Над мутантним вектором виконуеться операщя схрещування, в ходi яко'1 деякi його координати замiщуються координатами базового вектора. Отриманий тсля схрещування вектор називаеться пробним. Якщо вш виявляеться кращим за базовий вектор (значення цшьово'1 функцп покращилось), то в новому поколшш базовий вектор замiнюеться на пробний, у протилежному випадку базовий вектор збер^аеться в новому поколшш. Та-ке правило гарантуе незмшнють розмiру популяцп в процесi роботи алгоритму. На кожнш ^ерацп для контролю швидкосп пошуку оптимального розв'язку визначаеться кращий вектор поколiння. Умовами завершення еволюцшного процесу (закiнчення алгоритму) мо-жуть бути, наприклад, досягнення задовшьного значення критерiю оптимiзацii, вичерпан-ня заданого максимального числа поколшь та iн.
У цiлому алгоритм ДЕ представляе собою одну з можливих «неперервних» модифь кацiй генетичного алгоритму. Водночас вш мае суттеву особливiсть, яка багато в чому ви-значае його властивостi. Як джерело шуму при мутацп в алгоршм ДЕ застосовуеться не зовшшнш генератор випадкових чисел, а «внутршнш», реалiзований як рiзниця мiж випа-дково вибраними векторами поточно! популяцп. Завдяки цьому алгоритм може динамiчно моделювати особливостi рельефу функцп, що оптимiзуеться, пiдлаштовуючи пiд них роз-подiл «вбудованого» джерела шуму. Саме цим пояснюеться здатнiсть алгоритму швидко проходити складш яри, забезпечуючи ефектившсть навiть у випадку складного рельефу.
Для знаходження найкращих рiвномiрних наближень функцш багатьох змшних пропонуеться такий алгоритм диференщально'1 еволюцп.
1. Генеруеться початкове поколшня вектор1в V = (у1г,../ = 1, Ир, де Ир - ро-
зм\р популяцп (один з параметр!в налаштування алгоритму). Координати ууг, / = 1, а?, кожного вектора - випадков1 числа з пром1жку \пит1,пит2\ (за умовчанням пит 1 = —1, пит 2 =1).
2. Для базового вектора (/ — 1,Ир) старого поколшня вибираеться три випадкових вектори Уь,Ус,Ус1 (Ь Ф с Ф ¿1Ф /), \ створюеться мутантний вектор Уь за правилом
К=Уь+Гт(Ус-У,1
де Уш - деяка додатна дшсна стала з промiжку [0,2], яка називаеться силою мутацп i е параметром алгоритму. Сила мутацп Уш визначае ампл^уду збурень, яю вносяться в вектор V зовшшшм шумом.
3. Обчислюються координати пробного вектора Ui за формулою
v]b, якщо rand(0,l) < Cr v j = jrand v„, якщо rand(0,l) > О л j Ф jrand
де rand{0,1) - випадкове число з ¡нтервалу (0,1), Cr - задана ймов1ршсть схрещування (ще один параметр алгоритму ДЕ), з якою нащадок ü спадкуе спотворену мутащею гене-тичну ознаку вщ вектора V •
4. Для кожного вектора V обчислюеться щльова функцiя F :
F(J/) = max\f(Xk)-cp(Xk-vu,...,vni)\w(Xk), i = \j¡p, (5)
\<к<т
i для включення в нове поколшня вибираеться той з векторiв U i V, значення цшьово'! функцп якого менше. Такий оператор вибору гарантуе, що найкраще значення щльово'! функцп не буде пропущено, що приводить до швидко'1 збiжностi алгоритму.
5. Алгоритм завершуе еволюцшний процес, якщо виконуеться одна з умов:
- значення щльово! функцп найкращого вектора поколшня менше заданого в ;
- вичерпано максимальне число поколшь популяцп ;
- вщбуваеться стагнащя еволющйного процесу, тобто вщносний розкид значень щ-льово! функцп в популяцп менше задано!' величини 5 :
maxF(F^)— min FiV^ < д min ¡' (К).
i-1, Np i~ 1, Np i-1, Np
За умовчанням s = 10~12, pmax =200, 8 = 10~4. Якщо жодна з перел1чених умов не
виконуеться, то вщбуваеться перехiд до п. 2.
Зазначимо, що через стохастичний характер алгоритму ДЕ для отримання прийнят-ного результату потрiбно зробити декшька запусюв алгоритму.
За результатами тестування алгоритму рекомендован! значення сили мутацп' Fm лежать у д1апазош [0,4; 0,6], а ймов1рносп схрещування Cr - в штервал1 [0,8; 1].
Алгоритм ДЕ легко адаптуеться для знаходження найкращих середньоквадратичних наближень функцiй декiлькох змiнних, а також найкращих наближень за принципом мшь мiзащi суми модулiв рiзниць значень функцп та апроксиманта. Для цього слщ лише вщпо-вщним чином змiнити формулу (5) для обчислення щльово'1' функцп.
4. Результати обчислювальних експеримент1в
Для перевiрки ефективносп запропонованого алгоритму виконано серiю обчислювальних експеримешив по наближенню функцiй багатьох змшних апроксимантами рiзних класiв. Отримаш похибки наближення та значення параметрiв найкращих апроксимантiв порiв-нювались з вщповщними величинами, знайденими за спецiалiзованими алгоритмами най-кращо'1' рiвномiрноi апроксимацп. Далi наведено декiлька прикладiв апроксимацп за допо-могою алгоритму ДЕ.
Приклад 1. IloTpioHO знайти узагальнеш полшоми вигляду (3), яю е найкращими аб-солютними piBHOMipHHMH наближеннями на множиш точок трикутника 1 > х > у > 0 (крок
х+у_ -
сгтки за обома змiнними 0,2) для функщй e 2 , Jx2 + y2 , cos x sin y i y2 cos x.
Для знаходження найкращих апроксиманпв вигляду (3) застосовано алгоритм ДЕ з такими значениями вхщних параметр!в: розм1р популяцп Np =50, сила мутацп Fm— 0,4,
ймов1ршсть схрещування Cr = 0,9, число точок cítkh т-21, число запусков алгоритму 10
(значения е , ртх., 8 - за умовчанням). Результата апроксимацп наведено в табл. 1, де число координат п дорiвнюe кiлькостi шуканих параметрiв апроксимантiв.
Для порiвняння виконано також наближення вказаних функцiй за допомогою алгоритму найкращо! рiвномiрноi апроксимацп (НРА) функцiй декiлькох змшних узагальне-ним полiномом [16], в якому використовуеться зведення до задачi лiнiйного програмуван-ня i розв'язання и модифiкованим симплекс-методом. Як свщчать данi табл. 1, похибки наближення, отримаш за алгоритмом ДЕ, практично зб^аються з похибками, знайденими за допомогою значно складшшого алгоритму НРА.
Таблиця 1. Апроксимащя функцш двох змшних в обласп 1 > х > у > О
Функщя Апроксимант Похибка апроксимацп за алгоритмом НРА Похибка апроксимацп за алгоритмом ДЕ
n базисш функцп
х+у e 3 1, x, y 0,104425 0,104425
yjx2+ y2 4 2 2 1, x+y, xy, x +y 0,035091 0,035091
cos х sin y 10 1 2 2 3 2 2 1, x, y, x , xy, y , x , x y, xy , y3 0,001758 0,001758
y2 cos x 11 2 2 3 2 2 4 x, x , xy, y , x , x y, xy , x , 3 2 2 3 xy, x y , xy 0,000188 0,0001886
Приклад 2. Необхщно наблизити функщю f(x,y) = e ^ +у на множиш точок квадрата D = {(xi,y])\xi =-1 + 0,2(i-l),y}=-1 + 0,20-1),/ =1,11,у =1,11} дробом
У a xpyq
¿—I pq 7
У) '
0<p+q<2
22V 1+2 bstxУ
\<s+t<2
Для знаходження найкращого абсолютного piBHOMipHoro наближення задано'1 функцп f (х, y) апроксимантом R2(x, y) застосовано алгоритм ДЕ з такими вхiдними значеннями:
число координат вектор1в п =11, розм1р популяци Np =50, сила мутацп Fm— 0,4, ймов1р-шсть схрещування Сг — 0,9, число точок атки т - 121, число запусков алгоритму 10 (зна-чення шших паpаметpiв - за умовчанням). Отримано таю результати:
„ , ч 1,00766685-0,20-10"6x + 0,64-10-6v-0,33931027x2 +0,49-10-6jn;-0,34028471/
R22 (х> у) = ---Н--—'-5---—'-5-— '
1 - 0,76 • 10 х - 0,12 • 10 + 0,78624649х + 0,65 • 10~6ху + 0,78346175/
/7 = 0,007667.
Для пopiвняння, найкращий piвнoмipний апроксимант
1,00766664 - 0,6 • 10"7 х + 0,5 • 10" V - 0,34077789х2 + 0,16 • 10"6 ху - 0,3 3 881802/
^22 (Х/> =
1 - 0,2 ■ 10~7 х - 0,2 • 1 ОТ1 у + 0,78194464х2 + 0,20 • 10 ~6ху + 0,78776077/
знайдений за допомогою алгоритму НРА ращональними дробами [19], апроксимуе задану функщю з похибкою р - 0,007666.
Приклад 3. В експеримент дослщжувалась залежшсть мiж продуктивною фшьтра
z (в кг рщини на м ) i величиною вакууму y (в мм рт. ст.) при pÍ3HHx значеннях po3MÍpy x (у см) часток осаду, що промивався на фшк^ [23]. Необхiдно пвдбрати емпiричнy формулу, що наближае наведенi в табл. 2 даш з найменшою вiдносною похибкою.
аблиця 2. Експериментальнi данi продyктивностi фшьтра
Розмiр часток (у см) Величина вакууму (в мм рт. ст.)
0,250 0,313 0,344 0,375 0,438 0,500
50 3144 4847 5883 6998 9535 12537
75 3811 4847 7205 8579 11680 15073
100 4402 6853 8320 9986 13486 17616
125 4976 7662 9302 11075 15073 19694
Слiд зазначити, що задача побудови емшричних формул, якi найкращим чином ап-роксимують експериментальнi данi (даш спостережень, дослвдв i т.д.), часто виникае при вивченш рiзних фiзичних явищ i процесiв. Ще Лаплас сформулював важливе в методоло-пчному планi твердження, що тiльки наближення за критерiем найкращо'1 рiвномiрноi ап-роксимацп (1) дозволяють строго ставити i виршувати питання про те, чи вкладаються отриманi данi в емтричну формулу того або шшого типу [1].
Аналiз даних табл. 2 по кожнш змiннiй окремо показав, що для наближення функцп продуктивности фшьтра z доцшьно взяти нелшшну емтричну формулу вигляду z — axbyc, де а,Ь,с - невщом1 параметри. Для ix визначення застосовано алгоритм ДЕ i отримано емтричну формулу z = 7012,258х1'"3б_у°'4996 , яка наближае даш з табл. 2 з выносною похибкою 0,825 %. Оскшьки показники степенiв x i y у формyлi близькi до 2 i 0,5 вщповщно, то для апроксимацп зручшше скористатися формулою z = ax2Jy . За алгоритмом ДЕ знайдено оптимальне значения а =7057,508. Вщносна похибка наближення на-ведених у табл. 2 даних емшричною формулою z - 7057,508x2Jy не перевищуе 0,893 %.
5. Висновки
У робот запропоновано алгоритм диференщально! еволюцп для знаходження оптимальних (за крш^ем мiнiмyмy рiвномiрного вiдхилення) значень параметрiв апроксимантiв. Резуль-тати обчислювальних експерименпв пiдтвердили ефективнiсть алгоритму для наближення функцш багатьох змiнних. Основними перевагами алгоритму ДЕ, порiвняно з традицшними алгоритмами найкращо'1 рiвномiрноi апроксимацп, е ушверсальшсть (наближення лшшни-ми i нелшшними апроксимантами рiзних типiв), вщсутшсть потреби у використаннi чисе-льних методiв, простота реалiзацii, а також можливють застосування (пiсля незначно'1 мо-дифшацп) для апроксимацп фyнкцiй за шшими критерiями, наприклад, за критерiем мшь муму квадратичного вiдхилення.
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения / Ремез Е.Я. - Киев: Наукова думка, 1969. - 623 с.
2. Ланнэ А.А. Оптимальный синтез линейных электрических цепей / Ланнэ А.А. - М.: Связь, 1969. - 293 с.
3. Попов Б.А. Приближение функций для технических приложений / Б.А. Попов, Г.С. Теслер. - Киев: Наукова думка, 1980. - 352 с.
4. Вакал Л.П. Анаштична обробка даних на основ1 чебишовсько!' апроксимацп / Л.П. Вакал,
A.О. Каленчук-Порханова // Математичш машини i системи. - 2006. - № 2. - С. 15 - 24.
5. Каленчук-Порханова А.А. Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации / А.А. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Компьютерная математика. - 2009. - № 1. -С.99 - 107.
6. Вакал Л.П. Розв'язання крайових задач з використанням програмних засoбiв чебишовських на-ближень / Л.П. Вакал // Комп'ютерш засоби, меpежi та системи. - 2010. - № 9. - С. 47 - 53.
7. Каленчук-Порханова А.О. Застосування найкращо' чебишовсько' апроксимацп для моделювання деяких фiзичних процешв / А.О. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Математичне та комп'ютерне моделювання. - (Сеpiя «Техшчш науки»). - 2010. - № 4. - С. 111 - 118.
8. Вакал Л.П. Использование чебышевских приближений при решении смешанных задач для уравнений в частных производных / Л.П. Вакал, А.А. Каленчук-Порханова, Е.С. Вакал // Вестник ХНТУ. - 2011. - № 3 (42). - С. 119 - 123.
9. Вакал Л.П. Застосування чебишовсько' апроксимацп при розв'язанш штегральних piвнянь / Л.П. Вакал // Комп'ютерш засоби, мереж та системи. - 2011. - № 10. - С. 78 - 84.
10. Чебишовське наближення термометрично' характеристики гермашевого мшросенсора / П.С. Малачiвський, В.Ф. Мтн, В.В. Холевчук [та ш.] // В^^р i обробка шформацп. - 2013. - Вип. 39. -С.76 - 81.
11. Вакал С. Найкраща апроксимащя ядра штегрального piвняння Фредгольма з використанням генетичного алгоритму / С. Вакал, Ю. Вакал, Л. Вакал // Вюник Ки'вського ушверситету. Математика. Мехашка. - 2016. - Вип. 2 (36). - С. 17 - 22.
12. Каленчук-Порханова А.А. Пакет программ аппроксимации функций / А.А. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Комп'ютерш засоби, меpежi та системи. - 2008. - № 7. - С. 32 - 38.
13. Зуховицкий С.И. Алгорифм для решения чебышевской задачи приближения в случае конечной системы несовместных линейных уравнений / С.И. Зуховицкий // ДАН. - 1951. - Т. 79, № 4. -С.561 - 564.
14. Александренко В.Л. Алгоритм построения приближённого равномерно-наилучшего решения системы несовместных линейных уравнений / В.Л. Александренко // Алгоритмы и алгоритмические языки. - 1968. - Вып. 3. - С. 57 - 74.
15. Кондратьев В.П. Алгоритм наилучшего приближения функций многих переменных / В.П. Кондратьев // Программы оптимизации (приближение функций). - 1972. - Вып. 3. - С. 20 - 48.
16. Каленчук-Порханова А.О. Побудова найкращих piвнoмipних наближень функцш багатьох змшних / А.О. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Комп'ютерш засоби, мереж i системи. - 2007. -№ 6. - С. 141 - 148.
17. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Васильев Ф.П. - М.: Изд-во МГУ, 1974. - 374 с.
18. Малоземов В.Н. Наилучшее равномерное приближение функций нескольких аргументов /
B.Н. Малоземов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1970. - Т. 10, № 3.- С. 575 - 586.
19. Петрак Л.В. Приближение функций многих переменных рациональными дробями / Л.В. Петрак // Программы оптимизации (приближение функций). - 1975. - Вып. 6. - С. 130 - 144.
20. Kaufman E.H. Uniform rational approximation on functions of several variables / E.H. Kaufman, G.D. Taylor // Int. J. Numer. Math. Eng. - 1976. - Vol. 9, N 2. - P. 297 - 323.
21. Cheney E.W. Two new algorithms for rational approximation / E.W. Cheney, H.L. Loeb // Numer. Math. - 1961. - Vol. 3, N 1. - P. 72 - 75.
22. Storn R. Differential evolution - a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces / R. Storn, K. Price // Journal of Global Optimization. - 1997. - Vol. 11. - P. 341 - 359.
23. Батунер Л.П. Математические методы в химической технике / Л.П. Батунер, М.Е. Позин. - Л.: Химия, 1968. - 823 с.
Стаття над1йшла до редакцп 27.12.2016
