РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЛУЧАЕ ДВУХ ПОДОБОЛОЧЕК ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.1

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев

Релятивистские матричные элементы оператора энергии электростатического взаимодействия в случае двух подоболочек эквивалентных электронов

СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия

Аннотация. Статья посвящена получению релятивистских матричных элементов оператора энергии электростатического взаимодействия электронов. Рассмотрен случай диагональных по конфигурациям матричных элементов для атомов (ионов) с двумя незаполненными подоболочками эквивалентных электронов. Функция связанных моментов состояния атомов (ионов) с двумя незаполненными подоболочками эквивалентных электронов получена методом неприводимых тензорных операторов в представлении вторичного квантования. При этом функция состояния одной подоболочки N эквивалентных электронов получается связыванием моментов (рангов) N одинаковых операторов рождения электронов, а функция состояния двух подоболочек эквивалентных электронов - связыванием результирующих моментов (рангов) операторов рождения электронов, соответствующих первой (второй) подоболочке эквивалентных электронов. Матричные элементы оператора энергии электростатического взаимодействия в случае двух подоболочек учитывают энергии взаимодействия электронов внутри подоболочек, а также прямые и обменные взаимодействия между электронами разных подоболочек, что приводит к необходимости угловых коэффициентов и радиальных интегралов, зависящих как от угловых, так и радиальных квантовых чисел. Радиальные интегралы представляют линейные комбинации интегралов слэтеровского типа, но зависящие от большей и меньшей компонент релятивистских волновых функций дираковского типа. Для прямых и обменных угловых коэффициентов получены рекуррентные соотношения, связывающие двухподоболочечные конфигурации с разными числами электронов в подоболочках.

КЫЧКИН Иннокентий Саввич - д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: kof_fti@mail.ru

KYCHKIN Innokentij Savvich - Doctor of Physic-Mathematics, Professor, Head of the Department of General and experimental physics, Institute of physics and technology, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.

СИВЦЕВ Василий Иванович - к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: vi.sivtcev@s-vfu.ru

SIVTSEV Vasilij Ivanovich - Candidate of Physic-Mathematics, Associate Professor, Docent of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M.K. Ammosov NorthEastern Federal University.

Ключевые слова: единичный тензорный оператор, двухэлектронный скалярный оператор, оператор рождения электрона, оператор уничтожения электрона, вторичное квантование, /-представление, антисимметричная волновая функция, число старшинства, высокозарядные ионы.

DOI 10.25587/y4616-6441-2329-m

I. S. Kychkin, V. I. Sivtsev

Relativistic matrix elements of the electrostatic interaction energy operator in the case of two subshells of equivalent electrons

M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia

Abstract. The article is devoted to obtaining the relativistic matrix elements of the energy operator of electrostatic interaction of electrons. The case of configuration-diagonal matrix elements for atoms (ions) with two unfilled subshells of equivalent electrons is considered. The function of bound moments of the state of atoms (ions) with two unfilled subshells of equivalent electrons is obtained by the method of irreducible tensor operators in the representation of secondary quantization. In this case, the state function of one N subshell of equivalent electrons is obtained by coupling the N moments (ranks) of identical electron creation operators. The state function of two subshells of equivalent electrons is obtained by coupling the resulting moments (ranks) Nj(N2) of the electron creation operators corresponding to the first (second) subshell of equivalent electrons. The matrix elements of the electrostatic interaction energy operator in the case of two subshells take into account the interaction energies of electrons inside the subshells and direct and exchange interactions between electrons of different subshells, which leads to the need for slope coefficients and radial integrals that depend on both angular and radial quantum numbers. Radial integrals represent linear combinations of Slater-type integrals but depend on the larger and smaller components of the Dirac-type relativistic wave functions. Recursive relations connecting two subshell configurations with different numbers of electrons in subshells are obtained for direct and exchange angular coefficients.

Keywords: single tensor operator, scalar two-electron operator, electron creation operator, electron annihilation operator, secondary quantization, /-representation, antisymmetric wave function, seniority number, highly charged ions.

Введение

Последние десятилетия чрезвычайно богаты теоретическими исследованиями в области энергетических и излучательных спектров многоэлектронных атомов и высокозарядных ионов. Эти работы в основном имеют дело с щелочными и щелочноземельными атомами и подобными им высокозарядными ионами. В работе [1] изучены эффекты электронных корреляций в системах с одной возбужденной дыркой с использованием релятивистского гибридного метода, объединяющего взаимодействие конфигураций и линеаризованное приближение связанных кластеров. Исследованы и и6+ - подобные ионы ((П) = 90,1 (и) = 92) с конфигурациями 5р6 150,5р54 f 3D1, 5p54f 3А, 5p54f%, 5/4/ 3С4, 5p54f 3D3,5p54f 3G3,5p54f %

которые представляют собой фактически двухчастичные системы (электрон+дырка). В качестве двухэлектронной части гамильтониана взят оператор Брейта [2, 3].

Установлено, что в конфигурациях с одной дыркой 5р5 4f должно быть учтено взаимодействие с виртуальными валентными ns электронами. В работе [4] описана программа самосогласованного поля для вычисления волновых функций и энергий в базисе двухкомпонентных спиноров в приближении эффективного потенциала остова и линейной комбинации атомных волновых функций типа орбиталей Слэтера. Исследованы одноэлектронные и двухэлектронные ионы с 2=3 - 118 с электронными конфигурациями, состоящими из s, р, d, f электронов. При этом автором были допущены следующие ограничения:

a) состояние имеет не больше одной открытой оболочки определенной симметрии;

b) волновая функция состояния определяется одной конфигурацией;

c) когда конфигурация содержит только одну открытую оболочку, состояние однозначно определяется квантовыми числами момента 3 и числа старшинства у;

d) когда конфигурация содержит больше одной открытой оболочки, состояние однозначно определяется только квантовым числом момента 3.

В работе [5] методом многоконфигурационного уравнения Хартри - Фока и релятивистским методом теории возмущений исследованы энергетические уровни вероятности переходов для В-подобного неона ) для конфигураций

h22s2nl,h22s2рп1,Ъ22р2п1 (п = 2 -11,I = 0- 7) и автоионизационные уровни выше 152 252 ,152 252р 'Р,Ъ2 2s2р Р. Получено, что смешивание конфигураций 2s2 п1 + 2 р 2п1 играет важную роль для определения атомных характеристик. В работе [6] двухфотонные 152 252р3 Р0 ^ 152 252 15'0 переходы в бериллиеподобных ионах ле и и исследованы в релятивистских рамках и теории возмущений 2-го порядка (в калибровках скорости у и длины Е) с эффективным потенциалом. Показано, что при релятивистском подходе в ^/-связи вероятности запрещенных переходов увеличиваются на два порядка по сравнению с нерелятивистским Е^-подходом. В работе [7] использован экранирующий параметр в слэтеровских интегралах в _у-связи релятивистских выражений:

1. в конфигурации р2 С - подобных, Si - подобных, Ge - подобных, Sb - подобных ионов;

2. в конфигурации р3 N - подобных, Р - подобных, As - подобных, Sn - подобных ионов;

3. в конфигурации р4 О - подобных, - подобных ионов.

Показано, что метод экранирующего параметра позволяет предсказать классификации запрещенных линий, важных в диагностических целях астрофизической и лабораторной плазмы.

Аналогичные работы проведены в [8-11].

В данной статье получены формулы для релятивистских матричных элементов оператора энергии электростатического взаимодействия в случае двух подоболочек эквивалентных электронов. В первом вопросе функция состояния двухподоболочечной системы получена методом вторичного квантования. Во втором вопросе получены релятивистские матричные элементы оператора энергии электростатического взаимодействия в случае двух я//-неэквивалентных электронов. В третьем вопросе получены выражения для релятивистских матричных элементов оператора энергии электростатического взаимодействия в случае двух подоболочек эквивалентных электронов. В четвертом, пятом вопросах найдены рекуррентные соотношения для угловых частей релятивистских матричных элементов оператора энергии электростатического взаимодействия в случае двух подоболочек эквивалентных электронов.

1. Функция состояния двухподоболочечной электронной системы

В представлении вторичного квантования нормированную антисимметричную электронную волновую функцию связанных моментов можно получить, действуя на состояние вакуума N операторами рождения электронов со связанными рангами [12]:

а(л) ха(л) х...ха

(А)

м

|0) = |]х]2...]ЯАЖ).

Здесь аП - оператор рождения электрона в состоянии с квантовыми числами j и т:

< I0 ) = | )'

где 0) - состояние вакуума, удовлетворяющее условию нормировки:

(0|0) = 1.

Оператор в фигурной скобке

(1.1)

(1.2) (1.3)

{ ха°2}х_ха{ь()

> м

1

1

Е

т-1 ,т? ,.,т«

а{А )а{] 2а

т2 т«

N!

0«)

а((1) ха((2) х...х

(ЛТ)

м

л л

т1 т2

т

«

М

(1.4)

где

Л Л - 3 N

М

(1.5)

- обобщенный коэффициент Клебша - Гордана [13] связывания N моментов ] 2 , • • • , 3 N по схеме А.

В случае N эквивалентных '-электронов вместо схемы связывания А моментов появляется дополнительное квантовое число а , различающее одинаковые термы J, т. е. нормированная антисимметричная функция связанных моментов N эквивалентных ' - электронов во вторично квантованном представлении имеет вид:

ГаШ) = {*}}] |0)

где

а

(j)N\ &)

М

N!

а (^х...х а( П^) )ы

и)

(1.6)

(1.7)

- тензорное произведение N операторов рождения а эквивалентных электронов.

N

Функция состояния двух подоболочек эквивалентных электронов 1 и ]2 2 получается под действием на состояние вакуума тензорным произведением двух операторов вида (1.7):

а(л ^} Ца (2 N }

С)

м

о) = | jN jN22ax Са С см) = N N). а.8)

Здесь и далее пользуемся обозначениями, в которых одно и то же состояние обозначается несколькими символами и каждый раз будем пользоваться максимально простыми обозначениями, если это не вызывает неоднозначности.

2. Матричные элементы релятивистского оператора энергии электростатического взаимодействия (двухэлектронный случай)

Релятивистский оператор энергии Ие электростатического взаимодействия электронов представляет 4-мерную диагональную матрицу - оператор, диагональные элементы которого одинаковы и равны (в атомных единицах)

Н = 1

к г>

к

йг (( ■ С к),

(2.1)

где г< (г> ) - меньшее (большее) из расстояний г или г от /'-го или у-го электрона до ядра

атома, а

С

(к)

4п V (к ) /о '

2к +1

(2.2)

\т(к)

где - сферическая функция в стандартной системе фаз. Релятивистский матричный элемент любого двухэлектронного оператора Н в у-пространстве, диагональный относительно конфигураций двух неэквивалентных электронов относительно антисимметричных функций, может быть представлен в виде сумм прямого I и обменного К членов:

где прямой член

и обменный

(пп 7\Н\nn2jj2 7) =1 + К, I (н) = (^./ЛЛ Щ\nj\n / з) = (12|н|12)

к (н) = {н1]1п2 ]2 з \н к Л Щ]х /) (-1)+1

= (12|Я|21 (-1)1+'+1

(2.3)

(2.4)

(2.5)

представляют собой матричные элементы оператора Н относительно неантисимметричных функций состояния. Здесь и далее бра и кет - векторы с угловыми скобками обозначают релятивистские функции.

В случае релятивистского оператора Не (2.1) энергии электростатического взаимодействия получаем:

к-чет

1 (Н)= Е fk (Ш) + Р(,я;)][Rk (¿Л) + Rk (¿Л) К(не)= X gk(Ш)[1+Р(,К))

к (( +12

(2.6)

(2.7)

Як , Хг\) + Як (я1я2, Я2Я1)

В (2.7) четность k равна четности (( +12), что показано символом k(( +/2), а угловые коэффициенты /к и gк могут быть вычислены по формулам (через коэффициенты Клебша-Гордана и 6у - коэффициент):

/к (¿2+) = (-1)Л + +4[к'к ]

к к

0 1

к j 2 j 2

0 1 V 0 /2 /2

[л Л +1

[л к к

(2.8)

ёк Ш 2 -1) = — [.Л ]

к к 0 К

2 1/

к к JI к к к\

(2.9)

2

Фигурирующий в (2.6), (2.7) радиальный интеграл имеет вид:

да

;(А1А2,АЗЯ4 ) = (зк ){1214к ) | F (п111\г1)) (п212]2\т2 )

Rk

г<

< *

к+1

(2.10)

*F (пзуз \г)F (]А |г) )г2,

где символ (¡^к^ равен единице, если 11, I и k составляют треугольник с четным периметром, в остальных случаях он равен нулю. Также

Л- = п-Ц-> К = ' 1' = 23 -1 (2.11)

оператор Р, Х^ заменяет на п1 ji и наоборот, а штрихованная в радиальных интегралах указывает на то, что в подынтегральном выражении радиального интеграла вместо большей радиальной компоненты F (п^х j1 [г^ релятивистской волновой функции электрона [14, 15]

п\'т\г6р =

F (п'г )• |''т |бр) (-1)' G (п1' ;|г )•)' 'т\бр)1

, Р= I - ' + -2

(2.12)

надо ставить меньшую радиальную компоненту G (п1' 7 ).

3. Случай двух подоболочек эквивалентных электронов

В случае двух подоболочек эквивалентных электронов пх1хп212j11 любой скалярный двухэлектронный оператор (а оператор Не электростатического взаимодействия между электронами таким и является) естественно представить в виде:

Н = Нп + Н 22 + Я12, (3.1)

где Н11 (Н 22) - оператор энергии взаимодействия электронов внутри подоболочки пх1х jN (п212 j22^J, а Н12 - оператор энергии взаимодействия между электронами из разных подоболочек. Диагональный по конфигурациям матричный элемент оператора НЦ + Н'22 в случае конфигурации из двух подоболочек эквивалентных электронов выражается через одноподоболочечные матричные элементы:

(3.2)

ППN N2 | (( + Ие22 ) )NN , 5(3, 3') (а2 Л, За ()) |Н N) -+8 (а1 Зх 32, аЛ 32 ))2\Не

Вычисление релятивистских одноподоболочечных матричных элементов оператора Не энергии электростатического взаимодействия было подробно рассмотрено в статьях [14, 15].

Перейдем к оператору Н12. Его диагональный по конфигурациям матричный элемент равен сумме прямого I и обменного К членов в соответствии с формулой (2.3) для двухэлектронного матричного элемента:

(«« N N2 \неи \« «2 N ы'2) = I+к.

(3.3)

Прямой член

а обменный

I = (N1 N2\щ2\N'N ) = ^Л(N1 N2)+р(я.,я)

к-чет

^ (^2 , ) + Кк , \х2)

к = ( N N. \щ2 N1 N2) = ^ (N1 N.) [1 + р (, Л )

8 к

Як (ЛцЛ-2 , ^2^1 ) + як (¿2 , Х2Х1 )

Здесь четность k равна четности (( +12) . Угловые коэффициенты:

/к (ЧN2 ) = (-1) + +

к к к

0 1 V 0 /2 /2.

к ] 2 j 2

0 1 V 022

2 Л к

* у у у|(N1 у т у N)(N2 у т II N2),

8к (N1 N2 ) = (-1)

л+Л2+з1 + з2 + з+к+1

[л ]

к Л Л*2

0 1 V

0 /2 /2.

*. к л * Ц л

[Л л * Л Л 4

2 *|(N IIГ II N1)(N2IIГ II N).

Оператор [16, 17]:

тк = аа }х а (у

т т

(к )

Здесь транспонированный оператор рождения электрона

и) _ а()+

а _ а

т т

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

является оператором уничтожения электрона в состоянии

7(-т)), т = -т, (3.10)

77' т ')=(-1у-М 5(т, ]' т' ))). (3.11)

Субматричные элементы оператора Тк подробно рассмотрены в [16, 17]. 4. Рекуррентные соотношения для /к

Индекс k в угловом коэффициенте fк принимает четные значения и в случае k = 0 коэффициент fк от квантовых чисел состояний не зависит, а зависит только от числа электронов в подоболочках:

/к (ЧN) = 5(¥у)М1 М2. (4.1)

Просты связи между коэффициентами /к для дополнительных подоболочек (к > 0) :

2

f ((N) = fk (NN2Х-О'2

_ __v- +V2

fk ((N2 ) = fk (N-N2)(-i)"^

+k+1

Vi +V2-v- -V2

Здесь

N. = 2 j. +1 - N.,

i J i i '

(4.2)

(4.3)

N

т. е. число электронов, необходимое, чтобы дополнить подоболочку nljj эквивалентных электронов до заполненной подоболочки nlj' ' , V - число старшинства подоболочки niliji ' .

В случае заполненных одной или двух подоболочек коэффициенты f равны нулю (k > 0) :

fk (( ] N ) = fk (( [j2 ]) = fk ( ] j ]) = 0.

(4.4)

Для оценочных работ или при определении радиальных функций можно воспользоваться усредненными значениями угловых коэффициентов f и gk. Так, усредненное значение коэффициента f :

if (ATM W J2'J (N1N2 ) )nn

(fk (N1N2 ) = -J J]- = Ö(k' 0)N1N2. (4.5)

Отсюда сразу следует правило сумм для коэффициентов f :

Z [ [, J2, J ] ] (NN2 ) = 8(k, 0 N2. (4.6)

5. Рекуррентные соотношения для gk

Четность индекса k углового коэффициента gk равна четности (( +12 ) взаимодействующих подоболочек n1l1 j 1 и n2l2 j2 2. Коэффициент представим в виде:

g, (NN ) = gk (N.N2 ) + gl (N2 ),

(5.1)

где gk - та часть выражения (3.7) коэффициента, которая соответствует X, равному нулю, а gk - вся остальная часть. Коэффициент:

gk (N1N2) = (-1)ЧN2ö(¥,¥ ').

Для коэффициентов gk справедливы соотношения:

_ __V- +V2 -V- -V2

gk N2 ) = g- (NN-N2 )(-1) 2 ,

g! (( ) = gk (N ]) = gk (( U ]) = о,

_ __V- +V2 -V- -V2

gk ((N2 ) = gk (N-N2 X-l)-2-k J'i J\n2

[j ]

0 V V 0 /2 /2

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(2 ]-N ['2 ]-N [j ])ô(y,y),

gk ((R) = — (JJ,a'2 JJ')!)

k j\ лn2

0 V V 0 /2 /2

(5.6)

которые совместно с рекуррентными соотношениями для fk (4.1) - (4.5) позволяют значительно упростить вычисления угловых коэффициентов fk и gk, определяющих релятивистские энергии взаимодействия между подоболочками эквивалентных электронов в ^/-представлении.

Заключение

Полученные формулы позволяют рассчитать энергии электростатического взаимодействия любого числа N1 и N2 эквивалентных электронов n1l1 j и находящихся в двух подоболочках в естественном для релятивистского случая ^-представлении в базисе одноэлектронных релятивистских функций - биспиноров. Для более широкого охвата всевозможных электронных конфигураций необходимо провести аналогичную работу для большего числа подоболочек эквивалентных электронов.

Обозначения

N =| j, N) = | jNaJ) = \ jNavJ) = \ j, N ,aJ ) = \N ,aJ), |N> =| j, N> = j jNaJ> = j jNa'v'J> = I j, N,aJ> = \N,aJ), X = nlj, X' = nl'j, l' = 2 j -1

j Jl J 2 OX'i J11^2 J2 J^ IJlJ J 12 J2 J^ I -N2^1 JiJ2 J^ = N N2 J1J2 J> = |NjN2 J > =| Nj n2 >,

N N ) = | jN h2a ja2 J2 J,

\nlj) = \ j).

Если все главные квантовые числа n,n2,... поставлены впереди - указатель антисимметричности функции состояния:

|nin2пз • ■ ■ КЛгЛ1? j3 • ■ ■)

nln2llj ll2j2J = \nxn2j j2J - антисимметричная 2-х электронная функция состояния nhjxnJij2J = \nj\nij2J - неантисимметризованная 2-х электронная функция состояния.

Л и т е р а т у р а

1. Safronova, M. S. Atomic properties of actinide ions with particle-hole configurations / M. S. Safronova, U. I. Safronova, M. G. Kozlov // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 97. - № 012511. - pp. 1-5.

2. Ахиезер, А. И. Квантовая электродинамика / А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. - Москва : Наука, 1981 - 428 с.

3. Берестецкий, В. Б. Релятивистская квантовая теория: ч.1. / В. Б. Берестецкий, Б. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. - Москва : Наука, 1968. - 480 с.

4. Ermler Walter, C. jj-Coupling-based atomic self-consistent-field calculations with relativistic effective core potentials and two-component spinors // Computer Physics Communications. - 2018. - Vol. 229. - p. 182-198.

5. Safronova, U. I. Atomic data for dielectronic satellite lines and dielectronic recombination

into Ne5+ / U. I. Safronova, R. Mancini // Atomic Data and Nuclear Data Tables. - 2009. - Vol. 95. - p. 54-95.

6. Amaro, P. Relativistic evaluation of the two-photon decay of the metastable 1s22s2p3P0 state in berylliumlike ions with an effective-potential model / P. Amaro, F. Fratini, L. Safari, J. Machado, M. Guerra, P. Indelicato, J. P. Santos // Phys. Rev. A. - 2016. - Vol. 93. - № 032502.

7. Aguiar, J. C. An examination of the consistency of the published levels of the p2, p3 and p4 and isoelectronic sequences using jj-relativistic expressions / J. C. Aguiar, H. O. Di Rocco. // J. Quan. Spectr. & Radiative Transfer. - 2014. - Vol. 149. - p. 1-7.

8. Savukov, I. Relativistic Cl+ linearized coupled-cluster calculations of U2+ energies, g-factors, transition rates and lifetimes. / I. Savukov, U. I. Safronova, M. S. Safronova // Phys. Rev. A. - 2015. - Vol. A92.

- № 052516.

9. Safronova, U. I. Relativistic many-body calculation of energies, multipole transition rates, and lifetimes in tungsten ions. / U. I. Safronova, M. S. Safronova, N. Nakamura // Phys. Rev. A. - 2017.

- Vol. A95. - № 042510.

10. Aggarwal, K. M. Energy levels, radiative rates and electron impact excitation rates for transitions in Al X. / K. M. Aggarwal, F. P. Keenan // MNRAS. - 2014. - Vol. 438. - p. 1223-1232.

11. Jursenas, R. Coupled tensorial forms of the second-order effective Hamiltonian for open-subshell atoms in jj-coupling. / R. Jursenas, G. Merkelis // At. Data Nucl. Data Tables. - 2011. - Vol. 97. - pp. 23-35.

12. Кычкин, И. С. Основы релятивистской теории многоэлектронных атомов и ионов. - Москва : Физматлит, 1994. - 273 с.

13. Собельман, И. И. Введение в теорию атомных спектров. - Москва : Наука, 1977. - 320 с.

14. Кычкин, И. С. Релятивистские матричные элементы оператора энергии электростатического взаимодействия в случае одной подоболчки эквивалентных электронов. / И. С. Кычкин, В. И. Сивцев // Вестник СВФУ. - 2018. - № 6. - с. 86-93.

15. Кычкин, И. С. Подоболочка эквивалентных электронов. Электростатическое взаимодействие. / И. С. Кычкин, В. И. Сивцев // Вестник СВФУ. - 2020. - № 2. - с. 32-40.

16. Кычкин, И. С. Единичный тензорный оператор в /-представлении / И. С. Кычкин, В. И. Сивцев // Вестник СВФУ. - 2019. - № 5. - с. 44-56.

17. Кычкин, И. С. Двухэлектронный скалярный в /-пространстве единичный оператор / И. С. Кычкин, В. И. Сивцев // Вестник СВФУ. - 2019. - № 6. - с. 37-45.

R e f e r e n c e s

1. Safronova, M. S. Atomic properties of actinide ions with particle-hole configurations / M. S. Safronova, U. I. Safronova, M. G. Kozlov // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 97. - № 012511. - pp. 1-5.

2. Ahiezer, A. I. Kvantovaya elektrodinamika / A. I. Ahiezer, V. B. Beresteckij. - Moskva : Nauka, 1981

- 428 s.

3. Beresteckij, V. B. Relyativistskaya kvantovaya teoriya: ch.1. /V. B. Beresteckij, B. M. Lifshic, L. P. Pitaevskij. - Moskva : Nauka, 1968. - 480 s.

4. Ermler Walter, C. jj-Coupling-based atomic self-consistent-field calculations with relativistic effective core potentials and two-component spinors // Computer Physics Communications. - 2018.

- Vol. 229. - p. 182-198.

5. Safronova, U. I. Atomic data for dielectronic satellite lines and dielectronic recombination into Ne5+ / U. I. Safronova, R. Mancini // Atomic Data and Nuclear Data Tables. - 2009. - Vol. 95. - p. 54-95.

6. Amaro, P. Relativistic evaluation of the two-photon decay of the metastable 1s22s2p3P0 state in berylliumlike ions with an effective-potential model / P. Amaro, F. Fratini, L. Safari, J. Machado, M. Guerra, P. Indelicato, J. P. Santos // Phys. Rev. A. - 2016. - Vol. 93. - № 032502.

7. Aguiar, J. C. An examination of the consistency of the published levels of the p2, p3 and p4 and isoelectronic sequences using jj-relativistic expressions / J. C. Aguiar, H. O. Di Rocco. // J. Quan. Spectr. & Radiative Transfer. - 2014. - Vol. 149. - p. 1-7.

8. Savukov, I. Relativistic Cl+ linearized coupled-cluster calculations of U2+ energies, g-factors, transition rates and lifetimes. / I. Savukov, U. I. Safronova, M. S. Safronova // Phys. Rev. A. - 2015.

- Vol. A92. - № 052516.

9. Safronova, U. I. Relativistic many-body calculation of energies, multipole transition rates, and lifetimes in tungsten ions. / U. I. Safronova, M. S. Safronova, N. Nakamura // Phys. Rev. A. - 2017. - Vol. A95. - № 042510.

10. Aggarwal, K. M. Energy levels, radiative rates and electron impact excitation rates for transitions in Al X. / K. M. Aggarwal, F. P. Keenan // MNRAS. - 2014. - Vol. 438. - p. 1223-1232.

11. Jursenas, R. Coupled tensorial forms of the second-order effective Hamiltonian for open-subshell atoms in '-coupling. / R. Jursenas, G. Merkelis // At. Data Nucl. Data Tables. - 2011. - Vol. 97. - pp. 23-35.

12. Kychkin, I. S. Osnovy relyativistskoj teorii mnogoelektronnyh atomov i ionov. - Moskva : Fizmatlit, 1994. - 273 s.

13. Sobel'man, I. I. Vvedenie v teoriyu atomnyh spektrov. - Moskva : Nauka, 1977. - 320 s.

14. Kychkin, I. S. Relyativistskie matrichnye elementy operatora energii elektrostaticheskogo vzaimodejstviya v sluchae odnoj podobolchki ekvivalentnyh elektronov. / I. S. Kychkin, V. I. Sivcev. // Vestnik SVFU. - 2018. - № 6. - s. 86-93.

15. Kychkin, I. S. Podobolochka ekvivalentnyh elektronov. Elektrostaticheskoe vzaimodejstvie. / I. S. Kychkin, V. I. Sivcev // Vestnik SVFU. - 2020. - № 2. - s. 32-40.

16. Kychkin, I. S. Edinichnyj tenzornyj operator v '-predstavlenii / I. S. Kychkin, V. I. Sivcev // Vestnik SVFU. - 2019. - № 5. - s. 44-56.

17. Kychkin, I. S. Dvuhelektronnyj skalyarnyj v '-prostranstve edinichnyj operator / I. S. Kychkin, V. I. Sivcev // Vestnik SVFU. - 2019. - № 6. - s. 37-45.

^SMir^ir