CC BY
12
УДК 539.1
И. С. Кычкин, В. И. Сивцев
Релятивистские матричные элементы оператора энергии электростатического взаимодействия в случае одной подоболочки эквивалентных электронов
СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия
Аннотация. Тяжелые многозарядные ионы представляют релятивистские системы, и их теоретическое исследование должно проводиться в естественном для релятивистского подхода /-представлении. В данной статье, в отличие от множества работ, проводимых в базисе детерминантных функций Слэтера, рассматривается задача в базисе ортонормированных релятивистских волновых функций связанных моментов, построенных в формализме неприводимых тензорных операторов и генеалогических коэффициентов Ракаха. В статье последовательно рассматриваются построение антисимметричной релятивистской функции связанных моментов в случае подоболочки п' эквивалентных электронов с помощью обобщенных коэффициентов Клебша-Гордана и генеалогических коэффициентов, выражение релятивистского оператора энергии электростатического взаимодействия через матрицы Паули и получение выражения для релятивистских матричных элементов оператора энергии электростатического взаимодействия в случае одной подоболочки эквивалентных электронов. Матричный элемент приведен к виду, содержащему генеалогические коэффициенты с двумя отщепленными электронами и двухэлектронный матричный элемент, выраженный через угловые коэффициенты и радиальные интегралы. Угловые коэффициенты выражаются через коэффициенты Клебша-Гордана и ^/'-коэффициенты, а радиальные интегралы определяются через большую и меньшую компоненты релятивистской функции - биспинора электрона.
Ключевые слова: неприводимый тензорный оператор, матричный элемент, оператор энергии электростатического взаимодействия, '-представление, атомная спектроскопия, ''-связь, релятивистский матричный элемент, конфигурации, коэффициенты векторной связи, спинорный базис, высокоионизированный атом, многозарядный ион, генеалогические коэффициенты. DOI 10.25587/SVFU.2018.68.21804
КЫЧКИН Иннокентий Саввич - д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М. К. Аммосова.
E-mail: kof_fti@mail.ru
KYCHKIN Innokentij Savvich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor , Head of the Department of General and Experimental Physics Institute of PHYsics and TEChnology, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.
СИВЦЕВ Василий Иванович - к. ф.-м. н., доцент кафедры общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.
E-mail: vi.sivtcev@s-vfu.ru
SIVTSEV Vasilij Ivanovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of General and Experimental Physics Institute of Physics and Technology, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.
И. С. Кычкин, В. И. Сивцев. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МАТРИЧНыЕ ЭЛЕМЕНТы ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕйСТВИЯ В СЛУЧАЕ ОДНОй ПОДОБОЛОЧКИ эквивалентных ЭЛЕКТРОНОВ
I. S. Kychkin, V. I. Sivtsev
Relativistic Matrix Elements of Energy Operator of Electrostatic Interaction in the Case of One Subshell Equivalent Electrons
M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia
Abstract. Heavy multiply charged ions represent relativistic systems and their theoretical study should be conducted in /-representation that is natural for the relativistic approach. In contrast to the great number of works performed in the basis of Slater determinant functions, the present paper considers the problem in the basis of orthonormal relativistic wave functions of coupled moments, which are constructed in the formalism of irreducible tensor operators and Racah coefficients of fractional parentage. The article successively examines the construction of an antisymmetric relativistic function of coupled moments in the case of nljN subshell of equivalent electrons using generalized Clebsch-Gordan and coefficients of fractional parentage, expression for the relativistic energy operator of electrostatic interaction through Pauli matrices and expression for relativistic matrix elements of the energy operator of electrostatic interaction in case of one subshell of equivalent electrons. The matrix element is reduced to a form containing coefficients of fractional parentage with two split electrons and a two-electron matrix element, expressed in terms of the angular coefficients and radial integrals. The angular coefficients are expressed in terms of the Clebsh-Gordan coefficients and 6j coefficients, and the radial integrals are determined in terms of the larger and smaller components of the relativistic function that is the electron bispinor.
Keywords: irreducible tensor operator, matrix element, energy operator of electrostatic interaction, j-representation, atomic spectroscopy, jj-coupling, relativistic matrix element, configurations, vector coupling coefficients, spinor basis, highly ionized atom, multiply charged ion, coefficients of fractional parentage.
Введение
Наблюдение в естественных и лабораторных условиях высокоионизированных атомов, представляющих интерес для астрофизики и новейших областей науки и техники, вызывает необходимость совершенствования методов теоретической спектроскопии, изучающей многозарядные ионы. Все больше внимания уделяется теории спектров тяжелых атомов. Такие атомы и ионы представляют собой релятивистские системы, теоретическое исследование их характеристик требует релятивистского подхода. Началом релятивистского квантовомеханического подхода в исследовании энергетических спектров атомов являются общеизвестные работы П. Дирака [1-3], в которых была разработана квантовомеханическая релятивистская теория одноэлектронного (водородоподобного) атома. С тех пор много работы ведется разными исследователями, разными школами в теории энергетических спектров более сложных, чем водородоподобный, атомов и ионов. В последние десятилетия интерес к этому особо возрос в связи с необходимостью знаний характеристик высокозарядных ионов в экспериментальных установках [4-8] и в астрофизике [9-11]. Особо хочется отметить работы школы У И. Сафроновой (бывшего научного сотрудника Института спектроскопии АН СССР, ныне работающего в Университете Невада (США)). Например, в работе [12] изучены эффекты электронных корреляций в системах с одной возбужденной дыркой, используя релятивистский гибридный метод, объединяющий взаимодействие конфигураций и линеаризованное приближение связанных кластеров.
В этой статье авторы исследовали низколежащие уровни конфигураций 5р5 4/ трехкратноионизированного Хе - подобного лантана La и конфигурации 6 р 5 f Rn -подобных тория и урана и +, т. е. это конфигурации с одной дыркой 5р (или 6р) и одним электроном 4f (или 5/) вне заполненных электронных оболочек, т. е. задача с двумя частицами вне заполненных оболочек. Был использован базис детерминантных функций Слэтера [13], что в случае La потребовало, при учете взаимодействия конфигурации (вплоть до возбужденного 7f электрона), необходимость привлечения 3 453 320 (!) функций Слэтера. Конечно, при нынешних быстродействующих компьютерах, это преодолимо. Но для более сложных конфигураций число необходимых детерминантных функций Слэтера будет расти катастрофически по экспоненте. Это указывает на необходимость использования вместо детерминантов функций связанных моментов, хорошо зарекомендовавших себя в нерелятивистской теории [13].
В нашей более ранней работе оператор Брейта, учитывающий электрическое и магнитное взаимодействия электронов, выражен через неприводимые тензорные операторы и приведен к виду, удобному для вычисления матричных элементов операторов взаимодействия для естественного для релятивизма /'-представлении в базисе функций связанных моментов [14]. В данной статье релятивистские матричные элементы оператора электростатического взаимодействия вычислены в случае одной подоболочки эквивалентных электронов. В первом вопросе рассмотрено получение релятивистской функции связанных моментов в случае одной подоболочки эквивалентных электронов. Во втором вопросе рассмотрены релятивистские одноэлектронные и двухэлектронные операторы энергии взаимодействия в представлении матриц Паули. В третьем вопросе получены выражения для релятивистских матричных элементов оператора энергии электростатического взаимодействия для подоболочки эквивалентных электронов.
1. Релятивистская волновая функция электронов
Релятивистская функция связанных моментов N электронов может быть представлена в виде
| Мк'Мк ••• 12 — ЩА = = Ещт2¡ПУтАкт2 • 12-Ю
Здесь одноэлектронная функция имеет вид Дираковского биспинора, а символ в квадратной скобке представляет обобщенный коэффициент Клебша-Гордана.
При релятивистском рассмотрении одна оболочка п1Н эквивалентных электронов «расщепляется» самое большее на N+1 /-конфигураций (/-подоболочек):
(12)
где в, = п1у? = пу*
■ Iх- 1 1
к = 1 - 2' к =1+-. а3)
Число /-конфигураций (1.2), возникающих из ™ , может быть и меньше N+1, так как N и N2 не могут быть больше, соответственно величин 2/ +1 и 2/2 +1. Все уровни оболочки п1Н получаются из набора /-конфигураций (1.2), но классификация уровней дается в схеме
\nljf1 пЦ^1 а к1а1 3). (1.4)
Необходимо заметить, что в этом случае классификация уровней становится
Л Л • Зю
т1 т2
■тЛ
3
м
(1.1)
И. С. Кычкин, В. И. Сивцев. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЛУЧАЕ ОДНОЙ ПОДОБОЛОЧКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
более однозначной. Например, для всех практически интересных случаев - 5, р, d и /-электронов (1=1/2, 3/2, 5/2, 7/2), для однозначной классификации уровней, кроме момента количества движения, достаточно ввести число старшинства V - число электронов, при которых впервые появляется данный терм. Термы уУ конфигурации jN, за исключением тривиальных случаев N = 0,2 ] +1,1, для которых пара квантовых чисел уУ принимает соответственно значения 00, 00, Ц, приведены в таблице.
Таблица
Термы конфигурации
} N V У
3 1 3/2
3/2 0 0
2 2
1 5/2
5/2 2,4 0 2 0 2,4
3 1 5/2
3 3/2,9/2
7 2,6 1 7/2
0 0
2 2,4,6
7/2 3,5 1 3 7/2 3/2,5/2,9/2,11/2,15/2
4 0 2 4 0 2,4 2,4,5,6,8
Допустим, что \г и |./i'a2J2Мг) являются соответственно
антисимметричными нормированными релятивистскими функциями Ы-р и р эквивалентных электронов. Здесь ах (а2) - дополнительные квантовые числа, необходимые для различения термов с одинаковыми У (У2). Из приведенных функций можно составить функцию связанных моментов N электронов по формуле
/-р Зх, ]ра2У2, Ж> =
= 1м
/- а зм >1 Га J2 м2 >
м1 м2 м
(1.5)
Эта функция антисимметрична не полностью: электроны "Ы-р" и "р" групп между собой не антисимметричны. Антисимметричную нормированную релятивистскую функцию N электронов можно представить в виде разложения по функциям (1.5) помощью генеалогических коэффициентов в] - представлении:
\тГ аЗЫ) = |/-р ахЗх, ]ра2 У2, Ш)(/-ра^, ]ра2 /2\\]маЗ). (1.,
6)
Подставив (1.5) в (1.6), умножив полученное на сопряженные функции Ы-р и р
и проинтегрировав, получим
эквивалентных электронов соотношение
умножив полученное на соп
(/-Ч 3\М\\ и (]ра2 32М,
(( 3гМг, ]ра2 32 М2\ ]маЖ) = ((3 ]Ра2 32\\]яа3)
31 32 3
М1 м2 м
(1.7)
которое позволяет определить генеалогические коэффициенты. 2. Операторы
В релятивистской теории операторы выражаются через матрицы Дирака, т. е. имеют вид
(А В ^
Ь = . , (2.1)
С D
/
где А, В, С, D - двухмерные матрицы, выражаемые через матрицы Паули. Под произведением операторов, действующих на координаты одного и того же электрона, будем понимать обычное матричное произведение операторов-матриц. Например, для
г а г 17 ^
операторов Ь =
\
С
В D
\ г
и М =
У
Е G
F Н
действующих на координаты 1-го электрона,
У
имеем
и • м =
к
А В С D
у
Н
у
АЕ + BG АР + ВН к СЕ + DG СР + DH у
= N
(2.2)
где результирующий оператор N1 также является четырехмерной матрицей.
Таким образом, любой сложности одноэлектронный оператор представляет собой матрицу четвертого порядка типа (2.1). Поэтому релятивистские одноэлектронные матричные элементы одноэлектронного оператора Ь (2.1) вычисляются по формуле
* ,» (А
(п212Лт2 \Цпклт) = I(( )•
V
С
В D
dт,
(2.3)
1У
где под знаком интеграла выполняются обычные матричные произведения. Нетрудно видеть, что релятивистский матричный элемент сводится к сумме простых матричных элементов в //-представлении.
Под произведением операторов, действующих на различные электроны, будем
понимать прямое произведение операторов-матриц. Так, для операторов L1 =
и Ь2 =
А Вп
С
2
п
к
А ^ С D
1У
действующих соответственно на координаты первого и второго
2 У
электронов, произведение Ь1 ■ Ь2 принимает вид
Ц' Ц2 =
А1 В1 у А2 В С.. в
,, с 2
в
2 У
А1А2 А1В2 В1А2 В1В2
А1С2 4А В1С2 В1В2
С1А2 С1В2 АА2 В1В2
С С 12 С1В2 В1С2 В1В2 }
(2.4)
где двухмерные матрицы-опрераторы также перемножаются прямо.
Таким образом, двухэлектронный оператор Ь1 ■ Ь2 представляет собой матрицу-оператор порядка 16=42 (или порядка 4=22 в представлении матриц Паули). Следует сразу заметить, что произведение Ь ■ Ь2 может быть тензорным любого ранга, и это произведение следует оставить и в правой части равенства (2.4). То же самое можно сказать и насчет соотношения (2.2). Вообще, произведение N операторов L1 ■ L2 ■... ■ LN, действующих порознь, на координаты N электронов представляет оператор-матрицу порядка 4Ы (или порядка 2Ы в спинорном представлении, т. е. в представлении матриц Паули).
И. С. Кычкин, В. И. Сивцев. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЛУЧАЕ ОДНОЙ ПОДОБОЛОЧКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
Для различения обычного и прямого произведений операторов мы не вводим различных символов умножения, так как нетрудно установить, когда необходимо прямое произведение, когда обычное. Релятивистский двухэлектронный матричный элемент вычисляется по символической формуле
{пУт (1)п212Лт2 (2)|А • пъкктъ (\)пА1А74т4 (2) = =/(; (1)^; (2) (1)^-; (2) ¥<[ (1)^* (2) ¥<[ (2))*
л л
сх А
с с
.12
Л1В2 В1Л2 В1В2
лр2 вс вр2
схв2 Dlл^пр,
С1D2 DlC2DxD2)
¥з (1)^4 (2) ¥з (1)¥ 4 (2) ¥\ (1)^4 (2)
«¥ '4 (2)
¥
^Т^Т 2,
(2.5)
где под интегралом вектора состояний и оператор-матрица перемножаются обычным матричным способом.
3. Релятивистские матричные элементы оператора энергии электростатического взаимодействия для подоболочки ^ эквивалентных электронов
В обозначении (2.4) у оператора Не энергии электростатического взаимодействия отличны от нуля лишь диагональные составляющие [3]:
Л л2 = ла = а Л = D1D2 = X к4+-1 (() • С?)). (3.1)
Рассмотрим конфигурацию из N эквивалентных электронов пЦ, т. е. подоболочку п1]н. Представляя релятивистскую антисимметричную нормированную функцию связанных моментов электронов подоболочки в виде (1.6) через генеалогические коэффициенты с двумя отщепленными электронами (р=2), пользуясь эквивалентностью электронов, т. е. тем, что любой двухэлектронный скалярный оператор Н, действующий на электроны подоболочки, можно представить в виде
„ „ _ N(-1) н
Н _ Ъь 1ИИ _-2-Нтп' (3.2)
где т и п могут относиться к координатам любых двух электронов из оболочки, можно получить формулу, выражающую однооболочечный матричный элемент скалярного двухэлектронного оператора Н через двухэлектронный матричный элемент:
а3\И\п) а'3') = 5(3,3 ')"7= (п1/а3\\И\\п1/а'3) =
VI3 \
= 5(3,3О^^ Е (^¿1,/Л||/аЗ)* (33)
*( jN-2аl3l, ] г32\ ' 3 г32 г32 >.
Здесь двухэлектронный матричный элемент в случае оператора электростатического
взаимодействия вычисляется по формуле
inu2 j\h\nu2 j> = 2 , _чет fk (j 2 J )l+P( ,Я ))][ Rk (ЯЯ,ЯЯ)+Rk (ЯЯ ',ЯЯ')], (3.4)
где угловой коэффициент
f ( J )=-[J]
k J J
0 i i
2 2
\J J JI [J J k I
(3.5)
а радиальный интеграл
Rk (ЛЛг. ^3^4 ) = ((ll3k)((2l4k)
JJ0 f (Vli'l\ri )f (n2l2 h \r2 )) f (hh \ri )f (n4l4 h \r2 )) r22 dridr2
(3.6)
где символ (¡¡jk^ означает, что параметры li, ¡. и k составляют треугольник с четным периметром. Если в обозначении радиального интеграла вместо \ = niliji стоит X V = ntl \ j, то в соответствующих местах интеграла (3.6) вместо функций типаf должны стоять функции g и квантовое число li заменяется на l V . Квантовое число l' определяется по формуле
I' = 2j -I, (3.7)
a оператор P (Xt, во всех стоящих за ним множителях производит замену nlj на nl' j и наоборот.
Заключение
Полученные формулы позволяют рассчитать энергии электростатического взаимодействия любого числа N эквивалентных электронов nlj, находящихся в одной подоболочке nljN, в естественном для релятивистского случая j-представлении в базисе одноэлектронных релятивистских функций - биспиноров. В дальнейшем аналогичную работу планируется провести в случае двух и более подоболочек эквивалентных электронов не только для оператора энергии электростатического взаимодействия, но и для операторов магнитных и запаздывающих взаимодействий Брейта [2, 3].
Л и т е р а т у р а
1. Дирак П. А. М. Собрание научных трудов. Том 2. Квантовая теория (научные статьи 1924-1947), - М., ФИЗМАТЛИТ, 2003. 848 с. - (Классики науки). - ISBN 5-9221-0381-4 (Т. II).
2. Берестецкий В. Б., Лифшиц Б. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория: ч.1. - М.: Наука, 1968. - 480 с.
3. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. - М.: Наука, 1981. - 428 с.
4. Ralchenko Yu., Draganic I. N., Osin D., Gillaspy J. D., and Reader J. Spectroscopy of diagnostically important magnetic-dipole lines in highly charged 3d" ions of tungsten // Phys.Rev. A. - 2011. - Vol. 83. No 032517.
5. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol.66. - № 286. - Pp. 1-10.
6. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C.Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3d ground configurations of highly charged ions (Z=72-83) // At. Data Nucl. Data Tables.-2018.- vol. 119, 314.
7. Froese Fisher C., Gaigalas G., and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3d1 Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - Pp. 1-34.
8. Hawryluk R., Campbell D., Janeschitz G., Thomas P., Albanese R., Amrosino R., Bachmann C., Baylor
*
И. С. Кычкин, В. И. Сивцев. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЛУЧАЕ ОДНОЙ ПОДОБОЛОЧКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫх ЭЛЕКТРОНОВ
L., Becoulet M., Benfatto I. et al., Principal physics developments evaluated in the ITER design review // Nucl. Fusion. - 2009. - Vol. 49. - № 0650129. - Pp.1-15.
9. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015.-pp. 1-17.
10. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - Pp. 1-9.
11. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S., and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017.
- Vol. 95. - № 032505. - Pp. 1-9.
12. Safronova M. S., Safronova U. I., and Kozlov M. G. Atomic properties of actinide ions with particle-hole configurations // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 97. - № 012511. - Pp. 1-5.
13. Собельман И. И.. Введение в теорию атомных спектров. - М.: Наука, 1977. - 320 с.
14. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Оператор Брейта энергии межэлектронного взаимодействия // Успехи современной науки. - 2017. - Т. 7. - № 3. - С. 56-61.
R e f e r e n c e s
1. Dirak P. A. M. Sobranie nauchnyh trudov. Tom 2. Kvantovaya teoriya (nauchnye stat'i 1924-1947),
- M., FIZMATLIT, 2003. 848 s. - (Klassiki nauki). - ISBN 5-9221-0381-4 (T. II).
2. Beresteckij V. B., Lifshic B. M., Pitaevskij L. P. Relyativistskaya kvantovaya teoriya: ch.1. - M.: Nauka, 1968. - 480 s.
3. Ahiezer A. I., Beresteckij V. B. Kvantovaya ehlektrodinamika. - M.: Nauka, 1981. - 428 s.
4. Ralchenko Yu., Draganic I. N., Osin D., Gillaspy J. D., and Reader J. Spectroscopy of diagnostically important magnetic-dipole lines in highly charged 3d" ions of tungsten // Phys.Rev. A. - 2011. - Vol. 83. No 032517.
5. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol.66. - № 286. - Pp. 1-10.
6. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C.Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3d1 ground configurations of highly charged ions (Z=72-83) // At. Data Nucl. Data Tables.-2018.- vol. 119, 314.
7. Froese Fisher C., Gaigalas G., and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - Pp. 1-34.
8. Hawryluk R., Campbell D., Janeschitz G., Thomas P., Albanese R., Amrosino R., Bachmann C., Baylor L., Becoulet M., Benfatto I. et al., Principal physics developments evaluated in the ITER design review // Nucl. Fusion. - 2009. - Vol. 49. - № 0650129. - Pp.1-15.
9. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - Pp. 1-17.
10. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - Pp. 1-9.
11. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S., and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017.
- Vol. 95. - № 032505. - Pp. 1-9.
12. Safronova M. S., Safronova U. I., and Kozlov M. G. Atomic properties of actinide ions with particle-hole configurations // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 97. - № 012511. - Pp. 1-5.
13. Sobel'man I. I.. Vvedenie v teoriyu atomnyh spektrov. - M.: Nauka, 1977. - 320 s.
14. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Operator Brejta ehnergii mezhehlektronnogo vzaimodejstviya // Uspekhi sovremennoj nauki. - 2017. - T. 7. - № 3. - S. 56-61.
