Операторы рождения и уничтожения электронов - двойной неприводимый тензорный оператор Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.1

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев

Операторы рождения и уничтожения электронов — двойной неприводимый тензорный оператор

СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия

Аннотация. Операторы рождения и уничтожения электрона могут быть неприводимыми тензорными операторами в двух пространствах - в пространстве момента / и в пространстве квазиспина. Так, оператор рождения а^ электрона в состоянии с моментом / и его проекцией m представляет собой неприводимый тензорный оператор ранга / в пространстве момента. Аналогично неприводимым тензорным оператором ранга / в пространстве момента является оператор уничтожения электрона в этом же состоянии, который получается из оператора рождения транспонированием. Оператор уничтожения электрона, получающийся из оператора рождения эрмитовым сопряжением, не является неприводимым тензорным оператором. ^Из операторов рождения и уничтожения а^^, ^ электрона можно образовать оператор (З , обладающий свойствами, аналогичными свойствам оператора спина S, равного 1 в единицах постоянной Планка и который может быть назван квазиспином. Можно показать, что операторы рождения и уничтожения , а^ электрона представляют собой + 2 и - ^ компоненты неприводимого тензорного оператора ранга 1 в пространстве квазиспина. Таким образом, операторы рождения и уничтожения электрона могут быть объединены в один двойной неприводимый тензорный оператор, действующий в двух пространствах - угловом и квазиспиновом.

Ключевые слова: Вторичное квантование, квазиспин, оператор рождения электрона, оператор уничтожения электрона, неприводимый тензорный оператор, /-представление, состояние вакуума, эрмитово сопряженный оператор, транспонированный оператор, антисимметричная волновая функция, функция связанных моментов, число старшинства.

DOI 10.25587/SVFU.2019.70.28403

КЫЧКИН Иннокентий Саввич - д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: kof_fti@mail.ru

KYCHKIN Innokentij Savvich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, head of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.

СИВЦЕВ Василий Иванович - к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: vi.sivtcev@s-vfu.ru

SIVTSEV Vasilij Ivanovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.

I. S. Kychkin, V. I. Sivtsev

Creation and Annihilation Operators of Electron -Double Irreducible Tensor Operator

M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia

Abstract. The present paper shows that electron creation and annihilation operators can be irreducible tensor operators in two spaces, which are the moment space j and the quasi-spin space. Thus, the creation operator a^j of an electron in a state with moment j and its projection m is an irreducible tensor operator of j rank in the moment space. Similarly, an irreducible tensor operator of j rank in the moment space is annihilation operator a^ of an electron in the same state that obtained from the creation operator by transposition. The annihilation operator a^ of the electron obtained from Jthe creation operator by the Hermitian conjugation is not an irreducible tensor operator. The operator Q , formed from the creation and annihilation operators am , am of an electron, has properties similar to the properties of the spin operator S, equal to 1 in units of the Planck constant and can be called quasi-spin. It can be shown that the creation and annihilation operators aj , a^' of an electron are + ^ and - ^ components of the irreducible tensor operator of ^ rank in the quasi-spin space. Thus, the electron creation and annihilation operators can be combined into one double irreducible tensor operator acting in two spaces, which are angular and quasi-spin.

Keywords: second quantization, quasi-spin, electron creation operator, electron annihilation operator, irreducible tensor operator, j-representation, vacuum state, Hermitian conjugate operator, transposed operator, antisymmetric wave function, function of coupled moments, seniority number.

Введение

Уже с двухэлектронного атома гелия He начинаются сложности в исследовании свойств атомов, например в определении энергетических спектров и вероятностей электронных переходов. Уравнение Шредингера точно не решается, и наиболее распространенной моделью, позволяющей исследовать более сложные атомы и ионы, является приближение центрального самосогласованного поля [1]. Для многоэлектронных атомов и ионов сильно увеличивается число возможных состояний, что значительно усложняет теоретическое исследование. Многие проблемы, связанные с этим, были показаны в работе Кондона и Шортли [2]. В работах Ракахом [3, 4] было положено начало нового подхода в теории атомных спектров. Он использовал теорию групп и ввел метод генеалогических коэффициентов и неприводимых тензорных операторов. Эти методы в дальнейшем развивались и обобщались [1, 5, 6]. Эти идеи оказались очень продуктивными в оболочечной модели ядра, в которой они были связаны со вторичным квантованием [7, 8]. В дальнейшем методы вторичного квантования стали широко использоваться в теории атомных спектров [9-14]. В работе [15] авторы считают, что многие трудности, встречаемые в традиционных вычислениях спин-орбитальных частей матричных элементов различных операторов, соответствующих физическим величинам многоэлектронных атомов и ионов, могут быть обойдены использованием вторичного квантования, основанного на теории углового момента в концепции неприводимых тензорных операторов и на графическом методе. В работе [16] авторы ввели понятие приведенных генеалогических коэффициентов, используя метод вторичного квантования, что должно привести, по мнению авторов статьи, к возможности обойти многие

трудности в традиционных приближениях. Но все эти работы были проведены в LS-представлении, неестественном для релятивистского приближения.

Но для тяжелых атомов и многозарядных ионов, которые наблюдаются в естественных и лабораторных условиях [17-22] величина

aZ ~ V

c

близка к единице, т. е. такие атомы и ионы являются релятивистскими системами, для которых понятие «орбитальный момент» уже не имеет смысла, поэтому такие системы требуют релятивистского подхода, т. е. работы в ^-представлении.

Данная статья посвящена рассмотрению метода вторичного квантования, формализма квазиспина в исследовании многоэлектронных атомов и ионов в релятивистском приближении, т. е. в ^-представлении. В первом разделе статьи показано, что операторы рождения и уничтожения электронов в состоянии jm образуют неприводимый тензор ранга j в j-пространстве. Во втором показано, что из однократных тензорных произведений операторов рождения и уничтожения электронов можно образовать оператор квазиспина, свойства которого аналогичны свойствам оператора спина фермиона, поэтому можно ввести дополнительное квазиспиновое пространство, и состояние многоэлектронной системы может быть определено квантовыми числами квазиспина многоэлектронного состояния в этом пространстве. В третьем разделе показано, что операторы рождения и уничтожения электрона являются двумя разными ориентациями одного неприводимого тензорного оператора ранга ^ в пространстве квазиспина. В заключительном разделе получены разные коммутационные соотношения для компонент оператора квазиспина, при использовании которых матричные элементы различных операторов физических величин многоэлектронных систем могут быть сведены к соответствующим матричным элементам систем с меньшим или б0льшим числом электронов.

Операторы рождения и уничтожения электронов - неприводимые тензорные операторы в j-пространстве

Пусть aJj - оператор рождения электрона в состоянии с квантовыми числамиj и m [23]:

am) |° )=| jm), (i.i)

где |о) - состояние вакуума, удовлетворяющее условию нормировки

(0|0 ) = 1, (1.2)

а \jm) - функция электрона в состоянии jm, образующая ортонормированный полный набор функций:

(m\j 2 m ) = j,j2 тг, (1.3)

Xj Jm){ J'm\ = L (1.4)

Тогда

^' т ') = 5^Гт]0), (1.5)

(j)+

т. е. эрмитово сопряженный оператор а является оператором уничтожения электрона в состоянии jm. Необходимость ортонормированности и антисимметричности электронных волновых функций приводит к следующим антикоммутационным соотношениям для операторов рождения и уничтожения электронов:

а{к ]а°2}+ а°2 У*} =

ш1 шг шг ш1

а()+а(2] + а(2 ]а[А)+

(1.6)

т, т2

т2 т,

Лт1 ¿2 т

Оператор момента' является неприводимым тензором первого ранга '(^ в '-пространстве [1], т. е. его во вторичном квантовании можно представить в виде

•> ¿—¡п

JmJ

(1)

П ап .

(1.7)

Тогда коммутационные соотношения между оператором момента и оператором рождения таковы:

3 ± > а

( У

= у!((± т +1)(( + т) а^,

з,, а

о у

= т а!У)

(1.8)

где

3± = 3X ± Чу ■

Соотношения (1.8) показывают, что 2j+1 операторов рождения а( (—у < т < у) образуют компоненты неприводимого тензорного оператора ранга ' в пространстве момента. (

Надо заметить, что оператор уничтожения электрона ат (эрмитово сопряженный оператор) не является неприводимым тензорным оператором, так как его коммутационные соотношения с моментом

J±, а

()+

= —( + т +1)( ± т) ¿тУ,

л, а

и)+

(1.10)

= —т а:

не соответствуют требованиям определения неприводимого тензорного оператора. Но измененный оператор уничтожения электрона, а именно транспонированный оператор

а( )= а( )+-(-\у-т

т т

(1.11)

является неприводимым тензором '-го ранга в '-пространстве. ,.. ^

Таким образом, операторы рождения и уничтожения электрона ат и ат являются неприводимыми тензорными операторами в '-пространстве и с ними можно производить любые действия, используя метод неприводимых тензорных операторов Ракаха [1, 3, 4]. Так, например, произведения операторов ат и а^ :

а{я) х а(2)

()

= У

¿—¡т

а(л )а°1)

1ПП 1ПП

к к 3 т т2 м

(1.12а)

а(к )х )

()

Еа(1 )а( ^)

т,т2 т т

к к -1 тх т2 М

(1.12в)

а() х а{]г)

(1.12с)

}=у а(л )а02) к к ^ м т т т2 м

Это можно обобщить на произведение любого числа операторов рождения (или

уничтожения, или и рождения, и уничтожения):

А(л )х А(м )х ...х А

(3)

=1

А(л)а(2)... А("

тхШ2 ■■■тр т1 т2 тр

Л Лг

3

т1 т2 ■■■ тр М

(1.13)

где А (^ может быть либо оператором рождения, либо оператором уничтожения. Здесь символ в квадратных скобках - обобщенный коэффициент Клебша-Гордана [5].

Нормированная антисимметричная N - электронная волновая функция связанных моментов может быть получена действием N операторов рождения, связанных по определенной схеме А в ^-пространстве на вакуумное состояние:

А)} )1

Здесь

]х]2 ■ ] , А.1М)ап{ = {{) х а(л) х ■•• х а(]") } |0).

( N )}

(1.14)

а(1) х а(г) х — х а

' м

N!

а(1) х а('2) х — х а("

N!

I

а{}1 )а(м а0"

Ш1 т, т"

К К

•т" М

А)

м

А

(1.15)

где А в функции показывает схему связывания моментов. Если рассматриваем N эквивалентных электронов, то вместо схемы связывания А появляется квантовое число а , различающее одинаковые термы ./, и нормированная антисимметричная функция связанных моментов N эквивалентных электронов во вторично квантованном представлении имеет вид

jNaJM ) = { *}}) |0),

где

а

(] р ^ = 1

а() х а() х ■ • • х а()

)

м

(1.16)

(1.17)

В правой части (1.17) произведение содержит N операторов сомножителей. Вторичное квантование и квазиспин Введем операторы

й+=[

о-= [

а = {[

=[

а1) х а(1)

а1) х а(1)

а11) х а(1)

а-1) х а( 1)

(2.1)

а1) х а( 1)

(0) 1г.-,

- 4[ ] ] •

Заметим, что

&=о- ,в:=а .

(2.2)

1

Пользуясь коммутационными соотношениями операторов рождения и уничтожения электронов, можно получить коммутационные соотношения для операторов (2.1):

2+, о_\ = 20 г , 2ж, 2+] = 2+ , 2,, <2-] = -2-.

(2.3)

Эти коммутационные соотношения полностью совпадают с коммутационными соотношениями для , S_, Sz обычного оператора спина & Поэтому оператор 0 , квадрат которого полностью аналогичен квадрату оператора спина, выражается через операторы (2.1) как

22 = 22+2-+ 22г2 - 22,

(2.4)

которые можно назвать квазиспином. Введем оператор

N.. =-

VГj] [

а1) х С(1)

(2.5)

коммутатор которого с оператором рождения равен

N а1 '1)

= С1 >5 . ..

т .,Л

(2.6)

Действуя оператором N .на многоэлектронную функцию (1.14) и пользуясь соотноше-

нием (2.6), получаем

. - ]пАШ )ам = 1Л., . )) Л. - ]пА-М )ш , (2-7)

т. е. оператор N ■, определенный в (2.5), есть оператор числа электронов с моментом / Очевидно, что оператор

^=11 й,

(2.5а)

является оператором полного числа электронов. Сравнение (2.1) с (2.5) показывает, что z-компонента квазиспина, составленная из операторов рождения и уничтожения электронов с моментами ,, может быть выражена через оператор числа электронов ~ с теми же моментами,': ^ ,

е==2 N - 4 [. ] •

(2.8)

т. е. «г коммутирует с , и поэтому волновая функция подоболочки эквивалентных электронов (1.16) является его собственной функцией

/ а М ) = ме / а М )

(2.9)

где

М0 =-0 2

•1 \

я-Ш

2

(2.10)

Из (1.16) и (2.1) видно, что ()+и )рождают и уничтожают замкнутую пару электронов (т. е. два электрона в состоянии с нулевым результирующим моментом 3=0), т. е. действием оператора )+ ())-) на волновую функцию а JM) N электронов получаем волновую функцию N+2 (N-2) электронов jN+2 а 3) (|^-2 а J)) с теми же термами а3, так как связывание замкнутой пары (отвязывание замкнутой пары) не меняет конечных моментов и других характеристик волновой функции. Поэтому логично связать квантовое число квазиспина ) с числом старшинства V, показывающим наименьшее число электронов, при котором впервые появляется данный терм а3. Так как по аналогии с угловым моментом собственное значение оператора )) 2 равно Q ^+1), т. е.

02 / а 3М) = б (й +1)1 / а 3М),

(2.11)

где

Q = тсхМй, (2.12)

и так как число старшинства V не может быть больше числа электронов, соответствующего наполовину заполненной оболочке, т. е.

21 +1

V <

то из (2.10), (2.12), (2.13) следует, что

«=2

2

[ ]

-V

(2.13)

(2.14)

V У

Таким образом, нормированная антисимметричная функция связанных моментов N эквивалентных электронов (1.16) является собственной функцией квадрата квазиспина )2 и его z-компоненты ) , собственные значения которых выражаются соответственно через число старшинства V и число электронов N.

Операторы рождения и уничтожения электронов - неприводимый тензорный оператор в пространстве квазиспина

Рассмотрим коммутаторы операторов рождения и уничтожения электронов с компонентами )+ , )__ , ) квазиспина. Получаем

1 (,)

б+, а„,

б+, ат

= 0.

б-, а\

=а

б-, ат)

=а

=0

б,, <

б,, ат

= — ат

2 т 1(

= — аь 2 т

(3.1)

(3.2)

Сравнение этих соотношений с определением неприводимого тензорного оператора Тк^ [1] ранга k в пространстве момента 3

± 1, Т

(к )-

= ^(к ± д +1) + д) Г«,

J Т

(к )■

= чТк)

(3.3)

показывает, что а^^ и а^^ соответственно ведут себя как + ^ и - ^ компоненты неприводимого тензорного оператора ранга q = — в пространстве квазиспина, т. е. мы

можем ввести обозначения

а;:

2

() _„1 ^) _ а(и)

а

1 '

—т 2

(3.4)

—т — т

2 2

Таким образом, операторы рождения и уничтожения а((^ и ^ объединяются в один двойной неприводимый тензорный оператор а( ^, действующий в двух пространствах -квазиспиновом и углового момента.

Все антикоммутационные соотношения для операторов а ( и а^^ объединяются в одно:

й (И (И $

ау J ау, +ак, ау

тпт т\ т т\ т т„т

J -^+т +т ^

(3.5)

)тцт,] т ч т

Можно ввести приведенные тензорные произведения для двойных операторов

= 1

т„шш п т

X(Кк) =

, 21 ) (21 а- ' а

тт т \т

а( уха(2

(К)

-¡тКтк

1 1 К

] т

2 2 1

т ч тк _

(3.6)

т,г

Это произведение можно обобщить на любое число сомножителей. Из свойств волновой функции

I * I _

) =(-1)) ) = | J^m ) ,

где ' и т - зеркально отраженные значения квантовых чисел,

] = — -1, т = -т,

а также из основного соотношения (1.1) можно установить, что

а() = а{() = а(МУ-т

т ыт ыт V / '

,(7) .

; 0У _а()

_ а^' _ ' _ а^) (-1) т .

; 0),

(3.7)

(3.8)

(3.9)

Здесь тильда, как обычно, показывает транспонирование.

Аналогично этому можно ввести оператор сопряжения С в квазиспиновом пространстве:

Са^С - =(-1) 9-т'аМ.

(3.10)

Чтобы показать действие оператора С на функцию (1.16), необходимо выбрать альтернативную запись этой функции. Так как число старшинства V определяется квантовым числом квазиспина 2, а число электронов N - квантовым числом z-компоненты

2

k

квазиспина Mq , то функцию (1.16) также можно писать в совершенно эквивалентном виде

\jN a JM) = aQJMQM), (3.11)

допускающем рассмотрение функции в двух пространствах - в пространстве квазиспина и углового момента. Тогда простое перенесение свойства комплексного сопряжения (3.7) на сопряжение в квазиспиновом пространстве дает

C aQJMQM) = (-1)Q-Mq aQJMQM) = aQJMQM). (3.12)

Здесь

Q = -Q - 1, MQ =- MQ . (3.13)

Для сохранения нормированности, сопряженной в квазиспиновом пространстве функции, необходимо, чтобы оператор C был унитарен:

C+C = 1. (3.14)

Учитывая (3.4), преобразование (3.10) можно переписать в виде

cam с-=am}, cam с-1=-am}. (3.15)

m m ' m m v '

Отсюда видно, что оператор C с точностью до фазы транспонирует операторы рождения и уничтожения.

Если воспользоваться значениями квантовых чисел квазиспина Q и его проекции Mq (см. (2.13), (2.9)), то формула (3.12) примет вид

N -v

C

jNаvJM) = (-1) 2 jNavJM)=| jN avJM), (3.16)

где V , N - зеркально отраженное число старшинства V и число электронов N в подоболочке j :

у= 2 j + 3-V, N = 2 j +1 - N. (3.17)

Зеркально отраженное число старшинства V есть число электронов, при котором впервые исчезает терм, появившийся изначально при V электронах. Зеркально отраженное число электронов N - число электронов в дополнительной подоболочке. Таким образом, соотношение (3.16) показывает, что оператор С преобразует волновую функцию данной подоболочки в волновую функцию дополнительной подоболочки, которая получается из полностью заполненной уничтожением подоболочки, отличающейся от исходной только знаком проекции М углового момента 3.

Коммутационные соотношения квазиспина

В заключение приведем коммутационные соотношения, которые могут быть полезны в различных выкладках. Допустим, что / (()2 ) - некоторый полином от ()2 , тогда

f (Q,) Can - QIf (Q, + n) = 0 , f (Q,) Q-n - Qnf (Qz - n )=о .

(4.1)

Доказательство производится для каждого члена полинома для частного случая п=1 и затем индуцируется на более высокие п. Также можно найти соотношения

йпМ+п=П {й - [йж +(к - 1)][йж +к ]} ,

к=1

йпйп = ПП=1 {й - [йж - (к -1)] [й - к]} .

(4.2)

Первую формулу (4.2) можно вывести, воспользовавшись несколько раз равенством, которое получается с помощью (1.21) и (4.1):

(( = ¿^¿ ¿-¿п-1 = ¿+п-1 [(2 - ( (( -1)] (

=йтйт1 {й2 - [ейж - (п -1)] [йж - п]}.

(4.3)

Можно установить и такие коммутационные равенства:

п—1

(2-, ( ] = -2^е; ж (-г -1,

i=0

(, (2-п ] = Е 10 2- 2ж (--1.

(4.4)

В дальнейшем нам понадобится еще одно соотношение, связанное с транспонированием операторов рождения. Можно показать, что транспонированный оператор тензорного произведения операторов рождения

(4.5)

а() ха(к) х-ха(п) (а ) т 'а ( ) ха(л) х-ха(л) (ЛГ)

м - м

а

а N

(а )

м

где символ Т означает транспонирование.

Подобные соотношения получаются и при транспонировании произведений операторов уничтожения а^}.

Заключение

Полученные свойства операторов рождения и уничтожения электронов в '-пространстве и пространстве квазиспина дают возможность:

1) представить генеалогические коэффициенты, необходимые для получения антисимметричных волновых функций многоэлектронных систем, через воздействие операторов рождения или уничтожения электронов на волновые функции систем с другим числом электронов;

2) представить матричные элементы операторов физических величин многоэлектронных систем через матричные элементы операторов с другим числом электронов;

3) получить важные рекуррентные соотношения для величин, соответствующих системам с разными числами электронов.

Л и т е р а т у р а

1. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. - М.: Наука, 1977. - 320 с.

2. Кондон Е., Шортли Г Теория атомных спектров. - М.: ИЛ, 1949. - 438 с.

3. Racah G. 1942 Phys.Rev. 62,438-462

4. Racah G. 1943 Phys.Rev. 63, 367-382

5. Юцис А. П., Бандзайтис А. А. Теория момента количества движения в квантовой механике. -Вильнюс: Мокслас, 1977. - 470 с.

6. Юцис А. П., Савукинас А. Ю. Математические основы теории атома. - Вильнюс: «Минтис», 1973. - 480 с.

7. Lowson R. D. and Macfariane M. H. Nucl. Phys.(1965), 66, 80-96

8. De-Shalit A. and Talmi I. Nuclear Shell Theory. - New York: Academic, 1963.

9. Judd B. R. Second Quantization and Atomic Spectroscopy. - Baltimore, MD: John Hopkins Press, 1967.

10. Кычкин И. С., Рудзикас З. Б. Взаимосвязь между генеалогическими коэффициентами и матричными элементами неприводимых тензорных операторов // Литовский физический сборник. - 1971. - Т. 11. - № 5. - С. 743-755.

11. Кычкин И. С., Рудзикас З. Б. Релятивистское рассмотрение подоболочки эквивалентных электронов nljN // Литовский физический сборник. - 1974. - Т. 14. - № 1. - С. 19-30.

12. Кычкин И. С., Рудзикас З. Б. Единичные тензоры в релятивистских матричных элементах оператора энергии // Литовский физический сборник. - 1974. - Т. 14. - № 1.

- С. 31-43.

13. Кычкин И. С., Рудзикас З. Б. Релятивистские матричные элементы оператора энергии в случае двух подоболочек атомных электронов // Литовский физический сборник. - 1974. - Т. 14. - № 1. - С. 45-56.

14. Кычкин И. С., Каняускас Ю., Рудзикас З. Б. Алгебраические выражения для некоторых матричных элементов операторов атомных величин // Литовский физический сборник. - 1975. - Т. 15. - № 2. - С. 183-196.

15. Gaigalas G. and Rudzikas Z. On the secondly quantized theory of many-electron atom // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 1996. - vol. 29. - pp. 3303-3318.

16. Gaigalas G., Rudzikas Z. and Froese Fisher C. Reduced coefficients (subcoefficients) of fractional parentage for p-,d-, and f-shells // At. Data Nucl. Data Tables. - 1998. - Vol. 70. - pp. 1-39.

17. Froese Fisher C., Gaigalas G., and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3dk Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - pp. 1-34.

18. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C. Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3dk ground configurations of highly charged ions (Z=72-83) // At. Data Nucl. Data Tables. - 2018. - vol. 119, 314.

19. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol. 66, - № 286.

- Pp. 1-10.

20. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S., and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017. - vol. 95. - № 032505. - Pp. 1-9.

21. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - Pp. 1-9.

22. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - Pp. 1-17.

23. Дирак П. А. М. Собрание научных трудов. - Т. 2. - Квантовая теория (научные статьи 1924-1947), - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 848 с.

R e f e r e n c e s

1. Sobel'man I. I. Vvedenie v teoriyu atomnyh spektrov. - M.: Nauka, 1977. - 320 s.

2. Kondon E., SHortli G. Teoriya atomnyh spektrov. - M.: IL, 1949. - 438 s.

3. Racah G. 1942 Phys.Rev. 62,438-462

4. Racah G. 1943 Phys.Rev. 63, 367-382

5. YUcis A. P., Bandzajtis A. A. Teoriya momenta kolichestva dvizheniya v kvantovoj mekhanike. -

Vil'nyus: Mokslas, 1977. - 470 s.

6. YUcis A. P., Savukinas A. YU. Matematicheskie osnovy teorii atoma. - Vil'nyus: «Mintis», 1973.

- 480 s.

7. Lowson R. D. and Macfariane M. H. Nucl. Phys.(1965), 66, 80-96

8. De-Shalit A. and Talmi I. Nuclear Shell Theory. - New York: Academic, 1963.

9. Judd B. R. Second Quantization and Atomic Spectroscopy. - Baltimore, MD: John Hopkins Press, 1967.

10. Kychkin I. S., Rudzikas Z. B. Vzaimosvyaz' mezhdu genealogicheskimi koehfficientami i matrichnymi ehlementami neprivodimyh tenzornyh operatorov // Litovskij fizicheskij sbornik. - 1971.

- T. 11. - № 5. - S. 743-755.

11. Kychkin I. S., Rudzikas Z. B. Relyativistskoe rassmotrenie podobolochki ehkvivalentnyh ehlektronov nljN // Litovskij fizicheskij sbornik. - 1974. - T. 14. - № 1. - S. 19-30.

12. Kychkin I. S., Rudzikas Z. B. Edinichnye tenzory v relyativistskih matrichnyh ehlementah operatora ehnergii // Litovskij fizicheskij sbornik. - 1974. - T. 14. - № 1. - S. 31-43.

13. Kychkin I. S., Rudzikas Z. B. Relyativistskie matrichnye ehlementy operatora ehnergii v sluchae dvuh podobolochek atomnyh ehlektronov // Litovskij fizicheskij sbornik. - 1974. - T. 14. - № 1. - S. 45-56.

14. Kychkin I. S., Kanyauskas YU., Rudzikas Z. B. Algebraicheskie vyrazheniya dlya nekotoryh matrichnyh ehlementov operatorov atomnyh velichin // Litovskij fizicheskij sbornik. - 1975. - T. 15.

- № 2. - S. 183-196.

15. Gaigalas G. and Rudzikas Z. On the secondly quantized theory of many-electron atom // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 1996. - vol. 29. - pp. 3303-3318.

16. Gaigalas G., Rudzikas Z. and Froese Fisher C. Reduced coefficients (subcoefficients) of fractional parentage for p-,d-, and f-shells // At. Data Nucl. Data Tables. - 1998. - Vol. 70. - pp. 1-39.

17. Froese Fisher C., Gaigalas G., and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3dk Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - pp. 1-34.

18. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C. Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3dk ground configurations of highly charged ions (Z=72-83) // At. Data Nucl. Data Tables. - 2018. - vol. 119, 314.

19. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol. 66, - № 286. - Pp. 1-10.

20. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S., and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017. - vol. 95. - № 032505. - Pp. 1-9.

21. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - Pp. 1-9.

22. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - Pp. 1-17.

23. Dirak P. A. M. Sobranie nauchnyh trudov. - T. 2. - Kvantovaya teoriya (nauchnye stat'i 1924-1947),

- M.: FIZMATLIT, 2003. - 848 s.

^SMir^îr