Единичный тензорный оператор в j-представлении Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.1

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев Единичный тензорный оператор в /-представлении

СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия

Аннотация. В статье из операторов рождения и уничтожения электронов в состояниях jm образован единичный тензорный оператор t ранга k в /-пространстве. Этот оператор представляет полную систему (2/+1) операторов в /-пространстве. Его субматричный элемент равен ¿-символу Кронеккера. Из этого единичного тензорного оператора может быть образован оператор Т , действующий на все электроны рассматриваемой системы (ядра, атома). Субматричный элемент оператора Т выражается через субматричные элементы операторов рождения и уничтожения электронов или через генеалогические коэффициенты с одним отщепленным электроном. Операторы рождения и уничтожения электронов в /-пространстве можно представить как один оператор изменения числа электронов в двойном пространстве: квазиспиновом и углового момента. Это дает возможность получить более простые формулы для вычисления субматричных элементов оператора Т в случаях одной подоболочки ] эквивалентных электронов, не содержащие суммирования по возможным промежуточным состояниям многоэлектронных систем. Получены простые алгебраические выражения для субматричного элемента операторов Т и Т для любого числа электронов. Получены

ГТ1К

рекуррентные соотношения для субматричных элементов оператора т (к принимает любое

• м 'N9

значение, равное или меньшее (2/+1)) для любых чисел электронов в подоболочках ] , ] . Вычисленные значения субматричных элементов операторов Т для / < 72 приведены в таблицах.

КЫЧКИН Иннокентий Саввич - д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: kof_fti@mail.ru

KYCHKIN Innokentij Savvich - Doctor of physic-mathematics, Professor , head of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

СИВЦЕВ Василий Иванович - к. ф.-м. н., доцент кафедры общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: vi.sivtcev@s-vfu.ru

SIVTSEV Vasilij Ivanovich - Docent of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.

Ключевые слова: Единичный тензорный оператор, оператор рождения электрона, оператор уничтожения электрона, вторичное квантование, квазиспин, j-представление, антисимметричная волновая функция, число старшинства.

DOI 10.25587/SVFU.2019.73.39428

I. S. Kychkin, V. I. Sivtsev

Single Tensor Operator in /-Representation

M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia

Abstract. In the article, tc single tensor operator of k rank is formed in /-space from the creation and annihilation operators of electrons in jm states. The given operator represents a complete system of (2j+1) operators in /-space. Its submatrix element is equal to S - Kronecker symbol. Tk operator can be formed from this single tensor operator and act on all electrons of the considered system (nuclei, atoms). The submatrix element of Tk operator is expressed in terms of submatrix elements of the creation and annihilation operators of electrons or through coefficients of fractional parentage with one detached electron. The creation and annihilation operators of electrons in j-space can be represented as a single operator of a change in the number of electrons in two spaces, which are quasi-spin and of angular momentum. This makes it possible to obtain simpler formulas for calculating the submatrix elements of Tk operator in the cases of one /"-subshell of equivalent electrons that do not contain summation over possible states of intermediate multielectron systems. Simple algebraic expressions have been obtained for the submatrix element of V and T1 operators for any number of electrons. Recurrence relations have been achieved for the submatrix elements of Tk operator (k takes any value equal to or less than (2j + 1)) for any number of electrons in the subshells jN, jNl . The calculated values of the

7 /

submatrix elements of Tk operators for J ^ % are given in the ables.

Keywords: Single tensor operator, electron creation operator, electron annihilation operator, secondary quantization, quasispin, j-representation, antisymmetric wave function, seniority number.

Введение

Высокозарядные ионы и любые многоэлектронные атомы, в которых выполняется соотношение

а2 »1,

где а - постоянная тонкой структуры, Z - эффективный заряд ядра, представляют релятивистские системы. Первое квантовомеханическое релятивистское рассмотрение принадлежит Дираку [1], разработавшему релятивистскую теорию водородоподобного атома (иона). В работе [2] была сделана первая попытка сформулировать релятивистскую модель самосогласованного поля. Далее работы в этом направлении продолжались и продолжаются разными модификациями. В последние десятилетия внимание к

высокоионизированным атомам, наблюдаемым в естественных и лабораторных условиях, вызывает всевозрастающий интерес к теоретическим исследованиям таких высокозарядных ионов [2-12]. Но в этих работах исследования велись в основном в базисе детерминантных функций, приводящих к весьма громоздким формулам и практически пригодных лишь для проведения вычислений спектров простейших систем. Многочисленные работы велись в ¿^-представлении в базисе нерелятивистских функций связанных моментов. Но в этом случае пренебрегается правильное связывание моментов малых компонент релятивистских функций. Поэтому теоретическое исследование многоэлектронных атомов и

высокозарядных ионов естественно проводить в /-представлении. Единичный тензорный оператор t , определенный в /-пространстве, выражен через операторы рождения и уничтожения электронов. Введен тензорный оператор Тк, действующий на состояния всех электронов исследуемой системы. Исследованы матричные элементы этого тензорного оператора в подоболочке jN эквивалентных электронов. Найдены реккурентные соотношения для этих матричных элементов. Приведены таблицы вычисленных значений субматричных элементов оператора Тк для / < у .

Единичный тензорный оператор

Если ат - оператор рождения электрона в состоянии jm, а транспонированный оператор а^ - оператор уничтожения электрона в том же состоянии, то из них прямым тензорным произведением можно образовать единичный тензорный

оператор t ранга k в /'-пространстве [13]:

1

№

\а°]ха°]

I т т

(к)

(1.1)

обладающий всеми свойствами неприводимого тензорного оператора ранга k в /пространстве, но максимально простыми значениями матричного и субматричного элементов, выраженными через коэффициент Клебша-Гордана и 5-символ Кронеккера:

(НФ •т и ^

7 к у т' д т

(1.2)

п д т

(ИФ ') = 8„. (1.3)

Здесь [ ] = 2k +1, а ранг k оператора может принимать 2/+1 значений:

к = 0,1,2, —,2 у. (1.4)

Соотношения (1.2) и (1.3) получаются, если воспользоваться определением операторов рождения и уничтожения электронов [13], ортонормированностью и полнотой электронных функций состояний, коммутационным соотношением оператора ^ с оператором рождения:

) + т1 +1

а также теоремой Вигнера-Эккарта [12].

>, а{к}

ц ' тх

(-1)

е

к, 11 ц+т1

к к к т1 + ц т1 ц

(1.5)

Оператор

(1.6)

затрагивающий все электроны исследуемой системы, в представлении вторичного квантования имеет вид

Тк =У Г

а ()х а

(к)

(1.7)

То, что операторы ^ и Тк обладают структурой неприводимых тензорных операторов, позволяет использовать при исследовании характеристик многоэлектронных атомов и ионов математический аппарат неприводимых тензорных операторов [12, 14-16].

Матричные элементы оператора Тк в случае подоболочки эквивалентных электронов

В случае подоболочки j эквивалентных электронов субматричный элемент оператора Тк (1.7) может быть выражен через субматричные элементы операторов рождения а^кк и уничтожения 5 электронов:

7 7 к

Ог^аз)(-1)3+3'+к+1 3' J з

а з ^ 1

7(к^ jN-1а1 31) ((-хах3 |\а(к^ с" а'3').

(2.1)

'(С

х ( Сма3

Пользуясь связью между субматричными элементами операторов рождения и уничтожения электронов и генеалогическими коэффициентами [17], можно получить формулу для вычисления субматричного элемента оператора Тк в случае подоболочки эквивалентных электронов через генеалогические коэффициенты

(/аЗ\\тк\\/а'3') = х

(2.2)

7(®)

Если воспользоваться двойным неприводимым тензорным оператором а действующим в двух пространствах: квазиспиновом и углового момента [13], то вместо (2.2) можно получить более простые формулы для вычисления:

((Т °||/V 3 )

№

((|ИМ = 8 А ( +1)(27 +1)

^ а\\1 р а 3 ) д^^. (. +1)(2 j +1),

') 2j +1 -2N ,

т-т = —-1, к - четно,

') 2 ] +1 - 2 N2

(2.3)

(2.4)

(2.5)

X

(/'ау/||т*||/Уу- 2 3') =

^ауЗ^^ау-23') )(Ж2 + 2-у)(] + 3-N -у)

, & - четно,

((( т | ^а'у + 2 3')

т | + 2 3')

(/WJ||тк||/■а,v, J 1) = 8уу((ау^Тк^ыа\1 J'), к

(((|т*||/а' J') = (-1)Т (а^Тк^а' J'),£ > 0,

= Н"

, £ - четно,

- нечетно,

Г Ш

ш

] 2 а/ Г^ у 2 «V'

V

Г [Л

[Л

] 2 аJ\\Tk\\j 2 а'V'

V

к > 0.

(2.6)

(2.7)

(2.8) (2.9)

(2.10)

Здесь V - число старшинства, т. е. минимальное число электронов, при котором возможно данное состояние аЗ и

N = 2] +1 - N, []] = 2] +1.

(2.11)

Формулы (2.3)-(2.10) для вычисления субматричных элементов оператора Тк значительно проще, чем (2.2). Например, формула (2.10) позволяет получить

дополнительное правило отбора, указывающее, что при

V-V

четном субматричный

элемент оператора Т с четным рангом в случае наполовину заполненной подоболочки равняется нулю. Это правило, например, для наполовину заполненной подоболочки ¡=7/2 (т. е. N=4) позволяет не вычислять 40 из 210 необходимых к табулированию субматричных элементов, т. к. эти 40 субматричных элементов все равны нулю по последнему правилу отбора.

* ___ V ^7/

Таблицы субматричных элементов операторов Т для ] < у^

В таблицах 1-6 приведены вычисленные значения субматричных элементов

к ___ ____„г________ ^ ___________________ _____________ _ ^7/

операторов Т для подоболочек j эквивалентных электронов с ] < '/п. и

1 ( ■ \ (1 Л

N - ^+ V . Для почти заполненных подоболочек —(2j +1) < N < 2j +1 достаточно воспользоваться формулой (2.9). V 2

vJ\\Tk

2 л

VJ

Таблица 1

уЗ у' З' т2 т3

0 0 2 2 1 0

2 2 2 2 0 -л/2

л v ■ 51 _ 2 _ V3 51 2 _ 2 Л VI Таблица 2

V/ V ' /' Т Т3 Т 4 Т5

0 0 2 2 0 0 0

2 4 0 0 Л 0

2 2 2 2 5^2 1л/э 9 7>/2 3л/5 1л/2 0

2 4 9 1л/2 7 л/5 -11 7л/3 V 3 • 5 V 2 • 7

2 4 2 4 л/3-11 7 1Л V11-13 7л/2 л/13 л/7

/v Г 5 2 V1- -3 уз И 3 - уЗ Таблица 3

V/ V' /' Т2 Т3 Т 4 Т5

2 2 0 8 7 0 0

Д 2 л/7 0 2^2 л/37" 0

3* 2 0 2 • 5^2 7л/э 0 2л/5 л/3^7

15 2 1! 2 0 1 0 1

3* 2 3 >/7 0 V 5-11 >/ 3 - 7 0

з9 2 39 2 0 V11-13 1л/э 0 л/5 -13 л/3 - 7

ir i IL2 l2 „ „г 712 vj\Tk\ -Il II L 2 _ л VJ Таблица 4 У

vJ v ' J ' T2 T3 T 4 T5 T 6 T7

G G i i 1 V2 G G G G G

i 4 G G 1 G G G

2 6 G G G G 1 V2 G

i i i i 8 7л/3 л/ 5-11 7л/3 2y¡5-11 3 - 7 G G G

i 4 2л/Л i 2л/2 - 5 l л/2 - 5 7л/3-11 л/ 5-13 л/7-11 л/5 л/2-11 G

2 6 G G л/5 -13 3л/2-11 л/57" л/3-11 2y¡5 л/3-11 л/2 -л/3

i 4 i 4 л/ 2 • 3 7л/л 19л/з - 5 7-11 16л/13 7-11 4л/2-3 1W7 2л] 2 - 3 - 5 11 l 11

2 6 л/2-ll л/2 - 7-13 11 2^2 - 5-13 iuí3 л/5-7 11 л/ 2-17 11 2л/з 47 11

2 6 2 6 2>/l3

л/2 -13 л/ 2-13-17 4л/2 47 л/ 2-17 19 л/17-19

л/3-ll 11л/3 3-11 11л/3 11л/3 11л/3

Таблица 5

V/ V' /' т2 т3 т 4 т5 т б т7

2 з3 2 л/ 3 • 7 5л/2 Зл/З -11 142 • 5 0 0 0 0

з5 2 2л/11 5л/7 л/7 >/2-5 1 >/2 • 7 0 0 0

17 2 2л/3 ■\J~5-1 0 2л/ГГ Зл/7 0 0 0

з9 2 0 3>/13 1>/2 л/7-13 3л/2-11 2 • 3 л/ 7-11 4л/3 л/11-13

з11 2 л/7 л/2 11 л/7 л/2-11 л/5 л/2 - 7-11 3л/3 л/ 2 • 5 • 7

2 2л/3 л/ 7-13 2л/Т7 л/ 3 • 5 • 7

2 з5 2 13 2•5л/2 э>/э 2у]2 - 5-11 17 2 ■ 3>/24Т 5л/3 -13 2-Пл/2 0 0

17 2 л/ 2 11 л/з~5 0 2л/2 Зл/ТГ 0 л/2 - 5 л/3-11 0 0

з9 2 л/ 5-13 л/3 • 7-13 ПуЦз 7 • 7л/3 7 7л/з • 5 2-Пл/13

2л/2-3 2-Пл/2 2 • 3 2-11л/2-13 2 -11л/3-13

з11 2 0 л/ 3 • 5 • 7 11л/2 7л/1з з-Пл/2 2л/з • 7 11 4л/5 11 2-17 11л/3 - 5

2 0 0 0 5л/2 • 5 • 7 11л/1з л/ 2 -17 л/11-13 2^2 -17 л/5-11-13

7 V/ И

2 II н

il 2 il 2 1 3 1 1 3 1 1 3 1

з9 2 y¡2 -13 3^¡7 о 2 - 5V2~5 Wl -11 о 1л/2 - 5 3^11-13 о

эй 2 2 о 2V13 Зл/ïï о 4л/2 л/3-11 о

2 о о AS Зл/ÏÏ о 4VÏ7 V ll-13 о

з9 2 з9 2 5 л/7 28b/5 17sÍ57 37 yß 5 - 47л/5 3-11-13J2 7 • ly/ïl 1143л/2

2 • W2-13 2 • 7-1Ь/2 43 2 ■ 3-Пл/Пз 24143л/2 - 7

з11 2 2y[î л/3-11 5s[bH 1b/2 л/57 3 4W2 2л/2 - 3 - 5 - 7 lWÏ3 8j2 • 5 47 1W3 • 7 13 2 - 5л/3^7 1W7 -13

2 о 4¡2 - 5 - t-17

W2 • 3 • 5 lWÎ3 л/ 2 • 3 • 5 • 7-17 л/ 2 • 5-17 19 2 ■ 9^2-il ■19

3-1k/ï3 1113 П13л/7 11-13уЦ

3Ü 2 эй 2 л/1^ 7л/2-ll л/3-13 7 -1 ь/2 бьЯЗ 3 - 7-ll Зл/З -17 1b/7 Л ll л/17-19 11л/3

3— 2 8 l 16л/17 7-11 W5 -17 7-11 W5-17-19 1W7 -13 2^17 -19 nVñ 2у/17 19 п>Яз

3 — 2 з!5 2 3y¡2 ■l 7-19 7>/l1T3

V2-17 7 V 2 • 5 47 49 7>/1Ы3 л/2-17-19 11-13л/7" л/2 • 5-17-19 1зТп л/2-17-19 - 23 13л/зП

vJ\\Tk

4 л

VJ

Таблица 6

V/ V ' / т2 т3 т 4 т5 т 6 т7

2 2 л л 0 0 0 0 0

4 2 0 0 0 0 0 0

2 4 0 0 Л Л 0 0 0

0 0 4 4 0 0 0 0 0 0

4 5 0 0 0 0 0 0

2 6 0 0 0 0 72 Л 0

4 8 0 0 0 0 0 0

2 2 0 4 5-11 7>/з 0 0 0 0

4 2 V 3-11 7 0 4>/5 3 • 7 0 0 0

2 4 0 1У!2 ■ 5 7 0 4 5 -13 4 7-11 0 0

2 2 4 4 4 5 -13 7 0 2^2 -13 7>/з 0 2^2 л/13 0

4 5 0 0 л/7 3 0 л/3 Л 0

2 6 0 0 0 >/5 ■ 7 4з 41 0 л 43

4 8 0 0 0 0 4 2 • 5-17 4 3 • 7-13 0

4 2 4 2 о 8л/3 - 5 1л/П о о о о

2 4 4 l о 17л/2 - 3 - 5 7-11 о 242 - 5 ll о

4 4 о 4 2 -13 l о 4 л/ 7-11 о о

4 5 о 4 Vñ о л/7 л/П о 4л/2 - 5 4 3 - 7-11

2 6 о о 2л/2 - 5-13 3-11 о 4 3 • 5 11 о

4 8 о о о о о 2Л/17 л/ 7-ll

2 4 2 4 о 19л/3 - 5 7-11 о 4л/Т^3 11л/7 о о

4 4 2\ll • 3-13 7л/5 о 5л/5 7л/П о л/2 - 3 л/1113 о

4 5 л/7 о о о л/11 л/7 о

2 6 о л/2 - 7-13 11 о л/5 - 7 11 о 2л/3 -17 ll

4 8 о о л/5 - У-17 11л/3 о 2 - 3л/17 -19 11л/7 -13 о

4 4 4 4 о л/3 7л/5 о 2 41л/2 • 3 13л/7 о 7 - 8 .5 -1.3

4 5 о 2y¡2 л/5 о л/7 л/!з о 2 - 343 - У 5л/У -13

2 6 2л/2 л/5 о л/2 л/3-11 о л/2 - 5-17 л/11-13 о

4 8 о о о 2 - Зл/У-17 13л/П о 42 - 3-17-19 13л/5 - У

4 5 0 л/13 7л/5 0 2л/2 л/7 0 л/17 5л/3

4 5 2 6 >/3 -13 л/5 - 7 0 л/11-13 3л/1 0 0 0

4 8 0 2л/3 - 5-17 7л/П 0 л/ 3-17-19 л/ 7-11-13 0 2л/17 -19 л/ 5-11-13

2 2 6 0 л/243 11л/3 0 4j2 -17 11л/3 0 л/17-19 11л/3

6 4 8 л/ 2 -17 л/ 3 - 7 0 2 л/17 -19 1b/7 0 7л/17 -19 Ы3 -13 0

4 4 8 0 л/2-17-19 0 2>/17 -19 0 л/17 -19 • 23

8 7 л/П 13л/7 13л/ТТ

Заключение

Единичные тензорные операторы fk, определенные в (1.1), представляют полную систему неприводимых тензорных операторов в /-пространстве, что может позволить операторы, соответствующие любым физическим величинам, выразить через них то, что может привести в итоге к упрощению вычисления матричных элементов операторов любых физических величин.

Л и т е р а т у р а

1. Дирак П. А. М. Собрание научных трудов. Том 2. Квантовая теория (научные статьи 1924-1947).

- М., ФИЗМАТЛИТ, 2003. 848 с. - (Классики науки). - ISBN 5-9221-0381-4 (Т. II)

2. Swirles Bertha. The relativistic self-consistent field // Proc.Roy.Soc. London, A.152, - 1935, -P. 625-649.

3. Ralchenko Yu., Draganic I. N., Osin D., Gillaspy J. D., and Reader J. Spectroscopy of diagnostically important magnetic-dipole lines in highly charged 3d" ions of tungsten // Phys.Rev. A.

- 2011. - Vol. 83. No 032517.

4. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol.66, - № 286. - Pp. 1-10.

5. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C.Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3dk ground configurations of highly charged ions (Z=72-83)// At. Data Nucl. Data Tables. - 2018. - Vol. 119, 314.

6. Froese Fisher C., Gaigalas G. and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3dk Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - Pp. 1-34.

7. Hawryluk R., Campbell D., Janeschitz G., Thomas P., Albanese R., Amrosino R., Bachmann C., Baylor L., Becoulet M., Benfatto I. et al., Principal physics developments evaluated in the ITER design review // Nucl. Fusion. - 2009. - Vol. 49. - № 0650129. - Pp. 1-15.

8. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - Pp. 1-17.

9. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - Pp. 1-9.

10. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S. and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017. - Vol. 95. - № 032505. - Pp. 1-9.

11. Safronova M. S., Safronova U. I., and Kozlov M. G. Atomic properties of actinide ions with particle-hole configurations // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 97. - № 012511. - Pp. 1-5.

12. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. - М.: Наука, 1977. - 320 с.

13. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Операторы рождения и уничтожения электронов - двойной неприводимый тензорный оператор // Вестник СВФУ. - 2019. - № 2. - С. 39-50.

14. Юцис А. П., Бандзайтис А. А. Теория момента количества движения в квантовой механике. -Вильнюс: Мокслас, 1977. - 470 с.

15. Racah G. 1942 Phys.Rev. 62, 438-462

16. Racah G. 1943 Phys.Rev. 63, 367-382

17. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Генеалогические коэффициенты в /-представлении // Вестник СВФУ. - 2019. - № 3. - С. 34-42.

R e f e r e n c e s

1. Dirak P. A. M. Sobranie nauchnyh trudov. Tom 2. Kvantovaya teoriya (nauchnye stat'i 1924-1947).

- M., FIZMATLIT, 2003. 848 s. - (Klassiki nauki). - ISBN 5-9221-0381-4 (T. II)

2. Swirles Bertha. The relativistic self-consistent field // Proc.Roy.Soc. London, A.152, - 1935, -P. 625-649.

3. Ralchenko Yu., Draganic I. N., Osin D., Gillaspy J. D., and Reader J. Spectroscopy of diagnostically important magnetic-dipole lines in highly charged 3d" ions of tungsten // Phys.Rev. A. - 2011. - Vol. 83. No 032517.

4. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol.66, - № 286. - Pp. 1-10.

5. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C. Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3dk ground configurations of highly charged ions (Z=72-83)// At. Data Nucl. Data Tables. - 2018. - Vol. 119, 314.

6. Froese Fisher C., Gaigalas G. and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3dk Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017, - Vol. 5. - № 7. - Pp. 1-34.

7. Hawryluk R., Campbell D., Janeschitz G., Thomas P., Albanese R., Amrosino R., Bachmann C., Baylor L., Becoulet M., Benfatto I. et al., Principal physics developments evaluated in the ITER design review // Nucl. Fusion. - 2009. - Vol. 49. - № 0650129. - Pp. 1-15.

8. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - Pp. 1-17.

9. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - Pp. 1-9.

10. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S. and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017.

- Vol. 95. - № 032505. - Pp. 1-9.

11. Safronova M. S., Safronova U. I., and Kozlov M. G. Atomic properties of actinide ions with particle-hole configurations // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 97. - № 012511. - Pp. 1-5.

12. Sobel'man I. I. Vvedenie v teoriyu atomnyh spektrov. - M., Nauka, 1977. - 320 s.

13. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Operatory rozhdeniya i unichtozheniya elektronov - dvojnoj neprivodimyj tenzornyj operator // Vestnik SVFU. - 2019. - № 2. - S. 39-50.

14. YUcis A. P., Bandzajtis A. A. Teoriya momenta kolichestva dvizheniya v kvantovoj mekhanike. -Vil'nyus: Mokslas, 1977. - 470 s.

15. Racah G. 1942 Phys.Rev. 62, 438-462

16. Racah G. 1943 Phys.Rev. 63, 367-382

17. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Genealogicheskie koefficienty v /-predstavlenii // Vestnik SVFU, - 2019.

- № 3. - S. 34-42. 56