Генеалогические коэффициенты в j-представлении Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.1

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев

Генеалогические коэффициенты в ^-представлении

СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия

Аннотация. В статье исследованы генеалогические коэффициенты в /-представлении, обязательном для релятивистского подхода в теории многоэлектронных атомов или многозарядных ионов, электроны в которых являются релятивистскими. В релятивистском приближении Ы-связь сильно нарушается - понятия орбитального и спинового квантового чисел теряют смысл, т. е. становятся плохими квантовыми числами. Метод генеалогических коэффициентов более удобен, чем метод детерминантных функций, хотя и более сложен на первый взгляд. Генеалогические коэффициенты в /-представлении позволяют получать антисимметричные функции состояний любой М-электронной /-подоболочки эквивалентных электронов с любым числом М-р и p электронов в этих подоболочках. Это в принципе позволяет исследовать матричные элементы оператора, затрагивающего любое число электронов (одноэлектронный оператор, двухэлектронный оператор, трехэлектронный оператор и т. д.). Исследование генеалогических коэффициентов ведется в формализме метода неприводимых тензорных операторов с использованием метода вторичного квантования. Получены простые связи между генеалогическими коэффициентами с р-числом отщепленных электронов и субматричными элементами р операторов изменения числа электронов, действующих в двойном пространстве - пространстве углового момента и квазиспина. Работа в двойном пространстве позволяет получать аналитические выражения для генеалогических коэффициентов в случаях подоболочек с двумя и тремя электронами. В случаях большего числа электронов получены простые рекуррентные соотношения между генеалогическими коэффициентами с любым р-числом

КЫЧКИН Иннокентий Саввич - д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: kof_fti@mail.ru

KYCHKIN Innokentij Savvich - Doctor of physic-mathematics, Professor, head of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

СИВЦЕВ Василий Иванович - к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: vi.sivtcev@s-vfu.ru

SIVTSEV Vasilij Ivanovich - Docent of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

отщепленных электронов. Полученные рекуррентные соотношения позволяют находить значения коэффициентов и в сложных случаях, не прибегая к общей процедуре их нахождения. Особо простые рекуррентные соотношения получаются между генеалогическими коэффициентами для частично и почти заполненных j-подоболочек. Простые рекуррентные соотношения получаются также в тех случаях, когда отдельно выделяются числа старшинства.

Ключевые слова: оператор рождения электрона, оператор уничтожения электрона, вторичное квантование, квазиспин, генеалогический коэффициент, '-представление, антисимметричная волновая функция, число старшинства, теорема Вигнера-Эккарта.

DOI 10.25587/SVFU.2019.71.31943

I. S. Kychkin, V. I. Sivtsev

Coefficients of Fractional Parentage in J-Representation

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia

Abstract. The article investigates coefficients of fractional parentage in '-representation, compulsory for the relativistic approach in the theory of multielectron atoms or multiply charged ions, in which the electrons are relativistic. The ¿^-coupling is broken in the relativistic approximation - the concepts of orbital and spin quantum numbers lose their meaning, that is, they become bad quantum numbers. The method of coefficients of fractional parentage is more convenient than the method of determinant functions, although it is more complex at first glance. The coefficients of fractional parentage in the j -representation allow us to obtain antisymmetric functions of the states of any N - electron j - subshell of equivalent electrons with any number of N-p and p electrons in these subshells. In principle, this makes it possible to study the matrix elements of an operator with any number of electrons (one-electron operator, two-electron operator, three-electron operator, etc.). The study of coefficients of fractional parentage is conducted in the formalism of the method of irreducible tensor operators using the method of secondary quantization. Simple relations have been received between coefficients of fractional parentage with p-number of split electrons and submatrix elements of p operators of the change in the number of electrons acting in double space - the space of angular momentum and quasispin. Working in double space allows obtaining analytical expressions for coefficients of fractional parentage in cases of subshells with two and three electrons. In cases of a larger number of electrons, simple recurrent relations between the coefficients of fractional parentage with any p-number of split electrons were obtained. The acquired recurrence relations allow us to find the values of the coefficients even in complex cases without resorting to the general procedure for finding them. Particularly, simple recurrence relations are obtained between the genealogical coefficients for partially and almost filled j-subshell. Simple recurrence relations are also gained in cases where the numbers of precedence are separately distinguished.

Keywords: electron creation operator, electron annihilation operator, secondary quantization, quasispin, '-representation, coefficients of fractional parentage, antisymmetric wave function, seniority number, Wigner-Eckart theorem.

Введение

Наблюдение в естественных и лабораторных условиях высокоионизированных атомов [1-6], представляющих интерес для астрофизики и новейших областей науки и техники, вызывает необходимость совершенствования методов теоретической спектроскопии, изучающей многозарядные ионы. Такие атомы и ионы представляют собой релятивистские системы и их теоретическое исследование требует релятивистского подхода. Дирак разработал квантовомеханическую, релятивистскую теорию одноэлектронного (водо-родоподобного) атома [7, 8]. В дальнейшем были проведены многочисленные теорети-

ческие работы в ¿^-представлении во втором приближении Паули, позволяющем установить общеизвестные операторы возмущений H , H , H , H и др. [9, 10]. В работах такого рода был замечен значительный косвенный (indirect) релятивистский эффект для внешних электронов - ослабление связывания электронов с относительно большими угловыми моментами по сравнению с результатами нерелятивистского рассмотрения из-за более эффективного экранирования заряда ядра электронами с меньшими угловыми моментами, связь которых с ядром при релятивистском рассмотрении получается более сильной. При релятивистском подходе орбитальный и спиновый моменты многоэлектронных атомов становятся несохраняющимися величинами, сохраняется лишь полный момент, что приводит к необходимости работы в/-представлении. В работе [11] оператор Брейта энергии межэлектронного взаимодействия приведен к виду, определяемому через неприводимые тензорные операторы в /-представлении, естественном для релятивистского рассмотрения спектров многоэлектронных атомов и ионов. В работе [12] исследованы релятивистские матричные элементы оператора энергии электростатического взаимодействия в случае одной подоболочки jN эквивалентных электронов.

В этой статье генеалогические коэффициенты, необходимые для построения антисимметричных функций состояний многоэлектронных атомов в /-представлении, исследованы с применением оператора (|j] изменения числа электронов [13], действующего в двух пространствах - квазиспиновом и углового момента. В разделе 1. Генеалогические коэффициенты и вторичное квантование найдена связь между генеалогическими коэффициентами и субматричными элементами операторов изменения числа электронов в двойном пространстве. В разделе 2. Рекуррентные соотношения для генеалогических коэффициентов найдены аналитические выражения для генеалогических коэффициентов подоболочек j2, j3, а также рекуррентные соотношения для генеалогических коэффициентов с любым числом отщепленных электронов.

1. Генеалогические коэффициенты и вторичное квантование

Антисимметричная нормированная релятивистская функция N эквивалентных электронов nlj может быть получена по формуле

\jN aJM) = \jN-pa J jp a J2, JM )(jN-pal J jpa2J2\ jNaJ), (1.1)

где символ с двойной черточкой - генеалогический коэффициент в j-представлении. Здесь

\jN-р a Jv jpa2 J2, JM) =

= EmJ j-' «1JM ) «2 J2M2 )

J1 J2 J

M1 M2 M

(1.2)

- функция связанных моментов N эквивалентных электронов, построенная из антисимметричных нормированных функций М-р и р эквивалентных электронов, но не антисимметричная относительно перестановки электронов между подоболочками из (М-р) и р электронов, а символ в квадратных скобках - коэффициент Клебша-Гордана [9, 14]. Условие ортонормированности функций приводит к необходимости выполнения условия

(4, Га Л )((а Га Л || Г а' ^) = ^ («,«') аз)

Эту же функцию можно получить во вторичном квантовании [13], действуя тензорным произведением N операторов рождения а(', связанным по схеме а О :

а() хх---ха()

)

м

о).

(1.4)

Пользуясь этим и теоремой Вигнера-Эккарта [14] для любого неприводимого тензорного оператора Т:

(а]т\ 1?) 'т') = ((

<к)

У1'

1' к 1 т' q т

(1.5)

где (ocjT^а' j ^ - субматричный элемент оператора Т(^ в '-пространстве, можно получить связь между субматричным элементом тензорного произведения «р» операторов рождения электронов и генеалогическим коэффициентом с «р» числом отщепленных электронов:

■Ы т

] аЗ

= (-1)

(]) Л ("23 Н -Ы-р т а' } ] ) м II

/

Здесь

N(1)р = N (Ы -!) — (Ы - р +1).

(1.6)

(1.7)

Можно показать, что для любого неприводимого тензорного оператора Т^к выполняется соотношение

(((к )||а- у ))) ч'+к (а у 'I|т(к ))

где

Т (к) _ )+ (-1)

к-д

(1.8)

(1.9)

- транспонированный оператор. Используя это, находим связь между субматричным элементом тензорного произведения «р» операторов а уничтожения электронов и генеалогическим коэффициентом с «р» числом отщепленных электронов:

/- ЧЗ

. а ы ) ■

ГаЗ

Jl + J1 - J+Ир

>(1)р [3] ((Га/аЗ).

(1.10)

Если работать в двух пространствах - квазиспиновом и углового момента, т. е. если воспользоваться двойным оператором О*4''1 изменения числа электронов [13], то можно получить связь между двойным субматричным элементом тензорных произведений р двойных операторов изменения электронов и генеалогическим коэффициентом с р отщепленными электронами:

(/аУ||/ у,Га2У2) = (-1)

р(+1)

>(1)р [ У ]

aQJ

а2 —J2 2 2

J1

(/аУ||/+> У Га2 У2 ) = (-1)

а 2 Q

|_ма 2 мв

р(р-1 1

(1.11)

^ (1)р[е, у ]

«0У

2у Iр

а2 —У2 2 2

а01 У1

Ql Р. 2 Q

- р 2

(1.12)

2. Рекуррентные соотношения для генеалогических коэффициентов

Полученные в предыдущем вопросе формулы, связывающие генеалогические коэффициенты с субматричными элементами тензорных произведений любого числа операторов рождения (или уничтожения) электронов а^^ (а^^ или изменения числа электронов а('>, позволяют в формализме вторичного квантования [13] получать различные соотношения для генеалогических коэффициентов с любым числом отщепленных электронов. Так, в случаях подоболочек ] с двумя и тремя эквивалентными электронами (N=2, 3) можно получить алгебраические выражения для генеалогических коэффициентов:

((, ^2 ) =

1+(-1)

(2.1)

(( Л, у||у3 ) = с (J0 J J0 )5(М0 0 J)

(1+(-1)

+

1+(-1)

где

С (Л У ) = ■

и ] А

У А Л,

Ф

(2.2)

Iз+6щ{ ] Л

(2.3)

и У У0

I а Ь с I

Здесь < ^ - 6j - коэффициент [14], J - параметр, удовлетворяющий условию

^ е /

треугольника 3 (У0У), Ф - фаза, которую можно установить для фиксированного значения / Например, для ] = ^ при у, = 2

1

х

X

Ф = (-1)"+2,

(2.4)

где V число старшинства [3]. Формула (2.2) справедлива для ] <—. Символ

где V - число старшинс

[У0, У, ] = (2 У0 +1)(2 У, + 1).

Генеалогические коэффициенты с двумя отщепленными электронами могут быть определены через генеалогические коэффициенты с одним отщепленным электроном:

((4, у2/2||/а) = Х(-1Г+2^ |^ Л *

Здесь

1, при N >(2 ] +1)/2

Ъ (N) = '

0, при N <(2] +1)/2

(2.5)

(2.6)

Для генеалогических коэффициентов с любым числом р отщепленных электронов могут быть получены следующие рекуррентные соотношения, связывающие генеалогические коэффициенты для частично или почти заполненных подоболочек или генеалогические коэффициенты с любым числом электронов, отличающимся от числа старшинства V на четное число:

(Ч/1, jpа2/2 /а3 ) = (-1)

а+31 -12 + р( р+N)+N+-

У-У1 + р 2

(+р) 1)р 3 ]

N(1)р

, Г а2 /21| Г+Ч /1),

(2.7)

((|/-Ч Л, Г а2 J2 ) = М (М, N, р, V, V!)(J1, ]*аЦ2), (2.8)

где

м ((, N, р, V, у1 ) = .

I V *

т(1)р

N

1(2] +1 + р - N - V,) !!( - V) |!!(Nv -V! -р)!!(2] +1 -Nv -V)

1(2] +1 + р - ^ - V! )!!(Nv - V)!!((- V! - р)!!(2] +1 - N - V) ИГ

(2.9)

р(Р+1)

= (-1) 2 +рМм(м,N,р,V,VIjPa2J2),

(2.10)

*

п ( + 2Х - уЩ + 4 - 2х - уЩ + 2х - 2),„ :

И*=од ( + 2 X - у'-1)( + 5 - 2 X - у 'Щ + 2 хЩ 11 >

'{( + 2 х - у'-1) ,4/ + 5 - 2 х - у Щ + 2 х) В этих соотношениях введены следующие обозначения:

(2.11)

N = 2 j +1 - N,

= N ( - !)•••(( - р +1),

аЗ = ауЗ. (2.12)

Приведенных формул достаточно для вычисления генеалогических коэффициентов в /-представлении, т. е. для получения антисимметричных функций N эквивалентных электронов через антисимметричные функции меньшего числа электронов.

Формулы, полученные в данной статье, позволяют сделать вычисление необходимых генеалогических коэффициентов даже на лист бумаги, не прибегая к сложным программам и компьютерам. ^ 7""

Так, функция состояния VI = 22 четырех электронов в подоболочке } быть разложена двумя способами - или через состояния двух электронов:

2,

может

22

V2/

1 ' } 2у/3

3 7

—/^2,3)- ——т=- 3,2) + —= 3,3)

П II 1 / 7^/3 Т./11 1 /

л/13

7>/п1

2л/34Г У 2л/34Т

или через состояния трех и одного электронов:

Ч3,4 )-^1|4,3)-^ |4,4), Г ' 2л/3-1Г ' 3^111 '

(2.13)

г7у ^ 22 V 21

3

л/П

V).

2^2 • 3 • Г 7 21 7

В (2.13) введены следующие обозначения двухэлектронных состояний:

1) =

00

а в (2.14):

V2)

1' ) =

|2) =

V2)

22

( 7 V 12 )

3-. 2

7

V 2 )

22

|2') =

24

V2)

•14 ) =

.2 /

26

(2.14)

(2.15)

( 7 V

V 2 )

4

7

V 2 )

22

*

2

7 Y

2 J

1-. 2'

V 2 J

22

) =

( 7 Y

V 2 J

3-. 2

V 2 J

22

|5') =

Г7Л3

11 Г 7Л

V 2 У

3 — 2

,22

V 2 у

(2.16)

Заключение

Полученные аналитические и рекуррентные соотношения для генеалогических коэффициентов с любым числом отщепленных электронов в '-представлении позволяют выразить антисимметричные функции состояний многоэлектронных атомов и ионов с одной подоболочкой эквивалентных электронов через более простые функции систем с меньшим числом электронов, что может позволить получить выражения для матричных элементов операторов физических величин через матричные элементы операторов для систем с меньшим числом электронов.

Л и т е р а т у р а

1. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - pp. 1-17.

2. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol. 66, - № 286. - pp. 1-10.

3. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S., and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017.

- Vol. 95. - № 032505. - pp. 1-9.

4. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - pp. 1-9.

5. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C.Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3dk ground configurations of highly charged ions (Z=72-83) // At. Data Nucl. Data Tables. - 2018. - Vol. 119, 314.

6. Froese Fisher C., Gaigalas G., and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3 dk Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - pp. 1-34.

7. Дирак П. А. М. Собрание научных трудов. Т. 2. Квантовая теория (научные статьи 1924-1947), М., ФИЗМАТЛИТ, 2003. 848 с. - (Классики науки) - ISBN 5-9221-0381-4 (Т. II)

8. Берестецкий В. Б., Лифшиц Б. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория: ч.1. - М.: Наука, 1968, - 480 с.

9. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. - М.: Физматгиз, 1963. - М.: Книга по требованию, 2013. - 642 с.

10. Юцис А. П., Савукинас А. Ю. Математические основы теории атома. - Вильнюс: Минтис, 1973.

- 480 с.

11. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Оператор Брейта энергии межэлектронного взаимодействия // Успехи современной науки. - 2017. - Т. 7. - № 3. - С. 56-61.

12. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Релятивистские матричные элементы оператора энергии электростатического взаимодействия в случае одной подоболчки эквивалентных электронов // Вестник СВФУ. - 2018. - № 6. - С. 86-93.

13. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Операторы рождения и уничтожения электронов - двойной неприводимый тензорный оператор // Вестник СВФУ. - 2019. - № 2. - C. 39-50.

14. Юцис А. П., Бандзайтис А. А. Теория момента количества движения в квантовой механике. -Вильнюс: Мокслас, 1977. - 470 с.

R e f e r e n c e s

1. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - pp. 1-17.

2. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol. 66, - № 286. - pp. 1-10.

3. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S., and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017.

- Vol. 95. - № 032505. - pp. 1-9.

4. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - pp. 1-9.

5. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C.Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3dk ground configurations of highly charged ions (Z=72-83) // At. Data Nucl. Data Tables. - 2018. - Vol. 119, 314.

6. Froese Fisher C., Gaigalas G., and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3dk Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - pp. 1-34.

7. Dirak P. A. M. Sobranie nauchnyh trudov. T. 2. Kvantovaya teoriya (nauchnye stat'i 1924-1947), M., FIZMATLIT, 2003. 848 s. - (Klassiki nauki) - ISBN 5-9221-0381-4 (T. II)

8. Beresteckij V. B., Lifshic B. M., Pitaevskij L. P. Relyativistskaya kvantovaya teoriya: ch.1. - M.: Nauka, 1968, - 480 s.

9. Sobel'man I. I. Vvedenie v teoriyu atomnyh spektrov. - M.: Fizmatgiz, 1963. - M.: Kniga po trebovaniyu, 2013. - 642 s.

10. YUcis A. P., Savukinas A. YU. Matematicheskie osnovy teorii atoma. - Vil'nyus: Mintis, 1973. - 480 s.

11. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Operator Brejta energii mezhelektronnogo vzaimodejstviya // Uspekhi sovremennoj nauki. - 2017. - T. 7. - № 3. - S. 56-61.

12. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Relyativistskie matrichnye elementy operatora energii elektrostatiches-kogo vzaimodejstviya v sluchae odnoj podobolchki ekvivalentnyh elektronov // Vestnik SVFU. - 2018.

- № 6. - S. 86-93.

13. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Operatory rozhdeniya i unichtozheniya elektronov - dvojnoj neprivodimyj tenzornyj operator // Vestnik SVFU. - 2019. - № 2. - C. 39-50.

14. YUcis A. P., Bandzajtis A. A. Teoriya momenta kolichestva dvizheniya v kvantovoj mekhanike. -Vil'nyus: Mokslas, 1977. - 470 s.