Двухэлектронный скалярный в j-пространстве единичный оператор Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.1

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев

Двухэлектронный скалярный в ^—пространстве единичный оператор

СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия

Аннотация. Из единичных в /-пространстве тензорных операторов ранга ^ образованных

из операторов рождения и уничтожения электронов, составлены двухэлектронные скалярные

в /-пространстве операторы. Они образуют полную систему скалярных в /-пространстве

простейших операторов. Это дает возможность выразить через них любые сложные скалярные

в /-пространстве операторы. Получены общие формулы для матричных элементов этих

гркк о , ;11

двухэлектронных скалярных в /-пространстве операторов Т в случае подоболочки У

эквивалентных электронов. Из этих общих формул получены более простые алгебраические

формулы в разных частных случаях. Получены рекуррентные соотношения для матричных

гркк 0 „

элементов операторов Т . Показано, что получение этих соотношений проще, если

воспользоваться формализмом квазиспина. Показано, что рассмотрение матричных элементов

Гkk о тг

значительно упрощается, если воспользоваться операторами Казимира

для унитарной и (2у +1) и симплектической Sp (2] +1) групп. В этом случае появляется

возможность выразить матричные элементы операторов Ткк0 через числа старшинства V,

что максимально упрощает полученные формулы для матричных элементов операторов Тк0.

Например, матричные элементы операторов Ткк0 с нечетными рангами k от числа электронов

N не зависят.

Ключевые слова: единичный тензорный оператор, двухэлектронный скалярный оператор, оператор рождения электрона, оператор уничтожения электрона, вторичное квантование,

КЫЧКИН Иннокентий Саввич - д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: kof_fti@mail.ru

KYCHKIN Innokentij Savvich - Doctor of physic-mathematics, Professor, head of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University.

СИВЦЕВ Василий Иванович - к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры общей и экспериментальной физики ФТИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: vi.sivtcev@s-vfu.ru

SIVTSEV Vasilij Ivanovich - Docent of the Department of General and experimental physics Institute of physics and technology, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.

оператор Казимира, /-представление, антисимметричная волновая функция, число старшинства, высокозарядные ионы.

DOI 10.25587/SVFU.2019.74.44567

I. S. Kychkin, V. I. Sivtsev

Scalar Two-Electron Single Operator in J-Space

M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia

Abstract. Scalar two-electron operators in /-space are composed of the single tensor operators in /-space of k rank formed from the operators of electron creation and annihilation. They form a complete system of simplest scalar operators in /-space. This makes it possible to express by them any complex scalar operators in /-space. General formulas are obtained for the matrix elements of these scalar two-electron operators T in /-space in the case of a subshell of j equivalent electrons. Simpler algebraic formulas are derived in different special cases from these general formulas. Recurrent relations for matrix elements of operators T are obtained. It is shown that obtaining these relations is most easier if we use the quasispin formalism. It is shown that the consideration of the matrix elements of T operators is greatly simplified if we use Casimir operators for unitary U(2j+1) and symplectic Sp(2j+1) groups. In this case, it is possible to express the matrix elements of T operators through the precedence numbers v , which simplifies the obtained formulas for the matrix elements of Tk0 operators. For example, the matrix elements of T operators with odd k ranks do not depend on the number of electrons N.

Keywords: single tensor operator, scalar two-electron operator, electron creation operator, electron annihilation operator, secondary quantization, quasispin, Casimir operators, /-representation, antisymmetric wave function, seniority number, highly charged ions.

Введение

Теоретические и экспериментальные исследования высокозарядных ионов в связи с достижениями в области астрофизики и ускорительной техники становятся в последние десятилетия все более углубленными и насыщенными [1-9]. Высокозарядные ионы, а также многоэлектронные атомы являются релятивистскими системами, в которых квантовое число l орбитального момента становится плохим и возникает необходимость ведения теоретических исследований в /-представлении. В [10] оператор Брейта, т. е. оператор взаимодействия электронов в приближении - матрицы второго порядка был выражен через неприводимые тензорные операторы в виде, удобном для исследований в /-представлении. В [11] единичные тензорные операторы 1к, представляющие полную систему операторов в /-пространстве, были выражены через операторы рождения и уничтожения электронов, которые могут быть определены как один оператор изменения числа электронов в квазиспиновом пространстве [12]. В данной статье рассмотрен простейший скалярный в /-пространстве неприводимый

„ гт^кк0 „ -т-.

тензорный оператор т , затрагивающий одновременно электронную пару. В разделе «Двухэлектронный скалярный оператор Ткк0» получены матричные элементы оператора Ткк0 в случае подоболочки j эквивалентных электронов. В разделе. «Рекуррентные соотношения для субматричных элементов оператора Ткк0», используя формализм

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев. ДВУХЭЛЕКТРОННЫЙ СКАЛЯРНЫЙ В /-ПРОСТРАНСТВЕ ЕДИНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР

квазиспина, мы получили различные рекуррентные соотношения для матричных элементов

гркк 0

операторов Т , значительно упрощающие вычисления этих матричных элементов. В разделе «Оператор Ткк0 и операторы Казимира» методами теории групп получены простые формулы для матричных элементов оператора 1 для фиксированных значений рангов k.

1. Двухэлектронный скалярный оператор Ткк 0

Из единичного в/-пространстве тензорного оператора ^ ранга k [11]

Гк =-

— Г а^

( ) х а °

(к)

(1.1)

можно составить двухэлектронные скалярные в/-пространстве операторы:

<кк0 _ Лк ¡к\

тк' = £ (• ')) = 2(• Т)-2• '))

] 2 2 ]

представляющие в /-пространстве полную систему скалярных операторов и поэтому достаточные для представления через них любых скалярных операторов, какими

(1.2)

(1.3)

являются, например, операторы энергий взаимодействия электронов. Здесь а

1')

(1)

- оператор рождения (уничтожения) электрона в состоянии и суммирование ведется по всем электронам подоболочки, а оператор Тк затрагивает состояния всех электронов исследуемой системы [11]:

т = 1 /.

(1.4)

Субматричный элемент оператора ТИ0 выражается через субматричные элементы оператора Тк [1]:

°||ГаJ') = 2 -!= ")х

х((а" J"|\тк\\/а^ Из (1.5) в частных случаях можно получить простые алгебраические формулы:

* ( - ОУЙ

(/О/Цт 0001|/V J J ')-

((( 110|| 1 ) = 5(а,а))ЦЗ]

((2 7+1<

Т

кк 0

2 [/] 1 (1 +1)

л

/'+1о ) = -1,

- N

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

((2 У2| У1 ]2 у ) = -/[У]

} } У2 ] к.

(1.9)

2. Рекуррентные соотношения для субматричных элементов оператора Ткк 0

Для субматричного элемента (1.5) оператора Ткк0 можно получить правила отбора по числу старшинства V :

V' = V при k нечетном,

v' = v,v± 2, V ± 4 при k четном. Это следует из соотношения [11]:

(2.1)

(( а Т^к 0 /V J') Q' к Q К 0 М1

((( 0 J') ' Q' к Q ■ М1 0 М1

(2.2)

где в коэффициентах Клебша-Гордана Q и М„ - квазиспин и его проекция [12]:

1 ( 2 У +1

-V I, Мп = -I N -

2 У +1

^2 ^ 2

Величина ранга К определяется из четности ранга k :

к - четно ^ К = 1,

к - нечетно ^ К = 0.

(2.3)

Можно установить рекуррентные соотношения для субматричных элементов оператора

гркк 0

А. Пусть ранг k нечетен:

k - нечетно. В этом случае справедливо равенство:

(2.5)

№

((ауЗ ||т*01| ]ма УЗ) = ((ауз\гкк01 /а УЗ) + 8(а,а%м2 - N)Ш. (2.6)

1J

В. В случае четного k :

k - четно,

(2.7)

квантовое число старшинства у' при заданном V может принимать значения у,у ± 2, V ± 4 и для V' = ±2, ± 4 имеем:

(( ауЦт® 0|| 2 3)

((ау3\гш0|| ]Пга V ± 23)

= ±

'' 2] + \-2Ы1 Л 2 j +1 - 2 N.

2 У

-у)(2у +1 -N2-у)

|(( + 2-у)(2j + 3-N-V) у 2

|(( + 2-у)(2у + 3 -N2 -у)'

(2.8)

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев. ДВУХЭЛЕКТРОННЫй СКАЛЯРНЫЙ В /-ПРОСТРАНСТВЕ ЕДИНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР

(( ау3\\тш 0|| ]ыа\± 4 3) ((ау^ 0|| ]ща\± 4 3)

( -у)(( -у-2 )(2 j +1 - N-у)(2 j -1 - N-у) ]1(М2-у)(-у-2 )(2 j +1 - Н2-у)(2 j -1 - N2-у)

+ 2-у)(( + 4-у)(2 j + 3 - N1 -у) j + 5 - N1 -у) 1(2 + 2-у)( + 4-у)(2 ' + 3 - N2-у)( j + 5 - N2 -у)

(2.9)

у' =у + 4,

у' = у- 4.

2 j +1 2 j +1

Здесь знак минус относится к случаю N1 > —-—, N2 ^ —-—, или наоборот.

В случае одинаковых V и у' у =у) промежуточное квантовое число старшинства

у'' принимает значения V— 2, v,v + 2, и в этом случае субматричный элемент (1.5)

Гкк о ~

, диагональный по числу старшинства, лучше представить в виде суммы четырех членов:

(favJ\ткк01 jNa ) = (Т(к,Ыу-2)) + (т(к,+

-(Т (, N ,у + 2)) + (Т (к, N)). (2.10)

+

Здесь

Т(к, N, V") = ^ (-1))-7' (||тк ||]яа "V")")

2^[7] а"7•

х((а V" J"|\гк\^а 'vJ), (Г (к, N ) =

(2.11)

(2.12)

Для первых трех членов в (2.10) можно получить простые рекуррентные соотношения:

(Г (к, Щ,у- 2)) (( + 2-у)( + 3 - N -у)

(г(к,н2,у-2)) (n2 + 2-у)( + 3-n2 -у)"

{Г(к,М1,у)) ( 2] +1 -2Щ V (Г(к,М2,у))~{2] +1 -2N2у '

(Г(,N,у + 2) ^(-уКу + г^-у^

(Г (, Н2,у + 2)) (М2 -V) (2] +1 - N2 -V),

(2.13)

(2.14)

(2.15)

которые справедливы для любых , Ы2.

3. Оператор Ткк0 и операторы Казимира

Функция состояния подоболочки N эквивалентных электронов У [12]

) = aQJMQM),

■ы

(3.1)

где квантовые числа квазиспина и его проекции Q и Ы0 определены формулой (2.3), преобразуется по антисимметричному представлению 2 унитарной группы и (2 j +1) и представлению (а1,а2,...ам^ симплектической группы Sp(2j +1), являющейся подгруппой группы и (2 ] +1), т. е.

яат ) = / ]аУМ).

(3.2)

Здесь в - дополнительные квантовые числа, необходимые для различения повторяющихся термов [^, если такие есть. В представлении симплектической группы о таковы, что [13-15]:

1 >а2 >->0,

N

Ъ7i =у.

(3.3)

(3.4)

1=1

Таким образом, представления групп и(2j +1) и Sp(2у +1), т. е. ] и [ст] однозначно определяются через число электронов N и число старшинства V и поэтому они характеризуют состояния подоболочки эквивалентных электронов, т. е. функцию состояния (3.2) можно представить в виде:

У

= ]стЛм) = | jNavJM).

(3.5)

По теории групп инфинитезимальными операторами групп и(2] +1) и Бр(2] +1)

^ k -1 являются все 2/ +1 единичные тензорные операторы t и / +— единичные операторы

^ с нечетными рангами, соответственно. Операторы Казимира для групп и (2j +1) и Sp (2j +1) могут быть определены через тензорные операторы Тк [4]:

2 ;

G (и (2;+1)) = £[к ]((. Т),

к=0

G((2у +1)) = 2 X Т).

(3.6)

Собственные значения операторов Казимира в случае подоболочки j эквивалентных электронов можно выразить через число электронов N момент j и число старшинства V :

G(и(2] +1)) = (]Ма/\X2=0[к]( • Т))а'/) = 5(а,а')[N[]]-N(М-1)], (3.7)

( \ G(Sр(2] +1))= jNaJ 2 ^ [к](тк • Тк)]ыа<J = 8(а,а%2у( + 1)-у(у- 1)]. (3.8)

у к -нечет у

Используя собственные значения операторов Казимира, можно установить правила сумм

для матричных элементов оператора Т :

с 2 } Л

Га £[к ]Ткк 0 г а J

V к=0 У

(3.9)

к -нечет

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев. ДВУХЭЛЕКТРОННЫй СКАЛЯРНЫЙ В /-ПРОСТРАНСТВЕ ЕДИНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР

jNaJ

X [к]Ткк0

Га' J

13(а,а')[2у(( + 1)-у(у- 1)-2 N ( +1)], (3.10)

г 2 ;-1 \

Га £ [к]Ткк0 Га J

V к=0.чет у

= 15(а,а')[2 N (2 - N)-2у(у + 1)+у(У- 1) + 2 jN ]. (3.11)

Для рангов k = 0,1 без конкретизации моментау имеем:

N

У ]

J (+1)

(((Т0 • Т0)|/а'3)6(а,а'), (( (Г1 ■ Г1 )|/а' J ) = )) 6(а,а%

(3.12)

(3.13)

Для больших рангов к > 2 моменты у уже надо конкретизировать. Например, в случае 3

7 = — имеем: 2

-V \ г п

а' У =8(а,а') - N (4 - + 2 ■ 3) , (3.14)

л-3-, -

2

аУ

(г2 ■ т2)

" 3" N аУ (Т3 • Т3) " 3" N Л а' У = 8 (а,а')

_ 2 _ V / _ 2 _

V

а в случае момента 7 =

4 4 '2 ■ 5

у(у-6) У (У +1)

2 • 7

5 • 7

(3.15)

aJ (т2-Т2) а (т3 • Т3)

aJ (4 • Т4)

(Т5 ■ Т5)

N ^

а J

= 8 (а,а')

/

N Л

а J

= 8 (а,а')

N(6 - N) у(У-8) J(J +1) 3 - 4 7 - 8 2 - 5 - 7

5 • 5у(У-8) 13 J ( +1)

7 • 8 • 9

2 • 5 • 7 • 9

N \

а J

= 8 (а,а')

2

aJ

N \

а J

N(6 - N) 23у(у-8) J ( +1) 3 • 4 7 • 8 • 9 2 • 7 • 9

у(у-8) J(J +1)

= 8(а,а')

2 ■ 7 ■ 9

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(3.19)

Эти соотношения справедливы для любого числа N электронов, т. е. подоболочки эквивалентных электронов могут быть заполнены как частично, так и почти. Видно, что матричные элементы скалярных произведений операторов Тк с нечетными рангами к от числа электронов N не зависят, как и должно быть [11]. Аналогично можно рассмотреть и случаи больших моментов у.

Заключение

В приближении S-матрицы 2-го порядка взаимодействия между электронами являются парными, что дает возможность выразить операторы энергии любых парных

гкк 0

взаимодействий между электронами через операторы Т , матричные элементы

к-нечет

2

2

2

2

которых в /-представлении, естественном для релятивистского подхода, исследованы в данной статье. И это может упростить исследование релятивистских взаимодействий в многозарядных ионах (многоэлектронных атомах).

Л и т е р а т у р а

1. Ralchenko Yu., Draganic I. N., Osin D., Gillaspy J. D., and Reader J. Spectroscopy of diagnostically important magnetic-dipole lines in highly charged 3d" ions of tungsten // Phys.Rev. A.

- 2011. - Vol. 83. - No 032517.

2. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol. 66. - № 286. - Pp. 1-10.

3. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C.Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3dk ground configurations of highly charged ions (Z=72-83) // At. Data Nucl. Data Tables. - 2018. - Vol. 119, 314.

4. Froese Fisher C., Gaigalas G., and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3dk Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - Pp. 1-34.

5. Hawryluk R., Campbell D., Janeschitz G., Thomas P., Albanese R., Amrosino R., Bachmann C., Baylor L., Becoulet M., Benfatto I. et al., Principal physics developments evaluated in the ITER design review // Nucl. Fusion. - 2009. - vol. 49. - № 0650129. - Pp. 1-15.

6. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - Pp. 1-17.

7. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites //Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - Pp. 1-9.

8. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S., and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017.

- Vol. 95. - № 032505. - Pp. 1-9.

9. Safronova M. S., Safronova U. I., and Kozlov M. G. Atomic properties of actinide ions with particle-hole configurations // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 97. - № 012511. - Pp. 1-5.

10. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Оператор Брейта энергии межэлектронного взаимодействия // Успехи современной науки. - 2017. - Т. 7. - № 3. - С. 56-61.

11. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Единичный тензорный оператор в /-представлении // Вестник СВФУ. - 2019. - № 5. - С. 44-56.

12. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Операторы рождения и уничтожения электронов - двойной неприводимый тензорный оператор // Вестник СВФУ. - 2019. - № 2. - С. 39-50.

13. Каплан И. Г. Симметрия многоэлектронных систем. - М.: Наука, 1969. - 407 с.

14. Бейман Б. Ф. Лекции по применению теории групп в ядерной спектроскопии. - М.: Физматгиз, 1961. - 228 с.

15. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. - М.: Мир, 1966. - 587 с.

R e f e r e n c e s

1. Ralchenko Yu., Draganic I. N., Osin D., Gillaspy J. D., and Reader J. Spectroscopy of diagnostically important magnetic-dipole lines in highly charged 3d" ions of tungsten // Phys.Rev. A. - 2011.

- Vol. 83. - No 032517.

2. Osin D., Gillaspy J. D., Reader J. and Ralchenko Yu. EUV magnetic-dipole lines from highly-charged high-Z ions with an open 3d shell // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol. 66. - № 286. - Pp. 1-10.

3. Zhao Z. L., Wang K., Li S., Si R., Chen C.Y., Chen Z. B., Yan J., and Ralchenko Yu. Multi-configuration Dirac-Hartree-Fock calculations of forbidden transitions within the 3dk ground configurations of highly charged ions (Z=72-83) // At. Data Nucl. Data Tables. - 2018. - Vol. 119, 314.

4. Froese Fisher C., Gaigalas G., and Jonsson P. Core Effects on Transition Energies for 3dk Configurations in Tungsten Ions // Atoms. - 2017. - Vol. 5. - № 7. - Pp. 1-34.

5. Hawryluk R., Campbell D., Janeschitz G., Thomas P., Albanese R., Amrosino R., Bachmann C., Baylor

И. С. Кычкин, В. И. Сивцев. ДВУХЭЛЕКТРОННЫй СКАЛЯРНЫЙ В J-ПРОСТРАНСТВЕ ЕДИНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР

L., Becoulet M., Benfatto I. et al., Principal physics developments evaluated in the ITER design review // Nucl. Fusion. - 2009. - vol. 49. - № 0650129. - Pp. 1-15.

6. Arvanitaki A., Huang J., and Van Tilburg K. Searching for dilaton dark matter with atomic clocks // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 91. - № 015015. - Pp. 1-17.

7. Roberts B. M., Blewitt G., Dailey C., Pospelov M., Rollings A., Sherman J., Williams W., and Derevianko A. Search for domain wall dark matter with atomic clocks on board global positioning system satellites // Nat. Commun. - 2017. - Vol. 8. - № 1195. - Pp. 1-9.

8. Ficek F., Kimball D. F. J., Kozlov M. G., Leefer N., Pustelny S., and Budker D. Constraints on exotic spin-dependent interactions between electrons from helium fine-structure spectroscopy // Phys. Rev. A. - 2017. - Vol. 95. - № 032505. - Pp. 1-9.

9. Safronova M. S., Safronova U. I., and Kozlov M. G. Atomic properties of actinide ions with particle-hole configurations // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 97. - № 012511. - Pp. 1-5.

10. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Operator Brejta energii mezhelektronnogo vzaimodejstviya // Uspekhi sovremennoj nauki. - 2017. - T. 7. - № 3. - S. 56-61.

11. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Edinichnyj tenzornyj operator v j'-predstavlenii // Vestnik SVFU. - 2019. - № 5. - S. 44-56.

12. Kychkin I. S., Sivcev V. I. Operatory rozhdeniya i unichtozheniya elektronov - dvojnoj neprivodimyj tenzornyj operator // Vestnik SVFU. - 2019. - № 2. - S. 39-50.

13. Kaplan I. G. Simmetriya mnogoelektronnyh sistem. - M.: Nauka, 1969. - 407 s.

14. Bejman B. F. Lekcii po primeneniyu teorii grupp v yadernoj spektroskopii. - M.: Fizmatgiz, 1961. -228 s.

15. Hamermesh M. Teoriya grupp i ee primenenie k fizicheskim problemam. - M.: Mir, 1966. - 587 s.

^Hir^r