CC BY
12
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 1.
УДК 517.955.8 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-50-68
Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для уравнения типа Шредингера при наличии сильной точки поворота у предельного оператора1
А. Г. Елисеев, П.В. Кириченко
Елисеев Александр Георгиевич — доктор физико-математических наук, доцент, Национальный исследовательский университет «МЭИ» (г. Москва). e-mail: yeliseevag@mpei.ru
Кириченко Павел Владимирович — Национальный исследовательский университет «МЭИ», (г. Москва). e-mail: kirichenkopvQmpei. ru
Аннотация
В предложенной работе выполнено построение регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной неоднородной смешанной задачи на полуоси, возникающей при квазиклассическом переходе в уравнении Шредингера в координатном представлении. Выбранный в работе профиль потенциальной энергии приводит к особенности в спектре предельного оператора в виде сильной точки поворота. Опираясь на идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильным спектром С.А. Ломова и А.Г. Елисеева, указано каким образом и из каких соображений следует вводить регуляризирующие функции и дополнительные регуляризирующие операторы, подробно описан формализм метода регуляризации для поставленной задачи, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотической решение любого порядка по малому параметру.
Ключевые слова: сингулярно возмущенная задача, асимптотическое решение, метод регуляризации, точка поворота.
Библиография: 20 названий. Для цитирования:
А. Г. Елисеев, П.В. Кириченко. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для уравнения типа Шредингера при наличии сильной точки поворота у предельного оператора // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 1, с. 50-68.
1 Результаты Елисеева А. Г. были получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект Р8ШР-2023-0012).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 1.
UDC 517.955.8 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-50-68
Regularized asymptotics of the solution of a singularly perturbed mixed problem on the semiaxis for an equation of Schrodinger type in the presence of a strong turning point for the limit operator
A. G. Eliseev, P. V. Kirichenko
Eliseev Alexander Georgievich — doctor of physical and mathematical science, associate professor, National Research University "Moscow Power Engineering Institute" (Moscow). e-mail: yeliseevag@mpei.ru
Kirichenko Pavel Vladimirovich ^National Research University "Moscow Power Engineering
Institute" (Moscow).
e-mail: kirichenkopvQmpei. ru
Abstract
In the proposed work we construct a regularized asymptotics for the solution of a singularly perturbed inhomogeneous mixed problem on the half-axis arising from a semiclassical transition in the Schrodinger equation in the coordinate representation. The potential energy profile chosen in the paper leads to a singularity in the spectrum of the limit operator in the form strong the turning point. Based on the ideas of asymptotic integration of problems with an unstable spectrum by S.A. Lomov and A.G. Eliseev, it is indicated how and from what considerations regularizing functions and additional regularizing operators should be introduced, the formalism of the regularization method for the problem posed is described in detail, and justification of this algorithm and an asymptotic solution of any order with respect to a small parameter is constructed.
Keywords: singularly perturbed problem, asymptotic solution, regularization method, turning point.
Bibliography: 20 titles. For citation:
A. G. Eliseev, P. V. Kirichenko, 2023, "Regularized asymptotics of the solution of a singularly perturbed mixed problem on the semiaxis for an equation of Schrodinger type in the presence of a strong turning point for the limit operator" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 1, pp. 50-68.
1. Введение
В настоящее время различным методам асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач посвящено огромное количество работ, их столь много, что полного обзора в статье ограниченного объема привести не представляется возможным. Отсылаем читателя к монографиям [1, 2], где приведены подробные библиографии по существующим подходам в теории сингулярных возмущений и сделан обзор о современном состоянии метода регуляризации С.А. Ломова, основные принципы которого по признанию самого автора в монографии [3] были заложены в конце пятидесятых, начале шестидесятых годов прошлого века в цикле работ [4]-[7]. Основная проблема, с которой сталкивается исследователь при применении последнего метода, связана с поиском и описанием так называемых регуляризирующих функций, которые содержат в себе все сингулярности решаемой задачи, выделяя которые, можно
оставшуюся часть решения искать в виде степенных рядов по малому параметру. Развитие метода регуляризации привело к пониманию того, что этот поиск тесно связан со спектральными характеристиками предельного оператора. В частности, установлено, каким образом следует описывать сингулярную зависимость асимптотического решения от малого параметра при выполнении условий стабильности спектра (см. [3], Глава 2, §1). При нарушении условий стабильности все обстоит значительно сложнее. Более того, до сих пор нет законченной математической теории для сингулярно возмущенных задач с нестабильным спектром, хотя с общематематических позиций их стали изучать порядка 50 лет назад. Особый интерес среди таких задач вызывают те, в которых спектральные особенности выражены в виде точечной нестабильности (см., например, [8]-[10]). В работах посвященных сингулярно возмущенным задачам некоторая часть особенностей такого вида названа точками поворота и проведена их кл ассификация:
1) простая точка, поворота, — собственные значения предельного оператора изолированы друг от друга и одно собственное значение в отдельных точках обращается в нуль;
2) слабая точка, поворота, — хотя бы пара собственных значений пересекаются в отдельных точках, но при этом предельный оператор сохраняет диагональную структуру вплоть до точек пересечения, а базис из собственных векторов сохраняет гладкость;
3) сильная точка, поворота, — хотя бы пара собственных значений пересекаются в отдельных точках, но при этом предельный оператор меняет диагональную структуру на жорданову в точках пересечения, а базис собственных векторов теряет гладкость.
Приведем здесь ссылки на несколько последних исследований в рамках метода регуляризации сингулярно возмущенных задач с особенностями в спектре предельного оператора указанного вида: по простой точке поворота см. работы [9, 11, 12], по слабой точке поворота — [13, 14, 15], сильной точке поворота посвящена статья [16].
Типичными физическими примерами сингулярно возмущенных задач являются уравнение Навье-Стокса с малой вязкостью и уравнение Шредингера, если постоянную Планка К считать малой величиной 2. Формальный предельный переход К ^ 0 в соотношениях квантовой теории осуществляет переход от квантовой к классической механике (см., например,[17], §6), поэтому в тех случаях, когда целесообразно искать приближенные (по малому К) решения уравнения Шредингера, говорят о квазиклассическом приближении (см.[17], Гл. 7). Описанный квазиклассический переход в нестационарном уравнении Шредингера в координатном представлении на полуоси с гамильтонианом Й(р, х) = р2 + х порождает сингулярно возмущенную задачу, асимптотическому интегрированию которой посвящена настоящая работа. Следует сразу отметить, что рассматриваемая нами задача содержит неоднородное уравнение, что, как станет ясно в основном тексте статьи, существенно усложняет процесс построения регуляризованного асимптотического ряда. Несмотря на то что физических квантовомеха-нических явлений, описываемых неоднородным уравнением Шредингера, нам при изучении обширной литературы обнаружить не удалось, считаем целесообразным поставить и решать предложенную более общую задачу, потому как, во-первых, более общее всегда можно свести к частному, а, во-вторых, представленные нами построения могут быть легко обобщены на, например, задачи для уравнений параболического типа, где неоднородные уравнения уже имеют вполне конкретный физический смысл.
Во многом наши исследования по асимптотическому интегрированию смешанной задачи для нестационарного и неоднородного уравнения Шредингера с обозначенным выше гамильтонианом при К ^ 0 представляют собой развитие идей работы [16], где рассмотрена задача Коши для параболического уравнения с сильной точкой поворота. В дальнейшем везде в ра-
2 Строго говоря, постоянная Планка К является размерной величиной и имеет вполне конкретное значение, и утверждение о малости К следует понимать в том смысле, что всегда можно выделить безразмерную
К
К
боте будем использовать обозначение е вместо Н, что является более естественным в теории сингулярных возмущений.
2. Постановка задачи
Рассмотрим смешанную задачу на полуоси для нестационарного уравнения Шредингера (е = Я) с неоднородностью к(х,
ди 2д2 и 1 , . _
ге—+е — хи = п(х, ¿), 0 <х< 0 <1 т
д д х2
и(х, 0) = /(х), и(0, $=№), ^(0) = /(0), 0 ^ х < 0 ^¿^Т,
где выполнены условия:
1) V к Н(к)(х, *) е Ьг^С ~(0, +то) х [0, Т];
2) V к ¡(к) (х) еЬгС)С~ (0, +то) х [0, Т];
3) ф(Ь) интегрируема по Риману на[0,Т].
Для наглядного представления о виде спектральной особенности в поставленной задаче следует перейти к матричной форме записи:
£д1(и) = (х у-(и)— - (1 0)(;;) + (у •
здесь введена замена е • ди/дх = V. Тогда матрица предельного оператора имеет вид:
01
01 х 0
А(х) = .
х 0
А( х)
ственных векторов при х = 0, а в точке пересечения собственных значений (т.е при х = 0) соответствующий ей предельный оператор меняет диагональную структуру на жорданову и
х
сификации, такая спектральная особенность представляет собой сильную точку поворота.
В общем случае регуляризирующие функции необходимо строить, опираясь на каноническую форму предельного оператора, к которой можно привести с помощью гладких преобразований (см.,например, работу [18]), и соответствующий базис из собственных векторов, но в предложенной задаче оператор уже имеет каноническую форму и в соответствующих построениях нет необходимости. Более того, необходимо произвести регуляризацию правой части Н(х, £) (это связано с тем, что предельный оператор с матрицей А(х) в точке х = 0 необратим)
х = 0
3. Формализм метода регуляризации
3.1. Регуляризирующая функция и дополнительные регуляризирующие операторы
Регуляризирующую функцию задачи (1) будем искать в стандартной форме решений линейных однородных уравнений такие сингулярности были выделены ещё Ж. Ли-увиллем в [19]. Итак, осуществляя подстановку и(х, ¿) = v(х, ¿) • е-г^(ж'*)/е в соответствующее
42 \ . ( дv д2(р о д(р дv\¡ 2д2V
^ (дх) ^ V + ^ [л дх2 V дх дх^ + £' дх2 0 ^ ^
Анализ последнего выражения позволяет утверждать, что для поиска ь(х,Ь) в виде регулярного ряда по е нужно в качестве р(х, ¿) взять решение следующей задачи:
I - (1Г = х. «х.0) = 0. (3)
Выбор начального условия для р(х, ¿) обусловлен нежеланием того, чтобы в дальнейшем начальное условие для ь(х, ¿) содержадо сингулярную зависимость от е. Кроме того, при таком выборе начальное условие на у(х, ¿) наследует начальное условие задачи (1).
Задача (3) представляет собой задачу для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, решать которую будем методом характеристик (см.[20], Гл. 5, §4, с. 268-272). Обозначив р = дц>/Ы и д = др/дх, получим следующую характеристическую систему для уравнения задачи (3):
М йх йр йд йр ,
Т = —2д = ~0 = Т = р- 2д2 = ^ (4)
Н.У.: £ = 0, х = в, р = 0, д = 0, р = в.
ного условия задачи (3).
Интегрируя систему (4), получаем искомую поверхность в параметрическом виде:
2 2 3
£ = г, х = —г + в, р = в г — -г .
3
Тогда окончательно для функции р(х, ¿) в явном виде имеем:
2
(х + *)
р(х, *)=* -(х + - ). (5)
Дополнительный регуляризирующий сингулярный оператор, связанный с точечной необратимостью предельного оператора А(х), строится с помощью фундаментального решения задачи (1) на всей прямой, которое можно получить методом интегрального преобразования Фурье для однородного уравнения с дельта-функцией в начальном условии (см. Приложение 1). Выпишем здесь только окончательный результат:
1 — ^ ( И, + 12Л , . (¿2 — (х — о)2
-ехп--Р +--+ 1. --—
(—! (р+т)+•.
Построение указанного регуляризирующего оператора тесно связано с решением исходной задачи (1) при —те < х < те с правой частью Н(х, ¿) = г-е и однородным начальным условием. Обозначим это решение а(х, ¿) и, опираясь на фундаментальное решение (6), будем иметь:
t оо 4
а(х, $ = ф(х — ^ — г) = 21—=£1 ■ ехр ( — )•
0 -о 0
со 2
■/«■"» (• ^-с — р —^) +' ).
Для упрощения дальнейших вычислений обозначим внутренний интеграл по р через 1о, а
£ — т = а. После замены 8 = х — £ отдельно для 1о получим
те
[ 1 а , а2 ч .(8 — а2)2 \
/0 = ] <8 — у) =
— те
те
/ —г а3 \ [ , / г ав г в2 \
= еХП18 ' еХ\~2Т + 4еа).
-те
Теперь выделим в показателе экспоненты подынтегрального выражения полный квадрат
газ гз2 г , 2 2 4 4Л г ,, ч2 4Л г(в + а2)2 га3 ^Т + + 2^ + а —а4) = —((, + а)2 — а4) = ( )
2е 4е а 4е а 4е а 4е а 4е
и, сделав замену г = (в + а2)/(2л/ёа), выписываем результат для 10:
/ —>1 а3 \
10=ехр I —г)
'еа йг ■ егх2.
Получившийся интеграл вычислен в Приложении 1, его значение равно л/ж/2(1 + г). Возвращаясь к исходным обозначения, для искомого а(х, ¿) будем иметь:
I
лтЬ •ехр (—) •ех" (- •2
0
г
■/¡(1+.) = /«,■ ехр ( - (х + <Ь.1>!)).
Полученный результат позволяет определить тот самый дополнительный регуляризиру-ющий оператор а(х,Ь, £)(■), основная задача которого — вложить правую часть уравнения задачи (1) в образ предельного оператора, в следующем виде:
ь
г ф(хЛ — т)'
сг( 1 — ' ' — '
К • ) = / йт(• )ехр(
где функция <р(х, ¿) определена в (5). При этом действие этого оператора на функцию /(¿) запишется как свертка:
*(/(*)) = /<т. /(г), ехр ( — (х )) =
о
= /(*) * ехр( — (х + |)).
А основным свойством, которое устанавливается непосредственной подстановкой, является следующее:
д д2
Ьеа(/(г)) = ге/(г), где Ь = ге— + е2^^^ — х. (7)
Очевидно также, что это свойство является прямым следствием того, из каких соображений была найдена функция а(х, ¿), порождающая дополнительный регуляризирующий оператор <г(-), т-б- того факта, что Ьеа(х, ¿) = ге.
Осталось выделить сингулярную зависимость от е, описывающую пограничный слой при х = 0. В основе построения соответствующего сингулярного оператора лежит решение исходной задачи для однородного уравнения с однородным начальным условием, где в качестве граничного условия выбрана функция "единичного скачка" (функция Хевисайда) 9(1). Указанное решение х(х, может быть получено с помощью преобразования Лапласа или интегрального преобразования Фурье (последняя возможность реализована в Приложении 2) и имеет вид:
, , 1 -г Г , / ,--х \ )3+т--)и_т__^)2 ^
о
Последнее соотношение позволяет ввести по аналогии с оператором а(х,Ь, £)(■) регуляри-зирующий оператор Х(хе)(-) в следующем виде:
I
х() = ш;1Лт <4 ^+
К«)3 + К«--) (+ _ 2 )2 31 1 4Г~ (*~т- Т—Т)
(í - т)3/2 )
о
( )
^ /(Т)' + (ГЖ2 )
х(т) = У йг. г(г). (+ х . ^. +^(*-'-^)2 ^
2\[2ке} ' V V - т)3/2,
^"):(И+£ (-33+1 о - х )'))■
Последний результат приведём к более простому виду, сделав замену г = хI - т)^ .
После несложных преобразований получим:
т+т-г2 (а)
\ 4Ь/ \ ЮЬ ~Z^ J
В таком виде нетрудно явным вычислением установить основные свойства введенного дополнительного сингулярного оператора:
ЬеХ,(!®) = о, (V) =/(¿) (10)
Опять же эти свойства становятся очевидными, если учесть из каких соображений был построен оператор Х(х,Ъ, £)(')■
3.2. Построение регуляризованного асимптотического ряда
Построенные в предыдущем разделе регуляризирующая функция е-г(р/е и дополнительные регуляризирующие операторы а(х,Ь, е)(-), Х(хе)(0 позволяют рассчитывать, что оставшу-
решение исходной задачи (1), поясняет последнюю фразу:
тете те
и(х,1, е) = £ук(х, в* + £ [а(гк(¿)) + Х(Ук(Щ • ек + (х, I) • ^, (11)
к=0 к=-1 к=0
х
здесь начало суммирования с к = -1 во втором ряде обусловлено свойством (7) и необходимостью регуляризации правой части Н(х, ¿) задачи (1) на нулевом шаге по е.
Учитывая соотношения (2) и свойства построенных операторов (7), (10), подставим (11) в задачу (1). При этом получим:
те
е—^ г ^
V к=0
к=0
тете
+г
к=0 ) к=0
Vкек+г + ^ ¿¿ек+2 — 2И £ v'kek+Ч + г 1 • е*+
• £к+1 + £к+2 -х^Шк-£к = Н(х, 1),
к=0
к=0 оо
к=0
vk(х, 0) • £к + ^ ЗД(х, 0) • £к = /(х), к=0 к=0
те те / .
е—и3/(зе) (0,*). ^ + ^ ( / йт -гк(т)- е—г—т)3/(3е) ) • ек+ к=0 к=—1у0 '
тете
+ ^ ук(*)• ^ + (0, *)• ^ = ^),
(12)
к= — 1
к=0
здесь vk = vk (х, ¿), = шк (х, ¿), а ^ = ^ (¿), ук = точкой обозначена частная
производная по времени, штрихом — частная производная по координате.
Выделив в (12) группы слагаемых при регуляризирующей функции и без нее, приходим к серии итерационных задач:
ггк—г(Ь) + шк—г(х, ¿) + шк—2(х, ¿) — х • шк(х, ¿) = 5к • к(х, Ь), ггйк(х, ¿) + Vк—1(х, ¿) — 2г(х, ¿) = 0, vk(х, 0) + шк(х, 0) = /(х),
e—u3/(3£)vk—l(0,1) + !йт • гк—г(т) • е—*—г)3/(3е) +
0 _
I + ук—1(г)+шк—1(0, к = 0, то.
(13)
Отметим, что при отрицательных индексах у функций vk(х, ¿) и шк(х, ¿) их необходимо считать равными нулю (этих слагаемых просто нет в ряде (11))-
к = 0
г х—1(1) —х-ш0(х, ¿) = к(х, ¿), ггй0(х, ¿) — 2г№0(х, £ ) = 0, vо(х, 0) + шо(х, 0) = /(х),
J йт • г—г(т) • е—*—т)3/(3£) + У— г(*) = 0.
(14)
Для разрешимости первого уравнения из системы (14) достаточно положить
г—г(г) = —гк(0, ¿).
Тогда для Шо(х, ¿) получим гладкое решение:
Шо(х, ¿) =
к(х, £ ) — Я(0, г)
х
(15)
что в свою очередь приводит к задаче Коши для определения функции Vо(х, ¿):
дvо дvо . . к(х, 0) — к(0,0)
ИГ — "ех = 0, Vо(х,0) =-х-+ /(х).
Последняя задача легко решается обычными методами интегрирования линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:
/ \ „ 2ч h(x +t2,0) - h(0,0) vo(x, t) = f(x + t2) + h-x +- ( , ) • (17)
Выражение для z-i(t) в (15) и граничное условие в системе (14) позволяют выписать соотношение для y-i(t):
/i(t-T )3
dT •e--• h(0, г). (18)
о
Здесь отметим, что функция zo(t) и уо(t) на нулевом шаге не определяются, выражения для них будут получены на следующем итерационном шаге. Этот факт не позволяет нам пока выписать главный член асимптотики.
Переходим теперь к задаче с к = 1 в (13):
iz0(t) + iùj0(x, t) — x • w1(x, t) = 0, iVi(x, t) + Vo(x, t) — 2itv'1 (x, t) = 0, vi(x, 0)+wi(x, 0) = 0,
it3 f .(t-T )3
e-& •vo(0, t) + dr •го(г)^ е-^^ + yo(t)+wo(0, t)=^(t). о
Подставляя wo(x, t) из (16) в первое уравнение этой системы, убеждаемся, что для его разрешимости нужно положить
zo(t) = —г hi(0, t), где hi(x, t ) = ) (20)
Тогда аналогично предыдущему итерационному шагу для Ш1(х, ¿) также получим гладкое решение
кх{х, í) - г)
Шх(х, Ц =-,
- х
а для У\(х, ¿) из (20) — задачу Коши для квазилинейного неоднородного уравнения в частных производных первого порядка:
^ - 2* = Л(х + I2), 0) = 0) - 0),
Оь Ох х
здесь введено обозначение:
Ь(х + =г■v0(х, 1) = г^ ( /(х + + ^-х + - V
Выпишем здесь только окончательное решение последней задачи, опуская подробности:
, , ^ НАх + г2,0) - Ы0,0)
V1 (х, *) = *-Д(х + 12) + ^-' - 11 ' ;
х + I2
Осталось подставить шо(х, ¿) из (16), Vo(х, ¿) из (17) и го(£) из (20) в граничное условии системы (19), что приводит к возможности определить уо(Ь). Будем иметь
2 h(t2, 0) — h(0,0)\ fh(x, t ) — h(0, i)'
yo(t) = m — e-^ • f (t2) + v ' ' +
) + (<
+
2 x
t x=o (21)
f i(t-T )3
+i dr • e 3s • h1(0, t).
o
3
Ещё раз обратим внимание читателя на то, что полностью определить все слагаемые перед е1 в ряде (11) удастся только на следующем итерационном шаге — осталось найти х^) и у 1(1 ). Последнее можно сделать, рассмотрев условия разрешимости первого уравнения в системе к = 2
г^) = - г ^(0,$,
( Н(х, г) - к(0, г )\
V х )
а функция к1(х, Ь) определена в (20).
Продолжая по аналогии описанный процесс для к = 2, 3,... в (13), можно найти все члены ряда (11). В конце данного раздела, опираясь на (15), (16), (17), (18), (20) и (21), выпишем главный член асимптотики:
.(х, I, £) = -(& (г-1(*)) + Х (У-Ш) + &Ы*)) + Х(Уо(*)) + е. щ(х, ^ + ^(х, I)
' ч те Ь-х2/(Аех2)
)...... ^
- г ! йт • к(0, т) • е о
-гЩ х+
+ (1 + г)Х/ -
1^1 йТ{
йг
х/(2у/ё1) 0
1 х3 \
г х г х
• б 768г426 8г2г2
к(0, т)
+ йт
к(х, т) - ¡г(0, т)
х
_ те
+(1 - ЧII ^ Ь + Ш?)
С 768г426 8г2г2
+1Х2
х=0 22
ф(Ь - х2/(4ег2)) - е--з£т
(ф - )2)
+
Ц (г - х2/(4е х2 ))2,0) - к(0,0)\ к{х,1 - - 0,1 -
х
ТТ-хх2/(4е г2))2
Ь-х2/(Ае г2)
+
йт ■ е
- — (г-х2/(4"2)--)3 К(х, т) - к(0, т)
х
х=0.
х=0
+
+ -
и(х + 4 2/з)
' 2 К(х + Ь 2, 0) - к(0,0^ Н(х, г) - Ь(0, í ) } (х + £ ) \
х + 2
х
Для практического использования можно учесть полученную в лемме 1 оценку (см. Приложение 3). Тогда формула главного члена упрощается:
1 / 2 \ 1
Г ,( 4--)(х + ( 4--)2/3) Г К (--)3 / х \
- ] йт • Н(0, т) • е-1-1-+ J йт • е--3£— • Н(0, т) • 1ег& ^=^
00
+
+!йт•
0
к(х, т) - к(0, т)
х
-г ^ х+
+
х=0
+
т - е-«з. (/«») + ьт-*^ . 0 - »«>■<
+
- J йт • е
0
---)3 к(х, т) - к(0, т)
х
х=0Л
• ( -.— | \2VEJ
х=0 +
+ ?)+ Ы* + (2-0 - ь(0'0)) - + 01^
х \ ь / х \ х
().
6
3
£
4. Оценка остаточного члена
Пусть члены ряда (11) определены в результате решения итерационных задач (13) для 0 ^ к ^ п + 1. Запишем соотношение для остатка:
п п п
и(х, г, е) = е-^£ vk(х, *) ■ ^ + £ (а(^(*)) + х(Ук(*))) • ек + £ Шк(х, I) ■ ^+
к=0 к=-1 к=0 ' +еп+1 -Вт (х,г, е).
Подставим (22) в задачу (1). Учитывая решения итерационных задач и сокращая на £п+1, для остаточного члена получим задачу:
. ОВп 2д 2 Вп г> ТТ1 л- \
г£1дГ + е ~дхп -х'Вп = -Н(х,^£), (23)
Вп(х, 0, е)=0, Вп(0,г, е) = 0,
где Н(х, г, е) = е-<р(х>ь)/е ■ <(х, $ ■ £ + х ■ Шп+1(х, ¿) + £ ■ ш'Щх, ^ри х > 0, 0 < г < Т. Доопределим эту функцию тождественным нулём при х ^ 0. Тогда, используя фундаментальное решение (6), для Вп(х,1, е) в (23) получим:
Вп = - ^^^ ^^ ^н «, ,.
О -те
Выделив во внутреннем интеграле полный квадрат в показателе экспоненты, сделаем замену
е-х + а - г)_га - г)3
у V е .
Тогда последнее выражение для остаточного члена перепишется в виде:
I те
Вп = [ (1т ■ е-^(х-(т,) [ йу ■ е^2 ■ Н(у, т, е).
£л/2ж У У о
Теперь, учитывая условия 1) и 2) в постановке задачи (1) и тот факт, что итерационные задачи решены вплоть до шага к = п + 1, легко построить оценку по модулю для остатка:
I те
1 с с Т ■ М С
\Вп\ = —г йт^ йу^ Н (у ,Т, е) <-= = — для (х, ¿) е (Я х [0, Т ]).
) ) £ ■ у^ е
£ ■ \/Ж £
О -те
Осталось представить остаточный член в виде:
Вп = ип+1 + £ ■ Вп+1,
Тогда окончательно получим
С
\Вп\ < \ип+1\ +£■ С.
Тем самым доказана следующая
Теорема 1. Об оценке остатка (асимптотическая сходимость).
Пусть дана смешанная задача, (1) и выполнены, условия 1), 2). Тогда, верна оценка,
i(x, t, £) - е-^)/е £ Vk(Х, t). £k - £ Zk(t)) + ^yk(t))^ . £J
n
J>k (Х, t) • £h
k=0
к=-1 < С- еп+\
к=0 С (К(+) х[0,Т])
где С ^ 0 — константа, не зависящая от, е, а Ук(х, Ь), гк(£), ук{Ъ),Шк(х, Ь) получены из решения итерационных задач, при 0 ^ к ^ п + 1.
5. Приложение 1
Поставим задачу для поиска фундаментального решения задачи (1):
ди 2д2и , . .
ге— + е — x • и = 0, и(х, 0) = o(x — x0). dt дх2
Для решения этой задачи применим метод интегрального преобразования Фурье. Будем пред-
и( x, )
своими частными производными достаточно быстро стремится к нулю при x ^ ±œ>. Также предположим, что интеграл для образа Фурье искомого решения U(X, t) можно дифференцировать по переменным i и А под знаком интеграла. В пространстве образов получим следующую задачу Коши:
i £dU — i •dU = £2 • А2 •U, U (А, 0) = e-i Xx°. (24)
Задача (24) - задача для квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, интегрирование которой проводится обычными методами. Опуская достаточно громоздкие выкладки, выпишем здесь только её решение:
U (А, t) = exp(^ — г etX2 — г(х0 + t2)A — ix0 t/e — г t3/(3e)j.
Теперь, используя формулу обратного преобразования Фурье, для оригинала будем иметь:
оо
u(x, t) = — I dX^U(X, t) • eiXx = 2n J
-о
2 о
= -1 exp ^ — i ^(x° + ^ J dX • exP (iX(x — x0 — t2) — ietX2^
-о
Для вычисления получившегося интеграла выделим полный квадрат в показателе экспоненты
и сделаем замену:
" +2 _
~ 2et
В результате получим:
>2 о
Ma + Чй^ )
u(x, t) = -^exp ( — i ÎOS+f/H +t У2 — (x — ^ 2 )iiz.- И.
2irVët V £ 4et ' J
Оставшийся интеграл может быть легко вычислен различными способами (например, методами теории вычетов) или сведён к известным значениям для интегралов Френеля
те те _
/ cosí dt = / siní dt = л/^/8. Окончательно для фундаментального решения будем иметь: 0 0
1 -г ( .tí t2 \ .(t2 - (х -хо))2 \
и(х, t) = —. exp — г-(х0 +--+ г----— ,
( , ) 2^ е\ 0 3 J 4et ¡,
что с точностью до переобозначений совпадает с (6).
6. Приложение 2
Поставим задачу для поиска решения х(х, ¿)> позволяющее выписывать интегральное соотношение для решения однородного уравнения задачи (1) с произвольным граничным условием ф(£). Имеем:
0и о 2 и
г е— + е 2—т -х-и = 0, и(х, 0) = 0, и(0, г) = в(г), от ох2
здесь в граничном условии стоит функция Хевисайда и при Ь > 0 в(Ь) = 1. Доопределим неизвестную функцию и(х, ¿) при х < 0 тождественным нулём и при аналогичных Приложению 1 предположениях перейдём к задаче Коши в пространстве образов Фурье:
ор ор
{= е2-^2-^ + гР(А, 0) = 0, (25)
оь о А
где введено обозначение
те
—г Хх
F (Л, t) = ¡dх-е-0.
и(
0
Запишем характеристическую систему для квазилинейного уравнения в задаче (25):
(И (1А (Ш
ге —г е2 ■ А2 ■ Р + ге2А' Система первых интегралов для нее имеет вид:
А + - = СЬ
/те
dq-q • = С2.
х
Теперь уже несложно, учитывая начальное условие в (25), получить решение исходной задачи в пространстве образов:
Х+1/е
2 ( „2(\Ъ_„Ъ\
F (Л, t) = е2 J dq-q • е^3"
Х
Замена переменной А — q = (в — ¿)/е в последнем интеграле приведёт к более удобному в дальнейшем соотношению:
Р (А, ¿)=е I <18- (\ + ^^ ■ ехр ( —г( ~ 5)3 — г е(1 — в) (а2 + А ^^
Осталось осуществить обратное преобразование Фурье, что в итоге позволит получить решение интересующей нас задачи. Будем иметь:
те
1 Х х
и(х, ¿) = — I ^А-Р(А, *) ■ е}Хх = 2ж )
-те те ь
£ J йА ! йв- (а + - ^ ехр ^ —г( — ^--г е(г — в) (^А2 + А ^^ ^ + гАх^ .
= 27т I ¿А I (18 - [А + ^^ ) ехр ( — --г — «) ( А2 + А^^ ) + гАх
-те 0
Поменяем порядок интегрирования в получившемся повторном интеграле и выделим во внут-А
1 ( х \
а = А +--1 — 8--.
Р 2е \ г —8]
После описанных преобразований получим:
е [ ( ^ — 8 )3 ^ — 8 )
Ф. 0 = ^ /л ■ ехР ^ — ^ (<—.— ^)2)
0
те
■ J dа■ (^а + 2" — 8 + ^ ■ ехр (—«Ф — «)а2).
(26)
—
0( х, — )
те те
1о(х,г — 8 ) = у ^ ■ а ■е+ ^ (£ — в + ^^ ■ у Ф ■ е.
-те -те
В силу того, что в обратном преобразовании Фурье интеграл понимается в смысле главного
значения, первое слагаемое в последнем соотношении равно нулю из-за нечетности подынте-
" те _ 2 ,-
гральной функции. А второе слагаемое легко свести к интегралу / е г йг = у к/2 ■ (1 — г),
-те
0
1 Гж 1 —
2еУ 2 VVl' " ' (* — э)3/2,
Подставляя полученное выражение в (26), будем иметь:
т , . 1 рк 1 — %( /- х \
0
Осталось учесть известное свойство интегралов Фурье о сходимости в точке разрыва к полусумме левого и правого пределов разлагаемой в этот интеграл функции. Учитывая этот факт,
х = 0, = 0 ( (0 — 0) + (0 + 0))/2 = 1/2
и( х, )
ем требуется 1. Поэтому последнее соотношение необходимо умножить на два. Окончательно получаем (х(х, ¿) = 2 ■ и(х, ¿)):
х(х= / л + (Г—Ы ■ехр (—^'Г1 — ТЛ (У),
0
что с точностью до переобозначения переменной интегрирования совпадает с (8).
7. Приложение 3
Лемма 1. Для соотношения (9), описывающего действие оператора %(•) на функцию f (Ь), справедлива оценка,
х(№) = №■ —=
х/(2^ЁЪ)
( -1)
йх-егх + О ( ) при х е [5, +то), где 5> 0, í е [0, Т]
Если для функции —= /ж
йг ■ егг ввести обозначение 1ег& ( —= | ,
\2VrtJ
х/(2у[ёъ)
то можно последнее соотношение переписать в виде
х(т~, = т^ () + О (—X) •
Доказательство. Отметим, что
х/(2^ЁЪ)
( X2 \ ( X3 \ ¿х6 ¿х3
Ш) [1+у^)е-^ =
= ло- } Л-} Л-
х/(2^еЛ) х/(2^еЪ)
Л'- ш) - ™
егг +
+
х/(2\ГеЛ)
+ ! - 5?) (1 + 4:.?)
/
1+16е2 г4) 1
г +
■ 6 -3 __г х___г х
в 768£426 8£2г2 — 1
х/(2у/Ш)
Оценим три последних слагаемых, учитывая неравенство 0 ^ -—к ^Т. Будем иметь при
4ех2
х е [5, +гс>), 6 > 0 :
те
1. I dZ^
f^t- ¿)-/ ю
(Д() -f (0)) -5 ¡¿„¡л
е 4е«
х
+от=
2• ""- )
(1 + Ш? >- 1
те
У Лг^Н
^ = I ¡Х?) «Й?^ =
х
16 е 2
те
у
2V^
х
-и,
|<-2 = о(—Ь> 0 X е [«, +«>);
О-(1 + 16х3?)
_Х_
^ О ——
б 768£426 8£222 — 1
= f(0)(1 + ик)(е~г( 13+Й) - ^ ^ег4x2 + О(Х2)= *> 0, X е [5, +«>).
(—1) ■
2
2
2
3
гх6 гх3
2
Складывая все три оценки, получим
«ДМНеА (^) + О (f).
Тем самым лемма доказана. □
8. Заключение
Как уже было отмечено во введение, основной проблемой метода регуляризации С.А. Ломова является поиск регуляризирующих функций. В случае спектральных особенностей у предельного оператора выделение сингулярной зависимости решения от малого параметра достаточно трудная задача. В предложенной работе для смешанной задачи на полуоси для неоднородного уравнения Шредингера со спектральной особенностью в виде сильной точки поворота регуляризация, как выяснилось, состоит из трёх частей: 1) описание пограничного слоя обусловленного точкой t = 0; 2) выделение сингуляркостей, связанных с точечной необратимостью предельного оператора; 3) описание пограничного слоя обусловленного точкой х = 0. В основном тексте статьи описанные проблемы успешно разрешены путем введения регуляризирующей функции и двух дополнительных сингулярных операторов. Тем самым основные трудности метода регуляризации для поставленной задачи успешно преодолены, что подтверждается результатами наших исследований. Продолжением этих исследований является обобщение предложенного в статье подхода для построения асимптотического ряда на другие задачи математической физики с подобного рода спектральными особенностями у предельного оператора.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные уравнения и метод регуляризации: учебное пособие. — М.: Издательский дом МЭИ, 2012.
2. Ломов С. А., Ломов И. С. Основы математической теории пограничного слоя. — М.: Изд-во Московского университета, 2011.
3. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981.
4. Ломов С. А. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр // Тр. МЭИ, 1962, Вып. 42, С. 99-144.
5. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с малым параметром // Докл. АН СССР, 1963, Том 148, № 3, С. 516-519.
6. Ломов С. А. О модельном уравнении Лайтхилла // Сб. науч. трудов МО СССР, 1964, № 54, С. 74-83.
7. Ломов С. А. Регуляризация сингулярных возмущений // Докл. научно-техн. конф. МЭИ, секция матем. М., 1965, С. 129-133.
8. Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Регуляризации и асимптотические решения для сингулярно возмущенных задач с точечными особенностями спектра предельного оператора // Укр. мат. журн., 1984, Т. 36, № 2, С. 172-180.
9. Елисеев А. Г., Ломов С. А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора // Математический сборник, 1986, Т. 131, № 173, С. 544557.
10. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Регуляризованная асимптотика решений интегродиф-ференциальных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрами // Уфимский математический журнал, 2018, Т. 10, № 2, С. 3-12.
11. Елисеев А. Г., Ратникова Т.А. Сингулярно возмущенная задача Коши при наличии рациональной «простой» точки поворота. // Дифф. урав. и процессы управл., 2019, № 3, С. 63-73.
12. Елисеев А. Г. Регуляризованное решение сингулярно возмущенной задачи Коши при наличии иррациональной «простой» точки поворота // Дифф. урав. и процессы управл., 2020, № 2, С. 15-32.
13. Кириченко П. В. Сингулярно возмущенная задача Коши для параболического уравнения при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора // Математические заметки СВФУ, 2020, № 3, С. 3-15.
14. Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной задача Коши при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора // Дифф. урав. и процессы управл., 2020, № 1, с. 55-67.
15. Елисеев А. Г., Кириченко П. В. Сингулярно возмущенная задача Коши при наличии "слабой "точки поворота первого порядка у предельного оператора с кратным спектром // Дифференциальные уравнения, 2022, Т. 58, № 6, С. 733-746.
16. Елисеев А. Г. Пример решения сингулярно возмущенной задачи Коши для параболического уравнения при наличии «сильной» точки поворота // Дифф. урав. и процессы управл., 2022, № 3, с. 46-58.
17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики, Т. 3, Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2008.
18. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров // УМН, 1971, т. 26, № 2(158), С. 101— 114.
19. Liouville, J. Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramétre variable // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1837, p. 16-35.
20. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
REFERENCES
1. Bobodzhanov A.A., Safonov V. F. 2012, "Course of higher mathematics. Singularly perturbed equations and the regularization method: a study guide" [Kurs vysshev matematiki. Singulvarno vozmushchennyve uravneniva i metod regulvarizatsii: uchebnove posobive], Moscow: National Research University MPEI. (In Russ.)
2. Lomov S.A., Lomov I. S. 2011, "Fundamentals of the mathematical theory of the boundary layer" fOsnovv matematicheskov teorii pogranichnogo slova], Moscow: Moscow State University. (In Russ.)
3. Lomov S. A. 1992, "Introduction to the General Theory of Singular Perturbations (Translations of Mathematical Monographs)", New York: Amer. Math. Soc.
4. Lomov S.A. 1962, "Asymptotic behavior of solutions to second-order ordinary differential equations containing a small parameter" [Asimptoticheskove povedenive resheniv obvkno-vennvkh differentsial'nykh uravneniv vtorogo porvadka, soderzhashchikh malvv parametr], Moscow: Trudi MPEI, issue 42, P. 99-144. (In Russ.)
5. Lomov S. A. 1963, "Power series boundary layer in problems involving a small parameter", Sov. Math. Dokl, issue 4, P. 125-129.
6. Lomov S.A. 1964, "On the Lighthill Model Equation" [O model'nom uravnenii Lavtkhilla], Sb. nauch. trudov MO SSSR, No 54, P. 74-83. (In Russ.)
7. Lomov S.A. 1965, "Regularization of singular perturbations" [Regulvarizatsiva singulvarnvkh vozmushcheniv], Moscow: Dokl. nauchno-tekhn. konf. MPEI, sektsiya matem., P. 129-133. (In Russ.)
8. Lomov S.A., Safonov V. F. 1984, "Regularizations and asymptotic solutions for singularly perturbed problems with point singularities of the spectrum of the limit operator" [Regulvari-zatsii i asimptoticheskive resheniva diva singulvarno vozmushchennvkh zadach s tochechnvmi osobennostvami spektra predel'nogo operatora], Ukr. mat. zhurn., Vol. 36, No 2, P. 172-180. (In Russ.)
9. Eliseev A.G., Lomov S.A. 1988, "The theory of singular perturbations in the case of spectral singularities of a limit operator", Math. USSR-Sb., Vol. 59, No 2, P. 541-555.
10. Bobodzhanov A. A., Safonov V. F. 2018, "Regularized asvmptotics of solutions to integro-differential partial differential equations with rapidly varying kernels", Ufa Math. ,J., Vol. 10, No 2, P. 3-13.
11. Eliseev A.G., Ratnikova T. A. 2019, "Singularly perturbed cauchv problem in the presence of the rational simple pivot point of the limit operator", Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia, No 3, P. 63-73.
12. Eliseev A.G. 2020, "Regularized solution of a singularly perturbed cauchv problem in the presence of irrational simple turning point", Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia, No 2, P. 15-32.
13. Eliseev P. V. 2020, "A singularly perturbed cauchv problem for a parabolic equation in the presence of the "weak" turning point of the limit operator", Mathematical Notes of NEFU, Vol.57, No 3, P. 3-15.
14. Eliseev A.G., Eliseev P. V. 2020, "Regularized asvmptotics of solution a singularly perturbed Cauchv problem in the presence of the «weak» turning point at the limit operator", Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia, No 1, P. 55-67.
15. Eliseev A.G., Eliseev P. V. 2022, "Singularly Perturbed Cauchv Problem in Which the Limit Operator has Multiple Spectrum and a Weak First-Order Turning Point", Differential Equations, Vol.58, No 6, P. 727-740.
16. Eliseev A. G. 2022, "Example of Solution of a Singularly Perturbed Cauchv Problem for a Parabolic Eqiuation in the Presence of strong Turning Point", Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia, No 3, P. 46-58.
17. Landau L.D., Lifshitz E.M. 2008, "Course of theoretical physics, Vol. 3, Quantum mechanics (non-relativistic theory)" [Kurs teoreticheskov fiziki, T. 3, Kvantovava mekhanika (nerelyativistskava teoriva)], Moscow: Fizmatlit. (In Russ.)
18. Arnol'd V.I. 1971, "On matrices depending on parameters", Russian Math. Surveys, Vol.26, No 2, P. 29-43.
19. Liouville, J. Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramétre variable // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1837, p. 16-35.
20. Elsgolts L.E. 1969, "Differential Equations and Variational Calculus" f Differentsial'nyve uravneniva i variatsionnove ischislenive], Moscow: Nauka. (In Russ.)
Получено: 13.12.2022 Принято в печать: 24.04.2023
