СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ СИСТЕМА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(33)

УДК 519.633

Сингулярно возмущенная система параболических уравнений в критическом случае*

Омуралиев Асан Сыдыгалиевич

Кыргызская республика, Кыргызско-Турецкий университет "Манас"

720044, Бишкек, пр. Мира, 56

[email protected]

Кулманбетова Сагын

Кыргызская республика, Нарынский государственный университет г. Нарын, ул. Чоробаева, 6, кв.12

Изучается система сингулярно возмущенных параболических уравнений, когда малый параметр находится как перед временной производной, так и перед пространственной производной, при этом предельный оператор имеет кратную нулевую точку спектра. В таких задачах возникают явления угловых погранслоев, описываемые произведением экспоненциальной и параболической погранслойных функций. В предположении, что предельный оператор является оператором простой структуры, построена регуляризо-ванная асимптотика решения, которая кроме угловых погранслойных функций содержит экспоненциальную и параболическую погранслойные функции. Построение асимптотики основано на методе регуляризации для сингулярно возмущенных задач, разработанном С.А. Ломовым и адаптированном на сингулярно возмущенных параболических уравнениях с двумя вязкими границами одним из авторов.

Ключевые слова: сингулярно возмущенные параболические уравнения; регуляризованная асимптотика; экспоненциальные погранслои; параболические погранслои. DOI: 10.17072/1993-0550-2016-2-82-87

1. Постановка задачи и регуляризация

Рассмотрим первую краевую задачу для систем сингулярно возмущенных параболических уравнений

2 2

Leu(х, t,s) = ед{и - е а(х)дхи -- А^ )и = f (х, t), (х, t) еО,

и =0 = 0, и |х=0 = и |х=1 = 0 (1)

где е > 0 - малый параметр, О = {(х,t): х е (0,1), t е (0,Т]}. Задача (1) изучается при следующих предположениях: 1. 0 < а(х) е Сю [0,1],

© Омуралиев А. С., Кулманбетова С., 2016

"Статья написана по материалам международного симпозиума "Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала". Пермь. 16-19 мая 2016.

А(0 е С ш([0, Т\Сп 2), / е С соо(о, Ст ).

2. п х п матрица А^) имеет п простых собственных значений {Я/(t)} , удовлетворяющих условиям

a) Я(t) = 0 (/ = 1,2,...,к);

b) ReЯ (t)<0 (/ = к +1,.,п);

c) Я (t) Ф Яj (t) , V/ Ф j, j = к +1, п .

3. Я/ (^ = 0 (/ = 1,2,., к) соответствует к линейно независимых собственных векторов {bj ^)}, / = 1,к .

Далее будет построена регуляризованная асимптотика [1] решения поставленной задачи. Отметим, что аналогичная задача изучена в [2], однако там получена асимптотика типа пограничного слоя.

Следуя [1], произведем регуляризацию задачи (1), для чего введем регуляризующие переменные [1], [3]:

1 ^

1 = k +1,...,т,

¥г (О

Т = -г, Н =

£2 £ '0 £

С Р (х) ~ Р (х)

Ы = —, \ = "

4£

р (ж)=(-у'^

' = 1,2,

и расширенную функцию

й(М,£), М = (х,М,£,т,н) , Ь = (£,&),

1 = (Лl,l2), Н = (Нк +1,Нк +2,.,Нт) такую, что

"(М ,£)|0=у( x,t ,£) = й( х, г,£), в = (\,Ь,т, Н),

(2)

(3)

х(х, ^£) =

Рх) р(х) ¥г ^) ^

£2, £

Ц£й(М,£) =1 Т)й + ^й -у[ёьлй + Т^г? -£

-£\[еЬш - £2Ьхй = /(х,¿),

То ^ -Д\, Т1 = - А((),

2

т2 = ^ - дь, Ц = о(х)хЦь , '=1

2

= о( х)х Ц1 , '=1

Ц,г = 2рр (х)^2,г + р/(х)аг .

Введем классы функций, в которых будут решаться итерационные задачи:

т

Щ = {V (х, t): V (х, t) = x V, (х, (Г), 1=1

V; (х, t) е Сю (Й)>,

т

Щ2 = {ад): = &(ВД(t),

г =1

Тогда, на основании (1), (2), (3), относительно расширенной функции получим задачу

Щ (N1) < с ехр

( i |2 ^ 8т

V /

г? ^=т=н=0 = ^ й |х=0,Ь1=\=0 = ^

и |х=1,ь2=\2=0 = (4)

Расширенная задача (4) регулярна по £ при £ ^ 0, ибо справедливо тождество

Ц£й(М ,£)в = Г( х,1 ,£) = Ц£и( x, t,£).

2. Итерационные задачи и их решение

Решение задачи (4) будем определять в виде ряда

» к

й(М,£) = X £2ик(М),

к=-2

тогда для коэффициентов этого ряда получим следующие итерационные задачи:

Тй (М) = 0, V = -2,-1,

Тойо(М) = -Т1й-2,

Т0й1(М) = -Тй-1 + Ц\й-2,

Т)й2 = -Т1й0 + Ц\й-1 - Т2й-2 + /(х, t) ,

Т0йк (М) = -т1йк-2 + Ц\йк-3 -

-Т2йк-4 + ЦЬйк-5 + Цхйк-6 ,

йк I=т=н=0 = 0, йк |х=0,Ь1=\1=0 = 0,

йк |х=1,Ь2 =\2 =0 = 0, (5)

Щз = = х X (х,t) +

1=1 ■=к+1

+х ■ (х,t)ег/с ^ Ь ^ ехр(н7 )Ьг (t) ,

С;,■ (х, 0, ■ (х, t) е С (0)>,

N1 = (х,t,l,т), N1 = (х,^Ь,Н),

1 = (11,12) , Ь = (Ь1,Ь2). Из этих классов построим новый класс, как прямую сумму

и = ®1=Щк,

тогда произвольный элемент ^ (М) е и этого класса запишется

т

,(М) = X{Vv,г (х, t) + (N1)

+

1=1

+

+

х т=к+1[с^ (^ t)+

Ь1

X 2=1®Й (х, t)erfc ^ J]exp(н

)>Ь; (t). (6)

■"■""г

Уравнения (5) при V = -2, -1 однородные, поэтому они разрешимы в классе функций и и их решения представимы в виде (6), если функция (N1) является решением уравнения

Ту г (N1) = (N1), V = -2,-1 (7) с краевыми условиями

и

^ (^1)1/=т=0 = 0, ?УЛ (М)\л=0 = (х, /),

гк =

Лк

Лк^

2л/г-

Ф - V)3

^ ( Л^л,=0 = dv7,/ (х, /),

dlv/ (/ -1, /) = -Уу/ (/ -1, /), V = -2,-1.

(8)

Решение этой задачи имеет вид [4, с. 196] YvJ (N1) =

2

Е/ рТ рю

dv,i(х/ Ж I дf1G(Л,C,Т - =0 dCз-/dz

I=1

= 1 ^,/ (х, 0ii (л),

i=1

G(Лl,Л2,с1,с2, 0 = ^ х

х[ехр

' (л - С1)2 ^

х^ ехр

4/

( ЛЛ - С2)2 ^

ехр

' (л + С1)2 ^

4/

\ (

4/

ехр

(л2 + с2) 4/

2 ^

^г,/ (N1) < с ехр

( i |2 ^

Л1

8т

V /

I, Г 2 , 2

|Л| = >/Л1 +Л2 .

Доказательство. Заметив, что

А

(0(л,4,т - =0 =

1

4^(т - V)

Лк

(т- V)

ехр

2 ^ Лк

х<! ехр

' Л - С/ )2 ^

4(т - V)

4(т - V)

V /

(

ехр

/

V

(Л/ + С/)

4(т - V)

2 ^

1 2 1 =

4(т - V)" Лк

функцию (9) перепишем:

ё,, ■ (х, /) сю

^ (N1) = 1"^ Г

/=1 'гт

^ю 2

4ехр(-^) х

х|рЮ ~ [ехр

Лк

' (Л/ - С/ )2 2 ^

-2— гк

(9)

ехр

4л2

г (Л! + С/ )2 2 ^

-2-гк

4Лк2 к

Таким образом, замена

(Л/ ± С/) ^

гк

= // , ёц = ±-^С/ Лк Лк

во внутреннем интеграле приведет к виду

Yvi (N1) = 1

2 ё!^/ (х, /) рю

^ю 2

Пк 4ехр(-гк)х

При т = / = 0 полученное решение

обращается в нуль, поэтому значение функций

4 / (х, / )\г=0 = 4 / (х) (10)

принимаем произвольно и это допущение будет использовано ниже.

Теорема 1. Для решения задачи (7), (8) справедлива оценка

/=1

Л/гк

х[Лк ехр(-//2)ё// .

Отсюда, используя неравенство [6, с. 352] и формулу 3.323 из [7], получим требуемую оценку.

Теорема доказана.

Вычислим свободный член итерационного уравнения (5) при к = 0

fo(m) = -7]и-2(М) =

п

i я (о [v -2,/(х /) + ^-2, ■ (n1) ] ь (/) -

/=к +1

- I (Яj (/) - Я/ (/)):

/, j=к+1

с-2 (х, /) + Х"-2,/

/=1

а>/ у (х, /)егй | ^

41

х ехр(и. )Ь/ (/) -

к п

к Ф/, к,/ = 1,2, и, произведя замену:

-I I Яj (/) |_с-2 (х, /) + /=1 j=к+1

+1 < (x, / )ег& ( 4

х ехр(^. (/).

к

х

х

х

х

X

X

Обеспечивая разрешимость в и уравнения с такой правой частью, положим

С(х, t) = 0, а^(х, 0 = 0,

V, Ф ] &1, т , ] = к +1, т ,

у-2 ; = 0 V/ = к +1, т ,

-2

а функции у-2 / (х, ^ V/ = 1, к, , (х, t),

-2'

а,;' (х, t) V/ = к +1, т являются произвольными. При таком выборе функций свободный член примет вид

т

Fо(M) = - X 4(^-24(N1Ь(t).

г=к+1

Решением краевой задачи (5) при к = 0 со свободным членом Fо(M) будет функция (6) при у = 0, если Ко,, (N1) будет решением неоднородного уравнения (7) с правой частью Fо(M) и краевыми условиями вида (8). Решением этой задачи будет (см. [4, с. 196])

(•Г 1*00 1*00

= -4 (0 Шо^,' (х

xG(l1,l2,£'1,£2,т - +

X й0 ,,■(x, );

рт рсо

^ ^ _ . (11)

Теорема 2. Пусть

К,, (N1) < с ехр

( I |2 Л \

8т

тогда справедлива оценка

Ко,,- (N1) < с ехр

2 8т

вычислим

Ц\й_2(М) =

или выбирая

2р( х)дхй_2,, (х, t) + р"( х)й_2,, (х, t) = 0 (12)

обеспечим требуемое соотношение. Ниже будет показано, что функция й_21 (х, t) имеет вид

й-2,,(х,t) = (х)р(0 + Р,^) . (13)

Подставляя ее в (12) и условия (8), относительно й_2, (х) получим задачу. Таким

образом, выбором функции dl_2i (х) обеспечено Ь\й_2(М) = 0. Кроме этого члена в правую часть уравнения (5) при к = 1 войдет и -Т1и1 (М). Аналогично вышеописанному, обеспечим разрешимость в и уравнения (5) при к =', если предположить, что

с-\(х, t) = 0 , а-.-' (х,0 = 0 V, Ф ■ &, = 1т ,

■ = к +1, т , у_1 , = 0 V, = к +1, т .

а функции

у_1,, (х, t) V, = 1, к, с_1( х, t),

Доказательство проводится аналогично и на основе предыдущей теоремы 1.

В следующее итерационное уравнение войдет член Ь\и_2 (М), присутствие которого

выведет решение из класса и. Обеспечивая разрешимость этого уравнения в данном классе, обратим этот член в нуль. Для чего

+

= «(x)XX[2р/( х)д хй_ 2,/- (х, t)

¿=1 '=1

+/(х)й_ 2,/ (х, 0]\(\,т)Ь, ^) = 0

а,.; (х, t) V/ = к +1, т

являются произвольными функциями. Тогда решение этого уравнения представимо в виде (6) с индексом у = 1, если Щ ,(N) - решение неоднородного уравнения вида (7). Функция К ,(N), как решение неоднородного уравнения вида (7) представимо в виде, аналогичном (11).

Следующее итерационное уравнение после соответствующих действий, приводящих к соотношению Цй^ (М) = 0, имеет свободный член и представимо в виде

^ (М) = -Т1и0 - Т2и_2 + /(х, 0 =

т т

= X / (х)Ь/ (t) - X (4 (о - 4 (0)х

i= 1 i,.=к+1

<. (х, t) + XX (х, t )ег£с ^ Ь ^

кт

х ехр(н. )Ь, ^) _ X X 4 (t) х

1=1 .=к +1

с,0 ■■ (х, t) + XX а.0; (х, t )ег£с ^ ь ^

т

: ехр(н. )Ь, (t) - X 4 ^Ж,, (х, t) +

■=к +1

-Ко,, (N1 )]Ь, (t)[ду _2,, (х, t) +

'=1

=1

+

(0^2,. (х, / )]Ь (/) -

у=1

-I V-2,i (х, /) I а , (/)Ь. (/) -

/=1 у=к+1

п 2

-Ц[д/ё! 2,/ (х, 0

+

■=1 /=1

+ :

!аи (/)ё-2,. (х, /)]Ь/ (/) I (л,т) -

у=1

-I [д/С-2 (х, /) + а,/(/х, /)]:

■=к+1

х ехр(и. )Ь/ (/) -

п п

у ■' 2

-II а.«<(х,Ф.(/)ехр(^)-

/=к +1 j=1(/Ф j )

п2

-II [д/®//-,2,/ (х, /)

+

■=к+1 /=1

+аи (/)®:2,/(х, / )]егбс' 4/

х ехр(и. (/) -

п п 2

-II ^у(О®-?'(х,/)ег&I

■=к+1 У=1(/ФУ) / =1 V 2\//

хЬ/ (0ехр(^.), у (х) = ( f (х, /),Ь*(/)) .

Обеспечивая разрешимость итерационного уравнения (5) при к = 2, произведем

следующие приравнивания:

к _

ду-2. (х, /) +1 а, у (0у2,/ (х, /) = у / (х), / = 1, к ,

у=1

к

Я (t)Vo.i (х, /) = -I«/,. (О^,.. (х, 0 + у/ (х),

у=1

/ = к +1, п,

к _

д,ё-2,/ (х, /) + Iаi,] (/)ё-2,J (х, /) = 0 V/ = 1, п ,

у=1

дс-2( х, /) + (/х, /) = 0,

.-2,//

дш, (х, /) + а; (0« 2 (х, /) = 0 V/ = к +1, п , (Я. (/) - Я (О)с0. (х, /) = -а,,. (/). (х, /), (Я.(/) - я,(/)б(х,/) = -а,.(/)®т2/(х,/) V/, у = к +1, п, я, (0с°. (х, /) = -а.. (/)с-2 (х, /), я, (х, /) = -а1} (/). (х, /)

V/ = 1, к, у = к +1, п .

(14)

условии (10), получим решение в виде (13). Найденное решение подставим в (12) и получим уравнение относительно ё-2 i (х).

Начальные условия для дифференциальных уравнений, вошедших в (14), определим из краевых условий для и2(М), входящих в (5):

^2, (х,0) = 0, 7_2, (N1)1 Т=0 = 0,

с,-2(х, 0) = -^2, (х,0),

Ю-2,/ (х,0) = б)-2'1 (х),

®_2,/ (х, 0| х=/ч = -с-2(/ - 1, о,

^ ( N1)1 Л =0 = ё - 2, ( х, / ), ё-2, (х, /)|х=/_1 =-V_2,j (/ - 1, /), / = 1,2, / = 1, п .

Отметим, что функция ¿б-2,1 (х), как и функция ё-2 i (х), аналогичным образом обеспечит выполнение соотношения Ь4и_2(М) = 0.

Свободный член F2(M), при таком выборе примет вид, подобный F0 (М). Поэтому уравнение (5) при к = 2 разрешимо в

и.

Далее, повторяя вышеописанный процесс, определим все коэффициенты частичной суммы:

п к 2,

ДМ) =! е2ик (М).

Отметим, что решая уравнение (14) относительно (х, /) при начальном

к=-2

4. Оценка остаточного члена

Таким образом, используя принцип максимума [5], подобно [3], легко устанавливается, что сужение этой суммы посредством регуляризующих функций является формальным асимптотическим решением исходной задачи (1), т.е. доказана

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1)-4). Тогда сужение частичной суммы при в = у( х, /,е), полученного вышеописанным методом, является асимптотическим решением задачи (1), т.е. при достаточно малых е и п = -2,-1,0,1,. справедлива оценка

п+1

и(х, /,е) - иеп (х, х, /,е)) < се 2 .

х

х

Список литературы тики и математической физики. 2006. Т. 46,

№ 8. C.1423-1432.

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию л п а п г^

-¿г тт 4. Полянин А.Д. Справочник по линейным

сингулярных возмущений. М.: Наука, ~ , Л/Г

1Q81/I пп уравнениям математической физики. М.,

1981. 400 с. 2001 576 с

2. Бутузов В.Ф., Калачев Л.В. Асимп- ггтл п, л ^ на

J J ' „5. Ладыженская О.А., Солонников В.А.,

тотическое приближение решения краевой тт тт л

^ г г Уральцева Н.Н. Линейные и квазили-

задачи для сингулярно возмущенного

нейные уравнения параболического типа. параболического уравнения в крити- М : На 1967 736 с

ческом случае // Матемематические замет- тт ' ~ п м t

i о^ ^ ^ о,^ о-,^ 6. Никольский С.М. Математический анализ.

ки. 1986. Т. 89, вып.6. С. 819-830. м 1973 т 1 432 с

3. Омуралиев А.С. Регуляризация двумерной П '-'тяг* п „,, т

7. 1радштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы

сингулярно возмущенной параболической

интегралов, сумм, рядов и произведений. задачи // Журнал вычислительной матема- м 1962 1100 с

Singularly perturbed parabolic equations in the critical case

A. S. Omuraliev

Kyrgyz Turkish Manas University; 56, Mira prospekt, Bishkek, 720044, Kyrgyz Republic [email protected]

S. Kulmanbetova

Naryn StateUniversity; 6-12, Chorobaeva st., Naryn

The research deals with a system of singularly perturbed parabolic equations when a small parameter precedes both the time derivative and the spatial derivative, and when the limit operator has a multiple zero point of the spectrum. In such problems, there is a phenomenon of angular boundary layers, described by means of a product of the exponential and parabolic boundary layer functions. Assuming that the limit operator has a simple structure, we suggest a regularized asymptotic solution, which in addition to the angular boundary layer functions contains exponential and parabolic boundary layer functions. The asymptotic behavior is constructed by one of the authors on the basis of the regularization method for singularly perturbed problems, developed by S.A. Lomov and adapted to singularly perturbed parabolic equations with two viscous boundaries.

Keywords: singularly perturbed parabolic equations, regularized asymptotic behavior, exponential boundary layers, parabolic boundary layers.