Об одной сингулярно возмущенной системе трех уравнений в частных производных первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.226

ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Е.А. Деркуновал

Построена и обоснована асимптотика решения сингулярно возмущенной системы, состоящей из трех уравнений в частных производных первого порядка. Малый параметр входит в систему таким образом, что образуются разномасштабные операторы левых частей уравнений. Применяется метод пограничных функций построения асимптотики, что, в частности, сводит систему к стандартным линейным начальным задачам с уравнениями в частных производных. При доказательстве теоремы об оценке остаточных членов используется уже известная схема, сочетающая своеобразный принцип максимума с введением нестандартных членов погранслойной части асимптотики.

Ключевые слова: сингулярно возмущенные задачи, асимптотика, метод пограничных функций, дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

I. Постановка задачи. Рассмотрим систему вида (е > 0 - малый параметр)

е2 ( дТ + еЬ1(х) ) = °п(х’ *)и + а12(х’ * )у + °1з( х, 0^ + /1( х, t ,е),

( ду ду )

е I-+ еЬ2 (х) — I = а21(х, *)и + а22 (х, *)у + а23 (х, *)^ + /2 (х, *, е), (1)

^ д* дх )

дw дw

---+ еЬ3 (х) — = а31( х, * )и + а32 (х, * )у + а33 (х, * )^ + /3 (х, *, е)

д* дх

в области О = (0 < х < X) X (0 < * < Т) с граничными условиями

и|*=0 = и | х=0 = у|*=0 = У | х=0 = Н*=0 = Чх=0 = 0- (2)

Потребуем выполнения следующих условий (см. статью [1]).

Условие 1. Пусть / (0,0, е) = 0, / (0,0,е) = 0, / (0,0,е) = 0, - = 1,2,3.

В [1] требовались лишь условия согласования нулевого порядка. Здесь же для построения непрерывной асимптотики погранслойного типа достаточно потребовать также условий на первые производные в угловой точке.

Условие 2. Пусть функции Ь( (х), а^ (х, *), / (х, *,е) дважды непрерывно дифференцируемы

в области О X [0, е0].

Условие 3. Пусть Ь- (х) > 0, 0 < х < X, i = 1,2,3.

Условие 4. а11 + |а12| + |а13| <-а, |а21| + а22 + |а23| <-а, |а31| + |а32| + а33 <-а, где а> 0 - некоторое число.

Отметим, что из условия 4 следует, что а11(х, *) < 0, а22 (х, *) < 0 , а33(х, *) < 0, А(х, *) < 0.

Асимптотическое разложение строим в виде ряда по степеням е , состоящего из регулярной части, пяти обычных и шести угловых пограничных функций [2]:

и( х, *,е) = ^е1 (и (х, *) + П;и (х,т) + О. цл (х, в) + Qiu (X, *) + и (д, *) + Кц. (ц, *) +

-=0

+Р,и(%,т) + 3,и (Х,в) + Т-и (д,т) + Иги(д,в) + М-и (ц,т) + Ыги (ц,в)),

1 Деркунова Елена Анатольевна - доцент, кандидат физико-математических наук, кафедра общей математики, Южно-Уральский государственный университет.

Краткие сообщения

у(х, ґ,є) = ^ Є ((X, ґ) + Цу(X,т) + Ц.у(X, в) + Qiv(%, ґ) + Я,у(д, ґ) + Ку(ц, ґ) +

і=0

+Гу(£, т) + БуХ, в) + Ту(д, т) + Иу(д, в) + Му(ц, т) + Ыу(ц, в)), (х, ґ, є) = ^ є1 (їїі (х, ґ) + Пщ( х, т) + Пщ( х, в) + Qiw(Х, ґ) + Ящ(д, ґ) + Кім>(^, ґ) +

і=0

+Рщ(£,т) + Бім>(Х,в) + Тщ(д,т) + Нщ(д,в) + Му/(л,т) + Щм>(ц,в)). Здесь т = ґ/є, в = ґ/є2 Х = х/є, д = х/є2, Т] = Xє3 - погранслойные переменные.

II. Построение асимптотики первого порядка

2.1. Регулярная часть. Функции нулевого и первого порядка (і = 0,1) регулярной части асимптотики получаются из уравнений (здесь и ниже функции с отрицательными индексами считаем равными нулю):

ап( х, ґ)иі + а12( х, ґ)Уі + а13( х, ґ)їїі + /и (х, ґ) = 0,

дУі-1

а21 (х, ґ )иі + а22 (х, ґ )уі + а23 (х, ґ )щ + /2і (х, ґ) = -

дґ ’

дщ ■ _ _ _ дм> ■,

—^ = азі(x,ґ)иі + аз2(x,ґК- + азз(x,ґ)Щ + /зі(x,ґ) -Ь3(х)—т—

дґ дх

с начальным условием й { (х, 0) = 0 . Решение задачи для имеет вид

/ І А(х/)

Ар (х, ґ') 1Мзз(х/)

еґ

&

Мзз( x, ґ)

1

-(Мз1(x,ґ)щі + Мрзі(x,ґ)), Уі =--

1

-(Мз2 ( X, ґ)Щі + МР з2 ( X, ґ) ) =

тогда получим и, =- ч--3^-, , ---г 31.^,, - , Л.

М33 (х, *) М33 (х, *)

где Мр1 - миноры определителя А( х, *), составленного из коэффициентов ар1 (р, I = 1,2,3) правых частей уравнений исходной системы, а МРр1 - миноры определителя

а

а11 а12 Р11 721 а22 Р21

азі аз2 Рз1

ду , дщ ,

= А р (X, ґ), причем Ріі = /іі , р2і = /2 і -^Ч Рзі = /зі - Мх)-^

. Функции

л-(х,*), у(х,*) вносят невязку на стороны х = 0 и * = 0, а функции (х,*) - на сторону х = 0 .

2.2. Погранслой вблизи х = 0 . Функции Qiu(X, *), Qiv(X, *) выражаются через Qiw(X, *) следующим образом:

Q^u(X, *)=хг^ (М31(0, * Щй(Х, *) - М,31(Х, *)),

М 33(0, * )

Qiv(X, *)=-( м32(0, * Щй(Х, *) - м ,32 (X, *)),

где Мр - миноры определителя А(0, *), Ма1 - миноры определителя

ап(0, ґ) а^(0, ґ) ^{і)(Х, ґ)

а2і(0, ґ) а22(0, ґ) q(2\%, ґ)

азі(0, ґ) аз2 (0, ґ) q3l)(Х, ґ)

= Аq (Х, ґ),

где функции фр(Х, *), (Р = 1,2,3) рекуррентно выражаются через Qi-1u(X,*), Qi-1v(X,*), QI-lw(X, *).

Решая уравнение для Qiw(X, *) с известными краевыми условиями, получаем:

/

0

Деркунова Е.А.

Об одной сингулярно возмущенной системе трех уравнений в частных производных первого порядка

Q,w(X, *) =

X А(0,*)

X------X

X 0 Ь3(0)М33(0

-Й: (0, *----------)е

^(0)

X А(0,*)

X-?) X-------М!

x-?

—X-X7 dX А (X *

*) 1 X 9 Ь (0)' X Ь3(0)М 33(0,* -^-)

«3(0) | Г_ 3 ^ е «3(0)

dX"

Ь3(0)0 м33(X,, * -x?)

3 «3(0)

«3(0) dX, ,

0 <x< Ь3 (0)*,

{. А,(X-Ь3(0)(*-*'),*') I

А(0/)

й*

I

мзз(X-Ь3(0)(* - *'), *)

е0Mзз(0,t ) ,0 < * <-

Ь3(0)

Заметим, что решение Qjv, а значит и Qiu, не являются, вообще говоря, гладкими на характеристике X = Ь3 (0)*. Функции Qiu(X,*), Qiv(X,*) имеют экспоненциальную оценку по переменной X.

Решением задач для ^й(д, *), Яу(д, *) (i = 0,1) будут функции:

1 ^

Riw(v, *) =------I r3(j)(v/, *)йд',

^ Ь3(0)¥ 3

М33(0,*) д 1 д М33(0,*) (д-д)

Д^д, *) = (-У-. (0, *) - Qiv(0, *)) еЬ2(°)ап(°Л +---[ г2(0(д', йд',

Ь2 (0) 0

а ^и (д, *) выражается через ^(д, *) следующим образом:

Ки =—^( а12(0,*)^ *)).

а11(0, *)

Без труда строятся функции К-л(ц,*), К^ц,*), Ку>(ц,*).

2.3. Погранслой вблизи * = 0. Функции П:л(х,т), П^хт), П:й(х,т), i = 0,1 имеют вид:

т М33(х,0), Г М33 Сх,0)(, Г)

П:й(х,т) = !^^-)(х,т/)^т/ , П^хт) = —(х,0)е а11(х,0) +1я2^(х,т')е а11<'х,0-> йт ,

а функция П-л( х,т) определяется из соотношения

1

П и =

(-а12 (х, 0)П ^ + лр)(х,т)).

j ап( х,0)

Решение системы для функций О.1и(х,в), Wiv(х,в), D.jw(х,в) (i = 0,1) имеет вид:

в

О1и(х, в) = (-ы1(х, 0) -П1и(х,0))еа11(х,0)в +14 (х, в)еа11 (.

0

вв х, в) = 14° (х, в)йв, Цй(х, в) = 14') (х, в)йв.

Все пограничные функции обладают экспоненциальной оценкой.

2.4. Угловой погранслой. Приведем решения системы уравнений для функций Т1и(д,т).

Tj■v(V,т), i = 0,1, Тй(д,т), i = 0,1:

V

V 1

■П :й(0, г----) +----------I t3j> (V'.

^ ^(0)' Ь3 (0) * 3 ^

д-д

Ь3(0)

)йд',д< Ь3(0)т,

^(д - Ь3 (0)т, 0) +1 *« (д - Ь3 (0)(т - т), т')йт', т < -

Ь3 (0)

Получаем, что Ти(д,т) = (-а12(0,0)Tj■v(V, т) + tlСj> (V, т))/а11 (0,0), а функция Т^д, т) выражается следующим образом:

X

0

0

т

0

Краткие сообщения

Tlv{g,T) = <

Мзз(0,0) — v / Мзз(0,0) (- —)

-niv(0,t------^—)e*2(0)«ii(0,0) +---------Г f(o (V, t - —-)efe2(0)aii(0,0) d—',—< *2(0)7,

^ *2(0Г *2(0) Г *2(0/ 2

M33(0,0)t t M33(0,0)

t t —33——(t-t ) —

—Rlv(— — b2(0)t,0)e ail(0,0) + jt~2(l)(—-b2(0)(t-t'),t> ail(0,0) dt,t<~—-

0 *2(0)

Заметим, что функция , Tiv являются, вообще говоря, негладкими на характеристике х = eb2 (0)t, что препятствует дальнейшему процессу построения стандартных членов асимптотики.

III. Оценка остаточных членов

Обозначим частичные суммы асимптотических рядов первого порядка через Ui, Vi, Wi соответственно. Имеет место следующее утверждение.

Теорема. Для решения задачи (1)-(2) и(х, t,e), v(x, t,e), w(x, t,e) справедливо равномерное в

области G = (0 < х < X) X (0 < t < T) асимптотическое представление

и( х, t,e) = Ui + O(e2), v( х, t,e) = Vi + O(e2), w( x, t,e) = Wi + O(e2).

Литература

1. Бутузов, В.Ф. О сингулярно возмущенной системе в частных производных первого порядка с разными степенями малого параметра / В.Ф. Бутузов, Е.А. Деркунова // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42. - С. 775-790.

2. Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М.: Высшая школа, i990. - 208 с.

Поступила в редакцию 2 сентября 2012 г.

ON SOME SINGULAR PERTURBED SYSTEM OF THREE EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES OF THE FIRST ORDER

E.A. Derkunova

The asymptotics of solution of a singular perturbed system consisting of three equations with partial derivatives of the first order is build and founded. The small parameter belongs to the system in such a way that non-uniformly scaled operators of the left parts of equations are formed. We use the boundary functions method asymptotics construction and so in particular reduce the system to standard initial problems with partial equations. When we proof the theorem on residual terms estimate we apply an already known scheme blending together a specific principle of maximum and including non-standard terms of the boundary layers part of asymptotics.

Keywords: singular perturbed problems, asymptotic, boundary functions method, differential equations with partial derivatives of the first order.

References

1. Butuzov V.F., Derkunova E.A. Differentsial'nye uravneniia. 2006. Vol. 42. pp. 775-790. (in Russ.).

2. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie metody v teorii singuliarnykh vozmushchenii (Asymptotic methods in the theory of singular perturbations). Moscow: Vysshaia shkola, 1990. 208 p. (in Russ).

i Derkunova Elena Anatol’evna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, General Mathematics Department, South Ural State University.