CC BY
510.Salimol Thomas & Robert B.Jacko (2012) Model for Forecasting Expressway Fine Particulate Matter and Carbon Monoxide Concentration: Application of Regression and Neural Network Models.J.Air & Waste Manage. Assoc. 57:480-488.
11.Shi, J.P., Harrison, R.M., 1997. Regression modelling of hourly NOx and NO2 concentration in urban air in London. Atmos. Environ. 31 (24), 4081-4094.
12.Viotti, P., Liuti, G., Genova, P.D., 2002. Atmospheric urban pollution: applications of an artificial neural network
(ANN) to the city of Perugia. Ecol. Model. 148 (1), 27-46.
13..Zhang, D.Z., and Peng, Z.R., (2014). Near-road fine particulate matter concentration estimation using artificial neural network approach. Int. J. Environ. Sci. Technol. 11:2403-2412.
14.Zhou, Q., Jiang, h., Wang, j., Zhou, j. (2014). A hybrid model for PM2.5 forecasting based on ensemble empirical mode decomposition and a general regression neural network. Science of the Total Environment 496: 264-274.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА В СЛУЧАЕ _СПЕКТРАЛЬНОЙ ОСОБЕННОСТИ 1-ГО ПОРЯДКА
Шапошникова Дарья Алексеевна
кандидат физ.-мат. наук, доцент Национальный исследовательский университет «МЭИ»
г. Москва
национальный исследовательский университет (НИУ МГСУ), МОСКВА, РОССИЯ ASYMPTOTIC INTEGRATION OF SINGULARLY VOZMUSCHENNOGO THE VOLTERRA EQUATION IN THE CASE OF SPECTRAL FEATURES OF THE 1ST ORDER
Shaposhnikova Darya, Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of National Research University «Moscow Power Engineering Institute» Moscow АННОТАЦИЯ
В статье предложен метод построения асимптотического решения сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра в случае спектральной особенности 1-го порядка. ABSTRACT
This paper proposes a method for constructing asymptotic solutions of singularly perturbed integral Volterra equation in the case of spectral features of the 1st order.
Ключевые слова: сингулярное возмущение; интегральное уравнение Вольтерра второго рода; спектральная особенность; простая точка поворота.
Keywords: singular perturbation; integral equation; Volterra second kind; spectral feature; a simple pivot point.
Рассмотрим сингулярно возмущенное интегральное уравнение Вольтерра
еы(t, е) + J[p(t — s) + s]u(s, e)ds = h(t), 2) p e N.
с ядром интегрального оператора k(t, s) , обладающим следующими свойствами:
1) k (t, t) = t;
2) k(t, s) = p e N.
Общий вид такого ядра имеет вид:
k (t, s) = pt + C (s). Отсюда, используя свойство 1), получим
p(t) + C (t) = t.
Следовательно, C (t) = t (1 — p). Таким образом,
k (t, s) = pt + s(1 — p) = p(t — s) + s. Рассмотрим уравнение
и пусть выполнены условия:
1) h(t) e Cю[0,T]
(2)
Продифференцируем уравнение (1):
еы (t, е) + tu (t, е) + p J ы (s, e)ds = h(t),
0
ы(0, e) = h(0) / e.
Введем операторы:
а) А/ (t) = f (t) — f (0)
б) В«) / с)=Г 1 дд-1 / С)=1 А/ (г)=. ^ г дг) г г
Следует заметить, что несмотря на простоту, задача (2) относится к трудным задачам с нестабильным
спектром предельного оператора.
г
eu(t, е) + J[p(t — s) + s]u(s, e)ds = h(t), (1) Сделаем замену v(t,e) = Jы(s,e)ds, тогда полу-
чим гУ + IV + ру = }I.
Или, перейдя к системе гУ = м,
гмм = -1м - ргу + г}, получим задачу Коши
б) |у(= у(0)|а(э^э - г ^уа(э)
+
Ч
1 я Г
д
дэ
)а (э^ +г ¿э:
Г V \ Г 0 1 ^
м
0 -1
Г V ^ Г 0 0 ¥ V ^
м
-г
р 0
м
/V/
+ г
Ау
0 V э ; 0
ДУ / ч д ' с(1) + г
д1
I 1
у(0)|а^э - г-^- а(1) + г-
Ду
V 1 ,
1=0 0
(3)
Гу(0,г) > "0
ч м(0, г) / _} (0)_
0
ер^ -г2 Б ^ + +г2 |
' а /"
А
дэ
Б ^ +
Из формулы (3) видно, что предельный оператор имеет два собственных значения ) = 0
, X2(1) = 1. Пересечение происходит в одной точке
1 = 0 и оператор в этой точке меняет свою структуру, т.е. из оператора простой структуры переходит в жорданову клетку. Такая спектральная особенность называется сильной точкой поворота. В общем случае ее нельзя описать с помощью элементарных функций. Перейдем к решению задачи (2):
+г I Б +0(г3).
5
Из а) и б) следует, чтобы остаться в классе сингуляр-ностей вида
е
-12Пг
а = е
-12/2г ГеА2г Л.
Ч'
0
(
ги (1, г) + 1и (1, г) + р | и (э, г)^ = }(1),
необходимо на решение наложить дополнительные условия:
д Г Ах2 д Г Ах"
(2)
х(0)+гд 1т /(0)+г2 дДт I(0)+■■■ = 0,
и(0, г) = }(0)/ г.
Сингулярности данной задачи описываются в виде:
У(0) + г
^ДуЛ V 1 У
(0) + г21Б ГДу | (0) + ■ = 0. д1 V 1 У
Введем операторы:
е-2/2г, а = е
-12/2г Г л2/2г
0
Проведем частичную регуляризацию уравнения на функциях вида
2
и(1,г) = е- /2гх(1,г) + ау(1,г) + г(1,г).
Получим 1
л
ге 1 /2гх + гау + гг + гу + 12 + р|е э /2гх(э, г)^?-
1 1
+р |а( э, г)у( э, + р | г( э, г) ¿э = }.
а) 1[х= Бк (1) {<•> ^;
0 дт
г д
б) 1ка = Бк(1){<•> Жа—:
0 да
в) /0 = Бк(1)|<> ¿э
1=0
(4)
0
Проведем регуляризацию интегралов:
а) I 2 ^ 2
| х(э)е"* /2г^ = х(0)| е"' /2г¿э
0 0
Ах -!2/2г —г—е
д Г Ах
+г—1
д1 V Г
2 д +г — Б
д V
г
1=0 0
е-2/2г ¿к --г2 Б—е~Л2г
г) П х(1)и = х(1), П 2(1)и = у (1), П 3(1> = г (1). Действия операторов на функцию вида
2
и = х(1)е- /2г + у(1) + г(1) запишется в виде
а) /к П1и = Бк I х( э)^; 0
2
|е"э /2г^ + 0(г3); =0 0
б) /[ П1и = Бк | х( э) ¿э;
г
0
Е
0
0
в) /0 П 3и = | 2 ( s)ds.
0
Регуляризованная задача по отношению к формуле (2) имеет вид:
ди ди ди
е--г--га—+
дг дт да
ю
+ ги + р/0П3и + еП2и _ У екр/к ти _
к=1
3) У и (г, е) е М е
Уек | /кП1« = О,
к=0
дг
д
Уе —/к0П 2и = 0.
^ Я/ к
к=0 <?г
Решение задачи (5) будем искать в виде ряда
и
-Уекр/к ^ + У ек р/^и +
(г,т,а,е) = У екик(г,т,а). (6)
к=_р
к=1
ю
к=1
+ У екр | //П 2и( = /г(г),
к =1 О к(0)
Подставляя уравнение (6) в (5), получим серию задач:
и (0,0,0, е) =
ю рь
У ек д/Ли = 0,
к=0 дг
ю
У ек ^П 2и = 0.
к=0 дг (5)
Задачу (5) будем решать в пространстве
и = {и | и (г, т, а) = х(г )вт + у (г )а + 2 (г), х(г), у (г), 2 (г) е с ю [0,Г ]}.
Норма в и вводится по формуле:
и || =
= 11 х ||с[0,Г] + 11 У ||С[0,Г]
+ || 2 |
с [0,г ]
Введем оператор
д д Ь0 = _г^" _ г^ +г + р/0П 3
дт да
и подпространство Ме с и, асимптотически инвариантное относительно оператора ¿0 (при е ^ 0 ), а именно
1) М8с В(¿0) с и;
2)
У и (г, е) е Ме
ю
V (г, е) = Уек/к(г, т),
к=0
/к (г, т) е Ме;
ди_ р
ьпи „ = _г
^ _ р
_ га
да
ди_ _
—р + ги р
да _р
+ р/0 П 3и = 0, и_ р (0,0,0) = 0;
(7-Р)
¿и
ди
0м _ р+1
дг
-_П, и
3м _ р
■ р/1,ти_ р + р/1,аи_ р _ р/0П1и_ р _
I
■ р | //П 2и_ = 0,
и_ р+1 (0,0,0) = 0,
д/00П1и_ р+1+>1и_ р=а д/00П 2и_ р+1 2и_ р = 0;
(7-Р+1)
8
при 1 < п < р -1:
ди
дач, приведем некоторое свойство оператора D:
Ь0и
-р+п-1
Ах
0 - "+п" д1
п п
- П3и- р+п-1 + рЕ 4,ти- р+п-к + рЕ /к,аи-р+п-к -
- рЕ/кЧ"-р+п-к - рЕ|/кП2"-р+п-к^ = 0, к=1 к=10
1) Б—= а-рБ1р-1 = а-р(р - 1)1р-3;
2) Б2
Ах
а-р (р -1)(р - 3) 1р-5;
(0,0,0) = 5- р-1}(0),
Ах
- р+п
—/ОПи „+„ +—/"Пи „+„ , +... + — /„0Ци р = 0,
д1 0 1 "р+п д1 1 1 "р+п-1 д1 п 1 -р
—/ПОП2и „+„ +—/,0П2и „+„ , +... + — /°П7м „ = 0;
д^ 0 2 -р+п д^ 1 2 -р+п-1 д1 п 2
при п = р:
ди-1
п) Бп = а_ р (р -1)(р - 3) ■ (р - 2п +1) 1р-
2п-1.
(7-Р+п)
1
О" ^ 1
р = 2 п +1, а-р (2 п)!!, р = 2 п + 2, а-р (2 п +1)!! 1.
Ьп"п = -П3и-1 + рЕ4 и р+ р-к +
д1
р
Следовательно, „ _ 1
а) р = 2п +1 или п =—2—,
■рЕ /к
и „,„ ,, -рЕ/к°П1и
к ,а - р+ р-к к=1 к =1
- р+ р-к
Г
2и-р+ р-к - рЕ I/АП2и-р+ р-к^ + }(1)
к=1 к=1 о
- рЕ/Оп
к=1
и (0,0,0) = 0, рд
ЕдкЧи-к=о,
к=о д1
Е |/°п 2и-к = 0; к=0 и1
и так далее.
Каждая из итерационных задач имеет вид
п >
п <
п =
р +1
2
,Р _ 3
2
,Р _ 1,
п пР_1
Впр
0,
г=0
2
(7о)
б) р = 2« + 2, п
V« Л«^"1
1 = 0, БпрР_1 = (2 п)!!; р " 2
д д
£Ом = -1--1а— + 1м + р/ 0 П3м = Б (1, т, а).(8)
дт да
Теорема1.Пусть Б (1, т, а) = Бх(1 )ет + Б2(1 )а + Б3(1) е и. Тогда для разрешимости задачи (8) необходимо и достаточно, чтобы
< Б, ет>= 0, < Б, а >= О,
П 3(0) Б (0, т, а) = 0.
Теорема 2. Пусть Б(1,т,а) е и и выполнены условия теоремы 1. Тогда для существования единственного решения уравнения (8) достаточно
< м/, ех >= 0, < м/, а>= О, П 3(0) м = 0, /"Пи = О,
/00П 2м = 0, и (0) = 0.
Здесь
ди п ,1-1,11
м = --П2и + р/1,ти + М,аи -
д1
2 = 0.
/=0
Используя теоремы 1 и 2, решим итерационные за-
дачи (7-p), (7-p+1), ... .
= Е
р+И Еа-р+п-к( 1) (р -2к)!(2к)!!
(-1)к
р!1р
-2к
у-р+п = Ев -р+п-к
р!1р
2к
к=0
(р -2к)!(2к)!!
= -в 1р-1 +
- р+п К-р+я-Г 1
(к - 1)!^к-1 л + гк-К 2к-1 С р-к (1 + Ср )
р-(2 к-1)
+Ев-р+п-к (-1)к к=2
Вид главного члена асимптотики приведем на конкретных примерах. р = 2:
1
-}(0)1 V1 /2г-^ 12а
}(0),
}(0) + }(0) 12| е-12/2г +
I
-р/^Пи - р|/1эП^ийэ.
+|}(0)+т 12 |а+ж 1
2 8 I 2
}(0) - й(0) ; 2 | е-12/2г +
3 5
Прежде чем перейти к решению итерационных за-
+|-^ + во12 |а +
Г , (
1
— I эАй^э
} (0),
х
2
где
ßc
1 t г 1 s
—J s A — J s1Ahds1
Vs c
ds
(c);
p = 3 : i
u =
1
+-s
-h(C)t2e~' /2s
h(C)t2_ --1 a
h(C) + M12
e-2/2s +
+
^h(o) +h(o) 12Л 2 8 j
a + h(C) t
a +--1
h(0) h (C) 2 L-t2/2s
+
+ ßct 2Л
a +
г 11 ~
-y J sAhds
Vt C
h (О)
где
ß-i=- 2
1 t I 1 s
—J s 2 A — J s12Ahds1
V s" c
ds
(О).
Список литературы
1. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра // Вестник МЭИ, 2010, № 6, с. 34-47.
2. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Анализ регуляри-зованной асимптотики интегрального уравнения Вольтерра в случае невырожденного ядра // Вестник МЭИ, 2012, № 6, с. 57-64.
3. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотический анализ сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра второго рода с вырожденным ядром // Вестник МЭИ, 2013, № 6.
2
