Голоморфные по параметру интегралы сингулярно возмущенных уравнений второго порядка и предельные теоремы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

В.И. Качалов

Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»

голоморфные по параметру интегралы сингулярно

возмущенных уравнений второго порядка и предельные теоремы

На основе гомоморфизмов алгебр голоморфных функций от различного числа переменных строятся голоморфные по параметру интегралы сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. Из построенных интегралов следует теорема о предельном переходе.

гомоморфизм, предельный переход, псевдоголоморфное решение, сингулярно возмущенное уравнение, коммутационное соотношение.

Введение

Основу качественной теории сингулярных возмущений составляют предельные теоремы. Каким бы методом ни решалась сингулярно возмущенная задача, вопрос о пределе решения при стремлении параметра к нулю остается одним из главных [1—3]. Фундаментальной в теории сингулярных возмущений является теорема А.Н. Тихонова о предельном переходе [1]. Понятие псевдоаналитического решения, введенное С.А. Ломовым в рамках метода регуляризации, автоматически обеспечивает данный предельный переход [4]. Однако не все сингулярно возмущенные задачи имеют такие решения. В настоящей статье на основе гомоморфизмов алгебр голоморфных функций от различного числа переменных [9] строятся голоморфные по параметру интегралы дифференциальных уравнений второго порядка. Из построенных интегралов следуют утверждения о предельном переходе, которые рассматривались ранее (например, с точки зрения метода верхних и нижних решений [7]).

Гомоморфизмы и голоморфные по параметру

интегралы уравнения второго порядка

Рассмотрим уравнение

с12 у

¿х2

К х, у),

(1)

где к(х, у) — вещественно-голоморфная в прямоугольнике

П = {(х, у) : 0 < х < 1,0 < у < а} функция.

Напомним, что функция /(х, у) называется вещественно-голоморфной на компакте О с Я2, если существуют положительные константы ИИ и С такие, что

| Ба/ |< ИС|а|(| а | !) У(х, у) е О, | а |= 0,1,2,... .

Здесь

_ дЫ/

Б а /

а

дх 1д 2у

Далее, пусть функция к(х, у) имеет единственный корень у = ф(х), вещественно-голоморфный на отрезке [0; 1], причем кривая у = ф(х) принадлежит П. Обозначим через Пу множество

{(х, у) е П :| Н(х, у) |> у > 0}, затем сведем уравнение (1) к системе

С у' = V,

| 8У' = к(х, у)

(2)

и составим уравнение интегралов этой системы:

' ди ди Л ди „

+ 1 + к(х, у)^ = 0. (3)

дх ду) ду

Пусть

д д Ь = — + V —.

дх ду

Тогда уравнение (3) примет следующий

вид:

в

ди

еЬи + к(х, у)-= 0.

ду

Будем искать решение уравнения (3) в виде ряда по степеням е:

и(х, у, у, е) = ио(х, у, у) + еи^х, у, у) + ... . (4)

В соответствии с методом неопределенных коэффициентов,

ио( х, у) = у(х, у);

ди

к( х, у = -Ьип;

ду

ди

к( х, у) —I = -ьи:; ду

(5)

К х, у)

и,

ду

= -ьи_

Фиксируем у > 0. Тогда на множестве

П., имеем:

и (х, у, у, е) = ДДу(х, у)] = ¡•у Ьу

+е

= у(х, у) - е Г

о И(х, у)

: Гу с1у1 ь ( Гу1 ЬУ

о Н(х, у) ^уо

к(х, у)

1у1 +

-1у, I-

(6)

-е

ГЬIГу

■у Ы V тЛ -у

о к(х, у) Ьу

1у

'о к(х, у)

Л

уо к(х, у)

1у

+ ...

Здесь у(х, у) — произвольная, голоморфная на прямоугольнике П, функция; уо — произвольное число.

Докажем сходимость ряда (6) в некоторой окрестности точки е = о. Для этого нам понадобится элементарная лемма, которая доказывается методом математической индукции.

Лемма 1. Пусть функции gl(t), .., дифференцируемы п раз в некоторой окрестности точки Тогда, если в выражении

( gn(t)( ^ )(...( gl(t))')'...)'

раскрыть скобки по формуле производной произведения и заменить g(5), на я! (где 1 < г < п, о < 5 < п}), то полученная сумма будет равна (2п — 1)!! .

Применим лемму 1 для оценки

ит (х, у, у) = £

1у

'о к(х, у) Нуо к(х, у)

Г-

1у

Ь!

1у

... Ь Ц

Ьу

Л

•т-1_

уо к(х, у)

1у

и

'о к(х, у)

Если раскрыть скобки в выражении

(

1 ь ( !...ь ! Ьу) к к I к^

Л

а

от

и заменить производную порядка 1/к на МуС|а|(| а |!), а производную того же порядка от у на ^уС|а|(| а | !), где Му, Ny и С — некоторые положительные константы, то полученная сумма будет иметь вид

Мут-1ЖтСт[(2т - 1)!!](у + 1)т.

Действительно, оценка производной зависит только от ее порядка и не зависит от того, по какой переменной и сколько раз производилось дифференцирование (лишь бы а1 + а2 =| а |). В этом смысле можно заменить х и у на одну переменную. Обозначим ее через t. Но тогда оператор Ь превратится в оператор Ь = (у + 1)(д / дt), для которого уже верна лемма 1. В итоге имеем следующее соотношение:

| ит (х, у, у)| < Ит-1МСт[(2т -1)!!] х

Гу1у1Гу11у2...Гут-1(у + 1)тйут\<

•у -у Jv„

Гу1

уо

(8)

Мтт-1Щ(2т -1)!!] | у - уо |т|| у | +1 |т С"

т!

Заметим, что Му ^ да при у ^ 0, поскольку неограниченно возрастает максимум модуля 1/ к(х, у) на множестве Пу, когда Пу ^ П. Из оценки (8) следует равномерная сходимость ряда (4) на множестве

П „:

П х {у :| у - уо |< 8},

где 8 — произвольное положительное число в некоторой окрестности точки е = о.

Итак, интеграл системы (2), определяемый формулой (6), представляет собой голоморфную функцию в точке е = о. С другой стороны, формула задает линейное (при каждом е из некоторой окрестности точки е = о) отображение ал-

X

гебры Л(П) функций двух переменных (х, у), голоморфных на прямоугольнике П, в алгебру А(П у5) функций трех переменных (х, у, V), голоморфных на множестве Пу5. Обозначим через

и(1)(х, у, V, в) = Ле[х]; и(2)(х, у, V, в) = Ae[у]

два независимых интеграла системы (2), являющихся образами соответственно элементов х и у алгебры Л(П) (независимость интегралов очевидна).

Пусть х, у) е Л(П), тогда в соответствии с общей теорией систем дифференциальных уравнений, существует дифференцируемая функция ¥ двух переменных такая, что

х, у)] = ¥( 4[х ], 4 [у]). (9)

Полагая в равенстве (9) V = v0 (см. формулу (6)), будем иметь

У( х, у) = ¥ (х, у).

Следовательно, равенство (9) примет вид коммутационного соотношения (см. работу [5]):

Л [у(х, у)] = у(4 [х ], Лв[ у]). (10)

С помощью полученного соотношения (10) докажем следующее утверждение.

Утверждение. Л8 — семейство голоморфных в точке в = 0 (равномерно на Пу) гомоморфизмов алгебры Л(П) в алгебру А(Пу5).

Действительно, пусть

а(х, у), Р(х, у) е Л(П).

Тогда

Лв [а(х, у)Р(х, у)] = Лв [(ар)(х, у)] = = (ар)(Лв[х], Лв [у)] = а(Лв [х], Лв [у]) х

х р(Лв [х], Лв [у]) = Лв [а(х, у)]Лв [р(х, у)].

Утверждение доказано.

О методе голоморфной регуляризации

Рассмотрим более общее уравнение

Л2 у_/

¿х2 I ' ¿х

¿у

=Н | х, у,— I ,в > 0

(11)

с начальными условиями

у(0,в) = у0, у '(0,в) = v0. (12) Пусть А(П5) — алгебра функций трех

переменных (х, у, V), голоморфных на множестве

П5 = П х {V :| V—V0 |< 5}.

Теорема 1. Если функция И(х, у, V) е А(П5) и не обращается на множестве П5 в нуль, то отображения

Вв : Л(П) А(П5), заданные формулой

(Ввф)(х, у, V) = ф(х, у)—в Г ^¿^ +

I Н(х, y, V1)

+в

Г

Ь I

Ьф¿v2 Н( х, у, V2)

¿V1

—в

ЬI

ь I

Lф¿vъ

Н(х, у,

¿V,,

(13)

Н(х, у, Vз)

Н(х, у, v2)

¿V,

Н( х, у, Vl)

образуют голоморфное в точке е = 0 семейство гомоморфизмов алгебры Л(П) в алгебру А(П5), удовлетворяющих коммутационному соотношению

(Ввф)(х, у, V) = ф((Ввх)(х, у, V),

(Вву)(х, у, V)), Уф(х, у) е Л(П).

(14)

При этом 1шВв состоит из интегралов системы

у = V;

8V' = Н{X, у, V),

(15)

голоморфных в точке в = 0 (равномерно на Г!5), а интегралы, участвующие в правой части коммутационного соотношения, являются независимыми.

Доказательство теоремы 1 проводится по схеме метода, изложенного в предыдущем разделе, с использованием леммы 1.

Замечание. Приведенная теорема 1 позволяет дополнить теорему Пуанкаре о разложении [8]. Действительно, если задана задача Коши

у " = Н(х, у, у', в); у(0,в) = у0,у '(0,в) = V,,, (16) и функция к( х, у, V, в) голоморфна в точке

(0, у0, у0,0), то решение у(х, е) этой задачи голоморфно в точке (0, 0) и наследует, таким образом, голоморфную зависимость от е правой части уравнения (16). Требовать того же самого от решения сингулярно возмущенного уравнения (1), очевидно, нельзя. И тем не менее, в соответствии с теоремой 1, не сами решения, так интегралы системы (15) наследуют голоморфную зависимость коэффициентов уравнения от параметра е, который входит и в уравнение, и в систему голоморфным (даже целым) образом.

Таким образом, впервые в теории асимптотического интегрирования доказано существование такой характеристики сингулярно возмущенной задачи, которая представляет собой сходящийся в обычном смысле ряд по степеням малого параметра е.

изложим схему метода голоморфной регуляризации. Вначале строятся независимые, голоморфные в точке е = 0 , интегралы

(Дф)(х, у, у); (ве(у - у,))(х, у, у), причем

ф(0) = 0,ф'(х) < 0Ух е [0, 1].

Ясно, что соответствующие им первые интегралы

[(Веф)( х, у, у ) = 0;

[(Ве(у - у„))(х, у, у) = 0, определяют решение у(х, е) задачи Коши (11),(12).

Далее, с помощью формулы (13) первое уравнение системы (17) можно представить следующим образом:

(17)

ф(х) _

- е

* /

= ф'( х) |

ф' с1у2 к(х, у, У2)

Су1

к(х, у, У1)

(18)

ссу,

к(х, у, У1)

Нетрудно видеть, что если уравнение ф(х) _ V чу Су1

ф'(х) |

к( х, у, У1)

(19)

У = П I x,

ф(х)

равномерно ограниченное при е ^ +0 на отрезке [0, 11 при каждом фиксированном у из некоторой окрестности точки у0, то для нахождения у(х, е) к уравнению (18) (вместе со вторым уравнением системы (17)) можно применить теорему о неявной функции. именно так возникла концепция псевдоголоморфного решения [5, 10].

В качестве примера использования метода голоморфной регуляризации рассмотрим задачу коши

еу

= е-2^ - (у ')2, х е [0, 1/2];

у(0,е) = у0, у '(0,е) = 0.

Подставим последовательно в равенство (13) вместо ф(х, у) сначала —х, а затем у -а(х), где а(х) — точое решение предельной начальной задачи:

С1 =

сСх

\ у(0) = 0,

тогда получим систему, аналогичную системе (17), заменив во втором уравнении (у - у,,) на у - а(х):

- х + е

су,

Л е-2ху -У2 0 е *1

+ о(е) = 0;

у - а(х) + е| ае-уу21 СУ1 + о(е) = 0.

наконец, пользуясь теоремой о неявной функции, найдем решение поставленной задачи Коши:

у = а(х) - е • 1п

(

1 + 01

хе

а(х) Л

+ о(е), е ^ 0.

Решение а(х) предельной задачи можно построить в виде ряда по степеням х, равномерно сходящегося на отрезке [0, 1/2]. В частности,

а(х)

х

х - У + о(х4).

имеет решение

Заметим, что существование ограниченного при е ^ +0 решения уравнения (17), составленного для рассматривает примера, следует из свойства асимптотической устойчивости точки покоя У0 = е х так на-

У

е

0

V

е

0

зываемого присоединенного уравнения:

¿V -2ху -2 — = е 2^ - V2,

равномерно по х е [0, 1/2] и у е [0,8] при любом 8 > (3, что находится в полном соответствии с теоремой Тихонова о предельном переходе [2].

В случае уравнения (1), когда

Н( х, у, V) = Н( х, у),

всякая функция У0(х, ф(х)/ е), удовлетворяющая уравнению (19), очевидно, будет неограниченной при любом способе стремления е к нулю, и в этих условиях можно говорить лишь о предельном переходе.

в следующем разделе статьи на примере уравнения химической кинетики будет показано, как из голоморфности интегралов следует предельный переход. Поведение решения этого уравнения при стремлении параметра к нулю подробно описано в книге [7]. Однако мы считаем, что указанный подход можно применять и в тех случаях, когда использование метода верхних и нижних решений затруднено.

Предельная теорема

Рассмотрим интеграл и 1(х, у, V, е). Ясно, что первый интеграл и :(х, у, V, е) = ст, или в развернутом виде

х - ст

v - v„

h(x, y)

■ + s

h

' (v - v0)2

+ h

' (v - v0)

(20)

h-3(x, y) + ...

при каждом фиксированном ст е [0,1] определяет решения системы (2) такие, что 1<ст, е) = V,,.

Далее будем считать, что решение у( х, е) уравнения (1) принадлежит классу ¥к [0, 1], если оно существует на отрезке [0, 1], и выполнены следующие два условия:

1. Усте^0,-2^ЗМст >0:

Уе е (0, е0)Ух е [ст,1 - ст] | у'(х, е)| < Мст;

2. Уе е (0, е0) кривая Ге = {(х, у(х, е)); х е [0, 1]}

принадлежит П.

Если y(х,s) е Vh [0, 1], то v(x, s) = y'(x,s) ограничено на отрезке [ст, 1 -ст]. Поэтому правая часть интеграла (20), которую мы обозначим через W:(x, y, v, s) при s ^ 0 также будет стремиться к нулю равномерно на множестве П у5 при каждых фиксированных значениях у > 0 и 5 > (3, определяемых константой Мст из условия 1.

Теорема 2 (о предельном переходе). Если y(х, s) е Vh [0, 1], то имеет место предельный переход

lim y(x, s) = q>(x)Vx е (0; 1). (21)

Доказательство. Пусть y(x, s) — решение уравнения (1) из класса Vh[0,l]. Предположим противное, т. е. что для некоторого x е (0, 1) предел (21) не имеет места, и выберем ст е (0, 1/2) так, чтобы x е (ст, 1 - ст). Это означает, что существует последовательность sk ^ 0 и константа у1 > 0 такие, что | yk -q(x)|>y1, где yk = у (x, sk). Но тогда найдется положительная константа у2, для которой будет выполнено неравенство | h(x, yk )| > y2 при всех к = 1, 2, ..., из которого следует, что (x, yk) е П . Согласно вышеизложенным рассуждениям, W 1(x, y, v, sk) ^ 0 при к ^ да равномерно на множестве П 5.

с другой стороны, 2

W1(x, y(x, sk), v(x, sk), sk) = x -

ст,

поскольку у( х, е) есть решение уравнения (1). Отсюда следует, что х = ст, а это противоречит выбору о.

Теорема доказана.

Пример краевой задачи

рассмотрим краевую задачу

е$ = (у -ф(х))2'+1; (22)

у(0, е) = у(1, е) = 0 (к е N, е > 0).

разрешимость задачи (22) следует как из теоремы об обратной функции в банаховом пространстве, так и из принципа Шаудера [6]. Наложим на функцию ф( х) следующие условия:

1. ф( х) вещественно-голоморфна на отрезке [0, 1];

2. ф ''(х) < 0 Ух е [0,1];

3. ф(0) > 0, ф(1) > 0.

Лемма 2. При выполнении условий 1—3 решение задачи (22) удовлетворяет неравенству

0 < у(х, е) < ф(х)Ух е [0, 1] Уе е (0, е0).

При этом интегральная кривая у = у(х, е) является выпуклой на рассматриваемом отрезке.

Доказательство. Пусть это не так. Тогда существует дуга 1е кривой у = у{х, е), лежащая выше кривой у = ф( х) и пересекающая ее (в силу краевых условий и условия 3) в точках Т1 и Т2 с абсциссами х1 и х2 соответственно (х1 < х2). Как следует из уравнения (22), дуга ¡г является вогнутой на отрезке [х1, х2], а значит лежит ниже хорды Т1 Т2. Но, в соответствии с условием 2, дуга кривой у = ф(х) с концами в точках Т1 и Т2 является выпуклой и поэтому лежит выше хорды Т1 Т2, а это противоречит предположению, что 1е находится выше кривой у = ф( х). Выпуклость кривой у = у (х, е) на отрезке [0,1] (при каждом е > 0) следует из уравнения (22).

Следующая лемма имеет тривиальный характер и доказывется с помощью простейших геометрических рассуждений.

Лемма 3. Если у(х) > 0 и

у"(х )<0 Ух е [0,1], то для любого ст е (0, 1 / 2) на отрезке [а, 1 - а] выполняется неравенство | у'(х) | < R / ст, где R = max у(х).

хе[0,1]

Доказательство. Вернемся к краевой задаче (22). Из леммы 2 следует, что кривая y = y(х, е) является выпуклой, а также находится ниже кривой y = ф(х) и выше оси абсцисс при каждом е >0. Следовательно, max у(х, е) < R1, где R1 = max ф(х). Поэто-

хе[0,1] хе[0,1]

му к у (х, е) можно применить лемму 2: | у'(х, е) |< R1 / ст Ух е [ст, 1 - ст],

т. е. у(х,е) е Vh[0, 1].

Таким образом, в соответствии с предельной теоремой,

limУ(х, е) = ф(х) Ух е (0;1).

Лемма 3 доказана.

Замечание. Уравнение (22) встречается в химической кинетике, и условие принадлежности его решения классу Vh [0, 1] является естественным.

Заключение

Предложенный в работе подход может быть использован в сильно нелинейных, сингулярно возмущенных системах дифференциальных уравнений при исследовании предельного перехода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. 400 с.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф.

Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

3. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф.

Регуляризованные асимптотические решения интегродифференциальных уравнений типа фредгольма с нестабильным спектральным значением ядра интегрального оператора // Вестник МЭИ. 2010. № 6. С. 23-33.

4. Ломов С.А., Качалов В.И. Псевдоаналитические решения сингулярно возмущенных задач // Доклады РАН. 1993. Т. 334. № 6. С. 694-695.

5. Качалов В.И. Голоморфная регуляриза-

ция сингулярно возмущенных задач // Вестник МЭИ. 2010. № 6. С. 54-62.

6. Треногин В.А. функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

7. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М.: Мир, 1988. 247 с.

8. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. 232 с.

9. Качалов В.И. Гомоморфизмы в теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1660-1661.

10. Качалов В.И. Алгебраические основы теории сингулярно возмущенных уравнений // Доклады РАН. 2012. Т. 443. № 1. С. 7-8.

сведения об авторе

КАЧАЛОВ Василий Иванович — кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики Национального исследовательского университета «Московский энергетический институт».

111250, Россия, г. Москва, Красноказарменная ул., 14 [email protected]

Kachalov V.I. HOLOMORFIC IN THE PARAMETER INTEGRALS OF THE SECOND-ORDER EQUATIONS PERTURBED SINGULARLY AND LIMIT THEOREMS.

Holomorphic in the parameter integrals of the second-order equations perturbed singularly have been built up on the basis of homomorphisms of algebras of holomorphic functions of different numbers of variables. A limit transition theorem follows from those integrals.

homomorphism, limit transition, pseudoholomorphic solution, equation perturbed singularly, commutation relation.

REFERENCES

1. Lomov S.A. Vvedenie v obshchuyu teoriyu singulyarnykh vozmushcheniy. Moscow, Nauka, 1981, 400 p. (rus)

2. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asimptotichekie razlozheniya resheniy singulyarno vozmushchennykh uravneniy. Moscow, Nauka, 1973, 272 p. (rus)

3. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Regulyarizovannye asimptoticheskie resheniya integrodifferentsial'nykh uravneniy tipa Fredgol'ma s nestabil'nym spektral'nym znacheniem yadra integral'nogo operatora. Vestnik MEI, 2010, No. 6, pp. 23-33. (rus)

4. Lomov S.A., Kachalov V.I. Psevdoanaliticheskie resheniya singulyarno vozmushchennykh zadach. Doklady BAN, 1993, Vol. 334, No. 6, pp. 694-695. (rus)

5. Kachalov V.I. Golomorfnaya regulyarizatsiya

singulyarno vozmushchennykh zadach. Vestnik MEI, 2010, No. 6, pp. 54-62. (rus)

6. Trenogin V.A. Funktsional'nyy analiz. Moscow, Nauka, 1980, 496 p. (rus)

7. Chang K., Khaues F. Nelineynye singulyarno vozmushchennye kraevye zadachi. Moscow, Mir, 1988, 247 p. (rus)

8. Bibikov Yu.N. Obshchiy kurs obyknovennykh differentsialnykh uravneniy. Leningrad, Izd-vo LGU, 1981, 232 p. (rus)

9. Kachalov V.I. Gomomorfizmy v teorii differentsial'nykh uravneniy. Differentssialnye uravneniya, 2011, Vol. 47, No. 11, pp. 1660-1661. (rus)

10. Kachalov V.I. Algebraicheskie osnovy teorii singulyarno vozmushchennykh uravneniy. Doklady BAN, 2012, Vol. 443, No. 1, pp. 7-8. (rus)

THE AuTHOR

KACHALOV Vasily I.

National Research University "Moscow Power Engineering Institute", 14 Krasnokazarmenya St., Moskow, 111250, Russia [email protected]

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014