Регуляризованная асимптотика решений интегродифференциальных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 2 (2018). С. 3-12.

УДК 517.538

РЕГУЛЯРИЗОВАННАЯ АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ЯДРАМИ

A.A. БОБОДЖАНОВ, В.Ф. САФОНОВ

Аннотация. Метод регуляризации Ломова обобщается на уравнения в частных производных с интегральными операторами, ядро которых содержит быстро изменяющийся экспоненциальный множитель. Исследуется случай, когда верхний предел интегрального оператора совпадает с переменной дифференцирования. Для таких задач развивается алгоритм построения регуляризованной асимптотики. В отличие от работ М.И. Иманалиева, где для аналогичных задач с медленно изменяющимися ядрами исследуется только предельный переход при стремлении малого параметра к нулю, здесь строится асимптотическое решение любого порядка (по параметру). Отметим, что метод регуляризации Ломова применялся в основном для обыкновенных сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений (см. подробную библиографию в конце статьи). В одной из работ авторов был рассмотрен случай уравнения в частных производных с медленно изменяющимися ядрами. Разработка этого метода для уравнений частных производных с быстро изменяющимися ядрами ранее не проводилась. Тип верхнего предела интегрального оператора в таких уравнениях порождает две принципиально разные ситуации. Наиболее трудной является ситуация, когда верхний предел оператора интегрирования не совпадает с переменной дифференцирования. Как показали исследования, в этом случае у интегрального оператора могут возникнуть характеристические значения, и для построения асимптотики потребуются более жесткие условия на исходные данные задачи. Ясно, что эти трудности возникают и при исследовании интегродифференциальной системы с быстро изменяющимся ядром, поэтому в данной работе сознательно избегается случай зависимости верхнего предела интегрального оператора от переменной х. Кроме того, предполагается, что та же закономерность наблюдается и в быстро убывающей экспоненте ядра интегрального оператора. Любые отклонения от этих (казалось бы незначительных) ограничений сильно усложняют задачу с точки зрения построения ее асимптотического решения. Предполагается, что в дальнейшем в наших работах будут продолжены исследования в направлении ослабления этих ограничений.

Ключевые слова: сингулярно возмущенный, интегродифференциальное уравнение, регуляризация интеграла.

Mathematics Subject Classification: 35R09, 45К05

A.A. Bobodzhanov, V.F. Safonov, Regularized asymptotics of solutions to integro-

differential partial differential equations with rapidly varying kernels.

©Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. 2018.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам при Президенте РФ (проект НШ-2081.2014.1).

Поступила 19 мая 2017 г.

В настоящей работе рассматривается интегродифференциальная система

е= А (^ у х, £) + £ е± И т ок х, 8) у х, £) й8 + н х),

у (0,х,£) = у0(х) ((1,х) е [0, Т] х [0,Х]) , ( )

с быстро изменяющимся ядром. Ставится задача о построении регуляризованного (по С,А, Ломову; см, [1], стр. 35, 137-144) асимптотического решения задачи (1), Ранее рассматривались в основном системы для обыкновенных дифференциальных уравнений с медленно изменяющимися ядрами (^(¿) = 0; см, подробную библиографию в [2-3]), В работе [4] (стр. 53-61) для случая ^(¿) = 0 исследовался лишь предельный переход при е ^ +0 в интегродифференциальной системе в частных производных, а в работе [5] для указанного случая строилась регуляризованная асимптотика любого порядка по е.

Переходя к разработке алгоритма построения регуляризованных асимптотических решений для системы типа (1) с быстро изменяющимся ядром, отметим, что зависимость матрицы А от переменной х существенно не влияет на развитие этого алгоритма. Возникают лишь вычислительные трудности; основные же идеи разработки алгоритма остаются неизменными. Поэтому с самого начала будем предполагать, что матрица А не зависит от х. Кроме того, те умаляя общности, можно считать, что Т = X = 1.

§1. Регуляризация задачи (1)

Будем предполагать выполненными следующие условия:

1) матрица А (г) е С™ ([0,1], Спхп), функция к (г, х) е С™ ([0,1] х [0,1], С), функция ^ (¿) е С™ ([0,1] , С1), ядро К (1,х,в) принадлежит пространству С™ ({0 < ж < 1,0 < 5 < г < 1} , Спхп);

2) спектр {А, (¿)} матрицы А (¿) и спектральное значение ^ (¿) ядра интегрального оператора удовлетворяют требованиям:

а) \ (¿) = А, (г) , г = 3, ц, (I) = Xí (г), г,з = 1^ (V е [0,1]);

б) Яе А, (г) < 0, А, (¿) = 0, (¿) < 0 3 = 1,п (V* е [0,1]).

Обозначим ^ (¿) = \п+1 (¿) и, следуя [1], введем регуляризирующие переменные

т, = 1 /* А, (в) ¿8 = , з = 1,п +1. (2)

£ ио £

Для функции у (¿, х, т, е) поставим следующую задачу:

^I + ЕП+11 А, (*) Й - А (*) У - /о е' 7'т МК &у (8,х, ^,£) & = к (*,ж) ,

У(г,Х,Т,£) |0;Т=0 = у0 (ж) (Т = (Г1,...,Гп+1) , -ф = (^1,...,^п+1)) .

Связь задачи (3) с исходной задачей (1) такова: если у = у(1,х,т,е) — решение задачи

(3), то его сужение у (Ь,х,£) = у (^,х, ^^на регуляризирующих функциях (2) будет,

очевидно, точным решением исходной задачи (1), Однако задачу (3) нельзя считать полностью регуляризованной, так как в ней не произведена регуляризация интегрального оператора

3у = ^* е17- ^ ^К (I, х,з) , ^ ¿8.

Для его регуляризации, как известно, надо ввести (см, [1], с, 62), пространство М£, асимптотически инвариантное относительно оператора 3. Делается это так. Вводится класс и решений итерационных задач (см, ниже):

п+1

и = {у(г,х,т) : у = ^ у, (г, х) еТ +

(3)

+ уо (г,X), У, (г,X) е С™ ([0,1] х [0,1]) ,3 = 0,п + 1},

а затем берется сужение этого класса при т = ф (I) ¡е. Это и будет пространство М£. Для обоснования этого факта надо показать, что образ Зу(Ь,х, т) интегрального оператора З на элементе пространства и представим в виде степенного ряда

^к=0 £к У^ (^, х) е^с + у^ (Ь, х)^ , сходящегося асимптотически при е ^ +0 (рав-

номерно по (Ь,х) € [0,1] х [0,1]), Займемся этим вопросом.

На произвольном элементе у(Ь ,х, т) пространства и образ интегрального оператора J имеет вид

п+1 Г* ф м

Зу ^, х, т) = ^ е!/ - Л"+1 (е) леК (г, х, в) у3 (в, х) е^ёв+

3 = 1

{4)

+ I /¡К+тлек (г^^ 8) уо (в,х)(з. о

К каждому слагаемому этой суммы применим операцию интегрирования по частям. При ] = 1,п будем иметь

Г е! /- Л"+1(в) леК (I, х, в) у3 (з, х) еф2^(з = о

= е| /ьк+тм Г* к а,х, а) уз (а,х) е1 (е)-Хп+1{е))Ле(8 =

рр! Ю >*+тм Г* к( )Уз(З'х) ( (А /о- Л(0)-\п+1(в))йе\ ье Зо (з)-\п+ф)а \е )

¡10 \п+1(0)в,е (к &,х, Ю у ,х) еI /о- (Х.(в)-хп+1(в))де^_

1 (1Л

ее^ о Лп

^ Хз (в) — Хп+1^

10

^К^^^УЛ^^ /о Л (е)-\

о уде Хз (в) - Хп+1 (в)

К(I,х,(1,,х) рi |о4лз($)<!$_ К(г,х,0)у5(0,х) еi ¡^Хп+1(в)лв

Л3 (1)-Лп+1(1) 4

Лз (0)-Л„+1(0)'

1 ¡Л-+1(е)м (^к^хеш^Л 1 /о- (Лз(0)-лп+1(0))<10((

ье Л[дзЛз(з)-Лп+1(з) )е аь.

Введем обозначение I® (К (Ь,х, в) у3 (в,х)) = Л^-ХУ3^'^), 3 = 1,п. Тогда предыдущий результат преобразований можно записать в виде

£ /- Лп+1(е) лек (I, х, в) уз (в, х) =

е [130 (К (I, х, з) у3 (з, х))= еТз - 1$ (К (I, х, з) уз (з, х))=о ^] -

/1Лп+1(в)М Г* А (Т0<^ ' 1 ..(выл , .

ее1 /о лп+1(е) 1$ д_(!0 (к (I,х, в) уз (в,х))) е1%(Лз(е)-К+1(тв(8, 3 =

п,

з

Фз (г)

= 1 , п.

/о е1 /- к+1(е) леК (г, х, в) уз (в, х) е^ё-з -= Ек=0 (-1)кСк+1 (К ^ ,х, 8) у1 (8 ,х - {1к(К ,х, у1 (в,х)))8=0е

=

(5)

?Т„+1

з

Фз (^ ■ 1--тк

, ] = 1, п, а операторы 1к имеют вид:

10 (К а,х, 8) уз (8,х)) = К^ах

^з — Л.(3)-Лп+1(з)>

1}(К (г, х, в) уз (в, х)) = л3(^_Л„+,(з) Ь1!(к (г, х, в) уз (в, х)),

I? (К (I,х, 8) уз (8,х))

Лз(з)-Лп+1(з) дз _ _1_Jm—1

' Л3 (з)—Лп+1(з) 1

(К (Ь, х, в) уз (в, х)), т > 1, ] = 1,п.

о

£

е Тз-

Слагемое в (4) при ] = п +1 преобразуем следующим образом:

¡0 е 115 лп+1(/) мК (¿, Х) 8) уп+1 х) е^ =

= /0 е7 7^ л"+1(0) ^X (¿, ж, а) уп+1 (з, х) е175 л"+1(0) м¿8 = = е1 70 л-+!(0) К (I, х, з) Уп+1 (з, х) ¿8 = (7)

= (/0 К (Ь,х,8) Уп+1 (8,х) Ж^1 , Гп+! = ^.

И, наконец, для последнего слагаемого в (4) будем иметь

¡0 е 175 лп+1(0) мк (I, X, 8) у0 (8,х) ¿8 = е с к(3)У0((3'Х) ¿Зе175 л-+1(/) = е -л^+ф) е£ 1 в=о е} о е£ ^ -л„+1(5) У«5

К(¿,х,%о(*,х) К(¿,х,0)№(0,х) ^Гп+1

-л„+1(*) -л„+1 (0) е

+ е £ е 1 75ли+1(^(|_к(* Д,х)) ^

£ з лп+1(1/) "I/ | а

лп+1(я)

= ЕГ=0 М+1 (^ (*, X, э) У0 М) .=0) ет"+1 - /п+1 (^ (*, х, 8) У0 (8,'х))=] ,

(8)

/¿¡=0/ ^ ^п+1 V-11 V) ^ У0 V0)

где введены операторы

Т0 ( к (+„ Л (с гт.\\ — к(^Уо(^,х)

лп+1(я)

г™ ((+ г- г,\ п, (г, _ 1 э ™-1

/п+1 (К (г,Х,8) У0 (8,х)) = /п+1 (X (I, X, 8) У0 (8, х)) = /п;-!1 (X (г, х, 8) У0 (8, х)) , т > 1.

(9)

Асимптотическая сходимость рядов (5) и (8) доказывается так же, как и аналогичное утверждение в [2] (гл.8), Пусть теперь у (х,Ь,т,£) — произвольная функция, непрерывная по (Ь,х,т) € [0,1] х [0,1] х х{Дет3- < 0, ] = 1,п + 1} и имеющая асимптотическое разложение

те

У х, т,£) = ^/ £кУк ^, х, т), ук (г, x, т) € U, (10)

к=0

сходящееся при е ^ +0 (равномерно по (Ь,х,т) € [0,1] х [0,1] х{И,е ^ < 0, ] = 1,п + 1}), Введём операторы Кт : и ^ и, действующие та каждый элемент у(Ь,х,т) пространства и по закону:

И0У (г, x, т) = Д0 (Еп=+1 Уз (í, х) еТ' + У0 (í, ж)) = еТ"+1 10 К (¿, X, «) Уп+1 (в, х) ¿8,

0

Дк+1У (X, г, т) = (-1)к [ Еп=1 (1} (-К (г,х, 8) уз (я, х)))■ еТ^'- (11)

-(1к (К (1,х,8) у3 (8,х)))=0 еТ"+^ +

+ (4к+1 (К x, 8) У0 (5, х)))з=0 еТп+1 - (/п+1 (к (г, X, 8) У0 (5, х))) а=

=

где операторы /Зк имеют ^вд (6), а операторы — вид (9), к > 0. Операторы Ят

называются операторами порядка, (по е), так как при применении их к функции у(Ь,х,т) они выделяют члены порядка ет. Расширенный оператор для интегрального оператора 7 естественно определить следующим образом.

Определение 1. Формальным расширением оператора, 3 называется оператор 3, действующий на каждую функцию у (Ь,х,т,£) вида (10) по закону1

(те \ те / г \

^ екук (I, х,т) 4 ^ ^ Пг-кУк (I, х,т)\ . (12)

к=0 =0 к=0

-^начок = означает "равно по определению".

Теперь можно записать задачу, полностью регулярпзованную (по отношению к исходной (1)

д~ п+1 д~

& у (I, х, т, £) =£ ду + ^ Хз (I) ду -А (г) у -Зу = к (I, х), у(0,х, 0, £) = у0 (х), (13)

з=1 т з

( , х, , )

§2. Разрешимость итерационных задач

,

получим следующие итерационные задачи:

п+1 д

& уо (г, х, т) = ^ Хз (г) дуО - А (г) уо - Коуо = к (г, х), уо (0, х, 0) = у0 (х); (14о) =1 д з

& у1 (I т) = - ду? + П1уо, у1 (0,х, 0) = 0; (141)

L ук (t,х, т) = -дд—-1 + RiУк-i + ... + RkУо, Ук (0,х, 0) = 0, к > 1. (14к)

Каждая из итерационных задач (14к) имеет вид

n+i Я Я

L y(t ,х, т) = (t) -¡L + ß (t) Я- - А (t)y -Roy = Н (t ,х, т)

У(0,х, 0) = У* (х) ,

где Н (Ь, х, т) = Т1П+1 Нз (^, х) еТ + Но (Ь, х) € и, у* (х) € Ск [0,1] — известные функции, а Коу — оператор

/П+1 \ r.t

^ у, (t, х) ет + уо (t, х) J = ет"+1 ^

Roy (х, t, т) = Ro ( } ^ у, (t, х) eTj + уо (t, х) J = eTn+1 \ К (t, х, s) yn+i (s,х) ds.

n+l

Попробуем решить задачу (15), Подставляя элемент у (Ь, х, т) = ^П+1 уз (^, х) еТ + уо (^, х)

и

ЕЙ Хз (^ уз ^, х) еТз - ЕП=1 А (I) уз (I, х) еТз -

-А (I) уо (I, х) - еТп+1 /о К (I, х, в) уп+1 (8, х) ¿8 = ЦД Нз (I, х) еТ* + Но (I, х).

Приравнивая здесь отдельно свободные члены и коэффициенты при одинаковых экспонентах, получим уравнения

-А (г) уо (г,х) = Но (г,х), _

( Хз (1)1 -А (г)) уз (г, х) = Нз (г, х), з = 1,п, (16)

(Хп+1 (ь)1 -А (г)) уп+1 (1, х) - ¡о к (г, х, з) уп+1 (в, х) ¿з = Нп+1 (г, х).

Обозначим через рз (1) — Хз (^-собственный вектор матрицы А (1), а через \з (¿) собственный вектор матрицы А* (1) , причем системы век торов {рз (£)} и {\к (£)} возьмем биортонормированными:

А (I) рз (I) = Хз (I) рз (I), А* (I) Хк (I) = Хк (I) Хк (I), (Рз (Ъ , Хк (I)) = 5зк,

где 5зк — символ Кронекера ],к = 1,п. Перейдем теперь к системам (16), Первое уравнение (16) имеет единственное решение уо (Ь,х) = -А-1 (I) Но (Ь,х). Для разрешимости второй

системы (16) при фиксированном j G {1,..., п} в пространстве Сœ ([0,1] х [0,1] , С™) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

(Н3 (t,x) ,Xj (t)) = 0 (V(x,t) G [0,1] х [0,1]). Последнее уравнение (16) является уравнением Вольтерра второго рода с гладким ядром G (t, х, s) = (An+i (t) — A (i))-1 К (t, x, s) (в нем переменная x играет роль параметра), поэтому оно имеет единственное решение в пространстве Сœ ([0,1] х [0,1]). Если ввести в пространстве U скалярное (при каждом (t,x) G [0,1] х [0,1]) произведение

< у (t, Х,Т) , Z (t, X, т) > =

=< ES уз (t, х) eTj + m (t, х) , ЦД Zj (t, х) eT + z0 (t, х) >=

= Е^:+01 (уз (t, Х) , Z3 (t, Х)) ,

(,)

С™, то предыдущие рассуждения можно подытожить в виде следующего утверждения. Теорема 1. Пусть в уравнении (15) правая часть

п+1

H (t, х,т) = ^ Н3 (t, x) eTj + Н0 (t, x) G U :1

и выполнены условия 1) и 2). Тогда, для разрешимости уравнения (15) в пространстве U необходимо и достаточно, чтобы,

<Н (Ъ,х,т), хз СО еТ' >= 0 3 = 1,п (V&,х) € [0,1] х [0,1]). (17)

При ограничении (17) уравнение (15) имеет следующее решение в пространстве и : У х, г) = ^п=1 аз &х) Рз еТ +

+ ( /0 Я (г, X, в) (Ап+1 (в) I - А (в))-1 Яп+1 (в, х)

1 \ (18) + (Ап+1 (^ I - А (¿))-1 Яп+1 (Ь, х)) еТ"+1 -

-А-1 (г) Н0 (1,х),

где & (Ь,х,8) — резольвента ядра С (Ь,х,в) = (Ап+1 (¿) - А (¿))-1 К (¿,ж, з) (Ь,х) € € Сте ([0,1] х [0,1] , С1) — произвольные функции, ] = 1, п.

Подчиним решение (18) начальному условию у (0,ж, 0) = у* (ж). Будем иметь

Еп=1 «з (0,х) ч>з (0) - (0) Н0 (0, х) = у* (ж) ^ _ ^ а3 (0,х) = (у* (ж) + А-1 (0) Щ (0, ж) ,Хз (0)) = 1,п. ( )

Однако функции (¿, ж) не найдены полностью. Необходимо дополнительное требование на решение задачи (15), Такое требование диктуют итерационные задачи (14 к), из которых видно, что естественным дополнительным ограничением является условие

< -^ + П1У + Р (г, х, г), Хз (^ еТ >= 0 3 = (V (г, ж) € [0,1] х [0,1]) , (20)

где Р (¿, х, т) = Еп+1 рз (I,х) еТ + р0 (I,х) € и — известная вектор-функция. Покажем, что при выполнении требования (20) задача (15) имеет единственное решение в пространстве

и.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1)-2) и правая часть

Н (г,х,т) = Еп+11 Нз еТ' + Н0 (1,х) € и удовлетворяет условию ортогональности (17). Тогда, задача, (15) при дополнительном условии (20) однозначно разрешима в пространстве и.

Доказательство. Чтобы воспользоваться условием (20), вычислим выражение - Ц + К1'у. Так как

П1у(х,1, т) = - Еп=Л $ (К ^ з) уз (8 ,х))) , • еТз -

=

-(/о (К (I ,х, 8) уз (8 ,х))) =о е'Гп+1^

- [{1п+1(к ^, х, Ю уо ,х)) = - 1°+1 (к(, х, уо (а, х))а=о) ет"+1] уз ( 5,х) = аз (в, х) Рз (в) , уо (в, х) = -А-1 (в) Но (в, х),

1о° (К а х 8) у, (8 ,х)) = КШУ+Ш,

то

- § + П1у + Р (г ,х, т)

= _ д(аз(*,х)<Рз (*)) рТз_

^з=1 дъ с - д [ !о Я (1, х, 8) (Хп+1 (в)1 -А (в))-1 Нп+1 (в ,х) (8+ + (Хп+1 Ц)1 - А (I))-1 Нп+1 (I, х)]еТп+1 + | А-1 (I) Но (I, х) -

-Т<п=1 (^ (к (г, х, в) аз(в,х) Фз(в

=

+

- (1з (К (I, х, 8) аз (8, х) Рз (8))) =о ет"+1^

- [№+1 (К И, х, 8) уо (8, х)) = - 1Щ+1 (к Ц, х, 8) уо (8, х)) = ) еТп+^ + + ЕЙ Рз ^,х) еТз +Р0 (г,х) ,

поэтому условие (20) принимает вид

д(а3 (1,х)) + ( К(г)

д

Лз Ю-Лп+Ф)

фз СО ,Хз ю) аз ,х) +

+ ( Рз (I,х) ,Хз &)) = 0, 3 = 1, п. С учётом начального условия (19) это уравнение имеет единственное решение

аз (Ь, х) = еЯз

Яз (*,х)

аз (0,х)+ (Рз (в, х) ,Хз (в)) е-Я(З'х)(з

(21)

где дз (Ь, х) = ^К(s)—Л)<P,3|((s) - Фз (5), Хз (5)) ¿8, 3 = 1,п. Значит решение (14) в простран-

и

Прпменяя теоремы 1 и 2 к итерационным задачам (14к), построим ряд (10) с коэффициентами из класса и. Пусть у£м (Ь,х) = Ей=о вкук ^Ь,х, - сужение М-й частичной

суммы этого ряда при т = . Так же, как и в [2] (глава 8), нетрудно доказать следующий результат.

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1)-2). Тогда при £ € (0, ео] , где £о > 0 — достаточно мало, задача, (1) имеет единственное решение у (Ь ,х, £) € С1 ([0,1] х [0,1]) и имеет место оценка

||у (г, х, е) - уеМ (г, х) Нсаодмод]) < Смем+1 (М = 0,1, 2,...) ,

где постоянная См > 0 не зависит от £ € (0, ео].

о

§3. Решение первой итерационной задачи. Исследование проблемы инициализации

Поскольку в системе (14о) вектор-функция Н(t, х, т) = h(t, х) те зависит от т, то условия (17) для нее выполнены автоматически, поэтому система (140) имеет в пространстве U решение, которое можно записать в форме (см, (18))

yo(t, х,т) = af (t, х) (t) eTj - А~1 (t) h (t, x), (22)

i=i

где1 a^\t,x) G Cœ([0,1] x [0,1] , C1) — пока произвольные функции. Для вычисления этих функций найдем сначала ее значение в точке t = 0. Так как у0(0, х, 0) = у0 (х), то

E;=1 af (0, ж) ъ (0) - А"1 (0) h (0, ж) = у0 (x) ^ _ ^ af] (0,х) = (А~1 (0) h (0,ж)+ у0 (x) ,Хз (0)) ,j = 1,п. ( )

Для полного вычисления функций (t, х) надо перейти к следующей задаче (141) и подчинить ее правую часть условию ортогональности (17), В результате получим уравнения

d(af (t,x)}

( К (t,x,t) <pj (t) . Л (0)

U (t) - ! (t) - *j(i) ^ (t))

+ w ' ' : rJ A - <¿3 (t) ,ъ (t) ^ (t,x) = 0,j = l,n

dt \\j (t) - Ara+i (t)

и с учетом равенства (23) найдем, что

а(0) (Ь, х) = е^'ж) {А~1 (0) к (0,х) + у0 (х) , Хз (0)) , 3 = (24)

где qj (Ь,х) = /0 (д^рд^^) — (з) ,Хз ^-в, з = 1,п. Тем самым, однозначно найдем

решение (22) первой итерационной задачи (140).

Перейдем теперь к рассмотрению проблемы инициализации. Пусть Не Aj• (¿) < 0У С [0,1], з = 1, п. Тогда по теореме 3 имеем

11У(1,Х,£) — У£0(^,Ж)||С([0'1]х[0'1|) < Со£ ^

^ — (Е;=1 «(0) (*, х) ^ (I) еТз — А-1 (I) к (I, х)) ||с([0,1]х[0,1]) < С0в.

Отсюда при любом 6 € (0,1] получаем, что

((0) "з \

Е™=1 «) ) &,х) <Pj М е~ — А~1 СО к ||с([й'1]х[0'1]) >

(0) "з

> 11у(г,х,£) — Е™=1 «} ) &,х) <Pj М е~ + А-1 СО к (г,х) ^([¿д^д]) >

> 11У(1,Х,£) + Л-1 СО к (Ь,х) ||С([й'1]х[0'1]) —

— |1 Е™=1 «¿0) ^ е||с([й'l]х[0'l]),

.....|Х

откуда выводим, что

1-1

Hy(t,X,£) + А 1 (t) h (t,x) ||c([<5,1]x[0,1]) < Со£+

ST^n (0) U \ ! ^

Ei=i а)) (t,x) <pj (t) е -

£

< cq£ +

ЕП=1 d?) (t,x) ъ (t)

C([5,1]x[0,1]) <

_ К 6

e £ ,

С([<5,1] x [0,1])

где к = min (—Re Xi (t)) > 0. Следовательно,

j=1,n,i e[0,1]

||y(i, ж, e) + A-1 (t) h (t, x) ||c([<5,1]x[0,1]) ^ 0 (e ^ +0). (25)

Получен следующий результат.

1В выражениях типа у(верхний индекс (fc) означает номер итерации; не путать с к-й

производной.

Теорема 4. Если выполнены условия 1) и 2), причем Яе Хз (Ь) < 0V € [0,1], ] = 1,п,

= ( , х, )

а функция у(Ь,х) = -А-1 (Ь) к (Ь,х) является, решением вырожденного (по отношению к (1)) уравнения А (Ь)у (Ь,х) + к (Ь, х) = 0.

Хз ( ) .

например,

Хз (г) = ±гшз (г), шз (г) > 0 {з = Тт), Яе Хк (г) < 0

, _. (26)

(Ш€ [0,1] ,к = 2т +1,п).

В этом случае предельный переход (25) в метрике пространства С ([0,1] х [0,1]) становится невозможным, В связи с этим возникает следующая проблема инициализации: какими должны быть исходные данные задачи (1), чтобы равномерный предельный переход у (Ь, х, е) ^ у (Ь, х) (при е ^ был возможен на множестве [0,1] х [0,1], включая и зону пограничного слоя по I? Исходные данные задачи (1), удовлетворяющие этому требованию, называют классом инициализации Т. Так как

у ^, х, 6) = ЕГ=1 а(зо°(г, х)фз (г) е- /о «(е)ле + ^ р(о)^, х)фт+з (г) е+ /о «(е)ле+ + ^¡=2т+1 аТ (г, х)фк (I) е1 /о Лк(е)ле - А-1 (I) к (I, х) + О(е), 2 т

го перехода у (Ь, х, е) ^ уо° (Ь, х) на множестве [0,1] х [0,1] , поэтому их надо удалить, т.е. положить

азо) (г, х) = 0, рзо) , х) = 0 (V (г, х) € [0,1] х [0,1] , з = 1т) . Из формулы (25) следует, что это имеет место тогда и только тогда, когда

(ууо (х) + А-1 (0) к (0, х), хз (0)) =0, з= Т/М, Ух € [0,1]. (*)

Доказан следующий результат.

Теорема 5. Пусть для задачи (1) выполнены условия 1), 2) и (26). Тогда, для того чтобы, имел место предельный переход

||у(г, х, е) + А-1 (г) к (г, х) Нсагдмод]) ^ 0(е ^ +0), необходимо и достаточно, чтобы, выполнялось условие (*).

Однако условие (*) не описывает класс инициализации, так как экспоненты ехр 11 /о Хк (в) ¿91 (к = 2т + 1,п) не стремятся равномерно к нулю в окрестности точки ¿ = 0, поэтому в описании класса Т их тоже нужно убрать, В итоге получим следующий результат.

Теорема 6. Пусть для задачи (1) выполнены условия 1), 2) и (26). Тогда, для того чтобы, имел место предельный переход

||у(г, х, е) + А-1 (г) к (г,х) Цсаодмод]) ^ 0(е ^ +0),

необходимо и достаточно, чтобы, выполнялось условие

(уо (х) + а-1 (0) к (0, х), Хз (0)) = 0,3 = г;п,

значит класс инициализации не зависит от ядра и описывается следующим образом:

Т = {(у°, к, К, А) : (уо (х) + А-1 (0) к (0, х) , Хз (0)) =0, 3=1^, } .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ломов С.А. Введение в общую т,еорию сингулярных возмущений. М.: Наука,1981. 400 с.

2. Сафонов В.Ф., Бободжанов A.A. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные уравнения и метод регуляризации: учебное пособие. М.: Издательский дом МЭИ, 2012. 414 с.

3. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Издательство Московского университета, 2011. 456 с.

4. Иманалиев M.II. Методы решения обратных задач, и их приложение. Фрунзе: 11. II IM. 1977. 348 с.

5. Бободжанов A.A., Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения начальной задачи для системы интегродифференциальных уравнений в частных производных // Математ. заметки. 2017. Т. 102, вып. 1. С. 28-38.

Абдухафиз Абдураеулович Бободжанов, Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт», ул. Красноказарменная, 14, 111250, г. Москва, Россия E-mail: boboj anova@mpe i. ru

Валерий Федорович Сафонов,

Национальный исследовательский университет

«Московский энергетический институт»,

ул. Красноказарменная, 14,

111250, г. Москва, Россия

E-mail: Saf onovVF@mpei .ru