СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ПРИ НАЛИЧИИ "СЛАБОЙ" ТОЧКИ ПОВОРОТА У ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2020. Том 27, № 3

УДК 517.928.2

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ПРИ НАЛИЧИИ «СЛАБОЙ» ТОЧКИ ПОВОРОТА У ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА П. В. Кириченко

Аннотация. Статья посвящена развитию метода регуляризации С. А. Ломова на сингулярно возмущенные задачи Коши в случае нарушений условий стабильности спектра предельного оператора. В частности, рассмотрена задача при наличии «слабой» точки поворота, в которой собственные значения «слипаются» в начальный момент времени. Задачи с подобного рода спектральными особенностями хорошо известны специалистам в математической и теоретической физике, а также в теории дифференциалных уравнений, но с точки зрения метода регуляризации ранее не рассматривались. В представленной работе восполняется этот пробел. На основе идей асимптотического интегрирования задач со спектральными особенностями С. А. Ломова и А. Г. Елисеева указано, каким образом следует вводить ре-гуляризирующие функции, подробно описан алгоритм метода регуляризации в случае «слабой» точки поворота, проводится обоснование этого алгоритма и строится асимптотическое решение любого порядка по малому параметру.

Б01: 10.255877SVFU.2020.43.25.001

Ключевые слова: сингулярно возмущенная задача Коши, асимптотическое решение, метод регуляризации, точка поворота.

Введение

Различным методам асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач посвящено огромное количество работ (см., например, [1-7]). Задачи со спектральными особенностями также давно под пристальным вниманием исследователей [8-11]. Новизна представленной работы состоит в том, что методом регуляризации строится глобальная регуляризованная асимптотика на всем отрезке [0, Т] неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями. Проведенные в статье исследования являются развитием работы [12], в которой описана методика построения регуляризованного асимптотического решения для задач с нестабильным спектром с «простой» точкой поворота, т. е. ситуации, в которой собственные значения в отдельных точках обращаются в нуль (как сказано в [12], «предельный оператор дискретно необратим»). Основные идеи настоящей работы тезисно изложены в [13]. Для того чтобы

© 2020 Кириченко П. В.

выявить особенности построения асимптотики решения в случае «слабой» точки поворота и не усложнять изложение дополнительными вычислениями при наличии стабильной части спектра, рассмотрим задачу в М2. Пусть дана задача Коши:

£ди =А(Ь)и + 1г(Ь,х), и{0,х) = и°(х) = ("¿И У (1)

_ О _ _ - 1 А» I/ и. | !Ь\Ь. ^ \ . - СЬ --П / ч

дг дх2 у ' у ' у ' у ' ^°(х)

и выполнены следующие условия:

1) Н(г,х) £ Сто([0,Т] х М,М2), Н(г,х) ограничена вместе со всеми своими частными производными по х;

2) А(г) £ Сто([0, Т(М2,М2)) - оператор простой структуры;

3) для спектра оператора А(г):

а) Аг(г) £ СТО([0,Т], С), I = 1, 2;

б) А 1(г) = А2(г) £ (0, Т];

в) А2(г) - А1(г) = г ■ а(г), где а(г) = 0;

4) Ие А* (г) < 0, г = 1, 2, при г £ [0,Т].

При описании стабильного спектра оператора А(г) в качестве сингулярного многообразия (функций) согласно методу С. А. Ломова [14] берут экспоненты вида

t

= у Аг(з) <¿5, ¿=172. 0

При наличии спектральной особенности в виде «слабой» точки поворота (условие 3) подходящие функции можно получить из решения следующей задачи Коши:

■>=(Ао" А,"«)) ■ + <( 1 ■ ■<0»ЧО. (2)

Решив (2) методом последовательных приближений (см. лемму 1), получим для ■ (г) ряды, членами которых являются сингулярные «к-моментные» интегралы:

= ... | е(-1)к+1Д.(зк)/е ^ . . . 1,

0 0 0

%-V-'

к интегралов

^2,к = е^«^ е-^^у еД^2)/е I е(-1)кД^к)/е л3к ¿31 0 0 0

к интегралов

Нетрудно установить, что <г^к удовлетворяют следующим соотношениям:

£°%к = А1 (г)^1,к + е^2,к-1, £&2,к = А 2(г)^2,к + 1,к — 1,

СТ1,к (0) = 0, &2,к(0) = 0, к > 1.

Именно эти «к-моментные» интегралы представляют многообразие функций, необходимое для регуляризации задачи (1).

(3)

1. Вспомогательная лемма

Для обоснования формализма метода регуляризации в случае «слабой» точки поворота сформулируем и докажем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Решение (2) представляется в виде равномерно сходящегося ряда на [0, T] х (0, £о] и допускает оценку:

(a) если Re Ai < — S < 0, то

IIJ||C[0,T] < e-5t/eс,

(b) если Re Ai < 0, то

IIJ||c[0,t] < C,

где C > 0 — константа, не зависящая от е.

Доказательство. Решив (2) методом последовательных приближений, получим

t

J(t) = ехр + ехр J ехР ■ Т ■ exр ds

0

t s

+ ехр J ехр ("^Л^ • Т • ехр | ехр ("^о') • Т

00

ехр ( — Aq1 ) dsids + ...

здесь

T _f0 A .t _( у! (t) 0

T 0) ' Ло Ч 0

Используя свойство

T-expf-f^ 0 ^-ехр^И^ °

чд о 0 М

(t)

• T,

получим

J(t) = ехр +ехР J ехр (jA°)Tiis

о

t s

+ ехр ( -Agj J ехр J ехР ^""^о1 ) dsids

оо

t s

+ ехр(^Л^ У exJ ехр оо

s 1

'1

У ехр (^As02^jTds2ds1ds +... , (4)

здесь

△ = ( ^2 (г) - <Мг) 0

△ I 0 <мг) - ^2 (г)

Покомпонентно (4) выглядит следующим образом:

=ехр + ехр J ехр ¿в

0

Ь в

+ ехр J ехр J ехр ^—Д«/?^)^ ¿в^в + ...

00 Ь

= ехр + ехр J ехр ¿в

0

Ь в

+ ехр J ехр J ехр + ...

00

Равномерная сходимость рядов (5) следует из следующих оценок: (а) для Ие Аг < -6 < 0, г £ [0,Т]:

|е^(Ь)/е| < е—5Ь/е,

Ь

0

Ь £ з

г / Яе А1(в1) Яе А2 (в2) й«2/е

< 0 ¿в

0

Ь

Ь в1 «1.-1

еД^(«1)/^ е—Д^(«2)/е ... | е(—1)пД^(«„)/е ...^

0 0 0

Ь в1 «п-1

< II I е(^1(*)—^1(«1)+-+(—1)"+1^1(«"))/е

0 0 0

(5)

< у е—15(Ь—'«+«)/е ¿в = е—5Ь/е ■ г, ... 0

_ п!

Таким образом,

аналогично

|Л(г,е)| < е—5Ь/е ■ еЬ < ет ■ е—5Ь/е;

■г(г,е)| < ет ■ е—5Ь/е.

(Ь) для Ие Аг < 0, I е [0,Т]:

< ет, I = 1, 2.

Следовательно, ряды (5) сходятся равномерно по е и 4 на [0,Т] х (0,ео]. Кроме того, легко проверяется, что ряды выдерживают действие оператора е • в любой степени.

2. Формализм метода регуляризации

Решение задачи (1) будем искать в виде

u(t, x, е) = ^^ &i,kyk(t, x,е) ®2,kzk(t, x, е) + w(t, ж, е). (6)

k=0 k=0

Подставим (6) в уравнение задачи (1). Учитывая соотношения (3), собираем слагаемые при <ri,k и <r2jk :

{Ait) - A!(i))yfe = - е2^ + ezfe+\ _

(A(i) - X2(t))zk = ezk -e2zkx +eyk+1, k = 0,oo, (7)

Aw = eww — e2wxx — h(t, x).

Вектор-функции yk(t, x, е), zk(t, x, е) и w(t, x, е) ищем в виде регулярных рядов по е:

œ œ

yk(t, x, е) = £ етут(t, x), zk(t, x, е) = £ е™^(t, x),

m=0 m=0

œ

w(t, x, е) = ^^ x).

m=0

Подставляя ряды (8) в систему (7), выпишем слагаемые перед е0: (A(t) — Ai(t))yk (t, x) = 0,

(8)

(A(i) - \2{t))zk{t,x) = 0, к = 0, oo, (9)

A(t)w0(t, x) = —h(t, x), Решение (9) имеет вид

y0k (t, x) = «k(t, x)ei(t),

z%{t,x) = fâ{t,x)e2{t), к = ÏÏTôô, (10)

W0(t, x) = —A-1(t) • h(t, x),

здесь ej(t) — собственные векторы, соответствующие собственным значениям Ai(t), г = 1,2, а произвольные скалярные функции Oq(î, ж), /3q(î, ж) будут определены на следующем итерационном шаге. Начальные условия задачи (1) для слагаемых с е0:

а0 (0,x)ei(0) + e0(0,x)e2(0) = u0(x) + A-1(0)h(0,x)

или (11)

«8(0, X) = A(x) + M, flo(0, x) = u°(x) +

Так как 01^(0) = 0, с2,к(0) = 0 при к > 1, то а°(0,х), во (0,х) могут принимать произвольные значения на данном итерационном шаге.

Перейдем к слагаемым в системе (7) перед е1, учитывая решения (10):

(А(г) - А1(г))ук(г,х) = (а§(г,х)+ с^г)а§(г,х))е1(г) + (ак (г,х)с2(г) + вок+1(г,х))е2(г),

(А(г) - А2(г))*к(г,х) = (в0к(г,х) + С22(г)вок(г,х))е2(г)

+ (вок (г,х)с2(г)+ ак+1(г,х^ е1(г)

2 (

к+1/-

(12)

здесь С/ (г) — коэффициенты разложения е 1(г) и е2(г) по базису собственных векторов е1(г), е2(г):

2

<Мг)=£с/(г)е/(г), г = 1,2.

Из условий разрешимости и точечной разрешимости в нуле для (12) имеем системы при к = 0:

а0(г, х) + с1(г)а0(г,х) = 0, ( в0(г,х) + с22(г)в0(г,х) = 0,

в§ (0, х) = иЦ(х) +

н2(0,х)

а2(0) '

(13)

и при к > 1

(г,х) + сЧгК (г,х) = 0,

а ° (г, х

в0к—1 (0,х)с2(0) + ¿к (0, х) = 0,

в0к (г,х) + с|(г)вк (г,х) = 0,

ак—1(0,х)с12(0) + вк(0, х) = 0.

(14)

Из (14) определяются начальные условия для а°(г, х) и во(г,х) при к > 1, в выборе которых остался произвол на предыдущем итерационном шаге:

ак (0, х) = -в0к—1(0,х)с21(0), вк (0, х) = -акТ11 (0, х)с?(0). (15) Выпишем решения систем (13), (14):

ак (г,х) = ак (0, х) ехр

-*.....е. / с,)4

(16)

Отметим, что а°(0, х) и во(0, х) определены в (11). Тогда а°(0, х) и во (0, х) при к > 1 определяются однозначно из рекуррентных соотношений (15).

Ь

Решения системы (12) примут вид

у2 (4, ж) = ак (4,ж)е 1 (4) +

^ к (¿,ж) = в к(*,х)е2ф +

вк МС1 (4) + ак+1 (4, ж)

А1(4) - А2(4)

ж) = -А-\г)-{щ){г,х)) = - ( А-\г)

А

е2(4), е1(4),

(17)

Заметим, что начальные условия (15) и условия 1-3 задачи (1) обеспечивают гладкость вектор-функций ж) и ¿к(4,ж) на отрезке [0,Т].

Начальные условия для а0(4, ж), в 0(4, ж) определяются из начальных условий задачи (1) для слагаемых с е :

а0(0,ж)е 1 (0) + в0 (0,ж)е2(0) = в0(4,ж)С2 (4) + а0 (4, ж)

А1 (4) - А2 (4)

1[> ХгЮ-ХгЮ

е2(4)

(18)

¿=0

Произвольные а^(4, ж), вк(4, ж) и начальные условия для них при к > 1 определяются на следующем итерационном шаге.

Рассмотрим теперь слагаемые перед е2 в системе (7):

(А(4) - А1(4))у2к = ук - (ук )хх +

(А(4) - а2(*))^2 = ¿к - (¿к)хх + у2 = ич - (^0)хх.

к+1

к+1

(19)

Перепишем систему (19), учитывая найденные ранее решения для ¿5% в (17) и решения , ¿ц, в (10):

(Лф - а1(4))у2

акс2с1 ак+2

лк , , 0 12 "О / & л \

ах + ах Н-------(а0 )хх е\

А2 - А1

■2„к , д/с+1 , ^ АарС2 + /?р+1

+ с^ак + в;

+

А2 - А1

+

А2 - А1

к+1

С22 )е2,

окс 1с2 - вк+2

- А2(^ = ( # + С2^ + ^Чд ° " ]е2

(20)

Ат о = - М"1 —

+

/те+<*5

к+1

А1 - А2

С1 К

/ М«, ^ + А 1}гXX-

Из условий разрешимости (20) имеем

а к + ОД = № ж), вк + С22вк = /!(*, ж)

(21)

2

4

где введены обозначения

ак C2 C2 - ак+2

A2 — Ai

okr11r<2 ok+2 fl_ rkf, \ _ (ok \ Po°2°l P 0

/k (t,x) = (вк )xx —

A1 - A2

. (22)

Начальные условия для а0(0,х) и в0(0,х) определены равенством (18). А для а°(0, х) и вк (0, х) при к > 1 их можно получить из условий точечной разрешимости в нуле системы (20): к+1

ак+ 1 (0,x) = —вк (0,x)C2(0) ^(t,x)CUt)+ak0+1(t,x)^lM d вк(t,x)CUt) + ak0+1(t,x)

Ai(t)_Aa(t) ¿i W + вк+ 1 (0,x) = —ak (0,x)C2(0)

dt

A 1 (t) — A2(t)

ak (x,t)C2(t)+ вк+1 (t,x)/

A2(t) — Ai(t)

C22(t) +

d ak(t,x)C2(t)+ ek+1(t,x)

dt

A2(t) — Ai(t)

t=0

t=0

(23)

Таким образом, имеем рекуррентные соотношения для начальных условий на функции ак (г, х) и вк (г, х) при к > 1:

ак(0, х) = -вк—1(0,х)с2(0) - 7к—1, вк(0, х) = -ак—1(0, х)С2(0) - 6к—1,

где 7к, 6к определены равенствами (23).

Следовательно, решения задач Коши (21), (23) для функций а°(г, х) и в°(г,х) полностью определены:

ak „.., = ak (о,., J (- J c^ods.)ds,

0 \ 0 /

вк (t,x) = вкМ^ /k(s,x)exp I — J C22(si) dsi Ids. 00

Тем самым определены решения системы (17). Продолжая аналогичный процесс, можно определить любой член ряда (6).

В завершение этого раздела приведем главный член асимптотики. Он представляется равномерно сходящимся на [0,T] х R х (0,60] рядом вида

t

(t,x,e) = (6-2(0) • С2(0))к • exp I — i Ci(s) ds к=0 \ 0

+ W - С» • (4%{x) + JCTl,2fc+1

Ai(0)

A2(0)

+ E(C1 (0) • С2(0))к • exp l-f Cl(s) ds

к=0 V 1

2(x) +

fc2(0, ж)

a2(0)

02,2к — C2(0) • U0(x) +

/11(0,3;) Ai(0)

02,2к+1

—A-1(t,x)h(t,x).

(24)

t

s

3. Оценка остаточного члена. Теоремы о предельном переходе

Пусть члены двойного ряда (6) в результате решения итерационных задач определены для 0 < д < то, 0 < р < к + 1, здесь д — итерационный шаг по е, а р — порядки сингулярных интегралов. Запишем соотношение для остатка (4, ж, е):

т к т

ж,е) = £ е9 ^ ж) + ж)) + ^ е9ад,(4, ж) + ет+1Дк,т(4, ж, е).

9=0 р=0 9=0

(25)

Подставив (25) в задачу (1) и учитывая результаты итерационных задач, полу-

еДк,т - е2(Дк,т)хх - А(4)Дк,т = -Н(4,ж,е), Дк,т(0, ж, е) = 0, (26)

где

н(4,ж,е) = ^ ут + ¿т+1 - (ут- Фт )хх)

р=0

к

+ ¿т + Ут+1 - (2т-1^х - ФтЬх) + ¿т - (Шт-1)И - е(Шт)Н.

р=0

Введем норму:

||ф,ж)|| = тах Ш*,ж)|, |уХ(*,ж)|, |уХ'х(*,ж)|>

¿е[0,т ],хек

Как следует из условий 1, 4 задачи (1) и оценок сингулярных интегралов в лемме 1, правая часть (26) имеет оценку

||Н(4,ж,е)|| < С У(£,ж,е) е [0,Т] х М х (0,е0].

Перепишем (26) в интегральной форме:

4 4

Ик,т = ~~ J 3)н(3' ж, е) ^ + е J ие{г, з)(В,к,т{з, х, е))хх (27)

0

где ие(4, в) — разрешающий оператор, являющийся решением задачи Коши

еЦф в) = А^ад в), Цф, в) |я=4 = I.

Из условий 4 на спектр в задаче (1) следует, что ?7е(£, в) ограничен на [0, Т] х [0, 4], е е (0,е0]:

||ие(М)|| < Сь

Следовательно, из соотношения

4

^ J ие(1,з)Н(з,х,е) ¿в = -ие(1,х,з)А-1(з)Н(з,х,е)\г 0

t

+ [ Ue{t,s)^—A~1(s)H(s,x,e)ds = —A^1(t)H(t,x,e) J ds

0

t

+ Ue(t,0)A-1(0)H(0,x,e) + [ Ue{t,s)^-A-1{s)H{s,x,e)ds

J ds

, X, с ; -Г I 0

получим оценку для первого слагаемого в (27):

t

< C2.

Для дальнейших рассуждений удобно воспользоваться нормой

11у(х)11с2 = тах{|У(х)1, |у'(х)1, |У''(х)|}.

Учитывая полученные выше оценки, для Дк,т из (27) можно записать:

еС1||йк,т||с2 . ^ --- ь £4-1,

||Rk,m||c2 < с2 + eCi у ||Rfe,mHc2 ds,

£<Ci/ ||Rfc,m|c2 ds + C2

(28)

eCi ^ ds + C2 < eeClt • C2.

Принимая во внимание первое и последнее выражения в (28), окончательно получим

||Rk,m|| < с V(t,X,e) е [0, T] х R x (0, ео]. Из этих оценок следует

Теорема 1 (об оценке остатка (асимтотическая сходимость)). Пусть дана задача Коши (1) и выполнены условия 1-4. Тогда верна оценка

m k m

u(t, X, e) - Eeq ^ (0i,Pyp(i, x) + 02,Pzp(i, x)) - ^ eq(t, x) < C • em+1,

q=0 p=0 q=0

где C > 0 — константа, не зависящая от e, а yp(t, x), zp(t, x), wq(t, x) получены из решения итерационных задач при 0 < q < m, 0 < p < k + 1.

Теорема 2 (о предельном переходе). Пусть дана задача (1) и выполнены условия 1-4. Тогда

(a) если Re Aj < — S < 0, то

lim u(t, x,e) = — A-1(t)h(t, x), t е [S0,T], где S0 > 0 сколь угодно мало;

ei0

(b) если Re Aj < 0, то

T

lim J (u(t,x,e)+ A-1(t)h(t,x))^(t)dt = 0 V^(t) е CTO[0,T].

t

Доказательство. Утверждение п. (а) непосредственно следует из оценок интегралов , 02iP в лемме 1.

В случае п. (b) <rijP, 02iP являются быстро осциллирующими функциями и доказательство предельного перехода в слабом смысле следует из леммы Рима-на — Лебега.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 5. C. 3-122.

2. Langer R. E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to a turning point // Trans. Amer. Math. Soc. 1949 V. 67. P. 461-490.

3. Треногин В. А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника — Виши-ка // Успехи мат. наук. 1970. Т. 25, вып. 4. C. 123-156.

4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1963.

5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

6. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уранениях. М.: Наука, 1977.

7. Ломов С. А., Елисеев А. Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач // Успехи мат. наук. 1988. Т. 43, вып. 3. C. 3-53.

8. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Регуляризованная асимптотика решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрами // Уфимск. мат. журн. 2018. Т. 10, № 2. C. 3-12.

9. Кучеренко В. В. Асимптотика решения системы -А(ж, — при h 0 в случае характеристик переменной кратности // Изв. АН СССР. Сер.мат. 1974. Т. 38, № 3. C. 625-662.

10. Кучеренко В. В., Осипов Ю. В. Точные и асимптотические решения систем с точками поворота // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1986. Т. 50, № 5. С. 1000-1014.

11. Ломов C. А., Сафонов В. Ф. Регуляризации и асимптотические решения для сингулярно возмущенных задач с точечными особенностями спектра предельного оператора // Укр. мат. журн. 1984. Т. 36, № 2. C. 172-180.

12. Елисеев А. Г., Ломов С. А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора // Мат. сб. 1986. Т. 131. С. 544-557.

13. Елисеев А. Г., Сальникова Т. А. Построение решения задачи Коши в случае «слабой» точки поворота предельного оператора // Математические методы и приложения. Материалы мат. чтений РГСУ. Руза: РГСУ, 2011. C. 46-52.

14. Ломов C. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

Поступила в редакцию 19 февраля 2020 г. После доработки 25 июня 2020 г. Принята к публикации 30 августа 2020 г.

Кириченко Павел Владимирович

Национальный исследовательский университет «МЭИ», Красноказарменная ул., 14, Москва 111250 к1г1сЬепкор¥@тре1.ги

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2020. Том 27, № 3

UDC 517.928.2

A SINGULARLY PERTURBED CAUCHY PROBLEM FOR A PARABOLIC EQUATION IN THE PRESENCE OF THE "WEAK" TURNING POINT OF THE LIMIT OPERATOR P. V. Kirichenko

Abstract: The article is devoted to the development of S. A. Lomov's regularization method for singularly perturbed Cauchy problems in the case of violation of the stability conditions for the spectrum of the limit operator. In particular, the problem is considered in the presence of a "weak" turning point, in which the eigenvalues "stick together" at the initial moment of time. Problems with this kind of spectral features are well known to specialists in mathematical and theoretical physics, as well as in the theory of differential equations; however, they have not been previously considered from the point of view of the regularization method. Our work fills this gap. Based on the ideas of S. A. Lomov and A. G. Eliseev for asymptotic integration of problems with spectral features, it indicates how to introduce regularizing functions, describes in detail the algorithm of the regularization method in the case of a "weak" turning point, and justifies this algorithm; an asymptotic solution of any order with respect to a small parameter is constructed.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.43.25.001 Keywords: singularly perturbed Cauchy problem, asymptotic solution, regularization method, turning point.

REFERENCES

1. Vishik M. I. and Lyusternik L. A., "Regular degeneration and boundary layer for linear differential equations with a small parameter," Russ. Math. Surv., 12, No. 5, 3—122 (1957).

2. Langer R. E., "The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to a turning point," Trans. Amer. Math. Soc., 67, 461—490 (1949).

3. Trenogin V. A., "Development and applications of the Lyusternik—Vishik asymptotic method," Russ. Math. Surv., 25, No. 4, 123-156 (1970).

4. Bogolyubov N. N. and Mitropolsky Yu. A., Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations [in Russian], Nauka, Moscow (1963).

5. Vasilyeva A. B. and Butuzov V. F., Asymptotic Expansions of Solutions of Singularly Perturbed Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1973).

6. Maslov V. P., The Complex Method of WKB in Nonlinear Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1977).

7. Lomov S. A. and Eliseev A. G., "Asymptotic integration of singularly perturbed problems," Russ. Math. Surv., 43, No. 3, 1-63 (1988).

8. Bobodzhanov A. A. and Safonov V. F., "Regularized asymptotics of solutions to integro-differential partial differential equations with rapidly varying kernels," Ufa Math. J., 10, No. 2, 3-13 (2018).

9. Kucherenko V. V., "Asymptotics of solutions of the system A(x, —ihas h —> 0 in the case of characteristics of variable multiplicity," Math. USSR Izv., 8, No. 3, 631-666 (1974).

© 2020 P. V. Kirichenko

A singularly perturbed Cauchy problem for a parabolic equation

15

10. Kucherenko V. V. and Osipov Yu. V., "Exact and asymptotic solutions of systems with turning points," Math. USSR-Izv., 29, No. 2, 355-370 (1987).

11. Lomov S. A. and Safonov V. F., "Regularization and asymptotic solutions of singularly perturbed problems with point features of the limit operator spectrum [in Russian]," Ukr. Math. J., 36, No. 2, 172-180 (1984).

12. Eliseev A. G. and Lomov S. A., "The theory of singular perturbations in the case of spectral singularities of a limit operator," Math. USSR Sb., 59, No. 2, 541-555 (1988).

13. Eliseev A. G. and Salnikova T. A., "Construction of a solution to the Cauchy problem in the case of a weak turning point of the limit operator [in Russian]," in: Matematicheskie Metody i Prilozheniya, Mater. Mat. Chtenii RGSU, pp. 46-52, RGSU, Ruza (2011).

14. Lomov S. A., Introduction to the General Theory of Singular Perturbations [in Russian], Nauka, Moscow (1981).

Submitted February 19, 2020 Revised June 25, 2020 Accepted August 30, 2020

Pavel V. Kirichenko National Research University "MPEI," 14 Kracnokazarmennaya Street, Moscow 111250, Russia kirichenkopv@mpei.ru