Регуляризация последовательностей в смысле Е. М. Дынькина Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 66-72.

УДК 517.53

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СМЫСЛЕ Е.М. ДЫНЬКИНА

Р.А. ГАИСИН

Аннотация. Вводится понятие сильной регуляризации положительных последовательностей. Доказан критерий существования регулярной в смысле Е.М. Дынькина миноранты неквазианалитичности для данной последовательности в терминах наименьшей вогнутой мажоранты логарифма ее функции следа. Доказательство опирается на свойства преобразования Лежандра.

Ключевые слова: класс Карлемана, регулярные последовательности, преобразование Лежандра.

Mathematics Subject Classification: 30D60

1. Введение

При изучении классов Карлемана С1 (Мп) на произвольных континуумах 7 комплексной плоскости особую роль играют в определенном смысле правильные последовательности {Мп} — многие утверждения доказаны именно для таких последовательностей. Оказывается, если 7 — дуга ограниченного наклона, то, как и в случае отрезка I = [0,1], в теоремах типа Банга последовательность чисел Мп > 0 может быть произвольной [1].

Пусть {Мп}^= 0 — последовательность положительных чисел. Некоторые из чисел Мп могут быть равны но предполагается, что существует бесконечное число конечных

Мп. Классом Карлемана на дуге 7 С C называется множество

С, (Мп) = {f Е С™ (-у) : sup \f (n)(z )| ^ К]МП) n = 0,1, 2,...}.

Здесь для любого а Е 7 производная f (а) понимается как предел

/ (а) = lim М-Ж.

z — а

Высшие производные f (п\а) (п = 2, 3,...) определяются по индукции.

Определение 1. Класс С1 (Мп) называется квазианалитическим, если из того, что f Е С1 (Мп) и f(n)(c) = 0 при всех п > 0 в некоторой точке с дуги 7, следует, что f(z) = 0.

Необходимые и достаточные условия квазианалитичности класса Cj(Мп) (Карлемана, Островского и Мандельбройта-Банга) приведены в теореме Данжуа-Карлемана [2, гл. IV,

1.III]. Из этой теоремы следует, что если lim Мп < <х>, то класс Ci(Мп) является ква-

1

зианалитическим. Потому в подобных утверждениях обычно считают, что Мга ^ при п —> оо.

R.A. Gaisin, Regularization of sequences in sense of E.M. Dyn'kin. © ГАйсин Р.А. 2015.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 15-01-01661). Поступила 1 января 2015 г.

Критерий квазианалитичности Островского формулируется в терминах функции следа

грТЪ

Т(г) = sup ——, г > 0.

п>0 Мп

Функция следа определена и конечна на положительной полуоси R+, а функция lnТ(еж), как верхняя огибающая линейных функций, является выпуклой функцией на R. Тем самым, функция следа Т(г) непрерывна на R+. Последовательность

МП = sup

п гр/ \

г>0 1 (Г)

называется выпуклой регуляризацией последовательности [Мп}^=0 посредством логарифмов. Она обладает свойствами [2]:

1) МП ^ Мп (п > 0); 2) (МП)» ^то; 3) МП ^ VMC-iMC+i (п > 1).

Кроме того, функции следа Т(г), Тс(г) последовательностей {МП}^=0, [МП}^=0 совпадают, и

МП = sup

г>0 тс(г)

Последовательность {Мп} будем называть регулярной в смысле Е.М. Дынькина, если

для чисел тп = ^ выполняются свойства [3]:

а) т2п ^ тп-\тп+1 (п > 1); 1

б) г>?1 ^" <

1

в) ^ то при п ^ то.

Согласно теореме Данжуа-Карлемана класс Сх(Мп) является квазианалитическим тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из следующих эквивалентных условий

[2], [4]:

) Л"Т(О л ) ^ ^

г) / dr = д) -^с

с

п ^^ — ТО.

Г2 п Мп+1

1 п=0 "+1

Для регулярной последовательности {Мп}, как показал Е.М.Дынькин [3], условие д) (следовательно, и условие г)) равносильно билогарифмическому условию Левинсона

d

j lnln h(r)dr =+то, (1)

п

где

h(r) = sup —(r> 0), (2)

п>0 ШпГп

а величина d > 0 выбрана таким образом,что h(d) > е. Ясно, что h(r) — убывающая функция, lim h(r) = то, и

тп = *>* (П ^ 0)-

Отметим, что введение регулярных последовательностей было вызвано тем, что «аналог теории регуляризации для общих множеств, отличных от отрезка (согласно которой каждый класс Карлемана совпадал бы с регуляризованным классом), отсутствует» [3].

Пусть 7 — дуга, заданная уравнением у = д(х) (|х| ^ а) и удовлетворяющая условию Липшица

д(х2) — д(х1)

вир

X! =Х2

д^ < то,

х2 — Х\

то есть 7 — дуга ограниченного наклона [5].

В [5] показано, что если { Мп} — регулярная последовательность, то класс С1 (Мп) ква-зианалитичен тогда и только тогда, когда для ассоциированного веса к, заданного формулой (2), выполняется условие (1). Таким образом, в данном случае для регулярного класса С1 (Мп) теорема Данжуа-Карлемана остается в силе.

В общей ситуации класс Карлемана С^(Мп) (7 — континуум в С) может и не быть регулярным (то есть последовательность {Мп} не является регулярной). Поскольку в теории приближений особый интерес представляют неквазианалитические классы Карлемана, то в связи с сказанным выше [3] важно выяснить, при каких условиях на Мп существует регулярная последовательность {М*}, такая, что: 1) М* ^ Мп; 2) {Мп*} удовлетворяет критерию неквазианалитичности соответствующих классов Карлемана. В данной статье будет доказан критерий существования такой последовательности {Мп}.

2. Критерий существования регулярной миноранты неквазианалитичности

Последовательность {Мп} (Мп > 0) называется слабо регулярной, если числа тп = Цп^ удовлетворяют условиям а), в) определения регулярной последовательности [6]. Любую

ее регулярную миноранту (если она существует) будем называть регуляризацией по

г

Е.М. Дынькину. Очевидно, при тЩ ^ то существует слабо регулярная последовательность {Мп*}, такая, что Мп* ^ Мп (п > 0), причем М* = Мп. для некоторой последовательности индексов п, п ^ то (п — основные индексы, получающиеся при выпуклой регуляризации последовательности {т*} посредством логарифмов). Если же последовательность { М*} окажется регулярной, ее назовем сильной регуляризацией последовательности {М*}.

В [6] доказана следующая

Теорема 1. Пусть Мп > 0, ()" ^ то при п ^ то. Для того чтобы существовала регулярная последовательность {М*}, такая, что

М* ^ М*, £

с М*

<,

М*+1

п=1 п+1

необходимо и достаточно, чтобы нашлась положительная непрерывная на Е+ функция г = г(Ь), 1г(Ь) ^ 0, Ь2г(¿) ^ при Ь ^ то такая, что

сю

1)—г ^ г(п) (п > 1); 2) г(г)сИ < то.

М* 1

Оказывается, теорему 1 можно переформулировать и по-другому, а именно в терминах функции следа последовательности { Мп}.

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть М* > 0, ()" ^ то при п ^ то. Для того чтобы существовала регулярная последовательность { Мп*}, такая, что

с М*

М* ■ ЕмМ+1 <то-

*=1 п+1

необходимо и достаточно, чтобы

шТ (г)

¿г < сю.

Здесь шТ = шТ(г) — наименьшая вогнутая мажоранта функции 1пТ(г),где

гр п

Т (г) = ша^—.

^ у п>0 мп

Доказательство теоремы основано на свойствах преобразования Лежандра. Поэтому вкратце остановимся на них.

Пусть М(х) — любая непрерывная возрастающая на [0, то) функция, М(х) = о(х) при х ^ то. Тогда функция

т(у) = 8ир(М (ж) — ху),

х>0

определенная при у > 0, называется преобразованием Лежандра функции М(х). Если М(х) ^ то при х ^ то, то т(у) ^ то при у ^ 0. Функция т(у), как верхняя огибающая убывающих по у > 0 функций, также убывающая функция. Положим

М *(х) = т{(т(у) + ух).

У>0

Ясно, что М* — наименьшая вогнутая возрастающая мажоранта функции М: М(х) ^ М*(х). Отметим, что если функция М вогнута, то М(х)/х ^ при х > а. С другой стороны, если 0 < М(х) М(х)/х ^ при х > 0, то М*(х) < 2М(х) где М* — наименьшая вогнутая мажоранта М [7; гл.УП, §В, с.326].

Теорема 3 (7; гл. VII, §Б, с. 333). Пусть М(х) — возрастающая вогнутая на [0, то) функция, т(у) — преобразование Лежандра функции М(х), а > 0 такое, что т(а) = 1. Тогда интегралы

1п т(у)йу,

М (х)

¿х

X2

сходятся или расходятся одновременно.

Приступим к доказательству теоремы 2. Необходимость. Из равенств

п\ 1

Мп Мп

— = — — -^г^

р+1

(*> 0)

и условий М* ^ Мп, " ^ то при п ^ то имеем:

грЮ

мп

<

п\

е&г ^ Н*(8) ё

М*п8п

где

Далее, из (3) следует, что

Т(г) ^ ехр

Н *(8) = 8ир-^—. 1 ; п>о М*8п

1п£(1п Н *(8) + 8 т)

>0

(И = г),

ехр(ш* (г)).

2

г

а

Ясно, что ш* — неотрицательная, неограниченно возрастающая и вогнутая функция на [0, то). Очевидно, 1пН*(8) г > ш*(г). Следовательно,

Поскольку

то [3]

и тем более

1пН*(8) > Бир(ш*(г) — 8г) = т(8).

г>0

Е

М*

<,

М* =1 М п+1

1п1пН*(5)(15 < то,

1п т( ) < то,

где ( > 0 такое, что т(() = 1. Но тогда по теореме 3 возрастающая функция ш* принадлежит классу сходимости П, то есть

ш*(г)

X 0 при г —У то, / ^-¡^(г <

.

Так как шт(г) ^ ш*(г), то функция шт также принадлежит П. Достаточность. Пусть

шт (г)

(г < сю.

Тогда

сю сю

—&г,

1(8) = 8 у Т(г)е (г ^8 j ехр(шт(г) — 8г)(г = 8М(8) = Н(8). 0 0

Так как, очевидно,

гр *

— ^Т(г) (п > 0),

то

Мп

8 [ гпе-&Чг ^ 1(8) ^ Н(8).

Мп

Отсюда для любого п > 0

в частности, М* ^ Мп, где

п!

М„8*

^Н(8) (8 > 0),

М* = вир

п!

* ¿>0 Н(8)8*

(п > 0).

Поскольку оценки (4) верны для любого п > 0, то при 8 — 0

1п 1

Пт-

г_,о 1пН (8)

4

4

V

2

Следовательно, 1пНХ—- ^ +то при х ^ +то, и тогда М!п = п\ еСп, где

сп = 8ир(пх — 1п Н (е~х)).

п

х> 0

Воспользуемся теперь свойствами преобразования Юнга-Фенхеля-Лежандра [8, ч.11, гл.1, §5, предложение 1]: если функция (р непрерывна на Е+, и ^уу- ^ +то при у ^ +то, то сопряженная по Юнгу к функция

ф(Х) = вир(Жу — <р(у))

У>0

является выпуклой на Е+ функцией, также удовлетворяющей условию:

ф(х)

х

^ +то при X ^ +то.

Таким образом, видим, что последовательность {сп} — выпуклая, ^ ^ то при п ^ то. Это означает, что — ' при п ^ то. Значит,

® ^ 'то

при п ^ то, и последовательность {Мп}, Мп ^ Мп, является слабо регулярной. Так как Н(8) = 8М(8), то

/ V)

мп > ттттгт^т (п > 0). п > М(8)8п+! 1 > '

Отсюда

п>0 Мп 6п+1

Вспоминая теперь определение функции М, имеем

М(8) ^ ехр (8ир(шТ(г) — -гН I е 2гАт = 2ет(2

\г>0 2 / Л О

0

8 Л Г , 2

где т(8) — преобразование Лежандра функции шТ(г).

Пусть с> 0 такое, что к(с) = е. Так как к(8) ^ М($), то М($) > е при 0 <5 ^ с. Имеем: 1п М(8) ^ 1п 2 + т(2) (0 <8 ^ с). Отсюда, пользуясь оценкой

1п+(а + Ь) ^ 1п+ а + 1п+ Ь + 1п2,

где 1п+ х = шах(0,1пх), получаем, что при 0 <8 ^ q ^ с

8 2 0 ^ 1п 1п М(8) < 1п т(-) +1п1п- +1п2.

2 о

Но по теореме 3 интеграл / 1пт(8)А8 сходится одновременно с интегралов / шт2г)

0

ч

А поскольку / 1п1п 2¿8 < то, то

00

^_

1 г

Следовательно,

ч ч

J 1п 1п к(5)с15 ^ У 1п 1п М(5)М < то.

00

^ К

£ к;, <

Действительно, поскольку последовательность | ^f | логарифмически выпукла, то из (5)

м,

п

заключаем, что

П /

= мп < то (п -0)■

Сходимость ряда (6) вытекает теперь из теоремы 7 работы [5]. Но тогда существует функция R = R(t), 0 < R(t) I 0, tR(t) I 0, t2R(t) t при t ^ то, такая, что [6]

сю

1)-г < R(n); 2) R(t)dt < то.

)(мП)t ( ); )1 ()

f

Следовательно, согласно теореме 1, существует регулярная последовательность {М*},

М* ^ Мп,

М*

п=1

Теорема 2 полностью доказана.

п=1 Мп+1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гайсин Р.А. Оценка промежуточных производных и теоремы типа Банга. I // Алгебра и анализ. 2015. Т. 27. № 1. С. 23-48.

2. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955. 268 с.

3. Дынькин Е.М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала // Математическое программирование и смежные вопросы. Теория функций и функциональный анализ (Труды VII Зимней школы. Дрогобыч) М.: АН СССР. Центральный экономико-математический институт, 1976. С. 40-73.

4. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. М.-Л.: 1937. 108 с.

5. Гайсин А.М., Кинзябулатов И.Г. Теорема типа Левинсона-Щёберга. Применения // Ма-тем. сб. 2008. Т. 199. № 7. С. 41-62.

6. Гайсин Р.А. Критерии квазианалитичности типа Салинаса-Коренблюма для областей общего вида // Уфимский матем. журнал. 2013. Т. 5. № 3. С. 28-40.

7. P. Koosis The logarithmic integral I. Cambridge University Press, 1988 (1998).

8. Брайчев Г.Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. 232 с.

Рашит Ахтярович Гайсин,

Башкирский государственный университет,

ул. Заки Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]