ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 66-72.
УДК 517.53
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СМЫСЛЕ Е.М. ДЫНЬКИНА
Р.А. ГАИСИН
Аннотация. Вводится понятие сильной регуляризации положительных последовательностей. Доказан критерий существования регулярной в смысле Е.М. Дынькина миноранты неквазианалитичности для данной последовательности в терминах наименьшей вогнутой мажоранты логарифма ее функции следа. Доказательство опирается на свойства преобразования Лежандра.
Ключевые слова: класс Карлемана, регулярные последовательности, преобразование Лежандра.
Mathematics Subject Classification: 30D60
1. Введение
При изучении классов Карлемана С1 (Мп) на произвольных континуумах 7 комплексной плоскости особую роль играют в определенном смысле правильные последовательности {Мп} — многие утверждения доказаны именно для таких последовательностей. Оказывается, если 7 — дуга ограниченного наклона, то, как и в случае отрезка I = [0,1], в теоремах типа Банга последовательность чисел Мп > 0 может быть произвольной [1].
Пусть {Мп}^= 0 — последовательность положительных чисел. Некоторые из чисел Мп могут быть равны но предполагается, что существует бесконечное число конечных
Мп. Классом Карлемана на дуге 7 С C называется множество
С, (Мп) = {f Е С™ (-у) : sup \f (n)(z )| ^ К]МП) n = 0,1, 2,...}.
Здесь для любого а Е 7 производная f (а) понимается как предел
/ (а) = lim М-Ж.
z — а
Высшие производные f (п\а) (п = 2, 3,...) определяются по индукции.
Определение 1. Класс С1 (Мп) называется квазианалитическим, если из того, что f Е С1 (Мп) и f(n)(c) = 0 при всех п > 0 в некоторой точке с дуги 7, следует, что f(z) = 0.
Необходимые и достаточные условия квазианалитичности класса Cj(Мп) (Карлемана, Островского и Мандельбройта-Банга) приведены в теореме Данжуа-Карлемана [2, гл. IV,
1.III]. Из этой теоремы следует, что если lim Мп < <х>, то класс Ci(Мп) является ква-
1
зианалитическим. Потому в подобных утверждениях обычно считают, что Мга ^ при п —> оо.
R.A. Gaisin, Regularization of sequences in sense of E.M. Dyn'kin. © ГАйсин Р.А. 2015.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 15-01-01661). Поступила 1 января 2015 г.
Критерий квазианалитичности Островского формулируется в терминах функции следа
грТЪ
Т(г) = sup ——, г > 0.
п>0 Мп
Функция следа определена и конечна на положительной полуоси R+, а функция lnТ(еж), как верхняя огибающая линейных функций, является выпуклой функцией на R. Тем самым, функция следа Т(г) непрерывна на R+. Последовательность
МП = sup
п гр/ \
г>0 1 (Г)
называется выпуклой регуляризацией последовательности [Мп}^=0 посредством логарифмов. Она обладает свойствами [2]:
1) МП ^ Мп (п > 0); 2) (МП)» ^то; 3) МП ^ VMC-iMC+i (п > 1).
Кроме того, функции следа Т(г), Тс(г) последовательностей {МП}^=0, [МП}^=0 совпадают, и
МП = sup
г>0 тс(г)
Последовательность {Мп} будем называть регулярной в смысле Е.М. Дынькина, если
для чисел тп = ^ выполняются свойства [3]:
а) т2п ^ тп-\тп+1 (п > 1); 1
б) г>?1 ^" <
1
в) ^ то при п ^ то.
Согласно теореме Данжуа-Карлемана класс Сх(Мп) является квазианалитическим тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из следующих эквивалентных условий
[2], [4]:
) Л"Т(О л ) ^ ^
г) / dr = д) -^с
с
п ^^ — ТО.
Г2 п Мп+1
1 п=0 "+1
Для регулярной последовательности {Мп}, как показал Е.М.Дынькин [3], условие д) (следовательно, и условие г)) равносильно билогарифмическому условию Левинсона
d
j lnln h(r)dr =+то, (1)
п
где
h(r) = sup —(r> 0), (2)
п>0 ШпГп
а величина d > 0 выбрана таким образом,что h(d) > е. Ясно, что h(r) — убывающая функция, lim h(r) = то, и
тп = *>* (П ^ 0)-
Отметим, что введение регулярных последовательностей было вызвано тем, что «аналог теории регуляризации для общих множеств, отличных от отрезка (согласно которой каждый класс Карлемана совпадал бы с регуляризованным классом), отсутствует» [3].
Пусть 7 — дуга, заданная уравнением у = д(х) (|х| ^ а) и удовлетворяющая условию Липшица
д(х2) — д(х1)
вир
X! =Х2
д^ < то,
х2 — Х\
то есть 7 — дуга ограниченного наклона [5].
В [5] показано, что если { Мп} — регулярная последовательность, то класс С1 (Мп) ква-зианалитичен тогда и только тогда, когда для ассоциированного веса к, заданного формулой (2), выполняется условие (1). Таким образом, в данном случае для регулярного класса С1 (Мп) теорема Данжуа-Карлемана остается в силе.
В общей ситуации класс Карлемана С^(Мп) (7 — континуум в С) может и не быть регулярным (то есть последовательность {Мп} не является регулярной). Поскольку в теории приближений особый интерес представляют неквазианалитические классы Карлемана, то в связи с сказанным выше [3] важно выяснить, при каких условиях на Мп существует регулярная последовательность {М*}, такая, что: 1) М* ^ Мп; 2) {Мп*} удовлетворяет критерию неквазианалитичности соответствующих классов Карлемана. В данной статье будет доказан критерий существования такой последовательности {Мп}.
2. Критерий существования регулярной миноранты неквазианалитичности
Последовательность {Мп} (Мп > 0) называется слабо регулярной, если числа тп = Цп^ удовлетворяют условиям а), в) определения регулярной последовательности [6]. Любую
ее регулярную миноранту (если она существует) будем называть регуляризацией по
г
Е.М. Дынькину. Очевидно, при тЩ ^ то существует слабо регулярная последовательность {Мп*}, такая, что Мп* ^ Мп (п > 0), причем М* = Мп. для некоторой последовательности индексов п, п ^ то (п — основные индексы, получающиеся при выпуклой регуляризации последовательности {т*} посредством логарифмов). Если же последовательность { М*} окажется регулярной, ее назовем сильной регуляризацией последовательности {М*}.
В [6] доказана следующая
Теорема 1. Пусть Мп > 0, ()" ^ то при п ^ то. Для того чтобы существовала регулярная последовательность {М*}, такая, что
М* ^ М*, £
с М*
<,
М*+1
п=1 п+1
необходимо и достаточно, чтобы нашлась положительная непрерывная на Е+ функция г = г(Ь), 1г(Ь) ^ 0, Ь2г(¿) ^ при Ь ^ то такая, что
сю
1)—г ^ г(п) (п > 1); 2) г(г)сИ < то.
М* 1
Оказывается, теорему 1 можно переформулировать и по-другому, а именно в терминах функции следа последовательности { Мп}.
Справедлива следующая
Теорема 2. Пусть М* > 0, ()" ^ то при п ^ то. Для того чтобы существовала регулярная последовательность { Мп*}, такая, что
с М*
М* ■ ЕмМ+1 <то-
*=1 п+1
необходимо и достаточно, чтобы
шТ (г)
¿г < сю.
Здесь шТ = шТ(г) — наименьшая вогнутая мажоранта функции 1пТ(г),где
гр п
Т (г) = ша^—.
^ у п>0 мп
Доказательство теоремы основано на свойствах преобразования Лежандра. Поэтому вкратце остановимся на них.
Пусть М(х) — любая непрерывная возрастающая на [0, то) функция, М(х) = о(х) при х ^ то. Тогда функция
т(у) = 8ир(М (ж) — ху),
х>0
определенная при у > 0, называется преобразованием Лежандра функции М(х). Если М(х) ^ то при х ^ то, то т(у) ^ то при у ^ 0. Функция т(у), как верхняя огибающая убывающих по у > 0 функций, также убывающая функция. Положим
М *(х) = т{(т(у) + ух).
У>0
Ясно, что М* — наименьшая вогнутая возрастающая мажоранта функции М: М(х) ^ М*(х). Отметим, что если функция М вогнута, то М(х)/х ^ при х > а. С другой стороны, если 0 < М(х) М(х)/х ^ при х > 0, то М*(х) < 2М(х) где М* — наименьшая вогнутая мажоранта М [7; гл.УП, §В, с.326].
Теорема 3 (7; гл. VII, §Б, с. 333). Пусть М(х) — возрастающая вогнутая на [0, то) функция, т(у) — преобразование Лежандра функции М(х), а > 0 такое, что т(а) = 1. Тогда интегралы
1п т(у)йу,
М (х)
¿х
X2
сходятся или расходятся одновременно.
Приступим к доказательству теоремы 2. Необходимость. Из равенств
п\ 1
Мп Мп
— = — — -^г^
р+1
(*> 0)
и условий М* ^ Мп, " ^ то при п ^ то имеем:
грЮ
мп
<
п\
е&г ^ Н*(8) ё
М*п8п
где
Далее, из (3) следует, что
Т(г) ^ ехр
Н *(8) = 8ир-^—. 1 ; п>о М*8п
1п£(1п Н *(8) + 8 т)
>0
(И = г),
ехр(ш* (г)).
2
г
а
Ясно, что ш* — неотрицательная, неограниченно возрастающая и вогнутая функция на [0, то). Очевидно, 1пН*(8) г > ш*(г). Следовательно,
Поскольку
то [3]
и тем более
1пН*(8) > Бир(ш*(г) — 8г) = т(8).
г>0
Е
М*
<,
М* =1 М п+1
1п1пН*(5)(15 < то,
1п т( ) < то,
где ( > 0 такое, что т(() = 1. Но тогда по теореме 3 возрастающая функция ш* принадлежит классу сходимости П, то есть
ш*(г)
X 0 при г —У то, / ^-¡^(г <
.
Так как шт(г) ^ ш*(г), то функция шт также принадлежит П. Достаточность. Пусть
шт (г)
(г < сю.
Тогда
сю сю
—&г,
1(8) = 8 у Т(г)е (г ^8 j ехр(шт(г) — 8г)(г = 8М(8) = Н(8). 0 0
Так как, очевидно,
гр *
— ^Т(г) (п > 0),
то
Мп
8 [ гпе-&Чг ^ 1(8) ^ Н(8).
Мп
Отсюда для любого п > 0
в частности, М* ^ Мп, где
п!
М„8*
^Н(8) (8 > 0),
М* = вир
п!
* ¿>0 Н(8)8*
(п > 0).
Поскольку оценки (4) верны для любого п > 0, то при 8 — 0
1п 1
Пт-
г_,о 1пН (8)
4
4
V
2
Следовательно, 1пНХ—- ^ +то при х ^ +то, и тогда М!п = п\ еСп, где
сп = 8ир(пх — 1п Н (е~х)).
п
х> 0
Воспользуемся теперь свойствами преобразования Юнга-Фенхеля-Лежандра [8, ч.11, гл.1, §5, предложение 1]: если функция (р непрерывна на Е+, и ^уу- ^ +то при у ^ +то, то сопряженная по Юнгу к функция
ф(Х) = вир(Жу — <р(у))
У>0
является выпуклой на Е+ функцией, также удовлетворяющей условию:
ф(х)
х
^ +то при X ^ +то.
Таким образом, видим, что последовательность {сп} — выпуклая, ^ ^ то при п ^ то. Это означает, что — ' при п ^ то. Значит,
® ^ 'то
при п ^ то, и последовательность {Мп}, Мп ^ Мп, является слабо регулярной. Так как Н(8) = 8М(8), то
/ V)
мп > ттттгт^т (п > 0). п > М(8)8п+! 1 > '
Отсюда
п>0 Мп 6п+1
Вспоминая теперь определение функции М, имеем
М(8) ^ ехр (8ир(шТ(г) — -гН I е 2гАт = 2ет(2
\г>0 2 / Л О
0
8 Л Г , 2
где т(8) — преобразование Лежандра функции шТ(г).
Пусть с> 0 такое, что к(с) = е. Так как к(8) ^ М($), то М($) > е при 0 <5 ^ с. Имеем: 1п М(8) ^ 1п 2 + т(2) (0 <8 ^ с). Отсюда, пользуясь оценкой
1п+(а + Ь) ^ 1п+ а + 1п+ Ь + 1п2,
где 1п+ х = шах(0,1пх), получаем, что при 0 <8 ^ q ^ с
8 2 0 ^ 1п 1п М(8) < 1п т(-) +1п1п- +1п2.
2 о
Но по теореме 3 интеграл / 1пт(8)А8 сходится одновременно с интегралов / шт2г)
0
ч
А поскольку / 1п1п 2¿8 < то, то
00
^_
1 г
Следовательно,
ч ч
J 1п 1п к(5)с15 ^ У 1п 1п М(5)М < то.
00
^ К
£ к;, <
Действительно, поскольку последовательность | ^f | логарифмически выпукла, то из (5)
м,
п
заключаем, что
П /
= мп < то (п -0)■
Сходимость ряда (6) вытекает теперь из теоремы 7 работы [5]. Но тогда существует функция R = R(t), 0 < R(t) I 0, tR(t) I 0, t2R(t) t при t ^ то, такая, что [6]
сю
1)-г < R(n); 2) R(t)dt < то.
)(мП)t ( ); )1 ()
f
Следовательно, согласно теореме 1, существует регулярная последовательность {М*},
М* ^ Мп,
М*
п=1
Теорема 2 полностью доказана.
п=1 Мп+1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гайсин Р.А. Оценка промежуточных производных и теоремы типа Банга. I // Алгебра и анализ. 2015. Т. 27. № 1. С. 23-48.
2. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955. 268 с.
3. Дынькин Е.М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала // Математическое программирование и смежные вопросы. Теория функций и функциональный анализ (Труды VII Зимней школы. Дрогобыч) М.: АН СССР. Центральный экономико-математический институт, 1976. С. 40-73.
4. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. М.-Л.: 1937. 108 с.
5. Гайсин А.М., Кинзябулатов И.Г. Теорема типа Левинсона-Щёберга. Применения // Ма-тем. сб. 2008. Т. 199. № 7. С. 41-62.
6. Гайсин Р.А. Критерии квазианалитичности типа Салинаса-Коренблюма для областей общего вида // Уфимский матем. журнал. 2013. Т. 5. № 3. С. 28-40.
7. P. Koosis The logarithmic integral I. Cambridge University Press, 1988 (1998).
8. Брайчев Г.Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. 232 с.
Рашит Ахтярович Гайсин,
Башкирский государственный университет,
ул. Заки Валиди, 32,
450074, г. Уфа, Россия
E-mail: rashit.gajsin@mail.ru