О проблеме квазианалитичности в классах Карлемана Текст научной статьи по специальности «Математика»

(Z-z)p

p!

ББК 22.161.5 УДК 517.54

О ПРОБЛЕМЕ КВАЗИАНАЛИТИЧНОСТИ В КЛАССАХ КАРЛЕМАНА

Трунов К.В.*

Введение.

Приведем необходимые нам определения из работы [1].

Пусть Е - совершенное компактное множество на комплексной плоскости. Комплекснозначная функция / называется бесконечно дифференцируемой на множестве Е, если существуют непрерывные на Е функции /0, /1, ..., такие, что /о(т)=/(х), ъеЕ, и при любых п=0,1,2, ... , £=0,1,...,п функции

п—к

*п,к (С, г) = /к (С) — X /к+р (*)-р=0

равномерно по С ,геЕ удовлетворяют оценке |яп,к (С, г)\ = °(|С — г\п—к).

Для возрастающей последовательности положительного чисел М= (мп )¥=о и

натурального числа д через ЛЧ(Е, М) обозначим класс бесконечно дифференцируемых функций / на Е, для которых выполняется условие

| с, | п-к+1

, , \С — 2\

Я„к ((,г) £ СУ+'м' , С ,^е Е,

(п — к +1)!

где постоянная С не зависит от п,к и С, геЕ. Классом Карлемана Л(Е,М) называется объединение всех классов Лч(Е,М),деМ. Проблема заключается в следующем вопросе: если точка г0 лежит на границе (в смысле плоскости) Е, то при каких условиях на множество Е и последовательность М в классе Л(Е,М) будет выполняться теорема единственности в точке г0? Классы, в которых нет функции, кроме тождественного нуля, обращающейся в 0 вместе со всеми производными в точке г0, называются квазианалитическими в точке г0. Задача о квазианалитичности в граничной точке 20 выпуклой ограниченной области Б рассмотрена в работе [4] .

В данной работе в качестве множества Е рассматривается замыкание односвязной ограниченной области Б в комплексной плоскости со спрямляемой жордановой границей.

Функции из класса Л(Б,М) в этом случае голоморфны Б и вместе со всеми своими производными непрерывно продолжаются до границы Б. В дальнейшем через ^(г) мы будем обозначать производную порядка к функции / , непрерывно продолженную до

границы Б. Таким образом, класс Л (Б,М) состоит из голоморфных в Б функций / удовлетворяющих при некотором деМ условию

(п — к +1)!

sup sup - , ,

„ п+1 t У I ^ \n-k+1

п>0,к <nz,CeDq Mn+1 Z — z

В пространстве Aq (D, M) введем норму

/“■ )(Z)—Zf №+p)(;)Z-Z)P

p=0 P!

Трунов Кирилл Владимирович - аспирант мат.фак-та БашГУ.

и и { (п — к +1)! \&п,к ((2)| 1 | |

||/|| = тах 5ир п+ -Бир-----—+1 ^ —(2)1 •

^п>0,к<п Ч Мп+1 2,(еО ( — ^ М0 геЭ ^

Пространства Ач (О, М) банаховы и, очевидно, что пространство Ач (О, М) непрерывно вложено в пространство Ач+1(О,М). В пространстве А(О,М) будем рассматривать

топологию индуктивного предела пространств А (О,М): А(О,М) = Пт тё А (О,М) .

ч

М

Последовательность тп =—-, п=0,1,2..., называется присоединенной

п!

последовательностью. Будем считать, что последовательность (тп) регулярна [1], то есть удовлетворяет следующим трем условиям

1) логарифмическая выпуклость: тп2<тп_]тп+], п=1,2..., (1)

2) найдется целое число Q>0 такое, что тп+1<Оптп, п=0,1,., (2)

1

3) имеет место соотношение Пт тЩ = ¥ . (3)

Определим функцию M(x)= sup—1——, x>0. Ясно, что M(x)- убывающая функция и

к>0 mkx

lim M(x) = ¥, M(x) > . В силу логарифмической выпуклости последовательности (mn)

x®0 m0

имеет место обратное представление mk = sup —г—-, к=0,1, ... . Через G обозначим

x>0 x M(x)

дополнение D до расширенной плоскости, то есть G = C \ D и пусть d(С) = inf z -С, С e G -

zeD

v/iiiii/i / уV-' x j-/uiiiij-j,

:jre H(G), g(¥) = 0,|Щ

пространство Xq = jge H (G), g¥) = 0,| щ X = sup^^—< ¥}>.

функция расстояния до границы О. Для чеМ введем банахово

\у(()\ '

^ (еО М(чё(у))

В силу монотонного убывания функции М(х) пространство Хч+] непрерывно вложено в пространство Хч. Через А(О,М) обозначим проективный предел пространств Хч : А(О,М) = Пт рг Хч .

ч

Пространство линейных непрерывных функционалов на А (О, М) с сильной топологией обозначим через А*(О,М). Как известно [2], имеет место представление: А*(О,М) = Нт 1пёХ* . В силу ограниченности снизу функции М(х) для любого 2 е О

функция (( — г) 1 е А (О, М). Следовательно, для любого непрерывного функционала £ на

~ ~ Г 1 ^ -

А (О, М) можно определить его преобразование Коши: £ (г) := £( —--------- , г е О , причем из

\

[3] известно, что

Теорема А. Пусть последовательность (тп)регулярна, а область Б жорданова. Тогда отображение С : £ а £ устанавливает топологический изоморфизм между пространствами А *(О,М) и А(Б,М).

Для некоторого упрощения обозначений будем считать, что точка 2=0 лежит на границе области Б и рассматривается задача о квазианалитичности в точке 2=0.

§1. Квазианалитичность и экстремальная задача для субгармонических функций.

Из теоремы А и по теореме Банаха получаем следующий критерий квазианалитичности.

Теорема 1. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка 2=0 лежит на границе ограниченной жордановой области Б. Класс А(Б,М) квазианалитичен в точке 2=0 тогда и только тогда, когда в пространстве А(О,М) полна система О-, п = 1,2,... .

Предположим, что система О-, п = 1,2,..., полна в . Это значит, что для любой функции у из А (О, М) существует последовательность полиномов Рп(2), Рп(0)=0, п=0,1,...,

такая, что при п ® ¥ Рп(О.) ® у(О) в пространстве А(О,М) . В частности, для любого є> 0

найдется полином Р(2), Р(0)=0, такой, что

< (1 + є)М (дё (О)), О* О и

Р(—) Т

Р(-1)

т

> (1 - е)М(дё(т)).

Для полинома Р1 (2) = Р( 2)/(1 + є) выполняются неравенства

Р,ф

< м (цё(О)), е* О

Р(^)

т

1 — є

М (дё (т)).

1 + е

Введем в рассмотрение класс Кч функций и, удовлетворяющих условиям 1) функция и непрерывна и субгармонична в С \ {0} ;

2) ь(О = О

V

О

у

3) и(О < 1пМ(дё(О)), (* О.

К примеру, функции тах(1п

-1п т0) попадают в класс Кд. Очевидно, что вместо

последовательности Мп можно рассматривать последовательность Мп/еМ0 и считать, что т0=1/е. Тем самым, М(х)>1/т0=е и 1пМ(х)> 1. Поэтому в определении класса Кч можно добавить еще один пункт:

4) и(г) > 0

Лемма 1. Пусть для некоторого ч выполняется условие

вир{и(() , V е Кц} = 1пМ(чё(()), ( е О.

Тогда любая функция из пространства А(О,М) аппроксимируется системой (~п, п = 1,2,... в норме пространства Хд/^ , где Q - число из свойства (2) регулярной последовательности.

Теорема 2. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка г=0 лежит на границе ограниченной жордановой области Б. Класс А(Б, М) квазианалитичен в точке г=0 тогда и только тогда, когда для каждого чеМ выполняется условие

8ир{^(С) ,ие Кч} = 1пМ(чё(С)), Се О

(4) _

Доказательство. По теореме 1 из квазианалитичности класса А (Б,М) следует полнота системы С~п, п = 1,2,...в пространстве А(О,М). Из полноты этой системы следует условие

(4), поскольку функции тах(1п

-1п т0) принадлежат классу Кч. Если условие (4) для

всех чеМ выполнено, то по лемме 1 функции из А (О, М) приближаются системой С~п, п = 1,2,... в норме каждой из пространств Хд/^ , то есть в топологии пространства А(О,М). Теорема 2 доказана.

§2. Квазианалитичность и некоторая задача Дирихле.

Введем в рассмотрение функции ич = 8ир{у(С), ие Кч}, Се С.

Лемма 2. При любом чеМ либо ич (С) = ¥ в Б, либо ич(С) является гармонической функцией в Б.

Лемма 3. Если для чеМ функцияид(С) = ¥ в Б ,то в О выполняется тождество ич (С) ° 1п М(чё(С)).

Лемма 4. Если для данного ч функция ич(г) конечна в некоторой точке геБ , то в любой окрестности любой точки гедБ есть точки ге О, в которых ич (С) < 1п м (чё (С)).

Теорема 3. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка г=0 лежит на границе ограниченной жордановой области Б. Класс А(Б, М) квазианалитичен в точке г=0 тогда только тогда, когда для любого чеМ Бир{^(С) ,ие Кч} = ¥, Се Б.

Доказательство. Если условие теоремы выполнено, то по лемме 3 для любого че N

ич (С) ° 1п М (чё (С)), Се О (5)

По теореме 2 в этом случае класс А(Б,М) квазианалитичен. Обратно, если класс А(Б,М) квазианалитичен, то по теореме 3 выполнено (5). По лемме 4 функция ич не может быть конечной в Б, значит по лемме 2 выполняется условие теоремы 4. Теорема 4 доказана.

Лемма 5. Множества О' = Б'ПО = {Се О : ич(С) < 1тМ(чё(С))},

О" = {Се О : и*(С) < 1пМ(чё(С))} совпадают, открыты в О и функция ич(С ) гармонична в О'.

Лемма 6. Через р(х) обозначим наименьшее из натуральных чисел р, для которых выполняется равенство М(х) = —1— , такие числа существуют по определению функции

р

М(х). Тогда ііш р(х) = ¥. Кроме того, ііш М(х) = ¥.

х®0 х®0 - 1п х

Лемма 7. Множество дВ \ {0} лежит в Б’ и функция ид гармонична в точках этого

множества и для этой функции выполняется соотношение 1іш = +¥.

М®0 - 1п|z|

Теорема 4. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z=0 лежит на границе ограниченной жордановой области Б. Класс А(Б, М) не квазианалитичен в точке z=0 тогда и только тогда, когда для каждого дєМ , начиная с некоторого д0, найдется область Бд , содержащая Б \ {0}, и гармоническая функция И(С ) в Бд , равная на ее границе 1пМ(дё(^)), и удовлетворяющая условию

И( z )

1іШ --1—Г = +¥ .

М ®0 - 1п| z|

ЛИТЕРАТУРА

1. Дынькин Е.М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций, равномерная шкала.//Сб. Матем. програм. 1976. М. С.40.

2. Себастьян - и - Сильва. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в применениях // Математика. Сб. переводов иностранных статей. 1957. 1:1.

СС. 60-77.

3. Напалков В.В., Трунов К.В., Юлмухаметов Р.С. Граничные теоремы единственности в классах Карлемана и задача Дирихле. // Доклады Академии Наук, 2005, том 404, № 3,с. 1-4

4. Юлмухаметов Р. С. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях // Математический сб. 1986. Т.130, №.4. СС.500-520.

Поступила в редакцию 03.08.05 г.