Об отсутствии аналогов теоремы Бореля для квазианалитических классов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.22

ОБ ОТСУТСТВИИ АНАЛОГОВ ТЕОРЕМЫ БОРЕЛЯ ДЛЯ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИХ КЛАССОВ

© 2010 г. А.В. Абанин

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, abanin@math. sfedu.ru

Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, [email protected]

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, abanin@math. sfedu.ru

South Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Centre RAS Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, [email protected]

Изучается проблема восстановления бесконечно дифференцируемых функций из квазианалитических классов по значениям ее последовательных производных в фиксированной точке. Доказано, что для квазианалитических классов Берлинга и Румье аналоги теоремы Бореля места не выполняются.

Ключевые слова: Бесконечно дифференцируемые функции, квазианалитические классы, теорема Бореля.

Resume: The problem of reconstruction of infinitely differentiable functions from quasianalytic classes by values of its sequential derivatives in a fix point is studied. It is proved that there are not analogs of Borel's theorem for quasianalytic classes of Beurling and Roumieu.

Keywords: Infinitely differentiable functions, quasianalytic classes, Borel's theorem.

Пусть К=Я или К=С, N е N N=N^{0} и XcKN. Символом Е(X) будем обозначать пространство всех функций /. Х^С с топологией поточечной сходимости, а 5 - пространство всех последовательностей комплексных чисел с топологией покоординатной сходимости.

Всюду далее предполагаем, что X - такое множество в К, что начало принадлежит X и является предельной точкой пересечения X с каждой координатной прямой К*. Рассмотрим какое-либо линейное (над полем С) пространство Е^) функций, бесконечно дифференцируемых в нуле (в вещественном для К=Я и в комплексном для К=С смысле), и образуем оператор сужения р : / е Е^) а (/(а)(0))яе^ е ^.

Классическая теорема Бореля [1, 2] утверждает, что если X=RN и E(X)=е(RN) - пространство всех бесконечно дифференцируемых в ^ функций, то оператор р : е(^) а ^ сюръективен. Задаче о справедливости аналогов теоремы Бореля для различных пространств бесконечно дифференцируемых функций посвящено значительное число работ (см., в частности, [3-8]). Практически все они посвящены случаю классов Е^), неквазиана лирических в нуле. Напомним, что класс Е^) называется неквазианалити-ческим в нуле, если в нем имеется такая отличная от тождественного нуля функция /, что / (а)(0) = 0 при

N

всех аем0 , и квазианалитическим - в противном случае. В статье Ю.И. Любича и В.А. Ткаченко [9] был получен ряд результатов отрицательного характера для квазианалитических классов Е([0,1]), которые могут быть наделены топологиями пространств Фреше. В данной работе мы распространяем результаты из [9] на более широкий по топологическим свойствам

класс локально выпуклых пространств и ослабляем некоторые ограничения, использованные в [9].

Условимся обозначать через (Е,т) топологическое

пространство Е с топологией т. Напомним, что ультра-борнологическим пространством называют индуктивный предел семейства пространств Фреше. Далее говорят, что для локально выпуклого пространства (Е,т)

имеет место теорема о замкнутом графике, если всякое линейное отображение произвольного отделимого ульт-раборнологического пространства в (Е, т), имеющее замкнутый график, непрерывно.

Пусть Е - некоторое линейное подпространство в 5. Если fрE(X))зЕ, то имеется оператор е: ЕаЕ^), который является правым обратным к р в том смысле, что р°е= ¡ё:ЕаЕ, где ¡ё - тождественный оператор. Любой из таких операторов е: ЕаЕ^ будем называть оператором продолжения (из Е в Е^)). В общем случае такой оператор определяется неоднозначно, поскольку р^({0}) может быть нетривиальным подпространством в Е^). Однако в квазианалитическом случае оператор продолжения, очевидно, единственен. Более того, в силу линейности и инъективно-сти р он линеен. В самом деле, если с, ё е Е и Я, / е С, то из линейности оператора р следует, что р(е(Лс + /ё)-Ле(с)-/е(ё)) = Лс-Лс=0, а тогда, с учетом инъективности е (в силу квазианалитичности Е(X)) получаем, что е(Лс + /) = =Яе(с) +/е(ё), что и требовалось. Справедлива следующая

Лемма. Допустим, что в Е^) и Е заданы отделимые локально выпуклые топологии т и £, которые удовлетворяют следующим условиям:

а) линейные функционалы f a f (а)(0) непрерывны на (E(X), т) при любом a G N0n;

б) для (E(X), т) справедлива теорема о замкнутом графике;

в) пространство (s,£) ультраборнологично и топология Ç мажорирует топологию покоординатной сходимости.

Тогда, если E ( X ) квазианалитично в нуле и p(E (X ) )з S , то оператор продолжения s : (S,£)a (E(X), т) непрерывен.

Доказательство. Пусть сеть (рр)^ элементов из

S такова, что c^a c в (s,£) и s(c^) a f в (E(X),т). Из условия а) следует, что оператор р действует непрерывно из (E(X), т) в sN . Поэтому (Р° s)(cp) a p(f ) в sN , то есть cв a p(f ) в sN . Поскольку £ мажорирует топологию покоординатной сходимости, которая отделима, и c^ a c в

(s, £), то c = р( f ). Отсюда в силу квазианалитичности E(X) заключаем, что f = s(c), и, значит, график оператора s : (S, £) a (E(X), т) замкнут. Остается использовать условия б) и в), из которых вытекает непрерывность этого оператора.

Замечание. Из теоремы Банаха-Штейнгауза следует, что условие а) выполнено, если пространство (((X),т) бочечно и топология т мажорирует топологию поточечной сходимости на X .

Пусть Я - некоторый естественный порядок в N0n. Именно, сначала идет нулевой индекс, затем группа индексов длины 1 и т. д. В каждой группе индексы перенумерованы некоторым фиксированным образом. Через N0,^n обозначим семейство N0n с данным порядком Я. Символ Т<а используем для

aeNcNi

обозначения ряда, в котором элементы <ра следуют

друг за другом в соответствии с порядком Я. Через АЯ (Y ) будем обозначать пространство всех функций, представимых в Y с KN своим рядом Тейлора с центром в нуле относительно данного порядка Я в N0n.

Положим DX = XU| U(xgKN :|xk \<\ak |,1 <k<N}|.

Тогда, если класс Е (X) квазианалитичен в нуле и р(Е (X ))зЕ, то Ъ^р{Ая(Бх)).

Доказательство. Символами Е' и Е'(Х) обозначим сопряженные с (Е,^) и (Е(X),т) пространства линейных непрерывных функционалов, а символами с(Е, Е') и с(Е( X), Е' (X)) - соответствующие слабые топологии в Е и Е(X).

Пусть с = (са)абЫи 6 Е . Так как по условию в) топология ^ мажорирует в Е топологию покоординатной сходимости, то функционалы еа': с а са непрерывны на (Е, . Отсюда, учитывая, что по условию д) орты (еа)абЫ1^л образуют слабый топологический

базис в (е, £), получаем, что имеет место естественное разложение

с = Xсаеа ,

аеМ^

(1)

сходящееся в топологии ст(е, Е'). Далее, очевидно,

что

Р

f а

а!

при всех а e N0 . Отсюда, из ква-

Ясно, что DX - область Рейнхарта с центром в нуле.

Теорема 1. Пусть пространства Е(X) и Е таковы, что в них имеются отделимые локально выпуклые топологии т и ^, удовлетворяющие условиям а)-в) леммы. Предположим, что дополнительно известно, что

г) топология т мажорирует топологию поточечной сходимости в Е(X) и Е^) содержит все полиномы;

д) орты (еа)абЫцгл пространства sN образуют слабый топологический базис в (Е, .

зианалитичности Е( X) и условий г) и д) следует, что

ха

е(еа) = — при всех а 6По лемме оператор а!

е : (Е, £) а (Е(X), т) непрерывен, а тогда он и слабо непрерывен. Поэтому из (1) и вышесказанного получаем разложение

ха

е(с)( х) = X с а 7, (2)

аб<я а!

сходящееся в с(Е (X), Е'( X)). По условию г) топология т мажорирует топологию поточечной сходимости в Е(X). Значит, функционалы 5х : / а /(х) принадлежат Е' (X) при любом х 6 X . Отсюда заключаем, что ряд в (2) сходится к е(с), по крайней мере, поточечно на X, а тогда он сходится и на DX . Следовательно, функция е(с) однозначно продолжается до функции из Ая (DX). При этом, как мы знаем, р(е(с)) = с, что завершает доказательство.

Положим OX := и {х 6 Кы :| хк |<| ак |,1 < к < Щ .

а6X

Ясно, что OX - открытое множество, которое является полной областью Рейнхарта и которое может оказаться пустым. Однако, если оно не пусто, то, как известно, любой сходящийся в OX степенной ряд с

центром в нуле сходится в OX абсолютно. Более того, он сходится обсолютно в логарифмически выпуклой оболочке LX множества OX. Из теоремы 1 получаем такой результат.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и OX Ф 0 . Тогда, если класс Е (X) квазианалитичен в нуле и р(Е (X) )эЕ , то Еср(А(Lx))П р(Ал(X)).

= e

а

Если X открыто в К4, то X с OX . Тогда ультрадифференцируемых функций типа Бёрлинга, а

Ох = OX, и, значит, каждая функция из Лх(Ох), ем(К") - типа Румье. Будем писать а без скобок,

если какое-либо утверждение касается обоих типов пространств.

Говорят, что для еа(К") справедлив аналог тео-

независимо от порядка Я в N0 , допускает однозначное продолжение в Lх за счет того, что ее ряд Тейлора с центром в нуле автоматически сходится в Lх . Таким образом, для открытых в

К4

множеств справедливо следующее уточнение следствия 1.

Следствие 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и X - открытое в множество. Тогда, если класс Е(X) квазианалитичен в нуле и р(Е(X)) з Е,

то Еср(Е( Lх)).

Для данного порядка Л в N0' введем дуальное с Е пространство

2л :=

: РЯД Z cada

NM

0 aeNt

сходится для любого (ca)

aeN0

e 2

Следствие 3. Пусть выполнены все условия след-

ствия

1. Если р£(Х))з2, то з! —: хeLX UX\.

В частности, если

( ^

a!

a!

i 2 л хотя бы при одном

aeN0N

х е Lх и X , то Е <£ р(Е(X)).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть а : [0, да) а [0, да) - непрерывная возрастающая функция, для которой выполнены следующие условия: а(2/) = О(а(/)) при / ада ; 1п/ = о(а(/)) при / ада ; р( х):=а(ехр х) выпукла на [0, да). Положим р * (у) := 5ир{ху - р(х): х > 0};

I f (a)(x)|.

:= sup sup

If (a)(х)| .

"" ii/ N e"9f>(\a\/n)

\x\<naeNN e

:= sup sup

\x\<maeNN e

e(m)(RN ):={f e Cда ( Rn ): Vn \\f\\n <да} c{a}(RN) := {f e Cда(Rn): Vm 3n\

<*(n\a\)/n

< да

j.

:=ic = (ca )

aeNh

: Vn \ c \n := sup

\ ca \

aeN0N e

n<*(\a\/n)

<да)

\ ca \

= {»} := \ c = (ca )aeNN : 3n \ c I'» := ^ e<*(n\a\)/n

N

<да;

-'(ю)

помним, что

->(ю)

(Rn )

ремы Бореля, если оператор p:sm(R ) а ею сюръ-ективен.

Теорема 2. Пусть

ca(t) = o(t) при t ада ; (3)

Jt 2a(t)dt = да .

(4)

Тогда аналог теоремы Бореля не имеет места для

е®( К").

Доказательство. Из условия (4) по критерию Данжуа-Карлемана (см., напр., [10, с. 213]) следует, что класс еа(К") квазианалитичен. Ясно, что топология еа(К") мажорирует топологию поточечной сходимости в В", а топология еа - топологию покоординатной сходимости. Так как у = о(р*(у)) при у а+да, то К|а| = о(е^*(|а|/д)) при любых К > 1, q > 0 и а е N3". Поэтому все полиномы содержатся в еа(К"). Далее, как известно (см., напр., [10, 1.3.4(2), с. 21]), найдется такое L > 1, что (р*(у) > у + Lр*(y/L) -L при всех у > 0. Отсюда легко следует, что

= ic = (ca)a

: Vn Z \ ca \ e

n<*(\a\/n)

aeNN

<да\ ; (5)

Пространства е(а)(К") и ем(К") наделяются

своими естественными топологиями; первое относится к классу (Б8)-пространств, а второе является приведенным проективным пределом (БР8)-пространств (см. [10, § 6.1]). Соответствующие им пространства последовательностей комплексных чисел определяются так:

е{а} =\с = (Са)ае^ : 3" l " «4 , (6)

[ 0 ае"0 }

откуда, в свою очередь, вытекает, что орты (еа)ае^

образуют абсолютный базис в еа (на основании этого, в частности, заключаем, что порядок Я в N0" в данном случае значения не имеет). Наконец, по теореме Банаха-Гротендика-Райкова (см. [11, Приложение 1]) для еа(К") справедлива теорема о замкнутом графике. Из вышеизложенного следует, что для еа(К") в качестве Е^) и еа в качестве Е выполнены условия а)-в) леммы и г), д) теоремы 1.

Теперь заметим, что в силу (5), (6) дуальное с еа пространство описывается следующим образом:

£(ю) = i d = (da)aeNN : 3n \ sup ! da \ e"

I 0 aeNN

(\a\/ n)

аеЩ

наделяется топологией, задаваемой набором

норм (• |п а е{а} - естественной топологией внутреннего индуктивного предела. Первое является (Р8)-пространством, а второе - (БР8)-пространством. На-

называется пространством

<даЛ; (7)

е{а} =и = (ёа)^ : V» Sup|dаl е™'" <да\ . (8)

[ 0 ае^0 }

Из условия (3) имеем, что для любого е > 0 найдется такое Б > 0, что а(/) <е + Б при всех / > 0. По-

этому <р* (y) > sup(xy -sex)

х>0

- D =

У in y

- D, откуда с

да

1 *

учетом (7), (8) заключаем, что — Остается приме-

а!

нить следствие 3, чтобы завершить доказательство.

Примером веса а , удовлетворяющего всем условиям теоремы 2, является a(t) = t /Inq (2 +1),

0 < q < 1.

Литература

1. Borel E. Sur quelques points de la theorie des functions // Ann. Sci. Ec. Norm. Super. 3 Ser. 1895. Vol. 12. P. 9-55.

2. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М., 1971. 232 с.

3. Carleson L. On universal moment problem // Math. Scand. 1961. Vol. 9. P. 197-206.

4. Митягин Б. С. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // Докл. АН СССР. 1961. Т. 138. № 2. С. 289-292.

5. Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Mat. 1988. Vol. 26. P. 265-287.

6. Petzsche H.-J. On Borel's theorem // Math. Ann. 1988. Vol. 282. P. 292-313.

7. Bonet J., Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Roumieu type // Proc. Roy. Irish. Acad. 1989. Vol. 89A. P. 53-66.

8. Abanina D.A. On Borel's theorem for spaces of ultradiffe-rentiable functions of mean type // Results Math. 2003. Vol. 44. P. 195-213.

9. Любич Ю. И., Ткаченко В. А. О восстановлении бесконечно дифференцируемых функций по значениям их производных в нуле // Теория функций, функцион. анализ и их прил. 1969. Вып. 9. С. 134-141.

10. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М., 2007. 224 с.

11. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М., 1967. 258 с.

Поступила в редакцию

15 апреля 2009 г.