Представление рядами экспонент функций в локально выпуклых подпространствах a∞ (d) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 50-62.

УДК 517.5

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ ФУНКЦИЙ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ A^(D)

К.П. ИСАЕВ, К.В. ТРУНОВ, P.C. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. Пусть И — ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости, Мо = (Мп)с^=1 — выпуклая последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию "неквазианалитичности":

- <

п

Мп+1

Mk = (Мп+кк = 0,1, 2, 3,... — последовательности, полученные из исходных удалением к первых членов. Далее, для каждой последовательности Mo = (Мп)^=1 мы рассматриваем Банахово пространство Н(Mo,D) аналитических в ограниченной выпуклой области D функций с нормой

II/II2 = sup -L sup |/(»>(*)|2.

п Мп zeo

В работе изучаются локально выпуклые подпространства в пространстве аналитических функций в .D, бесконечно дифференцируемых в D, которые получаются как индуктивный предел пространств Н(Mk, D). Доказано, что для любой выпуклой области существует система экспонент e^nZ, п £ N, такая что любая функция из индуктивного предела f £ limindH(Mk,D) := %(Mo, D) представляется в виде ряда по данной системе экспонент, причем ряд сходится в топологии %(Mo, D). Основным инструментом в конструкции систем экспонент служат целые функции с заданным асимптотическим поведением. Характеристические функции L, имеющие более точные асимптотические оценки, позволяют представлять аналитические функции посредством ряда из экспонент в пространствах с более тонкой топологией. В работе построены целые функции с тонкими асимптотическими оценками. Дополнительно получены оценки снизу производных этих функций в нулях.

Ключевые слова: аналитические функции, целые функции, субгармонические функции, ряды экспонент.

Mathematics Subject Classification: 30В50, 30D20, 30D60

1. Введение

В работе рассматриваются подпространства А С A™(D) = Н(Ö) П C^(D) для ограниченной выпуклой области D на плоскости на предмет представления функций / £ А из этих подпространств рядами экспонент

/ (z ) = Y1 ,

п=1

сходящихся в топологии подпространства А. В классической теории рядов экспонент, подробно изложенной в монографии [1] А.Ф. Леонтьева, одной из основных теорем является

K.P. Isakv. K.Y. Trounov, R.S. Yulmukhametov, Representation of functions in locally

convex subspaces of (D) by series of exponentials.

© 2016 Исаев К.П., Трунов K.B., Юлмухаметов P.C. . Поступила 1 июня 2017 г.

теорема о представлении рядами экспонент в Н(И) с топологией равномерной сходимости на компактах из И (Теорема 5,3,2,, стр. 382 в [1]):

Теорема А. Пусть И — ограниченная выпуклая область. Тогда, имеется, последовательность {Хп}, зависящая только от области И, такая, что любую функцию Е(х), аналитическую в области Б, можно в И разложить в ряд Дирихле

<х

р(г) = ^ а™ека, *е

п= 1

Основным инструментом в конструкции систем экспонент служат целые функции с заданным асимптотическим поведением. Например, в доказательстве теоремы А показатели {Ага} выбираются как простые пули целой функции Ь(Х) экспоненциального типа и вполне регулярного роста со свойством: при любом е > 0

|ВД| X еНо(Л)+£|Л|, Л е С, 1Ь'(Хп)1 у еНо(А»)-е|А»|,п е Н, (1)

здесь Но (Л) = шах^^Ке Лг — опорная функция области И. В связи с этим обстоятельством в теории представления рядами экспонент обособленное место занимали выпуклые многоугольники. Дело в том, что характеристическую целую функцию Ь в этом случае можно взять в виде квазиполинома

1(Х) = ^ а3е15Л, Л е С,

з

здесь 7^ — вершины многоугольника, и требуемое свойство (1) будет выполняться в существенно более точном виде

|ДА)| X еНа(х), X е С, 1Ь'(Хп)1 у еНо(х"),п е N. (2)

С помощью таких целых функций в [1] (стр. 328, Теорема 4,7,4.) доказано, что функция, аналитическая в многоугольнике И и непрерывная вместе со своей первой производной в Д, может быть представлена в виде ряда то системе еХга, причем этот ряд сходится всюду в И и равномерно сходится в И \ и В (7^, е), здесь 7^ — вершины многоугольника и е > 0 — произвольное, В работе [2] доказано, что эта система образует (безусловный) базис в пространстве Смирнова Е2(0).

Теорема В. Пусть функция Ь(Х) с простыми нулями Хп удовлетворяет условиям

|ДА)| X ен°(л), Л е С, ЩХ^ у ен° (х\г е и В(Хп,6),

п

причем, круги, В(Хп, 8) попарно не пересекаются. Тогда, любая, функция / е Е2(Б) единственным образом, представляется, в виде ряда,

/ (*) = £ /,

и при этом, выполняется соотношение

£

ПС- )

ш'е-2^ (Ч/ е Е2 (Б).

Таким образом, характеристические функции Ь, имеющие более точные асимптотические оценки, позволяют представлять аналитические функции посредством ряда из экспонент в пространствах с более тонкой топологией.

Задача о существовании и конструировании целых функций с заданными асимптотическими свойствами возникла как внутренняя задача теории целых функций, В наиболее общем виде такая задача решена в работе [3]:

Теорема С. Для любой субгармонической функции и на плоскости, имеющей конечный тип при порядке р > 0, существует целая функция /, удовлетворяющая соотношению

КА) - 1п и(А)|| = о(|А|Р),Х е Е, |А| -^то.

Исключительное множество Е является С0-множеством, то есть оно может быть покрыто кругами В(и>к,гк) та,к, что

гк = о(К), К —> то.

Ы<Д

В работе [4] эта теорема уточнена в смысле оценок разности и размеров исключительного множества.

Теорема И. Для, любой субгармонической функции и на, плоскости, имеющей конечный порядок роста, существует целая, функция /, удовлетворяющая соотношению

|ЦА) - 1п и(А)|| = 0(1п(|А| + 1)), А е Е, |А| —> то.

Для любого ¡3 > 0 исключительное множество Е может быть покрыто системой кругов В(и>к,гк) та,к, что

^ гк = 0(Р-/3), К —у то>.

[шк |>Д

Теоремы С и Б не могут быть непосредственно применены в вопросах разложения в ряды экспонент. Дополнительно нужно получить нижние оценки для )|, а для это-

го нужно иметь не только оценки размеров исключительного множества, но в большей степени нужна информация о структуре этого множества, В данной работе будет доказана теорема.

Теорема 1. Пусть и — субгармоническая функция на, плоскости, имеющая конечный порядок роста, р, ^ — мера, ассоциированная с ней по Риссу. Если для, некоторых а, а > 0 для, всех точек г е С выполняется, условие

М^ОМ)) < + 1)% * е (0; (И + 1)-а), (3)

то существует целая, функция / с простыми нулям,и Хп такими, что при некоторых 8,0 > 0 круг и Вп = В(\п, ¿/(^^ + 1)-//) попарно не пересекаются, и сам,а, функция для, некоторых постоянных А, В, С удовлетворяет соотношениям,

1п |/(А)| < ЦА) + Л 1п(|А| + 1), А е С, 1п |/(А)| > и(Х) - Л1п(|А| + 1), А е и Вп,

п

1п |/'(Ага)| > и(хп) - Аз 1п(|Ага| + 1), п е N. Постоянные А\, А2, А3 зависят от р, а, а и не зависят от конкретного вида функции и.

Далее, для каждой последовательности = (Мп)с^=\ мы рассмотрим Банахово пространство Н(М.0, Р) аналитических в ограниченной выпуклой области Р функций с нормой

1

п

2 -8ир — вир |/^(г)^.

Пусть

Тк (г) = 8ПР -—-, к = 0,1, 2,...-

1У1,П.

п Шп+к

— функции следа "сдвинутых" последовательностей М.к = (Мга+к)^=^, Через Рк(Р) обозначим банаховы пространства целых функций Р с нормой

(А) |2р-2Яв(А)

«2 = 3 ^— •

а через V(М0, Д) проективный предел проетранетв Рк, к = 0,1,2,... , В работе [5] показано (Теорема 1), что каждая функция f € Н(Мк,0), к € N является преобразованием Фурье - Лапласа некоторого линейного непрерывного функционала Б на пространстве V(М0, О), то есть

f (г) = 8х(ех*),г € О.

Используя этот факт и идею достаточных множеств мы докажем следующую теорему. Теорема 2. Пусть М0 = (Мп)г^'=1 — выпуклая последовательность, удовлетворяющая

условию "неквазианалитичности "

£

М,

п

< СЮ.

Мп+1

п

Для, любой выпуклой области существует система, экспонент eXnZ, п Е N, такая, что любая, функция из индуктивного предела

f Е lim indH(Mk,D) := U(Mo,D)

представляется, в виде ряда, по данной системе экспонент

f (z) = Y, fneKz,

п

причем, ряд сходится в топологии, %(M0,D).

Такие системы в дальнейшем будем называть представляющими системами,

2. Целые функции с заданным асимптотическим поведением.

Доказательство теоремы 1

Доказательство теоремы 1 представляет собой небольшую модификацию доказательства теоремы 4' из работы [4].

Лемма 1. Пусть и, и(0) = 0, субгармонична на всей плоскости, и удовлетворяет условию

и(Х) < а(|А| + 1)р, А Е C. (4)

Предположим, что ее ассоциированная, мера удовлетворяет условию (3). Тогда, существует субгармоническая функция v Е C^(C), удовлетворяющая условиям (3), (4) и

и(Х) < v(X) < и(Х) + 0(ln(|A| + 1), А го, ^v(X) = 0((|А| + 1)3(р+а)), А го.

Доказательство леммы 1.

Из условия (4) по формуле Иенеена

— Г = г ^ ^

]о Зо í

следует, что

< а(п +1)р, П> о,

или

/1(П) < аер(Р + 1)р, Р> 0. (5)

Разобьем отрезок [2П-1; 2П] на = [аер2(п+1*)(р+1*)] + 1 ([ж] обозначает целую часть х) отрезков 1к равной длины. Тогда по принципу Дирихле найдется хотя бы одно кольцо Бп := [г = 1ег{р,1 € 1кп€ [0; 2^]}, у которого ^ — мера удовлетворяет оценке

МЯ) < ^ < 2- (6)

Ширину этих колец обозначим через Кп:

вп = [г : Кп < |г| < Кп + К], п е N

при этом

1

К > -2-(га+1)р, Пп е [2га; 2га+1].

Пусть

V

£ н

П=1

— сумма сужений меры ^ на кольцо Из (6) следует, что V(С) < 1, Отсюда и из условия (3) обычными в этих вопросах выкладками доказывается оценка

п(Х) :=

1п

1 - -

■хи

¿V(т) = 0(1п(|А| + 1)), Л —^ то.

Функция щ(\) = и(Х) — ^(А)

1) субгармонична на всей плоскости, гармонична в кольцах Бп,

2) ассоциированная мера удовлетворяет условиям (3), (4);

3) удовлетворяет оценке

ЫА) — и^ = К(А)| = 0(|А| + 1), А —^ то.

Применим к функции и0 процедуру регуляризации. Пусть а(Ь) е С° ная, финитная функция с носителем в [—1; 1], такая, что

[ а(|А|)^га(А) = 1, ис

где ¿т, — плоская мера Лебега, Возьмем последовательность чисел

' К

т1п(^, 2-а(п—)^

и положим

Тогда функции

ага(А) = Г2а(ГЧА — ■ы)).

ип(Х)= ап(\ — 'ш)и0('ш)с1т('ш), А е С, п е М, ис

обладают общими свойствами регуляризации

1) субгармоничны, бесконечно дифференцируемы и

ип(Х) > и0(\), А е С, п е М,

и свойством, вытекающим из свойств и0,

2) в кольце £ = [А : |А| е К + ^; Кп + ^]] ип(\) = ^(А). Определим функцию V следующим образом

р(А) = ип(Х),

е

п е N.

(8)

неотрицатель-

В силу второго свойства функций ип функция V "склеивается" в кольцах 8П в субгармоническую функцию, равную в кольцах Б функции и0. Очевидно, что функция V е Сте(С) и удовлетворяет условиям (3), (4), Если А лежит между кольцами Бп и 8п+1, то

у(Х) — и0(Х) = ип(Х) — и0(Х) = / (и0(ш) — м0(А))ага(А — w)dm(w).

и

П

Переходя к полярным координатам и пользуясь формулой Иенеена получим

Г&п / ¡-ъ

у(Х) — щ(Х) = 2ж I ап(1)^ ^^ ¿8 ) КН.

Ц ^1к)

По определению 8п < 2-а(п+1) < (|Л| + 1)-а^ и по свойству (3) имеем

у(X) — щ(Х) < а ап(Х)йт(Х) = а.

п

1с

Отсюда и из оценки (8) получим первое утверждение леммы 1, Оценим Ау. Если Л лежит между кольцами Бп и 8п+1, то рассматривая и0 как обобщенную функцию получим

Аь(X) = J Алап(Х — т)щ(т)с1т(т) = ^ Ашап(Х — т)щ(т)с1т(т) =

= -к ! ап(Х — т)¿¡л(т). Если а = т&х а (1), то с учетом (4) имеем

Ау(X) < ¿-Х|А| + 1) = 0((|А| + 1)30+*>).

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть и — гладкая субгармоническая функция, ^ — ассоциированная, мера этой функции, которая удовлетворяет условиям (3), (4), и для, некоторого 0 имеет место оценка

Аи( А) = 0((|А| + 1)?), |А|-^го. Тогда, существует субгармоническая функция и такая, что

|и(А) — и(Х)1 = 0(|А|), А -^ го.

При этом, ассоциированная, мера ]1 функции и удовлетворяет условиям (3), (4)- Кроме того, существуют меры, и прямоугольники Рп, п € N такие, что V Еп Vп =

2) внутренности, выпуклых оболочек носителей мер ^п попарно не пересекаются;

3) носитель меры лежит в Рп, п € N

4) отношение длин сторон прямоугольника Рп лежит в интервале [3-1; 3];

Рп

6) если Рп — выпуклая оболочка носителя, меры то

(Пат Рп < 2л/2шт |А|.

лек

7) Внутри носителей Рп функция и гладкая, и выполняется оценка

Аи(X) = 0((|X| + 1)?), |А| —> го.

Доказательство леммы 2.

Пусть Qп, п € N — квадрат с центром в начале координат с длиной стороны 3п и сторонами, параллельными осям координат. Тогда

Qn+l \ Qп = [JQпj, п € М, 1

где Qnj — квадраты, полученные сдвигом квадрата Qn на векторы (±3п, 0), (0, ±3п), ( ± 3 п , ±3 п)

п]) := тщ + дщ, 3 = 1, 2,..., 8, п € М,

где д^ = [ц((^пз)] е [0; 1) — дробная часть ц((^пз). Положим д+ = ^з Япз е [0; 8), д- = ^(Япу — 1) е [—8; 0). Определим последовательность дп следующим образом: положим д0 = если д^ для ] < к — 1 определены, то при д^ > 0, положим дк := д-, в противном случае дк := д+. Таким образом,

^ дк е (—8; 8), п е N.

(9)

к=0

Далее определим последовательность натуральных чисел , ] = 1,...8, п е N. По-

ложим N0 = К^)], если дп = то = ) — (д^ — 1), а если = д+, то

Nп] = ^(Яп]) — дП]■ Таким образом, либо = + 1, либо = Сужение меры ¡л на квадрат обозначим через ¡л0 = ¡л |д0 и положим Д0 = ¡л0,

N.

Ц'П]

П]

, ] = 1,..., 8, п е N.

Если ^(Ящ) = 0, то Цщ = 0. Тогда Цщ(С) = — целые неотрицательные числа, и если положим = Цщ — то

(С) е (—1;1),

(ё

РП] (С) е (—8; 8).

ПУСТЬ V = У0 + ЕГ=^8=1 ^

^ + = ^0

+ ££

Яп=Я+ 3 = 1

"из, V

ЕЕ'

пз >

Яп=дп

тогда г/± — неотрицательные меры и и = г/ + — и . При этом

V

= Г е (—8; 8).

Утверждение 1. Верно соотношение

1 — А

т

= 0(1п(|Л| + 1)), |А| —> то.

(10.1) (10.2)

Доказательство утверждения 1.

Докажем, что

|= |и(В(0, Щ < 17, г > 0,

и для |//| = г/+ + и~

Н(*) = (В(0,¿)) < 171п(£ + е), г > 0. Если Ь < , то В(0, ¿) С ф2, поэтому

8

|^)|< ю(*) + £ |иц(С)|< 9.

3=1

Для Ь > —2 через п обозначим наибольшее натуральное число, для которого < ¿, тогда

С В(0,¿) и > —23—г > > значит ^ В(0,¿). Таким образом, с учетом (8) получим

п+1 8

|^)|<|+ ^^ |Уц(С)|< 17.

г=п з=1

Также можем оценить и±(1) и, сложив полученные оценки, доказать неравенство (10,2),

Возьмем произвольное А € С и разобьем плоскость на множества Е1 = С \ В(0; 2|А|), Е2 = В(0; 1) Е3 = В(0; ^) \ В(0; 1), Е4 = В(А, (|А| + 1)-а) ж Е' = С \ ^ Ек. На множестве Е1 нужную оценку получим пользуясь (10,2) и неравенством: для некоторой постоянной С для всех |z| < \

11п |1 -*||<С |г|. (*)

0(1п |А|), |А| го.

г А ¿и (т)

1п 1 - а

./Ех т

2 очевидна.

1п 1 - А ¿и(т)

Е2 т

0(1п |А|),

Оценка первого интеграла в правой части неравенства

.

1п

'Ез

1 - А

т

¿и(т)

<

1п

'Ез

1 - А

¿и (т)

+

1п

Ез

¿и(т)

следует из (10,2) и (*), Второй интеграл интегрируем по частям

1п

Ез

¿и(т)

2

1п—¿и(г)

'1 ъ

< 1п 2 А ш) +

V 2 ) ¡1 г

Нужную оценку получим используя (10,1):

1п

Ез

1 - А

т

¿и (т)

0(Ь |А|), |А| го.

Из свойства (3) имеем

1п

1Е4

1 - А

т

¿и(т)

< а, А € С.

Пусть п — наименьшее натуральное число, для которого В(0,21А|) С Qn, то есть

< 21А| < Зт- Тогда Е' С В(0, 2|А|) \ В(0, А) С Qn \ Qn-3, поэтому

С другой стороны,

тахШ£Е'

1п

|//|(Е') < 24.

-- 0(1п |А|), |А| го.

1 - А

т

Е'

Утверждение 1 доказано.

Вернемся к доказательству леммы 2, Положим и(А) = и(А) - ж (А), где ж (А) — потенциал меры и, определенный в утверждение 1, Тогда и — субгармоническая функция с ассоциированной мерой /I. По построению условия (3) и (4) выполнены, А также во внутренности каждого квадрата Qnj

Аи( А)(1т( А) = ж^(А) = ж

К

п]

К

/(Яп])

п

/(Яп])

Аи( А),

поэтому верна оценка

(11)

Аи(А) = 0((|А| + 1)?), |А| —> го. Из утверждения 1 следует соотношение

и А) -и(А)| = 0((|А|), |А| > го.

По построению, = Кщ — целые неотрицательные числа и к сужениям мож-

но применить Теорему 1 (о разбиении мер) из работы 4: существует совокупность пар

2

(¡1^, Р^) прямоугольников Р^ и единичных мер таких что выполняются условия 1-5 леммы 2, Дополнительно, прямоугольники Р^ лежат в квадратах Цщ- Остается перенумеровать их одним индексом. Свойство 7 выполняется по оценке (11), свойство (6) — из соответствующего свойства квадратов Лемма 2 доказана.

Продолжим доказательство теоремы 1,

Центр тяжести единичных мер ¡п, построенных в лемме 2, обозначим через Ап:

У wd¡JL(w) = Ап, п € N.

Через ¡п обозначим сужение меры ¡и на множество \ и через пп потенциал этой меры

' А'

^га(А) = / ln

1--

W

dfin(A).

Тогда мера Jín удовлетворяет условиям теоремы 3 в работе [4] и по этой теореме с учетом условия (3) получим существование полинома Р такого, что вне множества кругов Вп(е) = В(Ak,e(|Afc| + 1)-7), где Ak — нули многочлена Р, '"f > а, а, е > 0 — достаточно малое число, выполняется соотношение

|тт(А) - ln |Р( А)|| < Aln(|A| + 1).

При этом постоянная A те зависит от п. В силу независимости постоянной ^ти обычным образом обосновывается предельный переход, В результате получим, что существует целая

А n

|«(А) - ln |/( А)|| < Aln(|A| + 1), A i ^Вп(е). (12)

п

Необходимо показать, что при достаточно малом е > 0 круг и Вп(е) попарно не пересекаются, Оцепим расстояние dn от точки Ап до границы выпуклой оболочки Fn носителя меры рп. Пусть wn — одна из точек достижения этого расстояния:

|An - Wn| = inf{|An - w|, w i Fn}.

Пусть An - wn = ег1Рп |An - wn| и z = Tw = e-ipn (An - w). При таком преобразовании образ F* оболочки Fn расположится в полуплоскостп {Re z < dn}, и для образа меры d/i*(z) = d/in(A - егрпz) будут выполняться условия

У d¡i*(z) = 1, У zd¡i*(z) = 0, d¡i*(z) = ~xn(z)&u(An - егрпz)dm(z), где хп (z) ~ характеристическая функция F*, Пусть

$(х) = 1 I Хп(х + iy)Au(An - егр"(x + iy))dy. к J

Тогда S(x) — финитная функция с носителем на отрезке [a; dn] и по условиям 6-7 в лемме 2

0 < ¿(х) < С(|An| + 1)"+1 := Мп. Кроме того, из свойств р* следует, что

fd„ rd„

/ 5(x)dx =1, х5 (x)dx = 0.

Ja Ja

( х)

удовлетворяющая условиям

1) conv supp 5 = [a; d], 2) supí(x) < М < то,

3) J 8(x)dx = 1, 4) J x8(x)dx = 0.

Тогда

d> 1

6М

Доказательство утверждения 2.

Определим число с > 0 из равенства

8(x)dx = -.

3

Из условия 2) следует, что с > Допустим, что d < с. Тогда, учитывая 3), имеем

Г-с [d Г 2

8(x) dx = 1 — 8(x) dx = 1 — 8(x) dx = -.

»/ _»/ _r- »/ _r- '-J

Поэтому

С другой стороны,

По условию 4)

г0 2с 2с

|x|#(x)dx > — + |x|8(x)dx > —.

3 .1 — r- 3

|x|8(x)dx = |x|8(x)dx < с 8(x)dx = -. 0 0 3

2c f0 f1 с

— < | x | <5 (x) dx = | x | <5 (x) dx =<77. 3 J-00 J 0 3

Из полученного противоречия имеем

d> с > 1

6М

Утверждение 2 доказано.

Из доказанного утверждения вытекает, что для 7 = 3(р + а) + 1 круг Вп(е) = В(Ап, е(|А| + 1)-7) при достаточно малых е > 0 лежит оболочке Fn и, тем самым, эти круги попарно не пересекаются. Обычными приемами с помощью формулы Коши

1 _ 1 Г dz f( Ап) =2nJ f(z)(z — Ап),

Ап

Теорема 1 доказана,

3. Представляющие системы экспонент в пространстве H(M0,D).

Доказательство теоремы 2

Пусть M0 = ( Мп)^=1 — возрастающая выпуклая последовательность положительных чисел. Выпуклость понимается в том смысле, что если

п

Т0(г) = sup —, г > 0,

п Тп

— функция следа данной последовательности, то

п

Мп = sup——, п е N. г>0 Т (г)

Во введении мы ввели обозначения: для к € N через Мк обозначили сдвиг последовательности Мк = ( Мп+ки ввели подпространства

Н (Мк ,И) = {¡€Н (И): или = 8ир8ир;у 1 ^, к€ N,

п Мп+к

и индуктивный предел этих пространств

Н(Мс,И) = Ун (Мк ,И).

к

Через Рк (¿) обозначили банахово пространство целых функций с нормой

(А)1 е-Но (л)

и^и* = «пр ^(А)(,А,) ,

лес Тк(|А|)

где Т^ — функция следа поеледовательпости Мк, и проективный предел этих пространств обозначили через V(М0,И). Преобразование Фурье - Лапласа линейного непрерывного функционала Б па V(М0,И) определяется как

5 ЗД = 5л(елг).

Мо

£ ММ+1 < (13)

п

преобразование Фурье-Лапласа устанавливает изоморфизм сильно сопряженного пространства V*(М0, И) и пространства Н(М0,И).

С каждым подмножеством Б С С свяжем полунорму в V(М0,И)

(А)1е ~Н°(л)

и^и^ = «пр ^(Т)|(|Ап .

лей1 Тк(|А|)

Если топология, определяемая системой этих полунорм, совпадает с исходной топологией пространства V(М0, И), то подмножество Б называется достаточным для пространства V(М0,И) (см. [6], [7]).

Теорема 3. Пусть целая функция Ь(А) с нулями Ап, п € N удовлетворяет условиям

1) для некоторого А > 0

|Ь( А)| X еН°(л)Т0(|А|)(|А| + 1)А, А € С,

2) для, некоторого В > 0 и некоторой последовательности, Як —> то

|Ь( А)| ^ еН°(л)Т0(|А|)(|А| + 1)-Б, |А| = Пк, к € N

3) для, некоторого С > 0

|Ь'( Ага)| ^ еН°(л")Т0(|Ага|)(|Ага| + 1)-с, п € N.

Тогда, множество 5 = {Ага, п € N1 является, достаточным для, пространства V (М0,И). Доказательство теоремы 3.

Мы в ходе оценок будем пользоваться следующим соотношением между функциями следа, доказанным в работе [5] (Лемма 1,2,): для любых натуральных к,т, т < к, найдется Гк,т ТйК? ЧТО При Г > Гк,т

Тк (г) = тт-кТт(т). (14)

Итак, возьмем и зафиксируем натуральное число к, возьмем число N > А + к и число т > N + С + В + 2, здесь постоянные А, С из условия теоремы. Пусть Р е V(М0,Р), тогда

|Р( А)| < ||Р||таеНл(Л)Тт(|А|), А е С, (15)

и по соотношению (14)

|АМР(А)| х ен°(Л)Тс(|А|)(|А| + 1)-в-2.

Отсюда и по второму условию на функцию Ь получим, что на окружноетях |А| = Рп имеет место оценка

1АМР (А)|

1Ь(А)1

X (|А| + 1)-2.

Следовательно, равномерно на плоскости сходится ряд Лагранжа

А"Р (А) = £

А"Р(Ап) -Ь(А).

( А — Ап)Ь (Ап)

В силу выбора т и по соотношению (15) для |А — Ап| > 1 имеем оценку

№ (^ Ь ( Ап)|

< ||Р|Ап|

-в-2

Поэтому для |А — Ап| > 1

^ (А)|х||Р |ЦЯ |Ь( А)||А|-М. Отсюда, учитывая условие 1) теоремы, получим

" '|РlX)¡e-HD(Л) X ||Р!|т,Т»ШМ^ х|Р||т,,

пли

Тк (|А|) .....^ Тк(А)

||Р||к х ||РН^, ¡еТ(Мо,Р).

Теорема 3 доказана.

Теорема 2 следует из теоремы 3 на основе хорошо известной связи между достаточ-

Ь

требуемыми свойствами вытекает из теоремы 1.

Очевидно, что если система е Л"г является представляю щей для пространства 'Н(М0, В), то после удаления конечного числа элементов оставшаяся часть системы будет тоже представляющей. Но при удалении бесконечного набора элементов система вообще говоря перестает быть представляющей.

Утверждение 3. Пусть Ак, к е N — нули функции целой функции Ь, удовлетворяющей условиям теоремы 3 и п е N — некоторое бесконечное подмножество нулей. Система Е = {еЛпХ, п е М}\{, п е М} не является, представляющей в пространстве Н(Мо,Р).

Доказательство утверждения 3. Переходя при необходимости к подмножеству, будем считать, что множество {^к} удовлетворяет условию: в каждый отрезок [2п; 2п+1\, п е М, попадает те более одного гк = | и гк > 1. Через т(Ь) обозначим считающую функцию этого множества. Тогда функция

д( А) =

ПI1—й А е С

является целой функцией. Пусть А е [2п; 2п+1]. Тогда

Е 1п

Ы>2™+2

1 — А

Vк

<

|А| Е # <1

к=п+2

Е 1п

| № |<2"

Vк

1 — т

п- 1

<

Е 2к < 1.

к=1

Так как для |Л — ßk | > 1

Е

2n-1<|/Ufc |<2П+2

то

I In |д(Л)||

£

|ßk |<2"-1

In

Л

ßk

+ 0(ln |Л|)

1 — — ßk

,|Л|

0(ln |Л|), |Л| ^ то,

m(t)dt

f 0(ln |Л|), Л ^ то, |Л — ßra| > 1, n G N.

И, поскольку т(Ь) ^ то, £ ^ то, то 1п |А| = о(1п (А)|), |А — | > 1, к € N |А| ^ то.

Таким образом, функция Ь1(А) = Ь(А)/д(А) принадлежит проетранетву V(М0,Р), и система Е те будет представляю щей в Н(М0,И). Утверждение 3 доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

2. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целым,и функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды, экспонент // Изв. АН СССР. Сер. мат., 39:3 (1975). С. 657702.

3. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Математический сборник, 79(121):4(8) (1969). С. 464-476.

4. Юлмухаметов P.C. Аппроксимация, субгармонических функций // Analysis Mathematica, 11:3 (1985). С. 257 2К2.

5. Юлмухаметов P.C. Квазианалитические классы, функций в выпуклых областях // Математический сборник, 130(172):4(8) (1986). С. 500-519.

6. Shneider D.M. Sufficient sets for some spaces entire functions// Trans. Amer. Math. Soc., 197 (1974). P. 161-180.

7. Напалков B.B. О дискретных слабодост,am,очных множествах в некоторых пространствах целых функций // Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:5 (1981). С. 1088-1099.

Константин Петрович Исаев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: orbit81@list.ru

Кирилл Владимирович Трунов, Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. ni. ni. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: trounovkv@mail.ru

Ринад Салаватович Юлмухаметов, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. ni. ni. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: Yulmukhametov@mail.ru