Целые функции с тонкими асимптотическими оценками для выпуклых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 2 (2014). С. 36-44.

УДК 517.574

ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ТОНКИМИ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ОЦЕНКАМИ ДЛЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ

К.П. ИСАЕВ, Р.С. ЮЛМУХАМЕТОВ, А.А. ЮНУСОВ

Аннотация. В статье предлагается конструкция целой функции, логарифм модуля которой асимптотически аппроксимирует данную субгармоническую функцию вида h(Re z), где h — сопряженная по Юнгу к выпуклой функции h(t) на интервале (-1; 1). Такие функции находят применение в вопросах представления рядами экспонент в интегрально-весовых пространствах функций на интервале (1; 1) с весом exph(t). При этом чем больше точность аппроксимации, тем в более тонких топологиях можно рассматривать представление рядами экспонент. Для функций h, удовлетворяющих условию (1 — |t|)n = O(exp(h(t))), n G N, соответствующие целые функции были построены ранее. В данной статье рассматриваются функции, удовлетворяющие условию exp(h(t)) = o((1 — |t|)n), n G N. В предлагаемой конструкции учтены необходимые условия на распределение показателей безусловных базисов из экспонент, полученные в предыдущих работах. Поэтому основной результат статьи (теорема 1) следует рассматривать не как инструмент, пригодный для конструкции безусловных базисов из экспонент, а как аргумент в пользу гипотезы об отсутствии таковых.

Ключевые слова: целые функции, субгармонические функции, мера Рисса, гильбертовы пространства, базисы Рисса.

Mathematics Subject Classification: 30D20

1. Введение

Задача об аппроксимации субгармонических функций логарифмом модуля аналитической функции возникла в теории целых функций. Первый общий результат по этой задаче был доказан в работе [1]. В работе [2] доказано существенное уточнение теоремы В.С. Азарина.

Теорема A. Для любой субгармонической на плоскости функции и конечного порядка существует целая функция f, удовлетворяющая условию

|u(z) — ln |f (z)|| = O(ln |z|), z G E, |z| —> <x>.

Исключительное множество мало, например, имеет конечную лебегову меру.

Эта теорема в общем случае неулучшаема и оптимальна в смысле оценки разности и размеров исключительного множества. Однако, в применениях подобных результатов в смежных вопросах комплексного анализа потребовались более тонкие оценки разности. За счет дополнительных условий на функцию и и за счет увеличения исключительного множества E более тонкие оценки разности удалось получить, например, в работах [3]-[5].

K.P. Isaev, R.S. Yulmukhametoy, A.A. Yunusov, Entire functions with fine asymptotic estimates for convex functions.

© Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С., Юнусов А.А. 2014.

Поступила 22 февраля 2014 г.

В последней работе рассматриваются функции вида Л(г) = Л(Ке г), являющиеся преобразованием Юнга выпуклой функции Л(£) на интервале (-1; 1) вещественной оси. Приближение таких функций имеет применения в вопросах представления рядами экспонент функций из интегрально - весовых гильбертовых пространств на интервалах. В работе [5] удалось построить целые функции достаточно хорошо аппроксимирующие выпуклые функции указанного вида, если е^(1 — |£|)п —> то для любого п при |£| —> 1.

Данная статья посвящена построению целой функции, асимптотически аппроксимирующей функции вида Л, когда в^(4)(1 — |£|)п = о(1) для любого п при |£| —> 1.

Конструкция целой функции. Пусть и(х) — неотрицательная дважды дифференцируемая выпуклая функция на К, и(0) = 0, |х|и''(х) убывает при возрастании |х| и

и''(х) = о(1/|х|2), |х| —> то. (А)

Определим две возрастающие последовательности Тп и хп Е (Тп,Тп+1), п Е Ъ, по соотношениям

Г Тп+1

Т0 = 0, (Тп+1 — Тп) / ^и'(х) = 1, п Е Ъ, п = 0,

'тп

Г тп+1

/ (х — хп)^и'(х) = 0.

'тп

Положим рп = Тп+1 — Тп. Квадраты

Рк,т = {г = х + гу : Тк < х < Тк+1, |у — рк(т + ^)| < у}

попарно не пересекаются и точки 'Шк,т = хк + г(т + 1), к, т Е Ъ, являются центрами масс этих квадратов по мере йи'(х)^у. Для д Е (0; 1) положим

Рк,п — ^к,п + д(Рк,п ^к,п)-

Теорема 1. Существует целая функция f (г) с простыми нулями /шкт = хк + грк(т + 1), к,т Е Ъ, удовлетворяющая следующим условиям

1. Для всех г Е С выполняется оценка

1п ^(г)| < и(Б,ег) + 0(Ж(2|г|)), |г| —> то, где N (г) — считающая функция последовательности |хк |:

N (г) = V 1.

£

|Хк |<г

2. Для г Е икп Рьп выполняется оценка

1п |f (г)| > и(Б,ег) — 21п |г| + (2|г|)), |г| > 1, |г|—> то,

1. Доказательство теоремы 1.

Можно считать, что и(0) = и'(0) = 0. Докажем одну предварительную лемму.

Лемма 1. Кусочно-линейная выпуклая функция г>(х) на К, определенная из условия: ее производная — кусочно постоянная функция с точками разрыва {хп} и с величиной скачка в точке хп, равной рп, и ^(0) = ^'(0) = 0, удовлетворяет условию

вир |г>(х) — и(х)| < 1.

Кроме того, из условий на функцию и следует, что последовательность рп возрастает при |п| —> то и

Нш„_^= ^, = то, (1)

ТП ТП+1

Tn±l + Tn Tn±l + Tn

О < Tn < xn < -----2----, n > О, 0 > Tn±l > xn >------2----, n < 0.

Доказательство. Методом математической индукции по n доказывается, что для всех n верно u(Tn) = v(Tn), u'(Tn) = v'(Tn). Следовательно, функция v(x) есть верхняя огибающая касательных функций к u(x) в точках Tn и

sup Iu(x) — v(x)I = sup(u(xn) — v(xn)).

жЄМ n€Z

Оценка последнего супремума проводится элементарными методами.

□

По этой лемме мы можем доказывать теорему, считая, что u — кусочно-линейная функция. Через а обозначим меру, ассоциированную с субгармонической функцией u(z) = u(Re z). Отметим сразу, что мера а сосредоточена на вертикалях Re z = xk и на каждой из вертикалей распределена линейно с плотностью —. При этом а - мера каждого квадрата Pkn

-k

равна 1, и точки Wk,n являются центрами масс по мере а квадрата Pk,n. Через v обозначим дискретную меру с единичными массами в точках Wk,n. В работе [2] доказано, что при этих условиях вне достаточно малого исключительного множества E выполняется соотношение

ln

1 — —

W

d(v(w) — аН) = O(ln(IzI)), IzI —> то.

Тем самым, нам достаточно доказать соотношения

ln

1 — —

W

d(v(w) — аН) < O(N(IzI)), IzI —> то,

и вне множества

Uk,n Pfc,

ln

k,n

1 — -

W

(dv(w) — аН) > —2ln IzI + O(N(IzI)), IzI —> то.

Если [x] — целая часть x, то для любого p > О

x

p

t

p

x 1 .p + 2 ' t 1' p + 2

dt

< p, x Є R. 8

(2)

(З)

Сужение ^к меры ^ на критическую прямую Бе т = хк + И порождается функцией — + С, сужение точечной меры V порождается функцией [ — + 1 ] + С. Положим

-k

nk(t)

L(z, w) = ln

pk

1 — —

W

z

Бе 1п (1-----

V т

Через п обозначим заряд, сужение которого на вертикаль Бе т = хк равно Пк(£)^£. При этих обозначениях нам нужно оценить интеграл

ln

1 — —

W

d(v (w) — аН) = Е / L(z,xk + it)dnk (t)

/ L'(z,xk + it)nk(t)dt = — L'(z,w)dn(w).

Будем пользоваться следующим представлением (w = s + it)

Lt(z, w) = Re

Wz

W

-------= — Im

(W — z)W

Im------Im--------.

w w — z

(4)

o

t

z

Зафиксируем точку г = (х + гу) Е Рп,^-, будем считать, что х,у > 0, это значит, что Рга,^-лежит в первом квадранте. Возьмем достаточное малое 8 > 0 и введем в рассмотрение квадраты: ф(0) — квадрат с центром в точке 0, со стороной 8г, г = |г|, и со сторонами, параллельными осям координат, ф(г) = ф(0) + г. Квадраты ф(0) и ф(г) при достаточно малых 8 не пересекаются. В самом деле, эти квадраты лежат в кругах с теми же центрами и радиуса \/28г. Следовательно, если 8 < 1/\/8, то не пересекаются указанные круги. Будем считать, что 28 < 1/\/8. В этом случае расстояние между квадратами

^ (ф(0),ф(г)) > 8|г|. (5)

Лемма 2. Пусть Е — внешность двух вертикальных полос с основаниями [—8г; 8г] (содержит квадрат ^(0)) и [х — 8г; х + 8г] (содержит квадрат ф(г)). Тогда (т = 5 + й)

Ь[(г,

>Е

0(1), |г| —> то.

Доказательство. Пусть хк ф [—б'г; £г] У [х — £г; х + £г]. Воспользуемся (2), (4) и неравенством Коши-Буняковского:

г+те і

<М “ 2

Пк (і)Ь;(г, хк + гі)^і

*+те

<т

л+те

ю |хк + гі||х^ + й — г| \ 2 п|г

<

|хк + ^7 ^-те |хк + ^ — г|2У Vх(х — Хк)| ‘

Из леммы 1 (соотношение (1)) следует, что при некоторых постоянных 5 < 1, С > 0 для всех п, т Е ^ , пт > 0, |т| < |п| выполняется оценка

Т

Т“ <

Т п

|п|-|т|

значит,

— < Сд|к|-|т|-2. хк < ’

Рассмотрим индексы к, для которых х& > х + 8г, пусть т > 0 наименьший из них. Тогда

п^С (3 — ^)

У, / Пк(і)Ь'(г,Хй +

<

пг

2^ |хт(х — Хт

£

хт(х хт)

хк (х — хк)

<

1.

Аналогичным образом оценивается сумма интегралов по тем индексам к, для которых хк < —8г. А также сумма интегралов по тем индексам к, для которых 8г < х^ < х — 8г, если такие индексы есть.

Лемма 2 доказана. □

Лемма 3. Пусть Р = С \ (Е у ф(0) У ф(г)). Тогда (т = 5 + г£)

Ь[(г, и>)^п(и>)

= °(Ж(2|г|)), |г| —► то.

Доказательство. Носитель заряда п = V — ^ на множестве Р представляет собой объединение интервалов вида хк + г(^г;+то), хк + і(—то; — £г;), хк Е (—£г; £г), хк + і (у + £г; +то), хк + (—то; у — £г), |х — хк | < £г, и, возможно, ограниченных интервалов вида хк + г(£г; у — £г), хк Е (х — £г; £г).

Рассмотрим ограниченный интервал вида ($г; у — $г). По представлению (4) и оценке (2) имеем (ад = хк + іі)

Г*у—

<1г1

<2

ру-

16г |ад — г|М

<

1

2Т2.

Рассмотрим интервал вида хк + г(8г;+то). Если т = хк + й и хк < х — 8|г|, то |т — г| > х — хк > 8|г|, поэтому |т| < |т — г| + |г| < |т — г|. Таким образом,

8

|т — г| > 1+7|т|.

Отсюда получаем для т = хк + И, Ь Е (8г; +то), оценку

|Д(г,х*. + гЬ)| X

|т|

поэтому

Пк (Ь)Ь'(г,хк + гЬ)йЬ

/.

йЬ 1 хк + Ь2 < 28.

Аналогично доказывается, что интегралы по неограниченным интервалам остальных видов тоже ограничены. Если вертикаль И,е т = хк пересекается с множеством ф(0) и ф(г), то хк Е (—8г; (1 + 8)г), значит количество таких вертикалей не больше N(2г). Таким образом, лемма 3 доказана. □

Утверждение 1

Пусть ( = а + гЬ Е С, а Е (0; 1). Тогда 1. Для любого числа й

1т I ----- 7 йЬ

'Ь-арк (хк + гЬ) С

< 2а.

2. Если арк < 8г, то

рЬ±ЙГ

1т

Пк (Ь)йЬ

Ь±арк (хк + гЬ) — С

1

< ----.

< 2а

Доказательство. 1. Поскольку

рЬ+арк

^ — й

Рк

1т / ; Д = 11т Г (Т +Ь — ;гр>)йт

Jь-аpk (хк — а) + г(Ь — Ь) Рк ,/-0рк (хк — а) + гт

-арк

1 Гарк тйт

Рк 7-арк (хк — а) + гт

_ + 1т Г

йт

и

то

гЬ+стрк

1т

1т

Пк (*)й*

' -арк гарк

'-арк

йт

(хк — а) + гт

Рк

гарк

'-арк

и — арк (хк — а) + гт "тйт 0,

(хк — а)2 + т2

Ь_арк (хк — а) + г(Ь — Ь)

1

Рк

1т

'•арк

- ар к

тйт

(хк — а) + гт

т 2йт

1 гарк

РкЗ-арк |хк — а|2 + т2

2а.

2. Интегрируя по частям получим ГЬ+ЙГ Пк (Ь)йЬ / 'Ь+ЙГ

</Ь+арк хк + гЬ С Следовательно, в силу оценки (3)

Пк (Ь)йь

1

Ь+арк Пк(Тхк + г8г — а

+

Г«Ь+ЙГ

Ь+арк

[ Пк(т )й^ (--------- Л )2 .

'Ь+арк / (хк + гЬ — С)

рЬ+йг

1т

/Ь+арк хк + гЬ — С

< Рк + Рк ______

< 48г 4 ]Ь+арк (хк — а)2 + (Ь — Ь)2

1 Рк 1

<--------+ < ------------.

4а 4аРк 2а

<

Утверждение 1 доказано.

□

г

2

Лемма 4. Выполняется соотношение (т = 5 + іі)

'<9(0)

Ь[(г, т)^п(т)

0(^(|г|)) |г| —► то.

Доказательство. Из представления (4) и из оценки (5) видим, что для т Е ф(0) |т — г| > 8|г|, поэтому

рёт

Пк (і)^і

< Iі ■ (20г) = 2. ог

/-йг (хк + И) — г Количество хк Е (—8г; 8г) равно N(8г), значит

^ ------йп(т) = (8|г|)), |г| —> то. (6)

д(0) т — г

Положим а = 1, если рк <8г и а = —, если рк > 8г. Применим утверждение 1 при £ = 0, 2 2 р к 2

й = 0. В первом случае получим

г-ёт

1т

Пк (і)гіі

/_ёт хк + іі

<

Рк _1

Іт ' Рк

1_Рк хк + іі

+

Іт

Пк (і)^і

<|*|<ёт хк + іі

< 3,

а во втором случае

рёт

Іт

Пк (і)йі

1.

Іт

3.

/-ЙГ хк + гЬ

Таким образом, во всех случаях имеем (т = хк + гЬ)

Гйг Пк (*)й*

/-йг т

Отсюда с учетом соотношения (6) получаем утверждение леммы. Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Выполняется оценка сверху (т = 5 + гЬ)

□

— 1т / Ь£(г,т)йп(т) = (|г|)), |г|—> то.

Доказательство. Снова воспользуемся представлением (4). Поскольку для т Е ф(г) |т| > |г| — |т — г| > (1 — 8)|г|, то

гу+ёт

Іт

Пк (і)^і

7-ёт хк + іі

<

(1 — 0)г

■ (20г)

20 1 - 0.

Количество хк Е (х — 8г; х + 8г) не превосходит N((1 + 8)г), значит

Іт I — ^п(т)

./9(г) т

°(Ж(2|г|)) |г| —► то.

(7)

Зафиксируем некоторое число а0 Е (0; 4) и множество индексов к, таких, что хк Е (х — 8г; х + 8г) разобъем на две части:

3 — это те индексы, для которых в отрезке [(у — а0Рк); (у + а0Рк)] найдется точка вида Рк (т + 1), где т — некоторое целое число;

3 — все остальные индексы.

1. Для к Е 31 применим утверждение 1, взяв в качестве а = а0, если а0Рк < 8г и а = —,

рк

если а0Рк > 8г. Во втором случае получим

^ Пк (Ь)йЬ

Іт

/у-ёт хк + іі — г

< 2ао,

1

а в первом случае У+ёт Пк (і)^і

Іт

I у—ёт хк + іі — г

<

Іт

гу+о-орк ( т —- ) йі

V Рк/

У ОоРк

хк + іі — г

+

Іт

Пк (і)йі

' о0Рк<|у—*|<ёт хк + іі г

< 2ао +---------.

^0

Имея в виду оценку (7), получим

гу+ёг

У І Ь[(хк + іі, г)пк(і)йі

кЄ7^ у—ёт

= °(Ж(2|г|)), |г| —► то.

Таким образом,

1п

(т) — ^(т)) = У^Іт [ —Пк(і)йі-----+ 0(Ж(2|г|)), |г|

kєJ Уу—ёт хк + іі — г

.

(8)

2. Для каждого индекса к Е 3 найдется целое число т = т(к), такое, что |у — Рк(т + 2)| < а0Рк. Введем обозначение у» := Рк(т(к) + 2). По второму пункту утверждения 1 при |г| —> то

/У+ёт ё

ktJ -—ёт

Пк (і)йі

У—ёт хк + іі — г

^ Іт I

kєJ '}у-

У+ооРк

У—ооРк

Пк (і)йі хк + іі — г

+ 0(^ (21 г|)).

Заметим, что если к1 = тт{к Е 3}, к2 = тах{к Е 3}, то

к2 — 1

к2 —1

к=кі

Рк

к=кі

(Тк+1 — Тк) = Тк2 — Тк1 < (х + 0г) — (х — 0г) = 20г,

поэтому

Рк < 28г, к Е 3.

Положим /к := (у — рк; у + рк), если Рк < 28г и /к := (у — 8г; у + 8г) в противном случае. В силу оценки на Рк последний вариант может случиться только для к = к1, к2, если эти индексы входят в 3. Таким образом, при |г| —> то

1п

d(v(т) — ^(т)) ’У Іт

kЄJ

Г Пк (і)йі

*/к хк + іі — г

+ 0(^ (21 г |)).

(9)

Нам остается оценить интегралы по отрезкам /к, к Е 3.

3. Пусть к Е 3 , /к = (ак; Ьк) и для некоторого целого т

. . Г т —-, ак < Ь < у»,

Пк<() = { т + 1 - рк, у; < Ь < 6»,

Тогда

Іт

'^к

Пк (і)йі хк + іі — г

Іт

гУ/Е I т — рк І йі

ак

хк + іі — г

+ Іт

гЬк (т + 1 — Рк) йі

т —- ) йі

Рк

иУк (У — і)йі

І^«к хк + іі — г Ъ Ук (хк — х)2 + (у — і)2

хк + іі — г йі.

Первый интеграл оценивается по утверждению 1

Іт

ак

т —- ) йі

Рк

хк + іі — г

4

(10)

Второй интеграл вычисляется

(у — і)йі йі = _ 1п I (хк — х)2 + (у — Ьк)2

Уу* (хк — х)2 + (у — Ь)2 у (хк— х)2 + (у — ук)2 ’

По условию для к Е 3, к = к1,к2, имеем |ук — у| < а0Рк < рк, поэтому

|Ьк— у| > |Ьк— ук| — |ук— у| > рк — рк = рк > |ук— y|, тем самым

(хк — х)2 + (у — Ьк )2

1/ Ч""к І V» “к ) ^ 0

(хк — х)2 + (у — ук)2 - .

Отсюда и из (9), (10) получим

1п

с1(и(т) — ^(т)) < 0(Ж(21г|)), |г| —> то.

Лемма 5 доказана. □

Для того чтобы закончить доказательство теоремы 1, нам остается получить нижнюю оценку вне множества Р^ в предположении, что г Е . В силу оценок (9), (10) нам достаточно доказать нижнюю оценку для суммы интегралов

(у — і)йі ^! / (хк — х)2 + (у — Ьк)

2

I (у — і)йб , ^

к^УУк (хк — х)2 + (у — і)2 і = — ^ ^ (хк — х)2 + (у — ук)2'

Разобъем множество индексов 3 на три части: 30 = {к Е 3, 0 < хк < х},

3— = {к Е 3, хк < 0}, 3+ = {к Е 3, х < хк}. Очевидно,

1 (хк _ х)2 + (у - Ьк)2 < 11+ *

(хк — х)2 + (у — ук )2 у 4(х — хк )2 ‘ Пусть г Е Ргаа-, но г Е Р? ?. Если к Е 30 к = п, то х — хк > рк, поэтому

п,^

п

./ (хк — х)2 + (у < 1п ^2

V (хк — х)2 + (у — ук)2 - У ■

— х)2 + (у — " 2

Если п Е 30 и к = п, то в силу условия г Е Р? ? имеем х — хп < ?рк, поэтому

, п , (хк — х)2 + (у — Ьк)2 ^ ,п /1 + 2.

1 (хк -х)2 + (у - ук)2 < V ?2.

Из последних двух оценок получаем

Пк (Ь)йЬ

Іт I

хк + іі — г

Іт ——^-= 0(^(21г|)), |г|—> то. (11)

kЄJо ^/к

Если к Е 3+, к = п, то х — хк+1 > рк, поэтому, считая |х — хп| > 1, имеем

У Ь,/^ — х)! + (у — 6к< N(2г) + 1п П , Рк > = N(2г) + 1п8г.

ктХ V (хк— х)2 + (у— ук)2 кУ+ 2(хк— х)

Аналогичным образом получим

^ 1п>к — х)2 + (у — Ьк< N(2г) + 1п П , Рк > = 1 + 1п0г.

к^ V (хк — х)2 + (у — ук)2 ке£ 2(хк — х)

Из последних двух неравенств вместе с (11) имеем

/Oxfe — x)2 + (У — ЬК)2/01 , 0ЛГ,0 ^

£ taV<*‘ - *)’ + - УК)2 <2inr + 2N(2r).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Матем. сб., 1969, Т.79(121), №4(8). С. 463-476 (Mi msb3599

2. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. 1985. 11:3. С. 257-282.

3. Любарский Ю.И., Содин М.Л. Аналоги функций типа синуса для выпуклых областей. Препринт №17 ФТИНТ, Украинская АН. Харьков. 1986.

4. Yu. Lyubarskii, E. Malinnikova On approximation of subharmonic functions // Journal D’Analyse MathematiQue. 2001. V. 83. P. 121-149.

5. Башмаков Р.А., Путинцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Целые функции типа синуса и их применение // Алгебра и анализ. 2010. 22:5. C. 49-68.

Константин Петрович Исаев,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Ринад Салаватович Юлмухаметов, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Артур Айратович Юнусов,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450076, г. Уфа, Россия E-mail: mc.yunusov@gmail. com