О безусловных базисах из экспонент в гильбертовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 1 (2011). С. 3-15.

УДК 517.5

О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

К.П. ИСАЕВ, Р.С. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. В работе рассматривается вопрос о существовании безусловных базисов из экспонент в общих гильбертовых пространствах H = H(E), состоящих из функций на некотором множестве E С C и удовлетворяющих условиям

1. Норма в пространстве H слабее равномерной нормы на E, то есть для некоторой константы A и для любой ограниченной функции / из H выполняется оценка

II/||я < Asup |f(z)|.

zeE

2. Экспоненты exp(Az), A G C, принадлежат пространству H, и эта система полна в пространстве H.

Получено условие, при выполнении которого в пространстве H безусловных базисов из экспонент не существует.

В более конкретных пространствах доказана достаточность ослабленного условия.

Ключевые слова: ряды экспонент, безусловные базисы, гильбертово пространство.

1. Введение

Понятие безусловных базисов из экспонент является одним из обобщений классических систем Фурье в пространстве L2([-п; п]). Пристальное внимание многих математиков привлекли прежде всего безусловные базисы из экспонент в весовых пространтвах L2(I,w). C современным состоянием исследований в этом направлении можно ознакомиться в монографии [13]. В работе [14] было начато изучение безусловных базисов из экспонент в гильбертовых подпространствах пространства H(D) аналитических в выпуклой области D С C функций. Для пространства Смирнова E2(D) на выпуклом многоугольнике были построены безусловные базисы из экспонент. В работе [15] была предпринята неудачная попытка построить базисы из экспонент в E2(D) на выпуклой области с гладкой границей. В диссертациии [16] доказано, что в пространствах Смирнова на выпуклых областях, содержащих на границе гладкую дугу, безусловных базисов из экспонент не существует. Наконец, в [7] показано, что в пространствах Бергмана на выпуклых областях, на границе которых есть точка с ненулевой кривизной, безусловных базисов из экспонент не существует. В диссертации [12] этот результат перенесен на весовые пространства на интервалах.

В данной работе мы обобщаем методы упомянутых работ на общие гильбертовы пространства и доказываем достаточные условия для отсутствия безусловных базисов из экспонент.

Во втором параграфе рассматриваются более конкретные весовые пространства на интервалах.

K.P. Isaev, R.S. Yülmükhametov, Unconditional exponential bases in Hilbert spaces.

© Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. 2011.

Поступила 18 декабря 2010 г.

Работа поддержана РФФИ (грант 10-01-00233-а).

3

Пусть H(E) — некоторое гильбертово пространство функций, определенных на ограниченном множестве E С C. Предположим, что выполнены следующие условия:

1. Норма в пространстве H слабее равномерной нормы на E, то есть для некоторой константы A и для любой ограниченной функции f из H выполняется оценка

||f ||H < A sup |f (z)|.

zeE

2. Экспоненты exp(Az), Л E C, принадлежат пространству E, и эта система полна в пространстве H.

По теореме Банаха из второго условия следует, что преобразование Лапласа

L : S —► 5(A) := S(eAz), A E C, S E H*,

является инъективным отображением из сопряженного пространства, а из первого легко следует, что оно вкладывет сопряженное пространство H* в пространство целых функций H(C). Образ при этом отображении L(H*) обозначим через H. В пространстве H будем рассматривать наведенную структуру гильбертового пространства, то есть если Fi,F2 E H, Fj = L(Sj), то

(Fb F2)h = (Sl, S2)H* .

Система элементов , k = 1, 2,..., в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом (см. [1]), если она полна и найдутся числа c, C > 0, такие, что для для любого набора чисел cl,c2, ...,cn выполняется соотношение

n n n

c Y Ick |2||ek ||2 < ||£ ck ek ||2 < C £ \c-k |2||ek ||2.

j=l j=l j=i

Известно (см. [2],[3]), что если система ek, k = 1, 2,..., — безусловный базис, то любой элемент пространства H единственным образом представляется в виде ряда

ГО

X ^ ^ xk ek, k=l

причем

c Y |Xk |2||ek ||2 <||x||2 < C Y |Xk |2||ek ||2.

к=1 к=1

2. Безусловные базисы из экспонент в гильбертовых пространствах

функций

В этом параграфе мы рассматриваем безусловные базисы из экспонент в в гильбертовых пространствах, удовлетворяющих условиям 1, 2 из Введения.

Теорема 1. Пусть

К (А) = ||вАг ||2.

Если система [вХк*} является безусловным базисом в пространстве Н, то существует целая функция Ь с простыми нулями в точках Ак, к = 1, 2,..., для которой выполняется соотношение.

1 К(>^ ^ |Ь(А)|2К(Ак) А_ „ (1)

РК(А) 2 ^ |Ь'(Ак)|2|А - Ак|2 5 РК(А)' А £ С (1)

где Р — некоторая положительная постоянная.

Доказательство. Пусть

ГО

еЛг = ^ ск(А)еЛкг, г Є Е,

е к=1

и Бк — биортогональная система функционалов на Н. Тогда

Ск (А) = & (А).

Следовательно, если ¿(А) = С1(А)(А — А1), то в силу полноты системы (еЛк*)

Ск(А) = Ь'(Ак)((^— Ак), к =1,2,...

Утверждение теоремы следует из безусловной базисности системы экспонент (еЛк^). Теорема 1 доказана. □

Теорема 2. Пусть

К (А) = ||еЛг ||2

и ^Л : Е —> Е(А) — точечный функционал в пространстве Н. Тогда ^Л линейный непрерывный функционал на Н и

К (А) = |ЫЦ *,

то есть К (А) — функция Бергмана (см. [4]) пространства Н. Кроме того, 1п К (А) — непрерывная субгармоническая функция на плоскости.

Доказательство. С одной стороны, если Е Є Н, то Е = Б для некоторого функционала Б Є Н*, значит

¿л(Е ) = Е (А) = Б (еЛ"),

поэтому

|*л(Е)| = |5’(еЛ~')| < ||Б|| ■ ||еЛ-1| = ||Е||/КМ.

Тем самым,

|Ы| < /К(А), А є С.

С другой стороны, при фиксированном А Є С функция еЛг Є Н и порождает некоторый линейный непрерывный функционал Е Є Н*. Имеем

<5л(Я) = -Б(А) = Е (еЛі) = (еЛі, еЛг )„ =

= ||еЛг ||2 = /КЩ ||еЛ-1|„ = /КМ ||Е ||н * = /КА) №.

Субгармоничность функции 1п К (А) следует из того, что она является верхней огибающей семейства субгармонических функций {1п |Е(А)|, Е Є Н, ЦЕ|| < 1}. Теорема 2 доказана.

□

Введем одну характеристику для непрерывных на плоскости функций и. Пусть г — фиксированная точка на плоскости. Для любого положительного числа г > 0 через В(г, г) обозначим круг {и> : |и> — г| < г} и для непрерывной в В (г, г) функции / положим

|/||г = шах ^(ш)|.

адбВ(г,г]

Пусть ^(/, г, г) — расстояние от функции / до пространства гармонических в В(г, г) функций:

^(/, г,г) = іп£{||/ — Н||г, Н — гармонична в В(г,г)}.

Для положительного числа р положим

т(и, г,р) = 8ир{г : ^(и,г,г) < р}.

Непосредственно из определения следует, что если 3z0 : Т(u, Zo,p) = то, то т(u, z,p) = то для всех z. И если 3z0 : т(u,z0,p) < то, то т(u,z,p) < то для всех z. Имеет место

следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть 3z : т(u,z,p) < то. Тогда функция т(z) = т(u,z,p) удовлетворяет условию Липшица: для всех zi и z2

|т(zi) - т(z2)| < |zi - z2|.

Доказательство. По определению в круге В^,т(zi)) существует гармоническая функция hi(z), удовлетворяющая условию

|u(z) — hi(z)| < p.

Если |zi — z2| < т(zi), то это неравенство выполняется и в круге B^2,т(zi) — |zi — z2|). Тем самым

т(z2) > т(zi) — |zi — z2 |.

Или т(zi) — т(z2) < |zi — z2|. Если же |zi — z2| > т(zi), то тем более

т(zi) — т(z2) < |zi — z2 |.

Поменяем местами zi и z2:

т(z2) — т(zi) < |zi — z2 |.

Таким образом,

|т(zi) — т(z2)| < |zi — z2|.

□

В работе [6] показано (лемма 1.1), что в случае, когда u — непрерывная субгармоническая функция, величина т = т(u, A,p) вполне определяется условием: если H(z) — гармоническая мажоранта функции u в круге B(A, т), то

max (H(z) — u(z)) = 2p. (2)

z€B(A,r)

Эту величину определим для функции u(A) = ln K(A) и числа ln(5P), где P — константа из соотношения (1). В дальнейшем ее будем обозначать просто через через т(A). Итак,

inf jmax | ln K(z) — v(z)| = ln(5P),

v€A(B(A,r(A))) z€B(A,r(A))

где через A(B(A, т)) обозначено множество функций гармонических в круге B(A, т(A)) и непрерывных в замыкании B(A, т(A)).

Теорема 3. Пусть L(A) — целая функция с простыми нулями Ak, k = 1,2,..., при некотором P удовлетворяющая двусторонней оценке

1 к^ ^ |L(A)|2K(Afc) / pK(')

PK(A) < ^ |L'(Ak)|2|A — Ak|2 < PK(A).

Тогда

1) В любом круге B(A, 2т(A)) содержится хотя бы один нуль Ak функции L.

2) Для любых n, k, n = k, выполняется неравенство

|л л , ^ тах(т(Afc),т(A„))

|Afc — An| > 5 .

10P2

3) Для любого k в круге B(Ak, т(Afe3) справедливо соотношение

1 fK (A! P< ,rK ,(a. )'l(a)!2,2 < pk (A).

56P8 - |L'(Afc)|2|A — Afc|2

(см. [7], теорема 1).

Теорема 4. Пусть Ак, к =1, 2,..., — нули функции Ь(А), удовлетворяющей условиям предыдущей теоремы. Тогда в любом конечном множестве нулей В, содержащем хотя бы два нуля, найдется индекс п так, что

Доказательство. По условию теоремы для любого Л выполняется оценка

у К (Afc )|L(A)|2 < PK (Л). (4)

х% |L'(Afc)|2|Л - Ak|2 < () ()

Поскольку множество B конечно, то существует такой номер n, что

K(A„)r2(A„) . (K(Afc)r2(Afc)

— min 1

|Ь'(А„)|2 л*ев^ |Ь'(Ак )|2

По пункту 3 теоремы 3 для точек А, лежащих на границе круга В ^Ага, —^т(Ага)^, справедлива оценка

_±_ к (А) < 202р3 К (Ап)|Ь(А)|2

56Р8 ( ) < |Ь'(А„)|2т2(А„)

К(А) < 4258Рп. К(Ап)

или

|L(A)|2 |L'(A„)|2r 2(A„)’

Отсюда и из оценки (4) получим

42 58 р 11 К(An) > 1 ST' _______ К(Ak)

5 |Г/(\_ ) 12т 2 ( A ) - р |Г/

|L'(An)|2r2(A„) “ P |L'(Ak)|2|А - Ak|2‘

Следовательно, для точек A, лежащих на границе круга B ^An, —^т(An)^

4258 p 12 K (An) > ____

5 |L/(\ ) |2T 2(A ) - ІГ/

|L,(A„)|2r2(A„^ ¿-в |L'(Ak)|2r2(Ak) |A - Ak|2

Ak ЄВ

Учитывая выбор номера п, для точек А на границе В ( Ап, —^т(Ап) ) имеем

V 20 Р 2 4 V

42 58 р 12 К(Ага) ^ К(АП) т2 (Ак)

|Ь'(А„)|2т2(А„) - |Ь'(А„)|2т2(А„) |А - Ак|2

лкев

или

” ^ 'к^ < л2с;8 с>12 12 < лйев |А Ак|

По пункту 2 теоремы 3 для указанных точек А при к = п выполняется оценка

Е lAzAn-i ^ 4258P12. (5)

|A — Ak I < |A — An| + |An — Ak | = ~(-3 + |An — Ak | < T |An — Ak ¡,

20P 2 2

поэтому из (5) вытекает оценка

V т2(Ak} < (4P)12.

Лк¿U !A“ — ^ ( '

Теорема 4 доказана. □

Следствие.

Пусть Лк, к = 1, 2,..., — нули функции ¿(А), удовлетворяющей условиям предыдущей теоремы и Ь = —^. Тогда для любого конечного множества нулей В, содержащем хотя бы два нуля, найдется индекс п так, что

£ / < 4‘“Р9. (6)

Лк€В^п^к,Ьт(Лк)) |Л - Лп|

Доказательство. Поскольку для точек Л Е В(Л&, Ьт(Л&)) имеем

1Л — Лп1 > 1 Лк — Лп1 — 1Л — Лк 1 > 2 1 Лк — Л™1,

то

dm(A) 4пЬ2т 2(Afc)

Тогда

JB(Afc,br(Afc)) |A — An|2 |Ak — An|2

E L..........................................Mfp < 4nb2(4p)‘2 = 4O0P3 (4p)‘2 < 4‘°pS

Ak Є B,fc=^B(Ak>br (Ak))

□

Теорема 5. Пусть H(E) — гильбертово пространство, удовлетворяющее условиям

1, 2 из Введения и \JK(A) — функция Бергмана пространства H. Предположим, что для любого положительного числа p найдется число 5 = 5(p) > 0, такое, что функция т(A) = т(ln K(z), A,p) для всех A Є C удовлетворяет условию

min т(z) > 5т(A), (7)

¿Є B(A,2t (A))

и т(A) = o(|A|), при |A| —> то. Тогда в пространстве H безусловных базисов из экспонент не существует.

Доказательство. Воспользуемся следующим утверждением (см [8], 216 стр.).

Лемма (Лемма о покрытиях шарами)

Пусть множество A С Rp покрыто шарами так, что каждая точка x Є A является центром некоторого шара S(x) радиуса r(x). Если sup^^ r(x) < то, то из системы {S(x)} можно выделить не более чем счетную систему {S(xk)}, покрывающую все множество A и имеющую кратность, не превосходящую некоторого числа N(p), зависящего только от размерности пространства.

Нетрудно убедиться в том, что N(2) = 6.

Проведем доказательство от противного: допустим, что условия теоремы выполнены, но в пространстве H существует безусловный базис из экспонент {eAfcz}. Тогда верны теоремы 1,3 и 4. В условии доказываемой теоремы положим p = ln(5P) и пусть т (A) = т (ln K (z),A, ln(5P)).

Выберем произвольное є > 0, и число R будем считать таким большим, чтобы выполнялось условие

max т(A) < eR. (8)

|A|<R

Такие R можно найти по условию на т(A). В самом деле, найдется R' такое, что при |A| > R' будет выполняться т(A) < e|A|. Если положим R = , то при |A| Є [|R; R] будем

иметь т(A) < e|A| < eR. По лемме 1 выполняется соотношение т(A) < т(0) + |A|, поэтому

если |A| Є [т(0); |R], то т(A) < 21A| < eR. Наконец, выбирая R больше, чем - max т(z),

1 N<t (0)

получим соотношение (8).

Рассмотрим систему кругов В(А, 2т(А)), А Є В(0,Л). По п.1 теоремы 3 в каждом из этих кругов содержится хотя бы один показатель А&, и эти круги покрывают весь круг В(0, Л). По лемме о покрытиях шарами можно выделить не более чем счетный набор кругов Вп = В(гга, 2т(^га)), покрывающих круг В(0,Л), при этом каждая точка этого круга попадает не более чем в N(2) = 6 кругов покрытия. В каждом из кругов Вп выберем по одному показателю А^(га). При этом некоторые показатели А^(га) могут оказаться выбранными неоднократно, но по свойствам выделенного покрытия кратность выбора одного показателя не больше шести. Перенумеруем систему выбранных показателей, присвоив им номер круга, в котором данный показатель выбран. Получим набор показателей (и>га), в котором каждый показатель повторяется не более шести раз. К полученному набору применим теорему 4. Найдется номер т так, что с учетом кратности будет выполняться оценка

т 2(wra)

^ |wn - Wm|2

< 6(4P) . (9)

I7/L, — I"

Wn=Wm

В наших обозначениях wn G Bn = Bn(zn, 2t(zn)). Далее рассмотрим такие n, что

wm G = Bn(zn, 3t(zn)). Тогда для любого w G Bn имеем |w — wm| > т(zn). Значит,

для точки w, лежащей на пересечении отрезка [wn; wm] и границы круга Bn, имеем

|wn — wm| = |w„ — w| + |w — wm| — 4т(z„) + |w — wm| — 5|w — wm|,

или

1 25

"j ¡"2 < "i Г2 > w G Bn> wm G Bn•

| w — wm|2 |w„ — wm|2

Интегрируя это неравенство по кругу Bn, получим

[ dm(w) ^ 100nT2(z„) A и/

— I |2 ’ wm G Bn.

]вп к — ^т|2 |шга — ^т|2;

Так как Е В(¿п, 2т(¿п)), то по условию (7) т2(^п) > £2т2(гп). Таким образом, из последней оценки и из (9) следует соотношение

Г ^ш(ир < 100п ул т2(то„) < 600(4Р)12 = с (10)

}В 1^ — и>т|2 “ ¡)2 |и>п — и>т|2 “ £2

£ВП иВп | т| ™п=™т</ ВП | п т|

Если номер п такой, что ит Е В'п, то для любого ,ш Е Вп имеем

|^ — ¿т| < |^ — и>т| + |^т — ¿т| < |^ — ¿„| + |^„ — ^т| + 2т(¿т) <

< 2т(¿п) + 3т(¿п) + 2т(¿т) < 5т(¿п) + 2т(¿т).

По выбору числа Л имеем |и> — ¿т| < 7еЛ, то есть круги Вп полностью лежат в круге В(¿т, 7еЛ). Это значит, что круги покрытия, номера которых участвуют в суммировании в (10), покрывают множество С (Л) = В (0, Л) \ В(гт, 7еЛ). Следовательно,

[ ^ш(ад)

^ С.

JC(R) |w — wm|2

Применим замену переменных W = RZ, Wm = RCm, Cm Є B(0,1), получим

f dm(C)

B(0,1)\B(Zm ,7e) IC — Cm1

m2

< C.

Число е > 0 было выбрано произвольно, устремив е к нулю, получим противоречие. Теорема 5 доказана. □

3. Безусловные базисы из экспонент в весовых гильбертовых пространствах на ограниченном интервале

В дальнейшем мы применим теорему 4 и ее следствие к более конкретным весовым гильбертовым пространствам функций на ограниченном интервале вещественной оси.

Пусть I — ограниченный интервал вещественной оси, Л(£) — выпуклая функция на этом интервале и Ь2(1, Л) — пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию

|/(¿)|2е-2^(г) ^ < то.

Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(/,з0 = £ /Ш^-2^ ^.

Нетрудно убедиться в том, что пространство Ь2(1, Л) удовлетворяет условиям 1 и 2 из введения.

В работах [9],[10],[11] описано пространство Ь2(1, Л). Доказано, что пространство Ь2(1, Л) изоморфно (как банахово пространство) пространству целых функций Е, удовлетворяющих условиям

|Е(г)| < С^/К(г), г Е С.

||Е||2 = / / |Е(К()У)| ^/(ж)^у < ТО

^ж^ж К (ж)

где

К (г) = [ |е22:*|е-2^г)^, Л(ж) = 8ир(Ж — Л(£)).

,// г е/

Теорема 6. Пусть для любого р > 0 найдется некоторое число 5 = 5(р) > 0 со свойством: существует последовательность Е К, к Е такая, что интервалы

4 = (ж : |ж — X;|< 2т(1пК(г),ж;,р)}

попарно не пересекаются и

штт(1пК(г),ж,р) > 5(р)т(1пК(г),ж;,р). х е /к

Пусть далее для любого е > 0 найдется отрезок [т; в], в > т, целочисленного ряда со свойствами

1) Если 1т>5 = Ут<;<81;, 1^. — наименьший отрезок вещественной оси, содержащий 1т,э, — сумма длин интервалов, составляющих 1т., а дРтз — длина отрезка 1^., то

^т , « > (1 — е)^т , «/

2) Выполняется оценка шах; е[т, .] т(1пК(г),ж;,р) < е^т .•

Тогда в пространстве Ь2(1,Л) базисов Рисса из экспонент не существует•

Доказательство. Проведем доказательство от противного: допустим, что в пространстве Ь2(1,Л) существует безусловный базис из экспонент (еЛк*}д!=1. Тогда выполняются теоремы 1,3,4. Сохраним введенные в этих теоремах обозначения. В частности, через т(Л) обозначена функция т (1п К (г), Л, 1п(5Р)), при этом

К (г) = ||е^||2 = £ И|2е-2^ = £ е2^*-2^^ = К (Лег),

а постоянная Р — из свойств базиса (соотношение (1)). Число £(1п(5Р)) будем обозначать просто £. Положим т(1пК(г),ж&, 1п(5Р)) = т&,

^,п = {х + гу : х Є /^, 4пт& < у < 4(п + 1)т&}, к = 0,1, 2,..., п Є ^.

Поскольку квадрат ^,га содержит круг В(ж& + г(4п + 2)т&, 2т&), то по п. 1 теоремы 3 в каждом из этих квадратов находится по крайней мере один нуль функции Р. Выберем по одному нулю Л^,п в каждом из квадратов Qfc,n.

Возьмем положительное є и отрезок [т, в], о котором говорится в условии теоремы. Для большого натурального числа М рассмотрим множество нулей В = {Л^,п : к Є [т, в], |п| < М}. Применим теорему 4 к этому множеству нулей и найдем соответствующий индекс. Нуль с этим индексом обозначим через Л* = ж* + гу*. Не уменьшая общности, будем считать, что у* < 0. Точка Л*, таким образом, является одним из нулей и зависит от параметров т, в, М.

Для каждого к Є [т, в] положим

п(к) =

у- + 4

4тд, 3

где [¿] означает целую часть Пусть т^,га = т(А&,га). Если п > п(к), то квадрат ^^,га и круг

В,п = В(Ак,га,рт^,га) (напомним, что р = —^) лежат в полуплоскости 1т г > у* + тк. В самом деле, по определению числа п(к), если А Е ^й,га, то

4

1т А > 4птк > 4п(к)тк > у* + 3тк.

Если X Е , то по лемме 1

т(х) < т(Хк) + X - х| < 3тк,

поэтому для точек А Е В^,га имеем (заметим, что р < 1/20)

1т А > 1т Ак,„ - ртк,„ > 1т А^ - 3ртк > у* + ^.

Если точка А лежит в полуплоскости 1т г > у* + тк, то

|А - А*| > 1т (А - А*) > тй

или

тк < |А - А*|.

Таким образом, если точки А, ,ш лежат в А = ^^,га ивк,„, п > п(к), то

|А - А*| < |эд - А*| + |А - и>| < |эд - А*| + (4^2 + 3р)тк < 7|эд - А*|

(снова пользуемся тем, что р < 1/20). Следовательно,

а := ша^--------—гг < 49 шт --------—- := 49в.

¿еА |г - А*|2 “ г€А |г - А*|2

Отсюда, поскольку по условию теоремы т|га > 82т|, то имеем

Г ^т(г) 2 16ат2 ^ . ,2 784 Г ^т(г)

<16а^ < в»'Мрт‘,“)2 < пр^ ^

Просуммируем полученные неравенства сначала по всем п(к) < п < М при фиксированном к, затем по всем к Е [т, в]:

I" ^т(г) ^ 784 I" ^т(г)

(и^Якп |г - А*|2 “ пр282 (и^Бк п |г - А*|2.

к=тп=п(к) ^к , п к=тп=п(к) к > п

Точка А* выбрана по теореме 4, значит в силу соотношения (6)

А Г (т(г) < 784 410р9 := с (11)

ь /^Як |г - А*|2 < пр282

к=тп=п(к) Як,п ' '

По определению квадратов ^,га м

У ^,п = {х + ¿у : х Е 4, 4п(к)тк < у < 4(М + 1)тк}.

п=п(к)

Поэтому

М г (т(г) [ [4(м+1)тк (у(х

Е

■а=п(кУ ®к,п |г - А*Р ^к'4п(к)тк |г - А*Р

По определению номера п(к) имеем 4п(к)тк < у* + 6тк. В последнем интеграле произведем замену переменных w = г - у*. Мы предполагаем, что у* < 0, в силу выбора номера п(к) будем иметь

^ С (т(г) ^ С Г4(м+1)тк (т(и>)

п=П(к) Лк,„ |г - А12 > ^ - х12.

Если бы оказалось, что у* > 0, то точно также мы бы получили оценку

-П^^) [ (т(г) [ [-6тк (т(и>)

>

п=-М^Як,п |г - А*|2 -4(М +1)тк |ш - х*|2>

которая в силу четности подинтегральной функции по у эквивалентна предыдущей оценке. Просуммируем эти оценки по всем к Е [т, в]:

А ^ С (т(г) ^ А С С4(м+1)тк (т(и>)

п |г - А*|2 > Лк Лтк к - х*|

к=тп=п(к) ^к,п | | к=т к к

Воспользуемся оценкой (11)

^ [ [4(М+1)тк Ап.(щ) с

¿тАл* |»-х*|2 < .

По определению х* = Де А* и А* — одна из точек Ак,п, к Е [т, в], |п| < М. Таким образом, при фиксированном отрезке [т, в] число х* при изменении числа М может меняться в пределах отрезка 1^^. Тем самым, можно выбрать последовательность Мп, уходящую в или -то так, что соответствующие значения хП будут сходиться к некоторому предельному значению х*.

Учитывая ограниченность интегралов, можно перейти к пределу:

£ Г [+“ ^тМ_ < с. (12)

¿т-'л-'б,, |»- х*г2

Воспользуемся очевидными оценками: при р Е [0; 1)

г /*~ (И п 1

р1 ТТГ2 > р/ ГГ73 = 4р > 2р’

и при р > 1

/• ~ а г ~ а 1

рЛ Ш2 > р]р ж = 2 •

Значит, при любых р — 0 имеем

р

ОН 1

---------- > -шт(р, 1).

1 + - 2 '

Отсюда для любого а — 0 и х Є К получаем

ау

1 а

1а

о о , і о > -Ш1П -—г, 1

х2 + у2 а |х| У^ 1 + і2 2а \|х|

|х|

Таким образом, выполняется оценка

Г+“_________(у_

•Ац (х - х*)2 + у2 “ 2

Отсюда и из (12) получаем соотношение

1

- ш1п 2

1 1

| х| а

1

> - ш1п

|х — х*| ’ 6тк )

Е

ш1п

О Ік

=т. к

к=т

|х — х*| ’ 6тк

, -— ах < 2 С.

(13)

Через /*, к Є [т, в], обозначим интервал (х* — 6тк; х* + 6тк). Множество всех индексов к Є [т, в] разобъем на две части А = {к Є [т, в] : 4 П /* = ®} и

А2 = {к Є [т,в] : 4П /* = 0}.

Через ^ обозначим суммарную длину всех интервалов /д по к Є А, і = 1, 2.

Если к Є А2, то |хд — х*| < 8тд, значит весь интервал /д лежит в отрезке

{х : |х — х*| < 10тд}. Другими словами, все интервалы /д, к Є А2 лежат в отрезке {х : |х — х*| < 10т*}, где т* = 10шахк Є[т,8] тк. Это значит а2 < 20т* и по условию 2)

доказываемой теоремы имеем

4 < 20<„ (14)

^т,8 ^2 — (1 20є)^т,8.

Множетсво индексов А1 разобъем на две части А+ — те индексы из А1, для которых хд — х*, а А- — остальные индексы из А1. Через а± обозначим суммарную длину интервалов /д с индексами из А±. Одна из этих величин не меньше, чем половина ^1, пусть а+ — ^. Из предыдущей оценки видим, что тогда

1 - 20є

а+ —

2

а0

в частности, если С,з = (А;B), то

в — х* — а+ — 1 220є а1

о

т,^.

(15)

Интервалы 1к, к Е А+ сдвинем к правому краю интервала (А; В), так, чтобы полученные интервалы Гк заполнили интервал (В - (+; В). Длина интервала (х*; В - (+) не превосходит суммарной длины интервалов 1к, к Е А2 и линейной лебеговой меры множества 8 \ /т,5. Из условия 1) теоремы и из оценки (14) имеем

В — а+ — х* | < 21< 8.

Продолжим оценку (13). Поскольку для к Є А+

>

ах

то

Е

к ЄА+

Ш1п

'-¿к

ІІк |х — х*| Л' |х — х*|

ах

>

ах

|х - х*|, 6тк) ах Е / |х — х*| ^Л' |х — х*|'

кЄА+ к кЄА+

оо

зо

1

1

1

По соотношению (13) получаем

W < 2C

■<----' / „ КТ — т-*

или

fc€A+

ґ>Б

/д |x — x*| dx

ІБ-dt |x — X*1

< 2C.

Из оценок (14) и (16) имеем

lni—< 2C.

42є <

В силу произвольной малости є это невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему 5. □

Следующая теорема доказана в работе [12] (теорема 2.4).

Теорема 7. Пусть I — произвольный интервал на R, h(t) — выпуклая функция на этом интервале,

K(Л) = £e2ReAi-2h(i) dt, J = {x : K(x) < то}.

Предположим, что для некоторого p > 0 существует последовательность промежутков [am; bm] и положительных чисел тт, m = 1, 2,..., так, что

1) для некоторого положительного числа 6 и для всех x Є [am; bm]

6тт < т (ln K (z ),x,p) < тт, m = 1, 2,...,

2) имеет место соотношение

i. bm am

lim ---------= то,

m—^ тт

тогда в пространстве L2(I,h) не существует базиса Рисса из экспонент.

Эта теорема вытекает из теоремы 6.

Известно, что при q > p > 0 имеют место двусторонние оценки

p

т(lnK(z),x,q) > т(lnK(z),x,p) > -----т(lnK(z),x,q)

16q

(см. [5], лемма 5). Поэтому, если требуемая в теореме 7 последовательность интервалов существует для некоторого p > 0, то такая последовательность существует для любого числа p > 0. Каждый из интеравлов [am; bm] в теореме 7 следует представить в виде объединения непересекающихся интервалов вида {x : |x — y| < 2т(y)}. Полностью покрыть интервал [am; bm] может не получиться, но покрыть так, чтобы покрылось больше половины длины, можно. Тогда в качестве множества Im,s в теореме 6 будет объединение интервалов из [am; bm]. Отрезками I0 будут они же, вернее, их замыкания. Поэтому условие 1) теоремы 6 выполняется тривиально. А условие 2) вытекает из условия 2) в теореме 7.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский Н.К., Павлов Б.С., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I // Препринт ЛОМИ. C. 8-80.

2. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

3. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука. 1980.

4. N. Aronszajn Theory of reproducing kernels // Transactions of the American Mathematical Society. 1950. V. 68, № 3. P. 337-404.

5. Башмаков Р.А., Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралах Лапласа // Уфимский мат. журн. 2010. Т. 2, № 1. C. 3-16.

6. Юлмухаметов Р.С Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций // Сиб. мат. ж. 1985. Т.26, № 4. С. 159-175.

7. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Об отсутствии безусловных базисов из экспонент в пространствах Бергмана на областях, не являющихся многоугольниками // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. T. 71, № 6. C. 69-90.

8. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. M.: Наука.1966.

9. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Матем. заметки. 1990. T. 48, № 5. C. 80-87.

10. Луценко В.И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале // Исследования по теории приближений. Уфа. 1989. С. 79-85.

11. Напалков В.В., Башмаков Р.А., Юлмухаметов Р.С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // ДАН. 2007. Т. 413, № 1. C. 20-22.

12. Башмаков Р.А. Системы экспонент в весовых гильбертовх пространствах на R // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2006 г.

13. Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М., 2005. 504 с.

14. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. мат., 39:3 (1975).

C. 657-702.

15. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:3 (1988). C. 559-580.

16. Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 1992.

Константин Петрович Исаев,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: orbit81@list.ru

Ринад Салаватович Юлмухаметов,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: Yulmukhametov@mail.ru