CC BY
30
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 19-34.
УДК 517.5
ОБ УСЛОВИЯХ ОТСУТСТВИЯ БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСОВ
ИЗ ЭКСПОНЕНТ
Р.А. БАШМАКОВ, А.А. МАХОТА, К.В. ТРУНОВ
Аннотация. В классическом пространстве L2(-n,n) существует безусловный базис {elkt} (к — целые). В работе рассматриваются вопросы о существовании безусловных базисов из экспонент в весовых гильбертовых пространствах L2(I, exp h) функций, суммируемых с квадратом на интервале I вещественной оси с весом exp(-h), где h — выпуклая функция. Получены условия, показывающие, что безусловные базисы из экспонент могут существовать лишь в очень редких случаях.
Ключевые слова: базисы Рисса, безусловные базисы, ряды экспонент, гильбертово пространство, преобразование Фурье-Лапласа.
Mathematics Subject Classification: 30D20
Пусть I — интервал вещественной оси, h(t) — выпуклая функция на этом интервале и L2 (I , exp h) — пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию
'I
I \ f(t)\2e-2h(t)dt < ж.
Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(1,9) = ¡№Ш)еI.
Определение 1. Семейство {еХк 1, к = 1,2,...} называется безусловным базисом в пространстве Ь2(1, ехр К), если
1) семейство {еХк*, к = 1, 2,...} полно в пространстве Ь2(1, ехр К);
2) существуют положительные постоянные т,М такие, что для любой конечной последовательности ак € С справедлива двусторонняя оценка
т £ |ак|2||е^||2 < || £ акех*Т <М £ |а*|2||ел**\\2. (1)
к к к
Мы здесь придерживаемся определения из работы [2]. Как отмечено в этой работе, если система {еХк*} образует безусловный базис в пространстве Ь2(1, ехр К), то любая функция / € Ь2(1, ехр К) единственным образом разлагается в безусловно (перестановочно) сходящийся ряд по этой системе:
те
1(1) = Е ЛеХк1, I' (2)
к=1
В этом параграфе рассматривается вопрос о существовании безусловных базисов из экспонент в пространстве Ь2(1, ехр К).
Основным инструментом исследований является преобразование Лапласа.
R.A. Bashmakov, A.A. Makhota, K.V. Trounov, On absence conditions of unconditional bases of exponents.
© Башмаков Р.А., Махота А.А., Трунов К.В. 2015. Поступила 01 апреля 2015 г.
Как показано в работе [7], преобразование Лапласа Ь : в ——> в устанавливает изоморфизм пространства, сопряженного к Ь2(/,ехрК), с гильбертовым пространством Ь2(/, ехр К) функций Р, аналитических в полосе 3 + Ж, где
3 = {х : К(х) = вир(х£ — К(£)) < то}
с нормой
"р "=
при этом
К(х) = Iе2х1-21г(1) ¿1 = "еЛ4"2, Л = х + гу.
Пусть система {еХк*} образует в пространстве Ь2(1, ехр К) безусловный базис. Через вк обозначим линейный функционал в пространстве
Ь2(1 , ехр К), который каждой функции / Е Ь2(1, ехр К) ставит в соответствие коэффициент Д в разложении (2):
вк (/) = Л.
Если через Р обозначим шах(М, —), где М,т — постоянные в соотношении (1), то для любого п выполняется двусторонняя оценка
п п п
р ЕI л I2"еХк'"2 <" Е ^Хк1"2 < р ЕI л I2 "е 4 "2. к= 1 к= 1 &=1
Переходя к пределу при п —> то, получим
-.те те
Р £ IЛI2"Т < ||/"2 <Р£ |ДI2"Т-к=1 к=1
По определению функции К (Л) = К (И,еЛ) это соотношение можно записать в виде
те те
Р ЕIлI2К(Л*) < Ш2 <Р£ IЛI2К(Л,). (3)
Из левого неравенства следует ограниченность функционала в к:
5(/)' < V"-
Таким образом, функции вк(Л) лежат в пространстве
Ь2(1
, ехр К) и, кроме того,
п /Л ч 10, п = к,
п = (4)
Заметим, что Лп, п = к, являются простыми нулями функции вк(Л). В самом деле, если бы для некоторого т = к величина Б'к(Лт) обращалась бы в 0, то функция ( Лк — Лт)5>к(Л)/(Л — Лт), лежащая в Ь2(1, ехр К), обращалась бы в нуль в точках Лп, п = к, и равнялась бы 1 в точке Лк, то есть во всех точках Лп, п = 1, 2,..., совпадала бы с функцией Як (Л). Но в силу полноты системы еХг'г в пространстве Ь2(1, ехр К) система точек Лп, п = 1, 2,..., является множеством единственности для пространства Ь2(1, ехр К). Тем самым, функции ( Лк — Лт)5>к( Л)/( Л—Лт) и вк(Л) должны были бы совпадать тождественно. Пусть
Ь(Л) = й(Л)(Л — Л1).
Это функция, аналитическая в полосе 3 + Ж, с простыми нулями в точках Лп, п = 1, 2, Функции
Ь(А) ^(А)(Л -Л:)
L'(Xk)(Л - Хк) (Л - Хк)(Хк - (Хк) L(A) =Si(X),
, к = 1,
и (Л:)(Л -Л:)
тоже являются элементами пространства Ь2(1 , ехр К) и совпадают с функцией Бк (Л) во всех точках Лп, п = 1, 2,.... Снова в силу полноты системы {еХпЬ} в пространстве Ь2(1, ехр К) имеем
а (Л) = ы (лТ- Лк ) • Л Е С (5)
При фиксированном Л Е С функция ехь лежит в пространстве Ь2(1, ехр К) и, тем самым, разлагается в ряд по системе е Хк
те
ех = ^ ^ ( Л) е ХкК (6)
к=1
Подействуем функционалом вп на это равенство. С учетом соотношений (4) получим
те
-Яг (А) = ^ Ск (Л)вп(Лк) = Сп(Л). к=1
Отсюда вместе с (5) имеем
( ) Ы (Лп)(Л — Лп)
Представление (6) и условие (3) влекут соотношение
1
Р
те
1 £ | Ск ( Л)\2К (Хк) < К (Л) < Р^ | Ск (Л)\2К (Хк) к=1 к=1
или
12
1 Кm < v ^(л)\2к(Хк) (7)
РК(Л) < & 1^(Лк.)\2|Л - Хк\2 <РК^ (7'
Итак, доказана теорема:
Теорема 1. Если система {еXkt} является безусловным базисом в пространстве L2(I, exp h), то существует функция L, аналитическая в полосе J + Ж, с простыми нулями в точках Лк, к = 1, 2,..., для которой выполняется соотношение (7).
Соотношение (7) позволяет выявить некоторые свойства распределения нулей функции L^).
Введем характеристику r(u,z,р) для выпуклой функций и(х).
Пусть z — фиксированная точка на плоскости. Для любого положительного числа г > 0 через В(z, г) обозначим круг {w : \w — z\ < г}, и для непрерывной в В(z, г) функции f положим
\\f\\r = max \ f(w)\.
wEB(z ,r)
Пусть d(f, z, r) — расстояние от функции f до подпространства гармонических в B(z, г) функций:
d( f,z, г) = inf {\\ f — Н\\r, Н — гармонична в В (z, г)}.
Если и(х) — выпуклая функция на интервале I С R, то функция u(w) = u(Rew) является непрерывной функцией в вертикальной полосе I + гR на плоскости. Для положительного числа р положим
t(u,z,р) = supjr : d(u,z, г) <р}. Ясно, что r(u, z, р) зависит только от Re z. Функцию u при необходимости мы доопределяем, полагая равной вне интервала I, тогда r(u, z,р) не может превосходить расстояния от у до границы интервала определения функции u. Итак, r(u,z,р) - радиус наибольшего круга с центром в точке , в котором функция u отклоняется от пространства гармонических функций на этом круге не более чем на р.
Введенная характеристика r(u,z,р) выпуклой функции u(x) оказывается тесно связанной с геометрической характеристикой выпуклости p2(u,y,р), введенной в работах [4], [7]:
Г y+t
Р2 (u, у, р) = supji > 0 : К (г) — u' (y)\dr<p}.
Jy-t
Эту величину р2 = p2(u,y,р) можно определить из равенства
u(y — Р2) + u(y + Р2) ( ) = р 2 u(V) 2.
Заметим, что
( u, , ) = 2( u, , 2 ).
Для произвольной непрерывной функции u(y) на вещественной оси и положительного числа г через <ii(u, у, г) обозначим отклонение в равномерной норме функции u на промежутке [ - ; + ] от линейных функций:
d1 (u,y, г) = inf{ max \u(i) — l(t)\, I — линейна}.
te[y-r;y+r]
Через p(u, у, p) обозначим наибольшее число г, такое, что на интервале [у—г; у+r] функция u отклоняется от линейных функций не более чем на :
p(u,y,р) = sup{r : d1 (u,y, г) <р}.
Лемма 1. 1. Для функции т(у,р) = r(u,y,р) для любого положительного р выполняются оценки
т(у,р) > р(у,р) > —т(у,р).
16
2. При q > р > 0 имеют место двусторонние оценки
т(у, q) > т(у,р) >— т(у, q).
16q
3. Функция т(у) = r(u,y,р) удовлетворяет условию Лифшица: для всех х,у из области определения функции u
\т(у) — r(x)\ < \у — х\.
Доказательство. 1. Зафиксируем точку z G C так, что у = Rez лежит в области определения функции u. Положим г = p(u,y, р). Тогда существует линейная функция /, удовлетворяющая условию
\u(x) — /(х)\ < р, х G [у — г;у + г]. Функция ( w) = (Re w) — гармонична и
\u(Rew) — /(Rew)\ < р, w G B(z, г).
Тем самым,
т(у,р) > г = р(у,р).
Теперь положим г = r(u,y, р). В круге B(z, г) существует гармоническая функция Н такая, что ||u — Н< р. Возьмем линейную функцию /, такую, что 1(х) < 'и(х),
для любого х, 1(у) = и(у) (существование такой функции обеспечивается выпуклостью функции и), и пусть у(т) = /(Кет). Тогда в круге В(г, г) выполняются неравенства
ь(т) < и(т) < Н(т) + р,
следовательно,
( Н(т) +р) - ь(т) > 0. Кроме того, поскольку ь(г) = и(Кег), то
( Н(г) +р) - ь(г) = ( Н(г) + р) - и(Кег) = (Н(г) - и(Кег)) < 2р.
Применим неравенство Харнака для неотрицательных гармонических функций к функции Н(т) + р - ь(т): в круге В (г, 2) имеем оценку
( Н(т) +р) - ь(т) < 3 (( Н(г) + р) - ф)) < 6р.
Тогда в том же круге В (г, 2) выполняется оценка
|и(Ке т) - ь(т) | < |и(Ке т) - Н(т) | + |Л,(т) + р - г>(т) | + р < 8р.
Функции в левой части этого нарвенства зависят только от х = Ке т, поэтому мы получаем
|и(х) - /(х)| < 8р, х Е
Из этой оценки следует, что
у- 2+
р(у, 8р) > 2 = т(у, р)
или
т(у,р) < 2р(у, 8р).
Из этой оценки получим
т(у,р) < 16р(у,р)
2. Вторая часть леммы 1 может быть получена на основе свойств функции р(у,г,р).
3. Возьмем точки ух, у2 из области определения функции и(х), и пусть г = т(и, у\,р). Это значит, что в круге В (у г) существует гармоническая функция Н (г), удовлетворяющая условию
|и(Ке г) - Н(г)| < р.
Если |у\ - у2| < г, то это неравенство выполняется и в круге В(у2, г - |ух - у2\), тем самым
r(и, У 2, р) > Г - 1 У\ - у 2 1 = Т^ уъ р) - 1 У\ - у 2 1,
или
T(и, уЪ р) - T(и, у 2, р) < 1У1 - У2 1. Если же |у\ - у2| > г = т(и, ух,р), то тем более
r(u,уър) - r(и,^р) < 1У1 - Ы.
Поменяем местами , у2:
У 2, р) - r(u, уъ р) < 1 У\ - У2 1.
Таким образом,
1 Уъ р) - T(u, у 2, Р)1 < 1У1 - У2 1.
□
В работе [11] показано, что величина т = т(и, Л,р) вполне определяется условием: если Н( ) — гармоническая мажоранта функции u( ) в круге В( Л, ), то
max ( Н(z) - u(z)) = 2р. (8)
zeb(x,t )
Эту величину определим для функции 1пК(Л) и числа 1п(5Р), где Р — константа из соотношения (7). В дальнейшем ее будем обозначать просто через т(Л). Итак,
inf max \ 1пК(z) - v(z) \ = 1п(5Р),
veA(B(x,r)) zeB(x,т)
где через А(В(Л, г)) обозначено множество функций гармонических в круге В (Л, т).
Теорема 2. Пусть Ь(Л) — функция, аналитическая в полосе 3 + Ж, с простыми нулями Лк, к = 1, 2,..., при некотором Р удовлетворяющая двусторонней оценке
1 кт < V 1£(Л)!2^(Лк) , ркт РК(Л) 2 к=1 ^)|2|А - Лк|2 <РК(Л).
Тогда
1) В любом круге В (Л, 2г(Л)) содержится хотя бы один нуль Лк функции Ь.
2) Для любых п,к, п = к, выполняется неравенство
таХг(Лк),г(Лп))
| Лк — Лп| > -5-.
10Р 2
3) Для любого к в круге В(Лк, ) справедливо соотношение
1 К 'К * )9'Ь(Л)'2,2 < РК (Л).
56Р8 - |Ь (Лк)|2|Л -Лк |2
Доказательство. 1. Первый пункт докажем от противного: пусть для некоторого Л Е С в круге В = В(Л, 2т(А)) нет ни одного нуля функции Ь. Возьмем точку г Е В(Л, т(А)). Тогда для любого к имеем т(А) < |Лк - Л|/2 и |Л - z| < т(Л) < |Лк - Л|/2, значит
к-Лк | > |Лк -Л| - |Л -г| > 1 |Л -Лк |,
Отсюда
3
к-Лк\ < \Лк-л\ + \л-z\ < 2\л-Лк\.
1 < к-Ак! < 3 < 2.
2 " \Л -Лк \ - 2
Из этого соотношения вытекает двусторонняя оценка, верная для г Е В (Л, т(Л))
4С(№ < £ МА§К-Ь < 4С^^
.л,2 < ^ \ L(^)\2К (Лк)
к=1
где через С (Л) обозначено число
К( Лк)
С( Л) = L
=1 | Ь( Лк)| 2 |Л - Лк|2"
По соотношению (7), которое по условию теоремы выполняется для функции Ь(А), получим
¿С (Л)|Ь(г)|2 < К (г) < 4РС (Л)^2, z Е В (Л, г).
Прологарифмируем это соотношение
11пК(г) - 1п(С(Л)|Ь(г)|2)| < 1п(4Р) < 1п(5Р), г Е В(Л, т).
Поскольку в круге В (Л, 2р(Л)) по предположению нет нулей функции Ь, то функция и(г) = 1п(С(Л)|Ь(г)|2) гармонична в круге В(Лт(Л)) и непрерывна в его замыкании. Тогда последняя оценка противоречит определению величины ( Л).
2. Зафиксируем два различных номера к, п. По соотношению (7) функция
( ) Ь (Лп)(Лп Л) ( )
удовлетворяет верхней оценке
^( Л)| < у/рКЩ.
А по определению величины т(Ли) в круге В (Ли, т(Лк)) существует гармоническая функция ик(Л), удовлетворяющая оценке
11пК(Л) - и*(Л)| < 1п(5Р), (9)
в частности,
х/К(Л) < /ЪРе^.
Пусть Л) — функция, аналитическая в круге В (Лк, т(Лк)), и такая, что Ке дк (Л) = ик (Л)/2. Тогда функция
/(г) = Р (т(Лк )г + Лк) е-9к(т (Хк >+Хк)
аналитична в единичном круге В (0,1) и удовлетворяет верхней оценке
|¡Ш < /5Р,
причем /(0) = 0. По лемме Шварца выполняется верхняя оценка
|/(г)|</5Р И,
значит,
|Г(0)| < /5Р.
Вычислив /'(0), получим
ик(хк)
|Р'( )| < у^Р-
в 2
т(Лк)'
Отсюда и из соотношения (9) вытекает
|Р'(Л,)|< 5Р3¿Ш.
т( Лк)
Вычислим по определению значение Р1 (Лк) и получим
|Ь(Лк)|УКЩ < 5 Р3 у.КЩ |Ь( Лп)|Л - Лга| < т(Лк)
Индексы , п произвольные, можем их поменять местами:
|Ь( лл^кщ < 5 Ра УЩП)
|ь( Лк)||Лга - Лк| < т(Лп) Перемножим последние две оценки и получим
1 25 Р 3
<
Л - Лп!2 т(Лк)т(Лп)'
или
| Л, - Лп|2 > . (10)
Пусть т(Лк) > т(Лп) и предположим, что неравенство пункта 2 не выполняется, то есть
| Лк -Ап| < . (11)
10Р 2
Круг
,3
, 10 Р 2 - 1
в' = {|Л -Лп|< р , г(Лк)}
10 Р 2
лежит в круге В(Лк, т(Лк)), в котором существует гармоническая функция ик(^) с оценкой
11п К (г) -ик (г^ < 1п(5Р).
Тогда
10 Р 2 - 1
т( Лп) >-3— т(Лк).
10Р з
Эта оценка вместе с оценкой (10) дает неравенство
3
,Л л ,2 1 /л N /л N 1 10Р 2 - 1 ,л ,2
|Лк - Лп|2 > 25р3Г(Лк)т(Лп) > 25р3 10Рз г(Лк)2. Так как по смыслу Р > 1, то
о
10 Р зз - 1 9 1
-3— > — > -
10 Р33 10 4
и
А -Лп|2 > ^АЛк)
или
|Лк - Лп| > -з т(Лк),
10Р5
что противоречит предположению (11).
3. Зафиксируем некоторый номер к. Правое неравенство в пункте 3 следует просто из условия теоремы. В круге В (Лк, т(Лк)) по определению величины т(Лк) существует гармоническая функция ик (Л) такая, что
- 1п(5 Р) < 1пК (Л) - ик (Л) < 1п(5Р). (12)
По условию теоремы
к (Л) > 1 ^ К(Лп)|Ь(Л)|2 К (Лк )|Ь(Л)|
К (Л) > РЪ Ь (Л. )12|Л_ Л. 12 >
Р |Ь(Лп)|2|Л - Лп|2 - Р|Ь(Лк)|2|Л - Лк|2
п=1
или
2
-К (Л) > ь ьшт^ -ь р.
Следовательно, для Л Е В(Лк, т(Лк)) имеем
Ш- ^-ик(Л) - М5Р) < 0
то есть
ик<Л> + 21пР + Ь5 - 1п > 0.
По пункту 2 в круге В
пункту 2 в круге В ^Лк, ^з т(Лкнет нулей функции Ь(Л) кроме Лк. Следовательно,
функция
, , К (Лк )|Ь(Л)|2
*( Л) = - 1п ¡Ьслк^Ж-^
2
гармонична в этом круге. А функция ик (Л) + Ук (Л) +1п(5Р2) гармонична и неотрицательна в нем. По неравенству Харнака в круге В (Лк, т(Хк3) выполняется оценка
3
20Р 2 '
ик(Л) + ьк(Л) + 1п(5Р2) < 3(ик(Лк) + ьк(Лк) + 1п(5Р2)) = 3(ик(Лк) - 1пК(Л*) + 1п(5Р2)). Из левого неравенства в (12) имеем ик (Лк) < 1пК (Лк) + 1п(5Р), поэтому
ик(Л)+ ьк(Л) < 31п(5Р) + 21п(5Р2) = 1п55Р7. Из правого неравенства в (12) имеем ик (Л) > 1пК (Л) - 1п(5Р), значит,
- ьк ( Л) > 1п К (Л) - 1п(5Р) - 1п55Р7 = 1п К (Л) - 1п(56Р8).
Таким образом,
К(Л,М^2 > (Л).
| Ь( Л*)|2| Л -Л,|2 " 56Р8
Теорема 2 доказана. □
Теорема 3. Пусть Лк, к = 1, 2,..., — нули функции Ь(Л), удовлетворяющей условиям предыдущей теоремы. Тогда в любом ограниченном множестве В, содержащем хотя бы две из точек Лк, к = 1, 2,..., найдется точка Лп так, что
У 1 < (5Р)12 (13)
Лк ¿и | Лк -Л"|2 < т2<Л"). ( '
Доказательство. В силу соотношения (7) для любого Л выполняется оценка
К (Лк )|Ь(Л)|2 |Ь'( Лк)|2|Л -Лк|2
у К(Лк)|Ь(Л)|2 < РК(Л). (14)
^ \Т,'(А,) |2|\_\,. 12 <РК (Л).
\к ев
Существует такой номер п, что
К (Лп) . ( К (Лк) — шт '
( Лп)|2 Хкев у |Ь'( )|2
./ К (ЛкП еН|Ь'( Л,.
По пункту 3 теоремы 2 для точек Л, лежащих на границе круга В ( Лп, —^т(Лп )), спра-
V 20 Р2 /
ведлива оценка
или
—1—к (Л) < 202Р3 К (Лп)|Ь(Л)|2 56Р8К (Л) < 20 Р |Ь'(Лп)|2г2(Лп)
К (Л) ^ К (Лп)
< 4258Р1
|Ь( Л)|2 " |Ь'( Лп)|2г2( Лп)'
Отсюда и из оценки (14) получим
,2.8 Р11 К(Лп) > 1 у^ К(Лк)
|Ь'(Лп)|2г2(Лп) - Р |Ь'(Л*)|2|Л -Л*|2'
\кев
Учитывая выбор номера п, для точек Л на границе В ^Лп, —^т(Лп)^ имеем
4258Р11 К (Лп) > 1 К (Лп) 1
|Ь'(Лп)|2г2(Лп) > Р |Ь'(Лп)|2 |Л - Л*|2
хиев
или
V 1 42 58Р12
^^ < лаЩ" . (15)
По пункту 2 теоремы 2 для указанных точек Л при к = п выполняется оценка
3
|Л — Лк 1 < |Л — Лп1 + 1 Лп — Лк1 < ^ |Лп — Лк
поэтому из (15) вытекает оценка
(5Р )12
Е
<
\„^В,к=п 1А" ^I2 ^ Теорема 3 доказана. □
На основе теоремы 3 можно показать, что существование базисов Рисса из экспонент в рассматриваемых пространствах скорее исключение, чем правило.
Теорема 4. Пусть I — произвольный интервал на R, h(t)— выпуклая функция на этом интервале,
К (А) = J e2ReXt-2h(i) dt, J = (ж : К (х) < то}.
Предположим, что для некоторого р > 0 существуют последовательность промежутков [ат; Ьт] и положительных чисел тт, т = 1, 2,..., так, что
1) для некоторого положительного числа 8 и для всех х Е [ат; Ът]
8тт < г (In К (z),x, р) < тт, т = 1, 2,...,
2) имеет место соотношение
т Ьт ат
lim -= ТО,
Тт
тогда в пространстве L2(I , exp h) не существует базиса Рисса из экспонент.
Доказательство. Прежде всего заметим, что если условия теоремы выполнены для некоторого р, то в силу утверждения п.2 леммы 1, эти условия выполнены для любого р > 0.
Допустим, что в пространстве L2(I , exp h) система еXkt образует базис Рисса. По теореме 1 существует целая функция с простыми нулями в точках Ак, для которой выполняется соотношение (7). Далее будем считать, что в условии теоремы 4 в качестве числа р фигурирует число ln(5 Р), где Р — констаната из соотношения (7), и для краткости записи величину r(lnK(z),A, ln(5P)) будем обозначать через т(А). По теореме 3 совокупность точек Ак обладает свойством (13). Возьмем произвольный индекс т. Пусть
Тт = SUp (т( А)),
\е[ат, ьт]
т — наибольшее натуральное число, такое, что
ат + 48тТт < Ьт.
Тогда
т + 4( & т + 1) Т~т ^ Ьт ат,
поэтому
т ( ат + & т Тт^ ат
lim -= ТО.
Тт
Для простоты записи впредь будем считать, что ат + вттт = Ьт. При фиксированном индексе т рассмотрим систему Р, состоящую из квадратов со стороной 4тт
Pgi = (z : ат + 21 Тт < Rez < ат + 2(1 + 1)Тт, 2дтт < < 2(q + 1)тт},
1 = 0,1,..., sт — 1, q Е Z.
Два квадрата из этой системы будем называть смежными, если они имеют общую вершину. Пусть Ql,Q2 — два не смежных квадрата из данной системы и г1,чп1 Е Q1, Е Q2.
Тогда
|— 22| < - ^2|. (16) В самом деле, из того, что квадраты не смежные, следует, что |и'1 — ^2| > 4Атт или
1,
Тт < 4 — Ш2|.
Значит,
| ¿1 — < | ¿1 —Wl| + — ^21 + |^2 — ^21 < 8л/2,Тт + |^2 — 22 | < 4^2 —
Центр квадрата Рф обозначим через . Каждый квадрат Рф содержит круг В((ф, 2тт), который, в свою очередь, в условиях теоремы содержит круг В((ф, 2т((ф). По п.1 теоремы 2 в этом круге содержится хотя бы одна точка из системы показателей Хк. Возьмем достаточно большое N и через ВN обозначим объединение квадратов Рд1 по всем д и I, |/| < N. Применим теорему 5 к системе Хк и к множеству ВN. Найдется номер п такой, что выполняется соотношение
^ 1 < (5Р)12
Л.|Л" |2 ^ .
По условию 1) доказываемой теоремы отсюда следует оценка
у 1 < (5Р)1!. (17)
Л.¿Г^ "Хк|2 ( )
Пусть Qo — квадрат из системы Р, содержащий точку Хп, а точка Хк лежит в квадрате Q (из нашей системы), не смежном с Q0. Возьмем любую точку Х Е Q и воспользуемся соотношением (16):
Х — Х^ < 4|Х — Хп|
или
11
<
16|х — Хп|2 Х — Хп| Проинтегрируем это неравенство по Х по всему квадрату Q:
1 Г 1 ¿V(Х) < 1
16161Х — Хп|2 4 ' - |Хк — Хп|2'
Через В'м обозначим множество ВN, из которого удалены квадраты, смежные с Q0. Поскольку в каждом квадрате есть по крайней мере одна точка из системы показателей, то из последнего неравенства и из соотношения (23) получим
Г 1 256(5Р )12
1 -¿V(Х) < 1 ;
•Ч |Х — Хп|2 ¿2 •
Пусть Q0 = Р^-, и для определенности предполжим, что ] < 0, в < и положим
ВМ = {Х : ат + (в + 2)Тт < ИеХ < Ьт, и + 2)Тт < ^Х < (N + 1)Тт}. Тогда ВN С В'м поэтому выполняется неравенство
Г 1 256(5Р )12
' ¿V(Х) < 1 ;
]в„ |Х — Хп|2 ¿2 •
Воспользуемся заменой переменных Х — (ат + (в + 2)тт + %(] + 2)тт = тт-ш и через w0 обозначим образ точки Хп при этой замене:
Г3т-3-1 [м+1 1 256(5Р )12
1-,2(Х) <-,
]0 Л к — Wo|2 ¿2
при этом для точки и0 имеем — 2 < И,еи0, 1т и0 < -1. Следовательно, можем считать, что и0 = —2 — 2г — левая часть в последнем неравенстве только уменьшится, и неравенство сохранится. От индексов т, N зависят только пределы интегрирования, поэтому можем в последнем неравенстве перейти к пределу при т, N —^ то. С учетом того, что
Ьт ат
--> ТО,
т
äm. ^^ а _ а _ 9 §Ш.
и поскольку мы предполагаем, что s < ä2r, то sm — s — 2 > ^ — 2 —у то, получим
[" ("_1_сЫч < 256(5Р>12
X X (я + 2)2 + (у + i2 •
Но интеграл слева расходящийся, получили противоречие.
Теорема 4 доказана. □
Данная теорема требует вычисления функции К(х>, что не всегда просто. Оказывается можно обойтись вычислением функции h.
Теорема 4 (а). Пусть I — произвольный интервал на R, h(t>— выпуклая функция на этом интервале,
h(x> = sup(xi — h(t>>. ш
Предположим, что для некоторого р > 0 существуют последовательность промежутков [ат; Ьт] и положительных чисел tт, т = 1, 2,..., так, что
1) для некоторого положительного числа 8 и для всех х Е [ат; Ът]
8Ьт < r(2h,x,р> < Ьт, т = 1, 2,...,
2) имеет место соотношение
т — ат
lim -= то.
т—><х 1т
Тогда в пространстве L2 (I, exp h> не существует базиса Рисса из экспонент.
Доказательство. Согласно результатам работ [3], [9], [10] при некоторых константах с, С > 0, зависящих только от числа р, выполняется соотношение
е2h(x) е2h(x)
< К(х) < С-р1 (21г,х, р) р1(2к,х, р)
Отсюда получим, что при некоторых других константах с, С > 0 будет выполняться оценка
р Щх) р 2Й(х)
с- < К(х) < С-
r(2h,x, р) r(2h,x, р)
В условиях теоремы получаем
с < К(х)е-2~h(x) 1т) < С
Положим С' = max(| ln с|, | ln С — ln $|). Тогда
| lnK(x) — (2h(x) — lnirn)| < С, x Е [ат; Ьт].
Очевидно, что г(2h, x, р) = r(2h — Ьт, x,р). Пусть а'т = ат + Ьт, Ь'т = Ьт — ¿т. В интервале [ат; Ь'т] применим п.4 леммы 1 к функциям u^x) = lnK(x), и2(x) = 2h(x) — ln¿т. Тогда в условиях доказываемой теоремы
öp p p j СС' p j cc' --Лт < -—T, ^(x) < Ti(x) < -T2 (x) < -Тт.
p + С' p + С' p p
т
Положим t'т = tm, $' = (р+с")2 • Последние неравенства дают
5't'm < т{ЫK,x,р) < t'm, х е [а'т; b'm},
причем
lim ^-^ = то.
t'm
Таким образом выполнены условия теоремы 4 и теорема 4(a) доказана. □
В формулировке последней теоремы использована величина т(Л), которую не всегда просто вычислить. Докажем лемму, облегчающую вычисление величины т(Л) в конкретных примерах.
Лемма 2. Пусть и(х) — дважды дифференцируемая неотрицательная выпуклая функция на некотором интервале I С R. Допустим, что для некоторой точки у е I при некоторых константах А, В, С > 0 выполняется соотношение
и" (х) ^ ^ / 1
А < 1 ; < В, когда |х -y\<CJ
( и ( ) и ( ) Тогда ___
min (С,-^z] \ ,,1 ч < т(и,у,р) < 32max fС,-j^z) J ч В С и ( ) А С и ( )
ВСУуи"(у) - У V 'АС/уи"(у)'
Доказательство. Поскольку
и (ж) — и (у) = и"(х*)(х — у), где х* — точка между х, у, то в условиях теоремы имеем
Аи"(у)\х — у\ < |и'(х) — и'(у)\ < Ви"(у)|х — у\, если |х — у\ < С '
V и' (у)
и ( )
Следовательно, для любого г Е [0; С^/ 1/и"(у)] верно
гУ+г ГУ+Г
/ |и' (х) — и (у)| < Ви"(у) |х — у| = В и' '(у) г2 < ВС2,
У- -
г У+Г ГУ+Г
/ |и'(х) — и(у)| > Аи"(у) |х — у| = Аи"(у)г2.
У- У-
Из первого неравенства вытекает оценка
р2(и,у,ВС2) >С/ 1
и ( )
Заметим, что
V и"(у)
( ^, еслир >ВС, Р2(и,у,р) >{ / Г-^
, еслир <ВС2.
Таким образом,
р2(и,у, ^ > min (С, ВС )\Ц;у. (18)
С другой стороны, при г = Су/ 1/и"(у) имеем
ГУ+Г
/ \и'(х) — и'(у)\ Ах > Аи"(у)г2 = АС2,
У-
поэтому
Р2(щу,АС2) <С/ 1
, и"(у)'
Заметим, что
C\j, если р < АС2, , еслиР >АС2.
Р2(и,у,р) 2arh - — (19)
_ АС\/ «''(у) '
Таким образом,
Р
р2(и, у,р) < max
(С'АС){-,.
, и" (у)'
Отсюда и из оценки (18) получим
min (CJC) < P2(и, У, Р) < Р2(и, У, 2Р) = Р(и,?Л
Р(и,2ЛР) = Р2(и,y, 2р) < 2p2(и,y,р) < 2max АС^U7^/).
Далее воспользуемся п.1 леммы 1 и получим утверждение леммы 2
Лемма 2 доказана. □
Теперь мы можем сформулировать полезный частный случай теоремы 4(a).
Теорема 4 (b). Пусть I — произвольный интервал на R, h(t)— выпуклая функция на этом интервале,
h(x) = sup(xi — h(t)). ш
Предположим, что для некоторого р > 0 существуют последовательность промежутков [ат; Ьт] и положительных чисел tт, т = 1, 2,..., так, что
1) для некоторого положительного числа 5 и для всех x Е [ат; Ьт]
У h''(x)
h' '(x)
2) имеет место соотношение
Stm < J ~ 1 ч < tm, т =1, 2, ...,
т — ат
iim -= то.
т-tm.
тогда в пространстве L (I, exp h) не существует базиса Рисса из экспонент.
Примеры.
1. Пусть I = R и h(t) = A|i|a, где а > 1.
1a. Если а > 1, то
h(x) =11 —
а А а
h<x) = (1 — а) Ш "-'|x|A x Е R
то есть сопряженное по Юнгу имеет вид В|х|-, где 3 > 1, и определяется условием 1 + 1
а ~ -
- + -1 = 1. Тогда при х = 0
\1 в 3(3 — 1)
|х| 2
- #+1
и условие 1 теоремы 4(Ь) выполняется, например, для последовательности промежутков [ п; 2 п]. Таким образом в пространствах Ь2 (М, е^^) базисов Рисса из экспонент не существует.
1б. Если а = 1, то есть к(Ь) = АЩ, то
0, | х| < А
Цх) =
+то, |х| > А,
и р(к, х, 1) = 1 — |х|. Следовательно, условия теоремы 4(а) не могут выполняться, и утверждать на основании теоремы 4, что в пространстве Ь2(М, е^1) не существует базисов Рисса, мы не можем.
2. Пусть I = [—1; 1] и И(Ь) = , где А > 0, а > 0. Тогда
А(а + 1)
Н(х) = |х| — В|х|«+!, В
( Аа)«+1
и
У к"(х)
|х|2( «+1)
Ы'(х) у/В (а + 1)
и снова условие 1 теоремы 4(Ь) выполняется, например, для последовательности промежутков [п; 2п]. Таким образом, в пространствах Ь2(М, ехр ) базисов Рисса из экспонент не существует.
2а. В примере 2 возьмем А = 0. Тогда
Ь(Ь) = 0, |*| < 1,
то есть Ь2(I, ен(г) = Ь2[— 1; 1] и
Н(х) = |х|, х Е М.
Следовательно,
р(1г, х, 1) > |х| + 1.
Пусть существует последовательность промежутков [ат; Ьт], удовлетворяющая условиям теоремы 4. Допустим, что Ьт > 0, тогда для больших номеров т
Ьт — ат > 2Тт > 2р(И, Ьт, 1) > 2Ьт + 2,
значит,
ат < — т — 2 < 0
и 0 Е [ат; Ьт]. Тогда должна выполняться оценка р(к, 0,1) > 6тт. Так как р(к, 0,1) = 1, то 5 < . Однако, тт —> то при т —> то, значит 5 = 0. Получили противоречие и теорема 4 неприменима в данном случае.
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве // Доклады Академии наук. 1946. T. 54. C. 383-386.
2. Никольский Н.К., Павлов Б.С., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I. Препринт ЛОМИ. C. 8-80.
3. Башмаков Р.А., Исаев К.П. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа. Вестник Башкирского университета. 2006. № 4. C. 3-6.
4. Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН., 1992.
5. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Безусловные базисы из воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах целых функций // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, № 3. C. 6777.
6. Башмаков Р.А. Системы экспонент в весовых гильбертовх пространствах на R // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2006.
7. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Матем. заметки. 1990. T. 48, № 5. C. 80-87.
8. Исаев К.П. Базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках // Уфимский математический журнал. 2010. T. 2, № 1. C. 60-71.
9. Напалков В.В., Башмаков Р.А., Юлмухаметов Р.С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // Доклады Академии наук. 2007. T. 413, № 1. C. 20-22.
10. Башмаков Р.А., Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралах Лапласа // Уфимский математический журнал. 2010. T. 2, № 1. C. 3-16.
11. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций // Сиб. мат. ж. 1985. Т. 26. № 4. С. 159-175.
12. Башмаков Р.А., Путинцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Целые функции типа синуса и их применение // Алгебра и анализ, 22:5.2010. C. 49-68.
Рустэм Абдрауфович Башмаков, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
Алла Александровна Махота, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: allarum@mail .ru
Кирилл Владимирович Трунов, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
