О безусловных базисах из экспонент в слабовесовых пространствах на отрезке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 90-99.

УДК 517.5

О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ИЗ ЭКСПОНЕНТ В СЛАБОВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НА ОТРЕЗКЕ

К.П. ИСАЕВ, А.В. ЛУЦЕНКО, Р.С. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. Показано, что существование безусловных базисов из экспонент в весовом пространстве не определяется ростовыми характеристиками весовой функции. Для этого построены примеры выпуклых весов сколь угодно медленного роста вблизи границы такие, что безусловных базисов из экспонент в соответствующем пространстве не существует.

Ключевые слова: гильбертовы пространства, целые функции, безусловные базисы из экспонент, базисы Рисса.

Mathematics Subject Classification: 30B50, 30D20

1. Введение

В данной работе мы рассматриваем гильбертовы пространства вида

L2(W) = {/ е bloc(-1,1) : ||/1|2 = £ If(t)l2W2(t)dt < то},

где W — положительная непрерывная интегрируемая функция на (-1,1).

В классическом случае, когда W(t) = 1, система Фурье {eKn%t}neZ образует ортонорми-рованный базис. Очевидно, что в других случаях ортонормированных базисов из экспонент в пространствах L2(W) не может быть. Понятие базиса Рисса введено в [1] и обозначает образ ортонормированного базиса при ограниченном обратимом операторе.

Базис {ей, к = 1, 2,...} в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом [2], если для некоторых постоянных с,С > 0 и для любого элемента

те

X ^ ^ Xk , к= 1

выполняется соотношение

те те

с £ |*fc |2||efc ||2 ^ |N|2 ^ С £ |xfc |2||efc ||2. к= 1 к= 1

Безусловный базис {е^, к = 1, 2,...} становится базисом Рисса тогда и только тогда, когда 0 < inf ||efc|| ^ sup ||efc|| < то.

Задача о базисности по Риссу данной системы экспонент {еХк*} в классическом пространстве L2 подробно изучалась. В работе [3] получен критерий, состоящий в том, что порождающая функция данной системы должна удовлетворять условию Макенхоупта. В весовых пространствах с неограниченной весовой функцией базисов Рисса из экспонент не может существовать. Этот факт доказан в работе [4].

K.P. Isaev, A.V. Lutsenko, R.S. Yulmukhametov, On unconditional exponential bases in weak weighted spaces on segment.

© Исаев К.П., Луценко А.В., Юлмухаметов Р.С. 2016. Поступила 30 мая 2016 г.

Безусловные базисы рассматривались и в гильбертовых подпространствах пространства Н(D) аналитических в ограниченной выпуклой области D С C функций. Для пространства Смирнова E2(D) на выпуклом многоугольнике D были построены безусловные базисы из экспонент [5]. В работе [6] рассмотрен вопрос о существовании базисов из экспонент в E2(D) на выпуклой области D с гладкой границей. В [7] доказано, что в пространствах Смирнова на выпуклых областях, содержащих на границе гладкую дугу, безусловных базисов из экспонент не существует. В [8] показано, что в пространствах Бергмана B2(D) на выпуклых областях, на границе которых есть точка с ненулевой кривизной, безусловных базисов из экспонент не существует.

В работе [9] доказан аналог этого результата в весовых пространствах L2(e-h(t^) c выпуклой функцией h: при определенных условиях регулярности роста весовой функции h(t), если для любого к Е N

eh(t)(l - ^fc |t| i

то в пространстве L2(e-h(t)) безусловных базисов из экспонент не существует.

Все упомянутые выше задачи могут быть сформулированы на одной модели весовых пространств целых функций, если с помощью преобразования Фурье-Лапласа перейти к эквивалентной задаче о безусловных базисах из воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах целых функций.

Пусть X — некоторое гильбертово пространство функций, в котором совокупность всех экспонент eXz, X Е C, полна. Тогда преобразование Фурье-Лапласа, которое каждому линейному непрерывному функционалу S Е X * ставит в соответствие функцию

S(X) = S(eXz), X Е C,

взаимно однозначно отображает сопряженное пространство X* на некоторое пространство функций X. При естественных условиях на исходное пространство X пространство X оказывается гильбертовым пространством целых функций с наведенной из X* структурой, в котором точечные функционалы F —> F(z) оказываются ограниченными для всех z Е C. Тем самым, в силу самосопряженности гильбертовых пространств возникает воспроизводящее ядро (см. [10]) К(X, z):

(F(Х),К(X,z))f = F(z), VF Е X.

Из простых функционально-аналитических соображений следует, что система экспонент exkz, ^ е Z, будет безусловным базисом в X тогда и только тогда, когда система К(X,Xfc), к Е Z, будет безусловным базисом в X.

Задача о безусловных базисах из воспроизводящих ядер в весовых пространствах целых функций изучалась в работах [11]—[14], в которых рассматривались весовые пространства целых функций

Н(<р) = {F Е Н(C) : ||F||2 = f IF(z)l2e-Mz)dm(z) < ж],

J с

где ip — некоторая субгармоническая функция на плоскости, dm(z) — плоская мера Лебега. В работе [14] в предположении некоторой регулярности роста функции 'ß(z) = доказано, что если

ln21 = o(tp(t)), t —> ж,

то в пространстве Н(ф) безусловных базисов из воспроизводящих ядер не существует, а в пространствах с весом ip(t) = lna t, 1 ^ а ^ 2, — существуют.

В работе [15] доказано общее условие на функцию Бергмана весового пространства целых функций, при выполнении которого безусловного базиса из воспроизводящих ядер в этом пространстве не существует.

Результаты работы [14] наводят на мысль о некоторой устойчивости существования безусловных базисов в весовых пространствах при «возмущениях» веса. Дело в том, что пространства Н(ф) когда '-р(Х) = 0(1п |А|), Л —> то, становятся конечномерными и, тем самым, в них существуют безусловные базисы из воспроизводящих ядер. В данной работе мы построим примеры выпуклых функций к на интервале (—1; 1) сколь угодно медленного роста на концах интервала таких, что в пространстве Ь2(К) безусловных базисов из экспонент не существует.

2. Обозначения, предварительные сведения и формулировка утверждений

Утверждение о том, что для двух неотрицательных функций д при некоторой постоянной С выполняется оценка

f (х) ^ Сд(х), Ух е X,

будем обозначать символом

f(ж) — д(х), х е X. Соответствующий смысл имеют символы У и х.

В работе [16] доказано, что пространство Ь2(К) преобразований Фурье-Лапласа непрерывных функционалов на Ь2(е-Н) как нормированное пространство изоморфно пространству целых функций экспоненциального типа с нормой

""I2-£ £ ^ ^

где

к(х) = Бир(х1 — к(Ь)) \А<\

— сопряженная по Юнгу к функции к и

К (х) = ||е(ж+^|||2 (л) = 11 е27Л-2Н(1)41.

Если 8г : Р(•) —> Р(г) — точечный функционал на Ь2(К), то по определению преобразования Фурье-Лапласа

Для упрощения записи в дальнейшем будем писать К (г) := К (Кех). Для непрерывной в В (г, г) функции £ положим

||4 |Ц*ш = |И ||2 = К (Re z).

r = max Ц (w)l

w£B(z,r)

Пусть d(f, z, г) — расстояние от функции f до пространства гармонических в B(z, г) функций:

d(f,z,r)=inf{||/ — Н||r, Н — гармонична в В(z,r)}. Для непрерывной на C функции и и положительного числа р положим

т(и, z,p) = sup{r : d(u,z,r) ^ р}.

Если функция и зависит только от Re z, то есть u(z) = и(х), z = х + гу, и(х) — выпуклая функция, то несколькими иными способами можно определить характеристики этой выпуклой функции, сравнимые с т(u,z,p).

Например, через р(и,х,р) обозначим наибольшее число г > 0 такое, что

/г

^'(х + t) — u'(x^dt ^ р.

Тогда из лемм 2 и 5 в работе [17] (см. также [18]) следует, что

т(и,х,р) X р(и,х,р), х е R.

В работе [17] сформулировано, в [18] доказано (Теорема 2) утверждение

К(х) х —Л-e2~h(x). (1)

p(h,x,p)

В данной работе будет доказана теорема.

Теорема 1. Для любой непрерывной интегрируемой положительной функции W на интервале (-1; 1), стремящейся к 0, при |i| —> 1 существует выпуклая функция h, такая что eh(t) ^ ущ при Щ < 1 ив пространстве L2(e-h(t">) безусловных базисов из экспонент не существует.

Доказательство будет по существу основано на следующей теореме из работы [9] (теорема 4).

Теорема А. Пусть h(t)— выпуклая функция на интервале (-1; 1),

к {X) = J1 e2^-2hV dt.

Предположим, что для некоторого р > 0 существует последовательность промежутков [ат; Ьт] и положительных чисел тт, т = 1, 2,..., так, что

1) для некоторого положительного числа 8 и для всех х Е [ат; Ьт]

8тт ^ г(ln К, х,р) ^ тт, т = 1, 2,...,

2) имеет место соотношение

т Ьт 0>т

lim -= Ж,

■т-^ж Тт

тогда в пространстве L2(e-h) не существует безусловного базиса из экспонент.

3. Конструкция СОПРЯЖЕННОЙ функции h

Возьмем произвольную положительную непрерывную монотонно возрастающую неограниченную функцию a(t) на [1; ж), удовлетворяющую условию: для некоторой постоянной А Е (1;2)

а(2t) ^ Aa(t), t > 1. (2)

Эта функция будет удовлетворять условию: для у > х и 8 =

"УN г

\Х у

В самом деле, пусть п = [log2 x] +1, здесь квадратные скобки обозначают целую часть, тогда из (2) и монотонности а следует неравенство

а(у) ^ А • а(х), х> 1. (3)

а(у) ^ а(2пх) ^ Апа(х) ^ А • £а(х) = А • ^ а(х). Полагая х = 1 и учитывая, что 8 < 1, получим сходимость несобственного интеграла

Г~ а(г)сН

J t2

Таким образом, корректно определяется функция

<.

Л Г

v(x) = [ у 2 ) dt, х > 1,

которая будет вогнутой на [1; ж). В самом деле,

- < 0.

х2

Определим последовательность неотрицательных чисел Тп:

Т1 = 1, Тп+1 = шах(а(-1)(п2), 2Тп), п е Н, (4)

где а(-1) — обратная функция к а. Последовательность Тп возрастает до бесконечности. Пусть для п е N

(о, Ь< Тп, Хп&) = <1, Тп 2Тп,

[о, 2Тп <г.

— характеристическая функция отрезка 1п = [Тп; 2Тп] и

п п оо

Ш = у/Щхп№, 3(I) = ^Ш, t > 1.

п=1

Положим

и(х) = ^^ ¡^¡¡Г^ х > 1.

Лемма 1. Функция и(х) — вогнутая, неотрицательная, линейная вне отрезков 1п и монотонно возрастающая до бесконечности. Для некоторой константы с > 0 имеет, место оценка

и(х) ^ са(х), х > 1.

Производная и'(х) убывает до нуля. Доказательство.

Функция а монотонно возрастает до бесконечности, значит для любого М > 0 с некоторого номера т на отрезках 1к, к > т, выполняется неравенство 3 (£) > М. Тогда для Ь е [Тк; \Тк] имеем

Следовательно,

[~ 3 Шз _ Г2Тк ¿в М

и(1) = 1 >Мк ъ* = М

3 \ [21т М

и ( аТт ) = и(Тт) + и'(з)с18 > —

2'т У ■ I - v-,— - 12

' 1 т

Поскольку функция и по определению возрастающая, то она возрастает до бесконечности. Оценим производную и сверху. Пусть

Тогда по условию (2)

Вк = Л» Ш* = Г21в,, е N.

и и

В ^ УМ2Щ ^ у/Щ®

2Тк 2Тк 1 ;

Пусть х е [2Тп,Тп+1]. Тогда

и(х)= I ,3(Р=Т.Вк

33 ^ = ±Вк < ГА ± .

ь2 к . 2Тк

к

к=п+1 к=п+1

Воспользуемся соотношением (3), полагая у = Тк, к > п + 1, и х = Тп+1:

а(Тк) ^ А тТ^) •а(Тп+1).

Продолжим оценку и':

Ау/а(Тп+1) ^ 2

и (х) < ——1— Тк

2ТЩ+1 к=п+1

По определению последовательности Тк верна оценка

Тк > 2к-(п+1)Тп+1,

значит, для е = 1 — 2 > 0 их Е [2Тп; Тп+1] имеем

2

и(ж) < А\/®(Тп+1) ^ (2е)п+1-к = а(Тп+1) • 2 ■= АУа(Тп+1)

2Тп+1 к=п+1 2Тп+1 2 — 1 Тп+1

Если х Е [Тп; 2Тп], то по последнему неравенству и по (5)

, С2Т- р№1 + , < В + , < V-А лМЦ + А УЖ+г)

и (х)= —2--+ и (2Тп) <Вп + и (2Тп) <—-----+ А1—--.

]х Ь 2 Тп Тп+1

По определению (4) последовательности Тп

Тп+1 = а(-1)(п2)

или

Тп+1 2Тп.

В любом случае

п < Vа(Тп+1). (6)

В первом случае л/а(Тп+1) = п, поэтому для п > 2

Vа(Тп+1) < 2(п — 1) < 2^а(Тп). Во втором случае воспользуемся свойством (2)

Vа(Тп+1) = л/а(2Тп) < ^А^а(Тп). Следовательно, для всех п > 2

л/а(Тп+1) < 2^а(Тп). (7)

Таким образом, для х Е [2Тп; 2Тп+1] при некоторой постоянной А0 выполняется оценка

и' (х) < А0 ^а^Тп+1), п Е N.

Тп+1

Оценим и(х) сверху. Пусть х Е [2Тп; 2Тп+1], тогда

пх п-1 п 2Тк+1 пх

и(х) = и'(г)сИ = и(2) + ^ и'(г) М + и'(¿)(И <

и 1 к=1 2Тк * 2Тп

< и(2) + 2А0 £ Тк+1 — Тк) + А0(X — 2Тп) <

к=1 Т к+1 Тп+1

п- 1

< и(2) + 2А ^ ^а(Тк+1) + 2Ао^а(Тп+1) < к=1

<и(2) + 2Аа(п — 1)^а(Тп) + 2Аа^а(Тп+1), п Е N. По неравенствам (6) и (7) отсюда следует, что

и(х) < са(х)

для некоторой константы с > 0, х > 1. Лемма 1 доказана.

Нормируя при необходимости функцию а, будем считать, что

те

и' (1) = ^ Вк < 1. к=1

Тогда функция

h(x) = |x| — u(|x|), |x| > 1, h(x) = 1, |x| i 1, будет выпуклой функцией на R, убывающей на R_ и возрастающей на положительной полуоси. Положим

h(t) = supx(xt — h(x)), |i| < 1, и докажем, что при подходящем выборе а функция h удовлетворяет условиям теоремы 1.

4. Оценка характеристики т

Лемма 2. Если функция а удовлетворяет условию (2), и функции и, h определены по этой функции а, то для q < 1 и для любого р > 0 в интервалах Jn = [(1 + q)Tn; (2 — q)Tn] верна оценка

r(h,x,p) x x(a(x))_4 = o(x), x E Jn, n G N.

Доказательство.

Ранее указывалось, что r(u,x,р) x p(u,x,p), поэтому в доказательстве будем рассматривать характеристику р. Если x G Jn и р < qTn, то

[ \h'(x + t) — h'(x)ldt> min |u"(y)lp2.

Значит,

С другой стороны, Значит,

,_р T„iyi2Tn

p(h,x,р) ^Р(ТпminTn УШУ1.

1 |h' (x + t) — h (x)ldti max |u" (y)l p2. I_p Tniyi2Tn

p(h,х, р) > .

По свойству (2) функции а отсюда получаем утверждение леммы 2. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если функция а удовлетворяет условию (2), и функции и, h определены по этой функции а, то для q < 1 и для любого р > 0 в интервалах Зп = [(1 + q)Тп; (2 — q)Тп] верна оценка

т(ЫК,х,р) х х(а(х))-4 = о(х), х е Хп, п е N.

Тем самым, по теореме Л в пространстве Ь2(е-н) безусловных базисов из экспонент не существует. Доказательство.

Соотношение (1) теперь мы можем записать в виде

а(х)

х

Положим

К(x) x^^-e2h(x\

^/аЩ

a(x) = —-, x > 1.

x

Тогда для х Е Зп по свойству (2) для некоторой константы С > 0

| Ьф) - ЫТп1 ^ С. Положим и1(х) = к(х), и2(х) = 1пК(х) — \'аа(Тп). Тогда в интервале Зп 1щ(х) — и2(х)1 = 1И(х) — \пК(х) + Ыа(Тп)1 ^ С. По лемме 4 в работе [18] отсюда следует, что

Р :Р(и1,У,Р) < Р(и2,У,Р) < (р + С)p(и1,y,р).

(р + СУ - р

Значит, по лемме 2

p(lnK,x,р) х p(h,x,р) х х(а(х))-i = о(х), х Е Jn, п Е N. Лемма 3 доказана.

5. Доказательство теоремы 1

Переходя при необходимости к функции W(t) := min(W(t), W(—t)), можем считать, что весовая функция W положительная, четная и W(t) —> 0, Щ —> 1. Далее, переходя при необходимости к функции

W(t) := min W(т),

M<t

можем считать функцию монотонной на интервалах (-1; 0), (0; 1). Наконец, нормируя постоянным множителем, будем считать, что W(t) ^ 1. Таким образом, функция

a(t) = ln WWW),111 < 1

положительная, четная и монотонная на (0; 1). Положим

а(х) = sup(xt — a(t)), х Е R. |t|<i

Функция а(х) выпуклая на R, четная и обладает легко проверяемыми свойствами

а(х)

0 < lna(0) ^ а(х) < 1х1, lim -f-f = 1. (8)

|x|—1х1

При этом функция Ь(х) = х — а(х) вогнутая и неограничена в R+. В самом деле, если tx — точка достижения супремума в определении а, то

Ь(х) = a(tx) + (1 — tx )х,

и если |txl ^ d < 1 при х Е R+, то Ь(х) > (1 — с1)х —> ж, а если limx_><Х)tx = 1, то

Ь(х) > а(tx) —> ж. Из вогнутости следует, что Ь'(х) убывающая функция, а из неограниченности получим, что Ь'(х) неотрицательная функция. Значит, функция Ь(х) возрастает до бесконечности. Положим

h0(t) = sup(xt — а(х)), Щ < 1.

x

Тогда функция h выпукла на (—1; 1) и

<a{t) = wW •|г| <1

Нам остается найти выпуклую функцию 1г(х) > а(х) на R, имеющую конструкцию, описанную в параграфе 2. Тогда функция

h(t) = sup(xi — h(х)) ^ sup(xi — а(х)) = h0(t) ^ a(t) ^ ,

x x W( )

и по лемме 3 в пространстве L2(e-h) безусловных базисов из экспонент не существует.

Определим функцию а(х) рекуррентными соотношениями на отрезках [2n;2n+l]. Возьмем число A G (l;2). Пусть 10(х) линейная функция, такая, что /0(l) = b(l), 10(2) = min(b(2), y/Âb(l)) и для x G [l; 2] положим а(х) = 10(х). В силу вогнутости Ъ(х) имеем а(х) У b(x), x G [l; 2]. Если на отрезках [2k; 2k+l] при k ^ п — l функцию а уже определили, то через ln обозначим линейную функцию, такую, что ln(2n) = a(2n), ln(2n+l) = min(b(2n+l),VÄa(2n) и положим для x G [2п;2n+l] а(х) = ln(x). Функция а, определенная таким образом, будет непрерывной и возрастающей до бесконечности и удовлетворять неравенству а(х) ^ Ь(х). В самом деле, если для некоторой последовательности nk окажется a(2nk) = b(2nk), то

lim а(х) = lim Ь(2Пк) = то,

х—k—

а если начиная с номера m a(2n) = у/~Ао1(2„-1), то a(2n) = AR-2ma(2m) —у то при п —> то.

Функция а удовлетворяет условию (2). Возьмем x G [2n; 2n+l], п G N. Тогда

a(2x) ^ a(2n+2) ^ VÂa(2n + l) ^ Aa(2n) ^ Aa(x).

По функции a построим как в параграфе 3 вогнутую возрастающую функцию и на [l; то) и выпуклую функцию h на R. По лемме 1 мы можем нормировать функцию и(х) постоянным множителем так, что

и(х) ^ а(х), x У l.

По построению функция h(x) = х — и(х) Ух — Ь(х) = И(х).

Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве//Доклады Академии наук. 1946. Т.54. С. 383-386.

2. HrusCev S.V., Nikol'skii N.K., Pavlov B.S. Unconditional Bases of exponentials and of reproducing kernels//Complex Analysis and Spectral Theory. Lecture Notes in Mathematics. V. 864. 1981. P. 214-335.

3. Павлов Б.С. Базисность системы экспонент и условие Макенхоупта// ДАН СССР. Т. 247, №1. 1979. С.37-40.

4. Путинцева А.А. Базисы Рисса в весовых пространствах// Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, №1. С. 47-52.

5. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. мат., 39:3 (1975). C. 657-702.

6. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:3 (1988). C. 559-580.

7. Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова // Дис.канд. физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 1992.

8. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана// Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т. 68, №1. С. 5-42.

9. Башмаков Р.А., Махота А.А., Трунов К.В. Об условиях отсутствия безусловных базисов из экспонент// Уфимский математический журнал. 2015. Т. 7, №2. С. 19-34.

10. Aronszajn N. Theory of reproducing kernels // Transactions of the American Mathematical Society. 1950. V. 68, № 3. P. 337-404.

11. Seip K. Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space I // Reine Angew. Math. 429 (1992). P. 91—106.

12. Seip K., Wallsten R. Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock spaceII // Reine Angew. Math. 429 (1992). P. 107—113.

13. Borichev A., Dhuez R., Kellay K. Sampling and interpolation in large Bergman and Fock spaces // Journal of Functional Analysis 242 (2007), №2. P. 563—606.

14. Borichev A., Lyubarskii Yu. Riesz bases of reproducing kernels in Fock type spaces // Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 9 (2010). P. 449-461.

15. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Безусловные базисы из воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах целых функций // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, №3. С. 67-77.

16. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Матем. заметки. 1990. T. 48, № 5. C. 80-87.

17. Напалков В.В., Башмаков Р.А., Юлмухаметов Р.С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // ДАН. 2007. Т. 413, № 1. C. 20-22.

18. Башмаков Р.А., Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралax Лапласа // Уфимский мат. журн. 2010. Т. 2, № 1. C. 3-16.

Константин Петрович Исаев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Анастасия Владимировна Луценко, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Ринад Салаватович Юлмухаметов, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]