Распределение показателей безусловного базиса из экспонент в пространствах со степенным весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 63-70.

УДК 517.5

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗУСЛОВНОГО БАЗИСА ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ СО СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ

К.П. ИСАЕВ, К.В. ТРУНОВ

Аннотация. В работе рассматривается вопрос о существовании безусловных базисов из экспонент в пространствах функций, локально интегрируемых на ограниченном интервале I вещественной оси, удовлетворяющих условию

==и.

\f (t)\2e-2h(t) dt < ж,

где h(t) — выпуклая функция на этом интервале. При I = (-1; 1) h(t) = —аln(1 — |i|), а> 0 получена оценка снизу частоты показателей безусловного базиса.

Ключевые слова: ряды экспонент, безусловные базисы, базисы Рисса, степенные веса, гильбертово пространство.

1 введение

Пусть I — ограниченный интервал вещественной оси, Ь(Ь) — выпуклая функция на этом интервале и Ь2(1,Н) — пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию

=Ц,\

Ц(¿)|2е-2^) ^ < ТО. Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением

и,9) = / í

Система элементов , к = 1, 2,...} в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом (см. [2]), если она полна и найдутся числа с, С > 0, такие, что для для любого набора чисел С\,С2, ...,сп выполняется соотношение

сЕ Ь |2||е/с ||2 < ||Е II2 < Ь |2||е/с ||2. к= 1 к= 1 к= 1

Известно (см. [3],[4]), что если система {е^, к = 1, 2,...} — безусловный базис, то любой элемент

пространства Н единственным образом представляется в виде ряда

<х

X =

к=1

ек,

К.P. Isaev, K.V. Trunov, On the distribution of indicators of unconditional exponential

bases in spaces with a power weight.

© Исаев К.П., Трунов К.В. 2012.

Поступила 20 декабря 2011 г.

Работа поддержана РФФИ (грант 10-01-00233-а).

причем

<х <х

с y, i^ i2iiefc Ii2 <IM I2 < с Е i2iie^ il2-fc=1 fc=1 В работе [12] введена следующая характеристика для непрерывных на плоскости функций и, измеряющая отклонение данной функции от гармонических функций. Для непрерывной функции и, для z G С и положительного числа р через т(и, z, р) обозначим супремум всех таких г > 0, для которых выполняется условие

inf{ sup lu(w) — h(w)i, h гармонична в B(z, г)} < р.

weB(z,r)

Через В (z, г) обозначен круг радиуса г с центром в точке z. Непосредственно из определения следует, что если т(и, z0,p) = ж для некоторой точки z0, то т(и, z,p) = ж.

Из леммы 1.1 в работе [6] следует, что в случае, когда и — непрерывная субгармоническая функция, величина т = т (и, Х,р) вполне определяется услови ем: если H (z) — наименьшая гармоническая мажоранта функции и в круге В(Х,т), то

max (H(z) — u(z)) = 2p. (1)

zeB(x,T )

В работе [5] доказана следующая теорема (теорема 2.1)

Теорема 1. Если система {ezit}°=1 является безусловным базисом в пространстве L2(I,h), m,о существует целая функция L с простыми нулями в точках Zj, j = 1, 2,..., для, которой выполняется соотношение

j к й <Ê |Д < ™ M- GС, (2)

где Р — некоторая положительная постоянная и К (z) = | |e2i| |2.

Функция \nK(z) является субгармонической и непрерывной на всей плоскости. В продолжении этой статьи через t(z) будем обозначать функцию т(\пК(w),z, \n(5P)), где р — константа из соотношения (2). Итак,

inf { sup i\nK (z) — h(z)i, h гармонична в B(\, т(Х))} = \n(5P),

h zeB(x,r(x))

Следующая теорема доказана в [7] (см. теорема 3, теорема 4 и ее следствие).

Теорема 2. Пусть система {exp(tZi ), г = 1, 2,...}; образует безусловный базис в пространстве L2(I,h). Тогда,

1) в любом круге B(z, 2t(z)) содержится хотя бы один показатель Zi.

2) пусть b = —Тогда, для, любых i,j, i = j, выполняется неравенство

20 Р 2

I Zi — Zj I > 26max(r( Zi), t( Zj )).

Первое утверждение этой теоремы ограничивает частоту показателей z^ снизу, а второе — сверху. На основе этих разнонаправленных оценок в работе [7] доказана теорема 5, которая применительно к рассматриваемой в данной статье ситуации может быть сформулирована следующим образом.

Теорема 3. Пусть h(t) — выпуклая функция на интервале I = (—1,1) и

h(x) = sup(ci — h(t )) tel

— функция, сопряженная по Юнгу к ней. Предположим, что h G С2(|х\ > const) и для любого положительного числа с функция s (х) = ^ удовлетворяет условию

У h"(ж)

I min h" (у) ) I max h"(y)\ х 1, | х\ —> ж. (3)

\y£B(x,cs(x)) J \y£B(x,cs(x)) J

Тогда, в пространстве L2(I, h) безусловных базисов из экспонент не существует.

Из условия (3) вытекает оценка роста функции

Ы — h(x) lim | ' . ; J = |ж|—ln |ж|

которая равносильна соотношению

h(t)

lim ——--г- =

|t|im.l — ln(1 — |í|) ,

или для любого а > 0

(1 — |í|)a = 0(eh(t)), |í| —^ 1.

В данной работе мы исследуем вопрос о безусловных базисах из экспонент в пространствах с не более чем степенными весами, т.е. при условии, что для некоторого а > 0

eh(t) = 0((1 — |í|r), |í| —^ 1.

В качестве модельных пространств мы будем рассматривать пространства L2(I,h) при I = (—1; 1) h(t) = —aln(1 — |í|) для а > 0, которые обозначим через L2(a).

Будет доказана следующая, более точная оценка частоты показателей безусловных базисов снизу.

Теорема 4. Пусть система [eZkt] образует, безусловный базис в пространстве L2(a). Тогда, существуют числа, á1 = á1 (а) £ (0,1) и ö2 = $2(а) > 0, М = М(а) > 0; т,а,кие, что при достаточно больших |ж0| для любо го у0 в каждом прямоугольнике Q = {z = х + гу : ö1x0 < х < 62х0, ^ — у^ < М|ж0|} и —Q находится, хотя бы один показатель Zk-

То, что эта оценка более точная по сравнению с п.1 теоремы 2, следует из того, что величина т(z) в этих пространствах сравнима с ^ez^ При а > 2 утверждение этой теоремы иными средствами доказано в работе [13].

Система экспонент {eAí}, Л £ С полна в пространстве L2(I, h), поэтому преобразование Фурье-Лапласа функционалов L : S —> S(X), определяемое формулой

S(X) = 5(ext), X £ С,

устанавливает взаимно однозначное соответствие между сопряженным пространством L2(I,h) и некоторым линейным многообразием целых функций L2(I,h). В этом линейном многообразии мы будем рассматривать наведенную структуру гильбертова пространства. А именно, если функционалы Si, S2 £ L2(I, h) порождаются функциями /1, /2 £ ¿2(Л h), то полагаем

(Sl(X), S2(X))j>*(I,h) = (fl, ¡2)L2(I,h). Нетрудно убедиться в том, что функция

К(X, z) = J ext+Zt-2h(t)dt, X,z £ С

является воспроизводящим ядром в пространстве L2(I,h), т.е.

(F(Х),К(X,z))= F(z),F £ £2(I,h). В работе [14] доказано, что в пространстве L2(I,h) можно ввести эквивалентную норму

ЦР||2 = / I ^(х + iy^e-21^pr(x)dh'(x)dy, (4)

где

h(x) = sup(^í — h(t)), x £ R, tei

— сопряженная по Юнгу к функции Ы(Ь), а число р = р-^(х) определяется как супремум всех Ь > 0, для которых

г

/ ^(у) - Ы+(х)У1у < 1. Зх-г

В [5] показано, что норму пространства Ь2( 1,Ы) эквивалентным образом можно записать в следующей форме

м2 = 11 ЩгХ^м, м

зжзж К (х)

где К (г) = К (г, г).

Поскольку преобразование Фурье-Лапласа устанавливает изоморфизм пространств Ь2(1 ,Ы) и Ь2(I, Ы), то безусловная базисность системы экспонент {е1гк} в пространстве Ь2(I, Ы) равносильна утверждению, что множество показателей {} является множеством единственности для пространства Г/2(I, К), и для любой функции Р £ Г,2(I, Ы) выполняется соотношение

1 ^ |Р(гк^ |Р(гк)1

<

IIР|12 <р£ '-КтОг, (6)

р К ) - й К )

где Р — некоторая положительная постоянная.

Вычислим введенные выше характеристики для пространства Ь2(а).

Лемма 1. Если

Ка(г) = ||е^|||2(а) = Ка(г, г) =|- Ц\)2аМ, = -а 1п(1 - I), ра(х) = ру1 (х), та(х,р) = (1п Ка(-ш), г,р),

то

Ыа(х) = |х| - а 1п |х| + аа, |х| > X(а),

где

та(г,р) х |Де,г| + 1, |Rez| —> ж, ра(х) = \/1 - е 2а+1х, х > X(а),

1пКа(х) = 2|х| - (2а + 1) 1п |х| + Ьа + о(1), |х| —► ж,

1 {'

ь» = 1п22^п1 е-УУ 2а<1У.

Поскольку функции Ыа(х),ра(х) положительны и непрерывны, то, в част,ноет,и выполняются соотношения

ека(х) х (\х\-а 1п(|ж|+1), х £ м,

Ы'а (х) X (|х| +1)-2, х £ М,

ра(х) X (х + 1), х £ М, Ка(х) X е2М-(2«+1) 1п(|ж| + 1), х £ М.

К( х) х > 0

тическое представление для 1п Ка (х) следует из соотношения

/1 г0 г 1

е2х\1 -Щ)2а<И = е27Л(1+г)2а<И + е2х е-2х(1-г)(1 - г)2а<И = -1 3-1 3 о

р2х г 2х р2х+Ьа

= °(1) + е-УУ2а<У = -¿ь+Г (1 + о(т х ^ ж.

Функция Ыа(х) для больших х вычисляется непосредственно по определению. Выражения для т~а, ра вычислены в работе [13]. □

Лемма 2. Для 5\, 52,М> 0 и хо € М+ через Q(x0, 5\, 52, М) обозначим прямоугольник

Q = {х + гу : 5\Хо <х < 52хо, \у\ < Мхо}.

Тогда для, любого е > 0 можно подобрать достаочно малое число ¿1 = ^(е) > 0; достаточно большие 52 = ё2(е) > 0, М = М(51, 52, е) > 0 так, что при х0 > X(51, 52, е) будет выполняться соотношение

/ \Ка(х + г у, хо)\2 е-2На(х) ра(х)(Ш'а (х)<1у < еКа(хо,хо).

Зс\д(х 0,б1,б2,м)

хо

межутков

11 = {х : х > 52х0}, 12 = {х : — 51х0 < х < 51хо}, 13 = {х : —2хо < х < — 61 х0}, 14 = {х : х < —2х0}, I = {х : 51х0 < х < 52х0}.

Тогда дополнение к прямоугольнику Q(xо, 51, 52, М) разложится на объединение двух полуплоскостей Ql = 11 х М и Q4 = 1.4 х М, двух вертикальных полос Q2 = 12 х М и Qз = Iз х Ми двух полуполос Q+ = I х {у > Мхо}, Q- = I х {у < — Мхо}- Заметим, что функция Ка(х + гу,хо) при фиксированном х является преобразованием Фурье функции е(х+хо)-2Ь-а(^ и п0 те0реме План-шереля

/те г 1

\Ка(х + г у,хо)\2<1у = 2тг е2(х+хо)—4ьа(1) <и_ -те 3 — 1

Как доказано в работе [15], для любой выпуклой функции и(Ь) выполняется соотношение

+ ил ¿й(у)

еУ*—у()<и - у € М.

гЛ еи(у)

.)—1 Ръ(У)

Отсюда по лемме 1 имеем

/•те е4Иа( е4Иа( )

К<х +*У, х)124</ - -^р^щщ - (¡х+хоГ+1)

значит,

гте ~ , 1\„4Йа (^

~ , , х„(\х\ + 1)Р4^а() — 2На(х) — 2На(хо)

\ Ка(х + гу,хо)\ е—2Н^ра(х)йу < 0( 1 + ) -Ка(хо).

„/ — те \х + хо\ + 1

В полуплоскости Ql получим оценку при 52 —> то равномерно по хо ( ~ ~ [те <и

\Ка(х + гу, хо)\2е—2На(х)ра(х)<у<к'а(х) < Ка(хо) , л, = о(Ка(хо)). Зях ^ (У + ЧУ

Если ¿1 < 2 и \х\ < 51хо, то имеем

хо (\ х\ + 1) е4^ ^ )—2ьа(х)—2ьа(хо) хо(хо + 1)2а(\х\ + 1)2а+1 (\х\ + 1)2а+1

—^- , ' , ;,--<

\ х + хо\ + 1 (\х + хо\ + 1)4а+1 (\х + хо\ + 1)2а'

поэтому в полосе Q2 имеем при ¿1 —> 0 ^^^^^ерно по хо > 1

I \Ка(х + гу,хо)\2е—2%а(х)ра(х)<1у<Ша(х) ^ Щх^ (\х| + 1)2а—1<х = о(Ка(хо)).

х0 3—61хо

При фиксированном ¿1 < ^ для —2хо < х < — 51хо получим хп (\х\ +1)Р4'^а(^)—2Тга(х)—2Тга(хо)

хо(\х + 1)в,-^-^ е- 1хо(хо + 1)4а+2,

х + хо + 1

поэтому в полосе Qз при хо —> то имеем

/ \ Ка(х + ъу,хо)\2е—2Ка(х)ра(х)<1уШа(х) < Ка(хо)е—2ё1хо(хо + 1)4а+3 = о(Ка(хо)).

ЗЯз

При фиксированном ¿1 < 2 для х < —2хо имеем Тп ( М + Л^Р^Л )-2Ка(х)-2Ка(х0)

1х + Хо I + 1

поэтому в полосе при х0 —> ж верна оценка

X е-4хо(хо + 1)2а+1(\х1 + 1)"

г ~ — Г+ж

/ 1Ка(х+1у,хо)12е-2Н-(х^ра(х)йуйЪ1а(х) X Ка(хо)е-4х°(хо+1)2а+Ч (1х1+1)-2а-2 йх = о(Ка(хо)).

3<<4 32хо

Выбрав нужным образом ¿1 и §2, перейдем к оценкам интегралов по полуполосам Q±. Для этого будем пользоваться следующим представлением для воспроизводящего ядра при г = х + гу = ад = хо + гуо

/1 Г1 еУЮ—Я)'-

е^+т-2наа)м = ^ е2(х-На(г))£__

2 Г1

ад — г ,]-1

По неравенству Коши-Буняковского отсюда получим

4

1ад — г1

Функция меняет знак только в точке Ь = 0, поэтому

1

1-1 2 -1 о

1Ка(г,ад)12 < -—^ /1 е2х-2Иа(г) 1х — Ы^Щ ■ Г е2х°*-2На(*)1хо — К^И. № — 3-1 3-1

е2х-2на{ь)1х — Ы^щ < 11 е2х^М^^ — 1!1 е2хйе-2на{ь) <

< 1х1Ка(х) + 1 + хКа(х) < 3Ка(х)1х1, когда Ка(х) > 1. Из последних двух оценок следует.

1Ка(г,ад)12 < Ка(х)Ка(хо).

1ад — х12

Отсюда и из оценок в лемме 1 получим

/ 1Ка(х + гу,хо)12е-На(х)райу(Ша(х) < Зя+

г гж х 1

< 36Ка(Хо)Хо ! 1 1Мх0 ({х — Хо)2 + У2)(Х + 1)2 ^ Х МКа(Хо).

Таким образом, выбирая число М достаточно большим, мы можем считать интеграл по полуполосе достаточно мадым. Также оценивается интеграл по полуполосе Q-. □

Лемма 2 доказана. Легко видеть, что точно также доказывается следующая лемма.

Лемма 3. Для 51, 52,М> 0 и хо € М+; уо € М через (^(хо,уо, 51, 52, М) обозначим прямоугольник

Q = {х + гу : 51Хо < х < б2Хо, 1у — уо1 < Мхо}.

Тогда для, любого е > 0 можно подобрать достаточно малое число ^ = ^ (е) > 0; достаточно большие 52 = 52(е) > 0 М = М(51,52,е) > 0 так, что при хо > X(51,52,е) будет выполняться соотношение

/ 1Ка(х + гу,хо + 1уо)12е-2На(хра(х)<Ш'а(х)йу < еКа(хо,хо).

ЗС\<(хо, у0,81, ¿2,М)

3. Оценка снизу частоты показателей. Доказательство теоремы 4

Пусть система {ехр(^£)} образует безусловный базис в пространстве Ь2(а). Тогда, как уже отмечалось во втором параграфе, система Ка(г, ) образует безусловный базис в пространстве Ь2(а), то есть для некотрого числа Р выполняется соотношение (6). В этом соотношении норму

пень малости определим позже. По этому числу е на основе леммы 3 найдем числа ¿1 € (0,1), ¿2 и М, для которых выполняется утверждение леммы 3.

Предположим, что для некоторых хо € М+, уо в прямоугольнике < := <<(х0, у0, ¿1 + 1, 62 + 1 ,М + 4) нет показателей х^.

По лемме 1 величины та( г) и ра(г) сравнимы с |Б,еz| + 1. Учитывая пункт 1 теоремы 2, можно утверждать, что найдется число а > 0, такое, что круги В^ = В(, а(|Ке,гу| + 1)) попарно не пересекаются и лежат вне прямоугольника < По определению величины та в каждом круге В 7 существует гармоническая функция отстоящая от функции 1п Ка не более чем на 1п(5Р). По свойствам субгармонических функций для любой целой функции Р выполняется неравенство

' Р)|2е-Щ*) < Та2(|Не~,| + 1)2 |Р-2И'

где ^т(,г) ^ плоская мера Лебега. Поскольку в круге В7 |Б,е| + 1 х |Ке,г| + 1, то

| Р ( * >'2<=-2Я' ) - 1В, кШ+%2 ,ыу -1,

уИШ - Г ^(х + *у)2

\ К() - К(х) ГШ (х)ау.

Применим эту оценку к функции Р(г) = Ка(х, хо + гуо)- Получим по лемме 3, что за счет выбора

<

|Р ()|2

И~К(Л - ^ка(хо,хо)= e\\Ka(z,хо + iуо)\\2. K( zj)

Если е < -р, то это противоречит условию (6). Теорема 4 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве // ДАН. 1946. Т. 54. С. 383-386.

2. Никольский Н.К., Павлов B.C., Хрущев C.B. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I. ! ! Препринт ЛОМИ. С. 8-80.

3. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Москва, Наука. 1965. 448 с.

4. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. Москва, Наука. 1980.

5. Башмаков P.A. Системы экспонент в весовых гильбертовх пространствах на R // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 2006 г.

6. Юлмухаметов P.C. Асимптотическая аппроксимация, субгармонических функций // Сиб. мат. ж. 1985. Т. 26. № 4. С. 159-175.

7. Исаев К.П., Юлмухаметов P.C. О безусловных базисах из экспонент в гильбертовых пространствах II Уфимский мат. журнал. Т. 3, № 1. 2011. С. 3-15.

8. Левин В.Я.Интерполяция целым,и функциями экспоненциального типа // Матем. физика и функц. анализ^ ФТИНТ АН УССР. 1969. Вып. 1. С. 136-146.

9. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целым,и, функциями специальных классов и, связанные с нею разложения в ряды, экспонен // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39. № 3. С. 657-702.

10. Исаев К.П. Базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках // Уфимский мат. журнал. Т. 2, № 1. 2010. С. 1—86.

11. A. Borichev, Yu.Lvubarskii Riesz bases of reproducing kernels in Fock type spaces // Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 9 (2010). P. 449-461.

12. Башмаков P.A., Путинцева А.А., Юлмухаметов P.C. Целые функции типа синуса и их применение // Алгебра и анализ. 22:5. 2010. С. 49—68.

13. К.P. Isaev, R.S. Yulmukhametov Lower estimate of frequency of indicators of unconditional exponential bases in spaces with a power weight // Eurasian Mathematical Journal [принята в печать].

14. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства //Матем. заметки. 1990. Т. 48, №5. С. 80—87.

15. Напалков В.В., Башмаков Р.А., Юлмухаметов Р.С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // ДАН. 2007. Т. 413, № 1. С. 20-22.

Константин Петрович Исаев, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: orbit81@list .ru

Трунов Кирилл Владимирович, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: trounovkv@mail .ru