Безусловные базисы из воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 67-77.

УДК 517.5

БЕЗУСЛОВНЫЕ БАЗИСЫ ИЗ ВОСПРОИЗВОДЯЩИХ ЯДЕР В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

К.П. ИСАЕВ, Р.С. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. Рассматривается вопрос о существовании безусловных базисов из воспроизводящих ядер в функциональном гильбертовом пространстве целых функций. Доказано, что при выполнении некоторых условий безусловных базисов из воспроизводящих ядер не существует. Показано, что в конкретных пространствах некоторые уже известные теоремы об отсутствии безусловных базисов являются следствиями этих результатов.

Ключевые слова: гильбертовы пространства, целые функции, воспроизводящие ядра, безусловные базисы.

1. Введение

Пусть Н - функциональное гильбертово пространство целых функций. То есть функционалы 8г : f ^ f (г) являются непрерывными при каждом г Е С. Тогда каждый функ-

ционал 8г порождается элементом кх(А) Е Н в смысле 8г(f) = (f(А),кг(А)). Функция к(А, г) = кх(А) называется воспроизводящим ядром. Функция \\кх(А)||я = (к(г,г))2 называется функцией Бергмана пространства Н. Основные свойства воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах изложены в работе [1]. Обозначим К (г) = \\кг (А)||Н. Далее наложим на пространство Н дополнительные условия:

К (г) > 0,г Е С; (1)

если f Е Н и — нуль функции f (г), то

f(г) Е Н. (2)

Z - Z 0

Система элементов ek, к = 1, 2,..., в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом (см. [2]), если она полна и найдутся числа c, C > 0, такие, что для для любого набора чисел Ci, c2,..., cn выполняется соотношение

n n n

cY |cfc|2||ek||2 < || Ycfcefc||2 < C Y |ck|2||ek||2. k=i k=i k=i

Известно (см. [3], [4]), что если система ek, k = 1, 2,..., — безусловный базис, то любой элемент пространства H единственным образом представляется в виде ряда

ГО

x ^ ^ xk ek, k=1

K.P. Isaev, R.S. Yulmukhametoy, Unconditional bases of reproducing kernels in Hilbert spaces of entire functions.

© Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. 2013.

Работа выполнена при поддержке гранта ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России "№ 14.B37.21.0358.

Поступила 12 декабря 2012 г.

причем

те те

С £ N |2||ek ||2 <|М|2 < C £ N |2||ek ||2. (3)

k=1 k=1

Для данной последовательности комплексных чисел {zj}°=1 С C рассмотрим систему {k(A, Zj)}j=i. Нас будет интересовать вопрос о том, при каких условиях на последовательность {zj}°=1 соответствующая система из воспроизводящих ядер может являться безусловным базисом в пространстве H.

В двойственной формулировке задача о безусловных базисах из воспроизводящих ядрах в гильбертовом пространстве целых функций становится задачей об интерполяции. В некоторых специальных случаях через преобразования Фурье-Лапласа задача оказывается эквивалентной задаче о безусловных базисах из экспонент. Базовыми примерами являются классические ряды Фурье в L2(—п, п), теорема об интерполяции в пространстве Пэли-Винера (теорема Котельникова В.А.).

В весовых пространствах целых функций вида

F„ = {/ є H(C) : В/В2 := / |/ (z)|2e-2*> dm(z) < то}, (4)

J C

где <^(z) — субгармоническая функция, dm(z) — мера Лебега, задача о безусловных базисах из воспроизводящих ядер рассматривались во многих работах. Из недавних работ укажем [5], [6], [8], [9].

В данной работе в параграфе 3 мы доказываем, что при выполнении некоторых условий безусловных базисов из воспроизводящих ядер в пространстве H не существует. В параграфе 4 мы показываем как из доказанных теорем следуют некоторые уже известные теоремы в конкретных пространствах.

2. Формулировка основных результатов

В параграфе 3 будет доказана теорема:

Теорема 1. Если система {k(A,zj)}^=1 является безусловным базисом в пространстве H, то существует целая функция L с простыми нулями в точках zj, j = 1, 2,..., для которой выполняется соотношение:

PK(z) < £ jjp < PK(z),z є C, (5)

где P — некоторая положительная постоянная.

Введем одну характеристику для непрерывных на плоскости функций u, измеряющую отклонение данной функции от гармонических функций. Для непрерывной функции u, для z Є C и положительного числа p через т(u, z,p) обозначим супремум всех таких r > 0, для которых выполняется условие

inf{ sup |u(w) — h(w)|, h — гармонична в B(z,r)}< p.

wGB(z,r)

Здесь B(z,r) — круг с центром в точке z и радиусом г. Непосредственно из определения следует, что если т(u,zo,p) = то для некоторой точки zo, то т(u,z,p) = то. Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Если для функции u характеристика т(u,z,p) конечна, то функция т(z) = т(u,z,p) удовлетворяет условию Липшица: для всех z1 и z2

|т(z1) — т(z2)| < |z1 — z2|.

Простое доказательство этой леммы можно найти в [7].

В работе [10] показано (лемма 1.1), что в случае, когда и — непрерывная субгармоническая функция, величина т = т(u, A,p) вполне определяется условием: если H(z) — наименьшая гармоническая мажоранта функции и в круге B(A, т), то

max (H(z) — u(z)) = 2p.

z€B(A,r)

Функция

ln K(z) = 2 sup ln |F(z)| l|F ||<1

является субгармонической и непрерывной на всей плоскости (мы предполагаем, что K(z) > 0). В продолжении этой статьи через т(z) будем обозначать функцию

т(lnK(w),z,ln(5P)), где P — константа из соотношения (5). Итак,

inf{ sup | lnK(z) — h(z)|, h гармонична в B^,т(z))} = ln(5P).

z€B(A,r (A))

Следующая теорема доказана в [7] (см. теорема 1):

Теорема 2. Пусть L(z) — целая функция с простыми нулями zj, i = 1, 2,..., при некотором P удовлетворяющая двусторонней оценке

1 K(z) < У 'L<z)!2K(zi) < PK(z)

K (z) < |r/(- ) 121 z_ z 12 < PK (z).

|И^| |2'

Рк (г)-

0=1 1 \ / I I I

Тогда

1) В любом круге В(^, 2т(^)) содержится хотя бы один нуль Zj функции Ь.

2) Для любых г,^, г = ^, выполняется неравенство

|_ _ I ^ max(тт(^))

|Zг zj1 ^ з •

Л 10Р 2

3) Для любого г в круге В^0, т(^3) справедливо соотношение

1 К(Z) ^ < рк(Z)

56Р8 () < |Ь(^)|2^-^|2 < ( )-

В параграфе 3 будут доказаны теоремы 3,4:

Теорема 3. Пусть Zj, г = 1, 2,..., — нули функции Ь^), удовлетворяющей условиям предыдущей теоремы. Тогда в любом конечном множестве нулей В, содержащем хотя бы два нуля, найдется индекс п так, что

£ < (4р)12.

г1еБ,г=и 1 0 п|

Следствие.

Пусть Zj, г = 1, 2,..., — нули функции Ь(z), удовлетворяющей условиям предыдущей теоремы и Ь = —. Тогда для любого конечного множества нулей В, содержащем хотя бы два нуля, найдется индекс п так, что

^т(^ / ,1009

у < 410 P ®

ieB,i=n^B(zi,br(zi)) |z zn|

z

Теорема 4. Пусть H — функциональное гильбертово пространство целых функций, удовлетворяющее условиям (1) и (2). Предположим, что для любого положительного числа p найдется число 5 = 5(p) > 0, такое, что функция т(z) = т(lnK(A),z,p) для всех A Є C удовлетворяет условию

inf т(z) > 5т(A) (6)

z€B(A,2t(A))

и т(z) = o(|z|), при |z| —> то. Тогда в пространстве H безусловных базисов из воспроизводящих ядер не существует.

Небольшая модификация доказательства этой теоремы приводит к заметному ослаблению условий.

Теорема 5. Пусть H — функциональное гильбертово пространство целых функций, удовлетворяющее условиям (1) и (2). Предположим, что для любого положительного числа p найдется число 5 = 5(p) > 0 и последовательность кругов B(Zj, Rj) (своя для каждого числа p), такие, что функция т(z) = т(lnK(A),z,p) для всех A Є B(Zj, Rj) удовлетворяет условию

inf т(z) > 5т(A).

zGB(A,2t (a))

Кроме того,

max т(z) = o(Rj), j —> то.

z€B(Cj ,Rj)

Тогда в пространстве H безусловных базисов из воспроизводящих ядер не существует.

3. Доказательство основных утверждений

Теорема 1.

Доказательство. Пусть k(A,z) = J^°=1 Cj(z)k(A, zj), A Є C. Заметим, что Cj(zk) = 5j, где 5k — символ Кронеккера. Пусть {Sj(A)}°=1 С H биортогональная система к системе k(A,zj), то есть (Sj(A),k(A,zk)) = 5k. Тогда

те

(k(A, z), Sj(A)) = £ Ck(z)(k(A,zk),Sj(A)), k=1

следовательно, 5?^) = с?(z). Поэтому 5? ^. Заметим, что Zfc, к = являются простыми нулями функции 5?(z). В самом деле, если бы для некоторого т = ] величина 5?^т) обращалась бы в 0, то функция ^ — zm)Sj(z)/(z — zm), лежащая в Н (в силу (2)), обращалась бы в 0 в точках Zfc, к = , и равнялась бы 1 в точке Zj, то есть во всех точках Zfc, к = 1, 2, 3,..., совпадала бы с функцией 5? (z). Но в силу полноты системы {к(А^)} в пространстве Н система точек Zfc, к = 1, 2, 3,..., является множеством единственности для пространства Н. Тем самым, функции ^ — zm)Sj^)/^ — zm) и 5?(z) должны были бы совпадать тождественно.

Функция Ь^) = 51^)^ — z1) является целой функцией. Точки Zfc, к = 1, 2,..., — ее простые нули. Очевидно,

Ь^)

S1(z)

При j > 1

L'(z1)(z — z^’

L(z) _ S1(z) + S1(z)(zj— z1) є H

Ь(^)(z — zj) Ь' (*7) Ь' (*7)(z — ^)

и совпадает с 5?(z) во всех точках Zfc, к = 1, 2,.... Снова в силу полноты системы {к(А, Zfc)}

5 <г) = ^ = 23--

поэтому

оо

^Ц щі-тг є с

Пользуясь (3), получим утверждение теоремы. Изложенное выше на самом деле означает, что система

Ц(*) , = 12

і'(гу)(* - ) ’ ’ ’ ’

есть биортогональная система к исходной системе из воспроизводящих ядер.

Теорема 1 доказана. □

Теорема 3.

Доказательство. По условию теоремы для любого * выполняется оценка

£ * рк (*)• (7)

Поскольку множество В конечно, то существует такой номер п, что

к(*„) . ( к(*)

— Ш1П '

^'^рт2Ы *еБ V^'^рт^о)/ ■

По пункту 3 теоремы 2 для точек z, лежащих на границе круга В ^га, —^т^га)^, справедлива оценка

—К (г) < 202 рз К Ы^МГ2 56Р8 ( ’ < |Ь'(;„)|2т2(;„)

или

К(z) ^ л2е8-г>11 К

|Ц(*)|2 |Ц'(*п )|2т 2 (*„)'

Отсюда и из оценки (7) получим

42 58011 К (*п) ^ __ К (гі)

І Г'(~ ) 12т2(* ) - р |Г'

|Ц'(*„)|2Т2(*„) р ^ |Ц'(*І)|21* - *і|2’

Следовательно, для точек z, лежащих на границе круга В ^п, —^т,

4258р 12 К Ы т ^

|ЬЫ|2т2Ы - ^ №)|2т*(*) ' |z — *|2. Учитывая выбор номера п, для точек z на границе В ( zn, —^т) имеем

V 20 Р 2 4 V

4258 р 12 К^ К(^га) т

|Ь/(zra)|2т2(zra) - |Ь/(zra)|2т2(zra) ^Б |z — Zi|2

или

У < 4258Р12. (8)

^ Ь — Zj |2 _

^€Б 1 0 1

По пункту 2 теоремы 2 для указанных точек z при г = п выполняется оценка

1 11 11 1 т(Zn) | I 3| |

р — ^ < |z — ¿П + рта — ^ = 3 + рта — ^ < Хрп —

20Р 2 2

поэтому из (8) вытекает требуемая оценка

Е

< (4Р) .

Теорема 3 доказана. □

Следствие из теоремы 3.

Доказательство. Поскольку для точек г € В(2^,6т(¿¿)) имеем

1 г — 1 > 1 гг — 1 — 1 г — гг1 > 2 1 г — 1,

то

¿ш(г) 4пЬ2т 2 (гг)

'В(.г;,Ьт(.г;)) |г — ^га|2 |гг — |2

Тогда

Е / < 4пЬ2(4Р)12 =400р5(4Р)12 < 410Р9.

¿іЄВ^п-'^Ьт(*)) |г - ¿п| 400Р

□

Теорема 4.

Доказательство. Воспользуемся следующим утверждением (см. [11], стр. 216).

Лемма (Лемма о покрытиях шарами)

Пусть множество А С Кр покрыто шарами так, что каждая точка х Є А является центром некоторого шара Б(х) радиуса г(х). Если вир^^ г(х) < то, то из системы (5(х)} можно выделить не более чем счетную систему (Б(хк)}, покрывающую все множество А и имеющую кратность, не превосходящую некоторого числа N(р), зависящего только от размерности пространства.

Нетрудно убедиться в том, что N(2) = 6.

Проведем доказательство от противного: допустим, что условия теоремы выполнены, но в пространстве Н существует безусловный базис из воспроизводящих ядер (к(А,гг)}. Тогда верны теоремы 1,2 и 3. В условии доказываемой теоремы положим р = 1п(5Р) и пусть т (г) = т (1п К (А), г, 1п(5Р)).

Выберем произвольное є > 0, и число К будем считать таким большим, чтобы выполнялось условие

тах т(г) < єК. (9)

Такие К можно найти по условию на т(г). В самом деле, найдется К' такое, что при |г| > К' будет выполняться т(г) < є|г|. Если взять К > , то при |г| Є [|К; К] будем

иметь т(г) < є|г| < єК. По лемме 1 выполняется соотношение т(г) < т(0) + |г|, поэтому если |г| Є [т(0); |К], то т(г) < 2|г| < єК. Наконец, выбирая К больше, чем 1 тах|^|<т(0) т(г), получим соотношение (9).

Рассмотрим систему кругов В(А, 2т(А)), А Є В(0,К). По п.1 теоремы 2 в каждом из этих кругов содержится хотя бы одно гг, и эти круги покрывают весь круг В(0, К). По лемме о покрытиях шарами можно выделить не более чем счетный набор кругов Вп = В(Ап, 2т(Ап)), покрывающих круг В(0,К), при этом каждая точка этого круга попадает не более чем в N(2) = 6 кругов покрытия. В каждом из кругов Вп выберем по одному гг(п). При этом некоторые гг(п) могут оказаться выбранными неоднократно, но по свойствам выделенного покрытия кратность выбора одного показателя не больше шести. Перенумеруем систему выбранных показателей, присвоив им номер круга, в котором данный показатель выбран. Получим набор чисел {и>га}, в котором каждое число повторяется

не более шести раз. К полученному набору применим теорему 3. Найдется номер m так, что с учетом кратности будет выполняться оценка

£ Т2(ТО,1) ,2 < 6(4P)12. (10)

В наших обозначениях wn G Bn = Bn(An, 2т(An)). Далее рассмотрим такие n, что

wm G ВП = Bn(An, 3т(An)). Тогда для любого w G Bn имеем |w — wm| > т(An). Кроме того,

|wn — Wm| ^ |wn — w| + |w — Wm| < 4т(A„) + |w — Wm| < 5|w — Wm|,

или

1 25

"j ¡"2 < "i ¡"2 , w G Bn, wm G Bn .

| w — wm|2 |w„ — wm|2

Интегрируя это неравенство по кругу Bn, получим

[ dm(w) ^ Шпт2^) _ л D/

— I |2 , wm G Bn.

JBn |w — wm|2 |wra — wm|2

Так как wn G B(An, 2т(An)), то по условию (6) т2(wn) > Ь2т2(An). Таким образом, из последней оценки и из (10) следует соотношение

Г dm(w) ^ 100п т2(wra) ^ 600(4P)12 = ^ щ)

JB |w — wm|2 “ b2 |wn — wm|2 “ b2

wn=wm(/B;•7B" | m| wn=wm(/B; | n m|

Если номер n такой, что wm G ВП, то для любого w G Bn имеем

|w — wm| < |w — An| + |wm — An| < 2т(An) + 3т(A„) = 5т(A„).

По выбору числа R имеем |w — wm| < 5eR, то есть круги Bn полностью лежат в круге В(wm, 5eR). Это значит, что круги покрытия, номера которых участвуют в суммировании в (11), покрывают множество C(R) = В(0,R) \ B(wm, 5eR). Следовательно,

Г dm(w) < C

•/с(Д) |w — wm|2

Применим замену переменных w = RZ, wm = RZm, Cm G B(0,1 + 2e), получим

i dm(z )

'B(0,1)\B(Çm,5e) IC — Cm|2

< C.

Число е > 0 было выбрано произвольно, устремив е к нулю, получим противоречие.

Теорема 4 доказана. □

4. Весовые гильбертовы пространства целых функций

В этом параграфе мы рассмотрим более конкретные гильбертовы пространства.

Предварительно докажем утверждение, которое при некоторых условиях на субгармоническую функцию и позволяет связать асимптотическое поведение характеристики т(и, г,р) с поведением оператора Лапласа функции и.

Лемма 2. Пусть субгармоническая на плоскости функция и дважды непрерывно дифференцируема, и для любого числа р > 0 существует число Ь = Ь(р) > 1 такое, что выполняется условие

1 < ^ < Ь, т € В (г, У8РЬ(Аи(г))-1). (12)

Ь Аи(г)

Тогда выполняются оценки

8р < т(u,z,p л8р-ч. (13)

bAu(z) ’ у Au(z)

Доказательство. Для краткости введем обозначение p(z) = (Au(z)) 2. Как уже отмечалось, величину т = т(u, z,p) можно определить из условия

max (Hu(w) — u(w)) = 2p,

w€B(z,T)

где Hu — наименьшая гармоническая мажоранта функции u в круге B(z, т). По формуле Грина

hu(w) — u(w) = / G(w,Z )dp.„(Z),

J B(z,r)

где hu — наименьшая гармоническая мажоранта функции u в круге B(z,r), G(w,Z) — функция Грина этого круга и — ассоциированная мера функции u. В нашем случае 2nd^u(Z) = Au(Z)dm(Z), значит, величину т можем определить из условия

max [ G(w,Z)Au,(Z) dm(Z) = 2p.

®eB(z>T U B(z,T) 2n

Если положить r = p(z) (r < V8pb(Au(z))-2), то

max f G(w,Z )—^^ dm(Z) < bAu(z) max f G(w,Z)dm(Z).

w£B(z,ry B(z,r) 2n w£B(z,ry B(z,r) 2n

Функция v(w) = |w — z|2 субгармонична, ее ассоциированная мера тождественно равна 2, а наименьшая гармоническая мажоранта в круге B(z,r) тождественно равна r2, поэтому

max f G(w, Z)1 max (r2 — |w — z|2) = ^.

w€B(z,r) JB(z,r) 2n 4 w£B(z,r) 4

Таким образом,

max f G(w,Z)Au(Z)dm(Z) < ^Au(z),

wGB(z,ry B(2)r) 2n 4

и в условиях теоремы

max i G(w,Z)Au,(Z) dm(Z) < -7-Au(z) = 2p.

w€B(z,r) JB(z,r) 2n 4

Отсюда следует нижняя оценка для т = т(u, z,p).

Аналогично, взяв r = \/8p&p(z), получим оценку:

max [ G(w,Z)AuZ)dm(Z) > max f G(w,Z)>

B(z,r) 2n - weB(z,r) JB(z,r) 2n

Au(z) r2

> ^ ■ т =

Отсюда следует верхняя оценка для т = т(u, z,p). □

Покажем, что теоремы 4 и 5 позволяют единообразно описывать ситуации отсутствия

безусловных базисов в различных пространствах.

А) В работе [9] доказано, что если <^(z) = <^(|z|) — субгармоническая дважды непрерыв-

_ 1

но дифференцируемая на плоскости функция и для p(z) = (A^(z)) 2 выполнены условия:

0 < inf p(r) и p(r) = o(r), r ^ то, (14)

r>0

а также

р(г + р(г)) = (1 + о(1))р(г), г ^ то и р(2г) х р(г), г > 0, (15)

то в пространстве (4) безусловных базисов из воспроизводящих ядер не существует. Условие р(2г) х р(г), г > 0 означает, что найдутся константы с, С > 0, такие что

с<РМ <с р(г)

для всех г > 0.

Условия (14) означают, что <^(ж) растет быстрее, чем (1пж)2, и не быстрее, чем ж2 при х ^ то.

Из выполнения (15) следует, что для <^(г) выполнено условие (12) леммы 4.1, а значит, выполняются оценки (13).

Тогда из условий (14) следуют оценки:

8р < т(1пК(Л),;,Р) < 1 8рЬ

6А^(г) ’ ’ у А^(г)

Таким образом, выполняются предположения теоремы 4, что означает отсутствие безусловных базисов из воспроизводящих ядер.

Б) Рассмотрим пространство Смирнова £2(0) и пространство Бергмана В2(0), где О — ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости.

Пространство £2(0) — это пополнение пространства полиномов относительно нормы

||р||2 =/ |р(г)|2 Ж^),

./дд

где ^з(г) — элемент дуги границы О.

Пространство В2(0) состоит из функций, аналитических в области О и интегрируемых с квадратом по плоской мере Лебега:

В2(О) = {/ е Н (О): / |/(г)|2 ¿т(г) < то}.

JD

Система {еЛг, Л е С} полна в этих пространствах. Это обстоятельство позволяет описать сопряженные пространства £2(0) и В^(О) в терминах преобразований Фурье-Лапласа. Каждому линейному непрерывному функционалу Б в этих пространствах поставим в соответствие целую функцию Б'(Л) = Б(еЛг), Л е С, которая называется преобразованием Фурье-Лапласа функционала Б.

В работе [12] показано, что преобразование Фурье-Лапласа устанавливает изоморфизм пространства £2(0) и гильбертова пространства целых функций £2(0) с нормой:

ГГ2п |Р(ге^) I2

|И|2=X X да-(16)

где

А(^) = Л,(а)^а + Л/(^), ^(^) = тахДеге*^,

.70

к(Л)= ||ел*Ц2(д) =/ |ел*|2 Ж(*).

•Удд

В работе [13] доказан изоморфизм пространства В; (О) и гильбертова пространства целых функций В2(0) с нормой, которая задается формулой (16), где

к (Л)= ||еЛ* |||2(Д) = |е^ |2 ¿ш(*). (17)

т

Благодаря этому, задачи о безусловных базисах из экспонент {еЛк^}£=1 в пространствах £2(0) и В2 (О) оказываются эквивалентными задачам о безусловных базисах из воспроизводящих ядер в сопряженных пространствах целых функций.

В работе [7] доказано, что если на границе области есть точка с конечной ненулевой кривизной, то в пространстве Бергмана безусловные базисы из экспонент не существуют. Это может быть выведено из теоремы 5, так как функция Бергмана в сопряженном пространстве совпадает с функцией (17) и в некотором угле комплексной плоскости т(Л) х уТЛ (см. лемму 7 в [7]).

В работе [14] доказано, что если на границе области есть дуга, в точках которой кривизна отграничена от нуля и от бесконечности постоянными, то в пространстве Смирнова безусловные базисы из экспонент не существуют. Эта теорема аналогичным образом может быть получена из теоремы 5.

В) Пусть I — ограниченный интервал вещественной оси, Л(£) — выпуклая функция на этом интервале и £2(1,Л) — пространство локально интегрируемых функций на I, удовлетворяющих условию

|/(¿)|2е-2Л,(4) ^ < то.

В работах [15], [16], [17] описано пространство Ь2(1, Л). Доказано, что пространство Ь2(1, Л) изоморфно (как банахово пространство) пространству целых функций Р, удовлетворяющих условиям

|Р(г)| < С^/К(г), г е С.

||Р||2 = / / |Р(К+;У)| ^/(ж)^У < то,

Л Л К(ж)

где

K (z) = |e2zt|e-2h(t)dt, (18)

h(x) = sup(xt — h(t)). te/

Таким образом, задача о безусловных базисах из экспонент в пространстве L2(I, h) оказывается эквивалентной задаче о безусловных базисах из воспроизводящих ядер в сопряженном пространстве целых функций L2(I, h), и функция Бергмана в нем определяется по формуле (18). Значит, теорема 4 или теорема 5 могут применяться как тест на отсутствие безусловных базисов из экспонент в пространстве L2(I, h).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. N. Aronszajn Theory of reproducing kernels // Transactions of the American Mathematical Society. 1950. V. 68, № 3. P. 337-404.

2. Никольский Н.К., Павлов Б.С., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер, I // Препринт ЛОМИ. C. 8-80.

3. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 448 с.

4. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.

5. K. Seip Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space, I // Reine Angew. Math. 429 (1992). P. 91-106.

6. K. Seip, R. Wallsten Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space,

II // Reine Angew. Math. 429 (1992). P. 107-113.

7. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Об отсутствии безусловных базисов из экспонент в пространствах Бергмана на областях, не являющихся многоугольниками // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. T. 71, № 6. C. 69-90.

8. A. Borichev, R. Dhuez, K. Kellay Sampling and interpolation in large Bergman and Fock spaces // Journal of Functional Analysis 242 (2007), №2. P. 563-606.

9. A. Borichev, Yu.Lyubarskii Riesz bases of reproducing kernels in Fock type spaces // Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 9 (2010). P. 449-461.

10. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций // Сиб. мат. ж. 1985. Т.26, № 4. С. 159-175.

11. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. M.: Наука,1966.

12. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Винера-Пэли на функционалы в пространствах Смирнова // Тр. МИАН, 200 (1991), 245-254.

13. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. T. 68, № 1. C. 5-42.

14. Луценко В.И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. 1992.

15. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Матем. заметки. 1990. T. 48, № 5. C. 80-87.

16. Луценко В.И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале // Исследования по теории приближений. Уфа, 1989. С. 79-85.

17. Напалков В.В., Башмаков Р.А., Юлмухаметов Р.С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // ДАН. 2007. Т. 413, № 1. C. 20-22.

18. Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. О безусловных базисах из экспонент в гильбертовых пространствах // Уфимский математический журнал. 2011. T. 3, № 1. C. 3-15.

Константин Петрович Исаев,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: orbit81@list.ru

Юлмухаметов Ринад Салаватович,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: Yulmukhametov@mail.ru