О полноте систем экспонент в выпуклой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 1 (2018). С. 78-82.

УДК 517.5

О ПОЛНОТЕ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЫПУКЛОЙ ОБЛАСТИ

A.A. МАХОТА

Аннотация. Работа посвящена исследованию вопроса полноты системы экспонент в пространстве аналитических функций в выпуклой области. Задача о полноте систем экспонент в различных функциональных пространствах является классической и изучалась в работах многих математиков: Б.Я. Левина, А.Ф. Леонтьева, A.M. Седлецкого, Б.Н. Хабибуллина, P.C. Юлмухаметова и др.

Доказана теорема о том, что задача о полноте системы экспонент в пространстве аналитических функций в выпуклой области эквивалентна задаче о полноте системы экспонент в пространстве аналитических функций в круге, радиус которого зависит от свойств данной выпуклой области. А также рассмотрен пример, в котором в качестве выпуклой области выступает эллипс. При этом были найдены значения опорной функции эллипса и радиус соответствующего круга.

Ключевые слова: полнота системы, выпуклая область, целая функция, преобразованием Фурье-Лапласа.

Mathematics Subject Classification: 30D20

Пусть D — ограниченная, выпуклая область на комплексной плоскости и Н(D) — пространство аналитических в D функций с топологией равномерной сходимости на компактах. С каждым множеством комплексных чисел Л = }, в которое чиела могут входить с некоторой кратностью Пк & NU{0} к = 1, 2,..., связывается система экспоненциальных мономов

ехрЛ = {Xj еХк х, к = 1, 2,..., j = 0 ,...,пк}.

Кратность Пк = 0 означает, что число \к входит в Л ровно один раз.

Задача о полноте такой системы в пространстве Н(D) и в других функциональных пространствах относится к классическим задачам и послужила объектом исследований многих авторов [1]-[9]. Мы показываем, что если граница области D достаточно гладкая, то задача о полноте системы ехрЛ в пространетве Н(D) эквивалентна задаче о полноте некоторой системы ехрЛ' в простране тве Н (К), где К — круг, радиус которого будет зависеть от свойств области D.

Для любого линейного непрерывного функционала S на пространстве Н(D) через S(\) = S(eXz) обозначим преобразование Фурье-Лапласа этого функционала. Как известно, отображение L : S —> S устанавливает взаимно однозначное соответствие между

A.A. Makhota, On completeness of exponential systems in convex domain.

© Maxota A.A. 2018.

Поступила 12 октября 2017 г.

еопряженнным пространством Н*(И) и пространством целых функций Р, удовлетворяющих для некоторого е = е(Р) > 0 оценке

(гег<р)1 < Сот1.е(1г((р)-£)г, гег* е С. (1)

Здесь

Ь,(ф) = ша^Ее

— опорная функция области Д. Известно, что 3(к)(Х) = Б(гкеХг), Таким образом, по теореме Банаха о полноте система ехр Л те полна в проетранетве Н(И) тогда и только тогда, когда найдется целая функция, которая при некотором е > 0 удовлетворяет условию (1) и имеет пули кратности Пк в точках , к = 1,2,...

В работе мы рассматриваем области с дважды непрерывно дифференцируемой опорной функцией. Положим

М = шах (Ь!'(ф) + Ы(ф)). (2)

Из геометрической интерпретации опорных функций следует, что М — это максимальный радиус кривизны в точках границы области И (см. [1], стр. 108). Суммой Л' + Л'' двух наборов Л' = {(Л'д,)} и Л'' = {(А^,га^)} будем называть объединение множеств Х'к, Х'1, к = 1, 2,..., с кратностью или т^ если точка попадает только в один из наборов, и с суммарной кратностью, если какая-то точка попадает в оба множества.

В дальнейшем воспользуемся следующей теоремой А из работы [2].

Теорема А. Пусть и субгармонична на всей плоскости и имеет конечный порядок роста, р. Тогда существует целая функция / такая, что для, любого 7 > р

1и(г) — 1п |/(г)|| < с11п |г|, г е Е1,

причем, исключительное множество Е1 может быть покрыто кругами {г : |г — | < rj} та,к, что

^ г, = о(Кр-1), К —

Если число М определено по формуле (2), то функция

и(ге1^) = Мг — Н(ф)г (3)

Аи(ге^) = -(М — Ы{ф)) — гЫ\ф) = -(М — Ы{ф) — Ы\ф)) > 0.

субгармонична на всей плоскости. В этом легко убедиться, если воспользоваться выражением оператора Лапласа в полярных координатах

1....... 1 ..... 1

В дальнейшем через Ь будем обозначать какую-нибудь одну фиксированную целую функцию, удовлетворяющую условиям теоремы А с функцией и, определенной в (3) (при р = 1). Через Л0 обозначим множество пулей функции Ь с учетом кратности.

Теорема 1. Система экспонент ехр Л не полна в пространстве Н(И) тогда, и только тогда, когда, си,стем,а, ехр(Л+Л0) не полна в пространстве Н(Км), где Км — круг радиуса М с центром в нуле.

80

А. А. МАХОТА

Доказательство. Если система ехрЛ не полна в пространстве Н(И), то, как отмечалось выше, найдется целая функция Е, удовлетворяющая условию (1) и обращающаяся в нуль в точках \к € Л с кратностью Пк■

Рассмотрим функцию С(г) = Е(г)Ь(г). Она обращается в нуль на множестве Л + Ло с соответствующими кратностями и вне множества Ех удовлетворяет оценке

\С(гег^)\ ^ \Е(г)Ь(г)\ ^ Се(1г^)-е)ге(м-^)+%)г = Се(м)г, (4)

где г' = |, Множество Ех по теореме А покрывается кругами со сходящейся суммой радиусов. Пусть сумма радиусов кругов некоторого покрытия равна А. Для произвольной точки г € С проведем проекции кругов покрытия вдоль окружностей С(г,Ь) = {т : и> = г + Ье1^, у € [0; 2^]} на луч г + т, т > 0,

Рис, 1, Проекции окружностей

Такое геометрическое рассмотрение показывает, что можно найти окружность С(z,t) с t G [0; ЗА], которая не пересекается с кругами покрытия и, значит, с исключительным множеством Е1. Тогда на этой окружности выполняется оценка (4), По принципу максимума имеем

|G(z)| ^ Сexp( max (М - е')М) < С'е(м-е')N.

wec(z,t)

Поскольку функция Ъ1(ф) = М есть опорная функция круга Км, то мы получаем, что система ехр(Л + Л0) не полна в пространстве Н(Км)■

Пусть теперь обратно: система ехр(Л + Л0) не полна в пространстве Н(Км)■ Это значит, что найдется целая функция G, удовлетворяющая оценке

№)| < Се(м

при некотором е > 0 и обращающаяся в нуль на множестве Л + Л0, Тогда функция

G(z)

F (z)

L(z)

является целой.

Из оценок на функции L и G получим, что вне множества Е1 выполняется оценка |F(z)| ^ Const.rcе(м-£)re(-M+h(^))r < Const.e^-2)r.

Так же, как и выше, эту оценку можно продолжить на вею плоскость. При этом нужно воспользоваться свойством опорных функций

Щфг — < шах Iгег<р — I , гег<р,ге^ е С.

Таким образом, система ехрЛ те полна в пространстве Н(Б). Теорема 1 доказана. Приведем пример.

Рассмотрим в качестве выпуклой области И эллипс

х^ + у2 = 1

□

а

2

Ь2

Опорная функция h(<p) области D в данном случае имеет вид:

h(^) =

Нам необходимо найти М = max (h" (ф) + h(ф)) < <х>. Для этого найдем первую, вторую

и третью производные опорной функции h(<p). Сделаем замену

h(^) =

а2(1 + cos 2<р) b2(1 - cos 2ф)

2

2

f-

+ b2 a2 - b2

cos 2ф.

Обозначим

A :=

a2 + b2

; В

-b2

Откуда получаем

Найдем

Получаем, что

h' '(ф

h(ip) = sjА + В cos 2<р

- (А + Вcos2ф)2 + А2 - В2

(А + В cos 2ф)

3/2

М = max Ш'(ф) + h(tp)) = —.

Таким образом, максимальный радиус кривизны в точках на границе области D равен а2

М = —. И система экспонент ехрЛ не полна в пространстве функций аналитических в b

эллипсе тогда и только тогда, когда система ехр(Л + Л0) не полна в пространстве функций

аналитических в круге радиуса м = — с центром в нуле,

b

2

2

2

а

2

2

82

A.A. MAXOTA

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левин Б.Я. Распеределепие корней целых функций. Гос. изд.-во тех.-теор. лит. М: 1956. 632с.

2. Юлмухаметов P.C. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica, 1985. T. 11. С.257-282.

3. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды, экспонент. М.: Наука. 1983. 175 с.

4. Напалков В.В., Румянцева A.A., Юлмухаметов P.C. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // ДАН, 2009. Т. 429, № 2, С. 155-158.

5. Напалков В.В., Румянцева A.A., Юлмухаметов P.C. Полнота систем экспонент в весовых пространствах на вещественной оси // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 1, С. 97-109.

6. Луценко В.И., Юлмухаметов P.C. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Математ. заметки. Т. 48, выи 5. 1990. С. 80-85.

7. Румянцева A.A. Асимптотика 6-субгармонических функций и их ассоциированных мер // Уфимский мат. журнал, 2010, Т. 2, № 3, С. 83-107.

8. Седлецкий A.M. Классы, аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит. 2005. 504 с.

9. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа. РИЦ БашГУ. 2006. 171 с.

Алла Александровна Махота, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]