Критерии квазианалитичности типа салинаса-коренблюма для областей общего вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 28-40.

УДК 517.53

КРИТЕРИИ КВАЗИАНАЛИТИЧНОСТИ ТИПА САЛИНАСА-КОРЕНБЛЮМА ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ

ОБЩЕГО ВИДА

Р.А. ГАЙСИН

Аннотация. Доказан критерий квазианалитичности в граничной точке области достаточно общего вида (необязательно выпуклой и односвязной), если вблизи данной точки область в некотором смысле близка к углу или сравнима с ним.

Ключевые слова: класс Карлемана, регулярные последовательности, билогарифми-ческое условие квазианалитичности.

Mathematics Subject Classification: 30D60.

1. Введение

Пусть {Mn}^= о — последовательность положительных чисел. Некоторые из чисел Mn могут быть равны +ж, но предполагается, что существует бесконечное число конечных Mn. Классом C{Mn} называется множество всех бесконечно дифференцируемых функций f, заданных на отрезке I = [a, b], (—ж ^ а < b ^ +ж), для каждой из которых существует постоянная Kf, такая, что [1]

sup |f (n)(x) ^ Kf?Mn (n > 0).

a<x<b

В общем случае I может быть интервалом или полуинтервалом.

В 1912 году Ж. Адамаром был поставлен следующий вопрос [1]: каковы должны быть числа Mn, чтобы для всяких двух функций f и ^ из класса C{Mn}, для которых в некоторой точке х0 интервала I = (a, b) при всех n > 0

f (n)(xo) = <?w(xo),

следовало бы, что f (х) = <^(х) (а < х < b)?

Было замечено, что это во всяком случае так, если Mn = n!. Дело в том, что в этом случае класс C{n!} совпадает с классом вещественно аналитических на интервале (a,b) функций [1]. В силу аддитивности классов C{Mn}, проблема Адамара может быть сформулирована и в такой форме: каковы должны быть числа Mn, чтобы класс C{Mn} был квазианалитическим, то есть всякая функция f Е C{Mn}, для которой в некоторой точке Хо Е I

f (n)(xo) = 0 (n > 0),

тождественно равнялась нулю.

R.A. Gaisin, Quasianalyticity criteria of Salinas-Korenblum type for general domains.

© ГАйсин Р.А. 2013.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0358 "Развитие новых направлений спектральной теории и теории функций, их приложения в задачах математической физики и нелинейной динамики".

Поступила 15 апреля 2013 г.

Проблема квазианалитичности Адамара для отрезка (интервала, полуинтервала) I полностью решается так называемой теоремой Данжуа-Карлемана. Одна из эквивалентных ее формулировок, принадлежащая Островскому, следующая [1], [2]: для того чтобы класс С{Мп} был квазианалитическим, необходимо и достаточно, чтобы

СЮ

[ 1п Т(г) _

' -^г = +оо.

r2

1

sup |/(n)(z)| ^ Cf Mn (n > 0).

zee

Предположим, что область G обладает тем свойством, что все производные /(n) (n > 0)

Здесь Т(г) = sup МГ— — функция следа последовательности {Мп}.

п>0 "

Пусть С — некоторая область комплексной плоскости. Через Н(С, Мп) обозначим класс функций f, аналитических в области С и удовлетворяющих условиям:

,/(п)'

хеС

(п)

функции f Е Н(С, Мп) непрерывно продолжаются до границы дС. В этом случае класс Н(С, Мп) называется квазианалитическим в точке г0 Е дС, если из того, что f Е Н(С, Мп) и f(п)(г0) = 0 (п > 0) следует, что f = 0 [3].

Сделаем краткий обзор результатов, связанных с проблемой квазианалитичности класса Н(С, Мп), и сформулируем задачу, которая здесь будет обсуждаться.

Как известно, задача о квазианалитичности класса Н(Д7, Мп) для угла

П

Д7 = {г : |агдг| < —, 0 < |г| < то} (1 < 7 < то)

впервые была поставлена и решена Р. Салинасом в 1955 г. [4]: класс Н(Д7, Мп) является квазианалитическим в точке г = 0 тогда и только тогда, когда выполняется условие

СЮ

Ли Т(г) ,

Ч ^г = +то.

] г1+1+7 1

Следует заметить, что теорема Островского является предельным случаем теоремы Р. Салинаса (при 7 ^ то).

Задача о квазианалитичности класса Н(К, Мп), где К — круг, в свое время была решена Б. И. Коренблюмом [5]. Им доказано следующее утверждение: класс Н(К, Мп) квазиана-литичен в граничной точке тогда и только тогда, когда

Ю

Пи Т (г)

---И- = +то.

3 г 2

1

Условие, необходимое и достаточное для квазианалитичности класса Н(Д,Мп) в граничной точке произвольной выпуклой ограниченной области Д, установлено Р. С. Юлму-хаметовым в [3]. Приведем этот результат.

Пусть Д — выпуклая, ограниченная область комплексной плоскости, лежащая в левой

полуплоскости и 0 Е дД. В этом случае опорная функция Л-(^) = шахКе(Лег^) области Д

Ае^

неотрицательна и обращается в нуль в некотором отрезке [а_, а+] (—п < а_ ^ 0 ^ < п).

Пусть это — наибольший отрезок, на котором Л-(^) = 0. Положим

Д+Ы = ^ - | ^(^) + ^ й(а)^ , а+ ^ р ^ 2;

Д-(<£) = — ^а- — ^ ^к (<^) + j ^(а)^а^ , — — ^ ^ ^ а_.

Через ^(г) обозначим функцию, обратную к функции

(2п - A+1(y) + A-1 (y))dy (-п + A-1(y) - A-1(y))y

/ \ / (2П A+ (y) + A- (У))аУ п . п

v1(x) = exp I ---------- —д+-^ ---- 1 N , x ^ 0,x1 > 0.

Теорема 1. [3] Если к'(ст±) = 0, то класс Н(Д,Мп) является квазианалитическим в

точке г = 0 тогда и только тогда, когда

СЮ

Пп Т(г) ,

, , 2 аг = +то.

7 ^(г)г2 1

Возникает задача: для областей достаточно общего вида (необязательно ограниченных, выпуклых и односвязных) найти критерии квазианалитичности, которые явно зависят только от заданной последовательности {Мп}, причем для регулярных последовательностей допускают переформулировку в виде билогарифмического условия Левинсона? Выяснению этого вопроса и посвящена настоящая статья.

2. История вопроса. Определения и предварительные факты Пусть {Мп} — положительная последовательность чисел Мп, удовлетворяющая условию Мп ^ то при п ^ то. Можно считать, что М0 = 1. Последовательность {Мп} называется логарифмически выпуклой, если выполняется условие: МП ^ Мп-1Мп+1 (п > 1). Хорошо известно, что логарифмически выпуклая последовательность {Мп} полностью определяется функцией следа Т(г), причем [1], [2]

Mn = sup-— (n > 0).

r>0 T (r)

Поясним геометрический смысл логарифмической выпуклости последовательности {Мп}. Для этого, логарифмируя неравенства МП ^ Мп-1Мп+1, получим, что

1п Мп ^ 11п Мп_1 + 11п Мга+1 (п > 1).

Отсюда видим, что условие логарифмической выпуклости последовательности {Мп} означает, что точка (п, 1п Мп) лежит не выше отрезка, соединяющего точки (п — 1,1п Мп-1) и (п + 1, 1п Мп+1) (п > 1).

Через {МС} обозначим последовательность, полученную из {Мп} путем выпуклой регуляризации посредством логарифмов (см., например, в [1], [2], [6]).

В статье [7] приведены критерии квазианалитичности класса Карлемана Н(Д7, Мп) для угла

—

2?

в формах, явно связанных с заданной последовательностью {Мп} (или {М,С}), а именно, доказана

Ay = {z : |arg z| < —, 0 < |z| < то} (1 < y < то)

Теорема 2. [7] Для того чтобы класс Н(Д7, Мп) был квазианалитическим в точке г = 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из эквивалентных условий:

СЮ

1) I ^Y dr = то, где T(r) = sup мП (критерий Р. Салинаса);

-1 r 1+7 n

n> 0

X

n=0

n + 1

^ 1

3) Y1 = то, где вп = inf Mk.

n=0 вП+ k>n k

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о билогарифмическом условии квазианалитичности для угла. Для этого, следуя работе [8], введем в рассмотрение присоединенную последовательность {mn}, где mn = Mp. Здесь {Mn} — любая положительная последовательность чисел. Теперь дополнительно предположим, что последовательность {Mn} подчинена следующим требованиям:

а) тП ^ m„_imn+i (n > 1);

1 n

sup(П < то’

n V /

n

1

в) тП то, п то.

Если выполнены условия а) - в), то последовательность {Мп} называется регулярной. Условие а) — это условие логарифмической выпуклости последовательности {тп}. Отметим также, что из условия б) вытекает замкнутость класса С{Мп} относительно операции дифференцирования. Из условия в) следует, что класс Карлемана С{Мп} содержит и аналитические функции. Для регулярной последовательности {Мп} введем так называемый ассоциированный вес [8]

гп

^(г) = вир —.

п>0 тп

Из условия а) следует, что М^ ^ Мга-1Мга+1, то есть последовательность {Мп} логарифмически выпукла (это проверяется непосредственно). Поэтому согласно теореме Данжуа-Карлемана класс С{Мп} является квазианалитическим тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из следующих эквивалентных условий [1], [2]:

СО

,о О 1пТ(г) « 2° >0 Мга

1°. ---о—«г = то; 20. } —— = то.

/г2 ’ ^ Мга+1

„2

n=0

i

Для регулярной последовательности {Mn}, как показал Е.М. Дынькин [8], условие 20 (следовательно, и условие 10) равносильно билогарифмическому условию Левинсона

d

J lnln h(r)dr = +то,

0

где h(r) = w(I), а величина d > 0 выбрана таким образом, что h(d) > e. Здесь

hf \ 1 Mn ^

h(r) = sup-----, mn = —-, r > 0.

n>0 mnrn n!

Ясно, что h(r) — убывающая функция, lim h(r) = то. Поскольку последовательность

r^0

{mn} логарифмически выпукла, то имеет место обратное представление:

1

mn = suP nw ч (n > 0). r>0 rnh(r)

Справедлива следующая

Теорема 3. [7] Пусть последовательность {Mn} (n > 0) положительных чисел Mn

Y

такова, что измененная последовательность {Mn}, M* = Mn+7 (1 < 7 < то) является регулярной. Тогда класс H(Д7, Mn) квазианалитичен в точке z = 0 тогда и только

то;

тогда, когда выполняется условие Левинсона

(I

/

1п1п Л,(г)^г = +то,

0

где

Отметим, что теорема Данжуа-Карлемана является предельным случаем условий 1) - 3) теоремы 2. Аналог теоремы 3 для отрезка ранее был доказан Е.М. Дынькиным при выполнении билогарифмического условия, получающегося из условия Левинсона (1), если формально положить 7 = то.

3. Критерии квазианалитичности

3.1. Случай выпуклой области. Пусть Д — ограниченная выпуклая область, 0 € дД, к (а±) = 0. Тогда класс Н(Д,МП) квазианалитичен в точке г = 0 тогда и только тогда,

ние и другую, более наглядную формулировку. Чтобы ее привести, введем в рассмотрение некоторые геометрические характеристики выпуклой области. Как известно, опорная функция

представляет собой расстояние от начала координат до касательной прямой к области Д, перпендикулярной направлению |гв-г^,г > 0}. Будем считать, что система координат выбрана таким образом, что наибольший отрезок, на котором Л-(^) = 0, имеет вид [-а, а], где а > 0. Отметим, что при этом а < п. Если а = п, то область вырождается в отрезок отрицательной полуоси.

Выберем на границе области Д направление против часовой стрелки и введем натуральную параметризацию границы:

где в0 — общая длина границы Д. Таким образом, длина дуги границы от точки г = 0 до точки г(в) (в выбранном направлении) равна в.

Как и в работе [9], через — а_(в) (0 ^ в < в0) обозначим угол наклона касательной прямой к границе Д в точке г(в) к мнимой оси. Тогда функция а_(в) определена всюду на [0, в0), кроме счетного множества точек в, для которых точка г (в) является угловой точкой. Доопределим функцию а_(в) из условия непрерывности справа. По построению, Иш а_(в) = —а. Аналогично, угол наклона касательной в точке г(в0 — в) к направ-«^0

лению мнимой оси обозначим через а+(в). Тогда а+(в) положительна, не возрастает и

Иш а+(в) = а. Положим «^0

когда [3]

ГО

1

Величины Л-(^), а+, а-, Т(г) определены во введении. Этот результат допускает обобще-

Л,(^) = шахКе(Аег^)

лед

Поскольку Иша(5) = а < |, то существует число е > 0, такое, что а(5) < п, 0 ^ 5 < е. Пусть

8-> 0

ч Г п — а(£) „

Д(в) = ехр —--------— а 1п£, 0 ^ 5 < е.

«/ 2 а(^)

£

Положим в(5) = п — 2а(5). Тогда функция в(5) представляет собой величину угла между касательными в точках 2(5) и г(50 — 5), в котором лежит область Д, а функция Д(з) примет вид

в

Я(з) = ехр J —+в)( ) ё 1п^, 0 ^ 5 < е.

£

Справедлива следующая

Теорема 4. [9] Пусть Д — выпуклая, но необязательно ограниченная область,

20 € дД, а

Гп

Т(г) = йир —

га>0

— функция следа последовательности {Мп}. Через в(г0,5) обозначим величину угла между касательными к границе Д, проведенными в точках, удаленных от точки 20 на длину дуги границы, равной 5. Положим

в

Я(г0, 5) = ехр [ —+ в( 0, ) ё 1пх, 0 ^ 5 < е. (2)

в (20,х)

Тогда условие

X

[ 1п Т (г)

-ёг = то (3)

7 г2Д-1(г0,г)

1

является необходимым и достаточным для квазианалитичности класса Н(Д,МП) в точке г0.

В частности, из этой теоремы легко получить упомянутые выше условия квазианалитичности классов Н(Д, Мп) в случае, если Д — круг или угол раствора па, 0 < а ^ 1.

Наша цель — показать, что если выпуклая область Д в граничной точке 20 удовлетворяет некоторому интегральному условию (зависящему от геометрии области), то условие (3) допускает более простую формулировку.

Итак, пусть точка 20 € дД фиксирована. Тогда определенная выше величина угла в(2:0,5), не убывая, стремится к па (0 < а ^ 1) при стремлении параметра 5 к нулю. Учитывая, что в(г0,5) = па для угла, выделим из подынтегрального выражения в формуле (2) слагаемое :

п + в(г0, 5) 1 + а + па — в(г0, 5)

в (г0,5) а ав (20,5)

в

Г па — в(г0,х) ах

Тогда при малых 5 интеграл -----------—----— • — будет мало отличаться от вели] а • в(20, х) х

£

в в

1 Г па — в(г0, х) [ па — в(г0 ,х) ,

чины —- -------------ах. Стало быть, если интегралы --------------------ах

па2 х х

равномерно ограничены при всех 5, 0 < 5 < е, то критерий квазианалитичности класса Н(Д, Мп) в точке 20 € дД примет следующий вид:

1п Т (г)

а + 2 Г а + 1

ёг = +то.

Действительно, это следует из того, что в этом случае

Д(5) = ехр

а

ехр

па — в(г0, х) а • в(г0, х)

где

а + 1

=г ~ (£> ‘ • ехр (п00 •

в в

[ па — в(г0, х)

Г па — в(20, х) .

с = 11ш -------------------ёх

8-> 0 /

ёх.

х

Следовательно, при г ^ то

Д (г) ~ ехр

а

па2 а + 1

х

ег “+1,

и условие (3) принимает вид

1п Т (г)

о------

г2г а + 1

ёг

1п Т (г)

а + 2

г а + 1

ёг = +то.

1 1

Таким образом, для выпуклых областей, для которых величина в(20, 5) подчинена требованию

[ па — в(20,х) , вир ------------------ёх < то,

(4)

х

критерий квазианалитичности класса Н(Д, Мп) в точке 20 € дД совпадает с критериями квазианалитичности Салинаса для угла Да = {2 : | а^ 21 < Пр} (0 < а < 1) и Коренблюма для полуплоскости Д1.

Имеет место

Теорема 5. Пусть Д — выпуклая, но необязательно ограниченная область, 20 € 30,

Т (г) = вир ~П~

п>0 мп

— функция следа последовательности {Мп}. Через в(20,5) обозначим величину угла между касательными к границе Д, проведенными в точках, удаленных от точки 20 на длину дуги границы, равной 5. Предположим, что в точке 20 выполняется условие в

(' па — в(20 ,х)

вир / ---------------ёх < то, па = 11шв(20, 5) (0 < а ^ 1).

£ У х £^0

£

Тогда класс Н(Д,МП) квазианалитичен в точке 20 тогда и только тогда, когда

X

1п Т(г)

а + 2

г а + 1

-ёг = +оо.

в

с

а

£

а

п

Замечание 1. Условие (4) будет, например, выполнено, если

|па — в(г°, в)| = О (в7), 7 > 0

или

|па — в(г°, в)| = О ^ , 7 > 1 при 5 ^ 0.

7

Замечание 2. Для регулярных последовательностей {МП+7} было получено билога-рифмическое условие квазианалитичности в угле, равносильное условию (5) при а = 1. Следовательно, в силу теоремы 5, для выпуклых областей с дополнительным условием (4) в точке г° Е дД билогарифмический критерий квазианалитичности в данной точке имеет тот же вид, что и для угла:

(I

п!

о

1п1пЛ,*(г)^г =+то, Л,* (г) = вир----------------------------------, 1 <7< то.

п>° . М„1+7

Из теоремы 5 вытекает несколько следствий. Приведем их.

Следствие 1. Пусть Да = {г : |п — а^г| < Пр} — угол раствора па (0 < а < 1)

с вершиной в точке г = 0. Тогда, очевидно, в (в) = па, и условие (4) в этом случае

выполняется.

Если положить а = 1, то условие (5) в точности совпадет с критерием квазианалитичности Р. Салинаса для угла

Д7 =< г : |а^ г| <—, 0 < |г| < то> (1 <7< то).

I 27 )

Следствие 2. Пусть К = {г : |г + Я| < Я} — круг. Проверяется, что в этом случае

в (в) = п — 2

причем в(в) Т п (а = 1) при в ^ 0. Так как П , то условие (4) выполняется в

любой точке дК, а соотношение (5) в данном случае (при а = 1) переходит в критерий Коренблюма.

3.2. Области специального вида. Рассмотрим теперь области специального вида — двуугольники Ка. Под двуугольником Ка, следуя работе [10], будем понимать пересечение внешностей или внутренностей двух кругов произвольного одинакового радиуса, окружности которых проходят через точку О — начало координат — и пересекаются под углом раствора па (0 < а < 2). Под К1 будем понимать либо внешность, либо внутренность окружности, проходящей через точку О.

Покажем, что для двуугольника Ка, полученного при пересечении внутренностей двух кругов, условие (4) выполняется. Для этого нам понадобится следующая

Лемма 1. Пусть к окружности произвольного радиуса Я и проходящей через точку

О, а с центром, лежащим ниже оси Ох, проведена касательная в точке А. Пусть, далее, в1 (0 < в1 < §) — угол между касательной и отрицательным направлением оси Ох, причем в1 ^ 7 при А ^ О. Тогда

я АО 7 — в1 = -я'

здесь АО — длина дуги окружности, заключенной между точками А и О.

Действительно, заметим, что (п — 7) + в1 = п — а. Отсюда имеем 7 — в = а. Учитывая, что а = АО, получим требуемое равенство 7 — в = .

Пусть Ка — двуугольник, образованный пересечением внутренностей двух кругов. Он, очевидно, является выпуклым множеством. Будем считать, что Ка расположен в левой полуплоскости и симметричен относительно оси Ох. Тогда на основании леммы 1 получаем, что

па — в (з) = 2—.

Так что

в

Г па — в (х) , 2

----------^х = — (е — з) (0 < з < е),

J х —

и для Ка условие (4) выполнено.

Наконец, сформулируем последнее следствие.

Следствие 3. Для выпуклого двуугольника Ка (0 < а < 2) условие (4) выполняется всюду. Критерий квазианалитичности для двуугольных областей Ка (0 < а < 2) в точке

О совпадает с критерием Р. Салинаса для угла

. ( . па ^

Да = 12 : |п — arg 21 < —|.

Из теоремы 5 можно получить критерии квазианалитичности классов Н(С, Мп) и для невыпуклых областей С, удовлетворяющих некоторым дополнительным ограничениям.

Пусть С — область комплексной плоскости, не содержащая бесконечно удаленную точку. Будем говорить, что область С удовлетворяет условию А, если ее граница С состоит из конечного числа кусочно-гладких простых замкнутых кривых С1, с2,... , сп, каждая из которых имеет кусочно-непрерывную кривизну и содержит не более конечного числа угловых точек, причем все внутренние (относительно области С) углы отличны от 0 и 2п. Обозначим внутренний угол между односторонними касательными к С в точке 2 через па(г). Пусть а = шт а(г) > 0. Тогда область С, удовлетворяющая условию А, обладает

свойством [10]: для любой точки 2 Е дС, существуют двуугольники К°(2:) и К°(2:) такие, что

Ка(г) с с с ко^.

Здесь К°(г) — выпуклый двуугольник, образованный пересечением внутренностей, а К°(г) — двуугольник, образованный пересечением внешностей двух кругов одинакового, но достаточно малого радиуса, окружности которых проходят через точку 2.

Классы Н(К°(г), Мп) и Н(К°(г), Мп) квазианалитичны или неквазиана литичны в точке

2 Е С одновременно [10]. Следовательно, учитывая следствие 3 и применяя теорему 5, получаем: все три класса Н(С, Мп), Н(К°(2:),Мп) и Н(К°(2:),Мп) квазианалитичны в точке 2 Е С тогда и только тогда, когда

Ю

Г 1п Т (г)

д(г) + 2 ^Г =+Ю. (7)

и г а(г) + 1 1

Заметим, что если точка 2 Е С является точкой гладкости границы области С (то есть а(г) = 1), то критерий квазианалитичности класса Н(С, Мп) в этой точке имеет вид

СЮ

Пп Т(г) ,

----5— ^Г = +ТО.

J Г 2

1

Если учесть замечание 2, для регулярных последовательностей {МП+1} условие (7) равносильно билогарифмическому условию (6) при 7 = 1

Отметим, что критерий квазианалитичности класса Н(С, Мп), где О — область, удовлетворяющая условию А, другим способом доказан в работе [10].

4. Критерий существования регулярной миноранты нЕквАзиАнАлитичности

Пусть {Мп} — регулярная последовательность, ^(г) = тах (тга = — ассоцииро-

ванный вес [8]. Тогда последовательность {Мп} полностью определяется функцией ^(г):

гп

Мп = п! вир ——.

г>0 ^(г)

Как было сказано в п.2, в этом случае условие

< то (8)

£

0 Мп+1 п=0 1

допускает переформулировку в терминах билогарифмического условия Левинсона

(I

J 1п1п Н(г)^г < то,

0

где Н(г) = ^( 1), а ^ > 0 такое, что Н(^) > е.

Последовательность {Мп} назовем слабо регулярной, если для нее выполнены условия а), в) из определения регулярности {Мп} (см. п.2). Оказывается, для слабо регулярных последовательностей условие (8) допускает другую интерпретацию.

Лемма 2. Пусть последовательность {Мп} слабо регулярна. Для того чтобы выполнялось условие (8), необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная непрерывная на М+ функция К = К(£), такая, что: К(£) | 0, £К(£) | 0 при £ ^ то, и

СО

1)—г ^ К(п); 2) К(£)^£ < то.

МП 1

Достаточность почти очевидна. Действительно, поскольку М™ | то при п ^ то (это следует из логарифмической выпуклости последовательности {Мп} и свойства в)), условие (8) согласно теореме Данжуа-Карлемана может быть записано в виде [2]

О

^ — < то. (9)

п=1 Мп

Поэтому достаточность леммы следует из условий 1), 2) и свойств функции К = К(£) .

Н еобходимость. Полагая г(п) = Мга п, имеем

п 1 п

г(п)п = —1 = —1 --------1.

МТ тП (п!) п

Отсюда, учитывая формулу Стирлинга [11]

1

п!

v/2Пnnra е-п еб(га), |0(п)| ^

12п

получаем

і 1-^п)

1 е1 п 13 1

г(п)п = —1---— ^ е12 —г. (10)

т,п (2пп) 2п т^

Если правую часть (10) обозначить К(п)п, то видим, что К(п)п | 0 при п ^ то. Тогда при п

К(п) = е12 — I —— I ^ е6 (2пп) 2п —г = 0 1

п М„п \М„п

Значит, из условия (9) следует, что ^ К(п) < то.

П=1

Таким образом,

^ К(п), ^ К(п) < то, К(п) | 0, К(п)п | 0 при п ^ то.

м„" п=1

Требуемой, очевидно, будет функция К = К(£), линейная для £ Є (п, п +1) и принимающая значения К(п) и К(п +1) на концах интервала (п, п +1).

Лемму 2 дополняет

Лемма 3. Пусть {Мп} (Мп > 0) — произвольная последовательность, обладающая свойством: существует положительная непрерывная функция г = г(£), определенная на ^+, г(£) | 0, г(£)£ | 0 при £ ^ то, и такая, что

X

^ г(п), г(і)^і < то.

1

МП 1

Тогда существует слабо регулярная последовательность {М*}, такая, что

М* « Мп, £ (М‘)-П < то.

п=1

Доказательство. Имеем

А, =(-^г) ^ Мга (п > 1).

\г(п)/

Последовательность необязательно является логарифмически выпуклой. Поэтому

ее заменим на миноранту, обладающую требуемыми свойствами.

Учитывая формулу Стирлинга, имеем

1 / 1 чга

п! ппДга \г(п),

где Дп = е-п /2пп еб(га) (|0(п)| ^ ). Так как, очевидно,

Дп ^ /2П ехр (---------------п +— 1пп ) ^ /2П < е,

\12п 2 у

то

О, 1 ( 1 V / 1 хга

Если положить

, >- (п > 1).

п! е \пг(п)у \епг(п)

М* / 1

1 Х

тп = ----------

п! епг(п)

то М* ^ ^ Мп. Так как пг(п) | 0 при п ^ то, то (т,)п Т то при п ^ то. Видим, что

последовательность {М,*} слабо регулярная.

П

Убедимся, что

Действительно,

£

1

=1 (М*)

<.

:іі)

М* = п!

епг(п)

= /Пп е-2га+0(га)

г(п)

Отсюда

—— ^ е 12 г(п) (п > 1),

и условие (11) следует из сходимости ряда £ г(п).

п=1

Замечание 3. В условиях леммы 3, не умаляя общности, можно считать, что £2г(£) Т то при £ ^ то.

Это следует из следующего утверждения [12]:

Пусть г = г(£) — положительная непрерывная на М+ функция, £г(£) | 0 при £ ^ то, и

СО

/ г(£)^£ < то.

Тогда для любого £ > 0 существует функция г1 = г1(£), удовлетворяющая условиям:

1. г(£) ^ гх(£);

2. £г1 (£) | 0, £1+£г1(£) Т при £ ^ то;

СО

3. / г1(£)^£ < то.

1

В силу сказанного в замечании 3, последовательность {М,*}, построенная в лемме 3, удовлетворяет и условию б) регулярности. Так что в условиях леммы 3 существует регулярная последовательность {М,*}, такая, что

£

П=1

М*

<.

Убедимся, что последовательность {М*} удовлетворяет условию б). Действительно, имеем

ш,

П+1

шп

1

п г(п)

Но

Отсюда

и

п г(п)

(п + 1) г(п +1) (п + 1) г(п + 1) (п + 1)2 г(п + 1) 1 п +1

(п + 1) г(п + 1) (п + 1) г(п + 1) п п

1

/п + 1 V

п + 1

т------2 1 —— ^ С< то,

(п + 1)2 г(п + 1) \4г(2)/

1

шП+И п вир | —— | < то.

п

ш

п

Таким образом, доказана

п

п

1

1

1

п

1

1

п

Теорема 6. Пусть Мп > 0. Для того чтобы существовала регулярная последовательность (М*}, такая, что

ю М *

м* ^ мга, V < то,

п ’ ^ м*! ’

п=1 П+1

необходимо и достаточно, чтобы нашлась положительная непрерывная на М+ функция г = г(Ь), Ьг(Ь) | 0, Ь2г(Ь) | при Ь оо такая, что

сю

1)—г ^ г(п) (п > 1); 2) / г(і)^і < то.

МП !

В заключение автор выражает признательность своему научному руководителю профессору Р.С. Юлмухаметову за постановку задач и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. М.-Л.: 1937. 108 с.

2. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955. 268 с.

3. Юлмухаметов Р.С. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях // Матем. сб. 1986. Т. 130(172). С. 500-519.

4. R.B. Salinas Functions with null moments // Rev. Acad. Ciencias. Madrid. 1955. P. 331-368.

5. Коренблюм Б.И. Квазианалитические классы функций в круге // Доклады АН СССР. Т. 164. № 1. С. 36-39.

6. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384с.

7. Гайсин Р.А. Эквивалетные критерии квазианалитичности класса Карлемана в угле // Сборник трудов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых “Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании“. Том 1. Математика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2012.

8. Дынькин Е.М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала // Математическое программирование и смежные вопросы. Теория функций и функциональный анализ (Труды VII Зимней школы. Дрогобыч) М.: АН СССР. Центральный экономико-математический институт, 1976. С. 40-73.

9. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций и применения. Дисс. ... докт. физ.-мат наук. Уфа, 1986. 197с.

10. Прилипко Т.И. Квазианалитические классы функций в комплексной области // Укр. матем. журнал. 1967. Т. 19. № 2. С. 127-134.

11. Математический энциклопедический словарь // гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988. 847 с.

12. R. Couture Un theoreme de Denjoy-Carleman sur une courbe du plan complexe // Proceedings of the American math. soc. 1982. V. 85. № 3. P. 401-406.

Рашит Ахтярович Гайсин,

Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32,

450074, г.Уфа, Россия E-mail: [email protected]