Описание классов Карлемана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ББК 22.161.5 УДК 517.54

ОПИСАНИЕ КЛАССОВ КАРЛЕМАНА Трунов КВ.*

Приведено полное описание в терминах преобразования Коши классов Карлемана на замыкание односвязной ограниченной области

Введение.

Приведем необходимые нам определения из работы [1].

Пусть Е - совершенное компактное множество на комплексной плоскости. Комплекснозначная функция / называется бесконечно дифференцируемой на множестве Е, если существуют непрерывные на Е функции /о,/1, такие, что/о(г)=/(г), геЕ, и при любыхп=0,1,2, ... , к=0,1,...,п функции

n—k

к* (с, -)=/к (с)-Е , (')

р=о

равномерно по С ,ге Е удовлетворяют оценке

(С — z)1 р!

—k

\япЛ (С, -)| = о(|С - - ).

Для возрастающей последовательности положительных чисел М= (мп )Щ=о и натурального числа д через Ад(Е, М) обозначим класс бесконечно дифференцируемых функций /на Е, для которых выполняется условие

r ,(С, z)

П/k^

< Cq n + 1М

n — k +1

, С ,зе E,

п +1 (п - к +1)!

где постоянная С не зависит от п,к и С , геЕ. Классом Карлемана А(Е,М) называется объединение всех классов А;(Е,М), qеN.

В данной работе в качестве множества Е рассматривается замыкание односвязной ограниченной области О в комплексной плоскости со спрямляемой жордановой границей. Функции из класса А(О, М) в этом случае голоморфны О и вместе со всеми своими производными непрерывно продолжаются до границы О. В дальнейшем через /(к)(г) мы будем обозначать производную порядка к функции /, непрерывно продолженную

до границы О. Таким образом, класс А(О,М) состоит из голоморфных в О функций/, удовлетворяющих при некотором условию

(n — k +1)!

sup sup

n>o,k<n z,ced q n+lMn+i С — z| В пространстве A (D, M) введем норму

n—k+1

n—k

f(k 4(С)—E f(k+р)( z)(C—

p"0 p!

< да.

||/|| = тах

(n — k +1)! Rn,k(С,z 4 1

suP —suPt—^ —sup f (z4

n>o,k<n q M n+1 z,ced С — z

0 zeD

Пространства А (О, М) банаховы и, очевидно, что пространство А (О, М) непрерывно вложено в пространство А?+1 (О,М) . В пространстве А(О, М) будем рассматривать топологию индуктивного предела пространств А? (О, М): А(О,М) = Нт /п^ А? (О,М)

Трунов Кирилл Владимирович - аспирант математического факультета БашГУ

Последовательность т = ■

п\

, п=0,1,2б, называется присоединенной последовательностью. Будем

считать, что последовательность (тп) регулярна [1], то есть удовлетворяет следующим трем условиям

1) логарифмическая выпуклость: тп2<тп.1тп+1, п=1,2...,

2) найдется целое число 0 такое, что тп+1<0птп, п=0,1,

1

3) имеет место соотношение Ііт т п = да .

' п

(1)

(2)

(3)

Определим функцию М(х)=$@А~

1

х>0. Ясно, что М(х)- убывающая функция и

к>0 тк X

1

ІітМ(х) = да, М(х) >-----------. В силу логарифмической выпуклости последовательности (тп) имеет место

х^0

т

1

, к=0,1,

обратное представление тк = вир -

#>о хкМ (х)

Через О обозначим дополнение О до расширенной плоскости, то есть О = С \ О и пусть й(С ) = шЦ1г —С , с е О - функция расстояния до границы О. Для qеN введем банахово пространство

2єИ

н(Ф, у (да) = 0,|Ы| „ = вир-

Іт (С )|

■ < да >.

^ Х СеО М(дй(у)) j

В силу монотонного убывания функции М(х) пространство Хд+1 непрерывно вложено в пространство Хд.

Через А(С,М) обозначим проективный предел пространств.Хд: А(О,М) = 11т рг Х .

ч 4

Пространство линейных непрерывных функционалов на А (О, М) с сильной топологией обозначим через А (О,М) . Как известно [2], имеет место представление: А (О,М) = Нт тй Х . В силу ограниченности

снизу функции М(х) для любого г е О функция (С — г)—1 е А(О,М). Следовательно, для любого непрерывного функционала 5 на А(О, М) можно определить его преобразование Коши:

1

§1. Вспомогательные факты.

Лемма 1. Для любых г о, г е О и к>1, q>0 имеют место неравенства

1 1 " ^ Ч к+'тк+1к1г — го|

(С- 2 ) к (С- 2 0) к

1

(2 - 20)

1

1

1

(С- 2 0)2

< д т2 2 - 20 .

С — г С — г о у

-- у

Из второго утверждения леммы следует, что функция £ (г) голоморфна в О, причем

/ \

1

(С- 2 )2 к\

(С- 2)

к+1

Точно также можно получить общую формулу для произвольного к>1:

. Из первого неравенства в лемме следует, что для любого го е дО существует

предел V(к 4 (20) := Ііт «V(к 4 (2) = ^

2єО,2 ^2о С

к!

(С- 2)

к+1

/

то есть функция £(к4 (2) непрерывно продолжается

на О .

Лемма 2. Для любого линейного непрерывного функционала Б на пространстве Л (С,М) ее преобразование Коши Б (2) лежит в пространстве Л(О,М), причем для любого Б Є X?, дє.^ имеет

место неравенство $ < О $ ,, где 2 _ число, которое существует по условию (2) на регулярную

Лче (О ,М) 11 |1х?

последовательность (тп).

Лемма 3. Пространство Н(С) плотно в Л(С,М).

Доказательство основано на следующей теореме Н. Сибони из [3].

Теорема А. Пусть Ф - положительная функция на области голоморфности О. Предположим, что Ф(2) - 2ІП5 п (2) = (вирф і )* (2), 2 Є О , где фі - плюрисубгармоническая функция на области

іЄІ

голоморфности ОІоО. Предполагается также, что семейство сужений на О функций ф, ІЄІ фильтруется вправо (то есть, для любых і, ] єі найдется кєІ такое, что фі(2),ф.(2)<фк(2) для всех 2єО ). Тогда для любой

функции У Є Н 2 (О, ехр(-Ф)) существует последовательность функций из &Н 2(° і ,Єхр(-ф і )5 о4),

ІЄІ

сходящаяся к У в норме пространства У Є Н 2(0,ехр(-Ф)5 О5 0*) •

І 12 1/2

Здесь О - область в пространстве С1, ^2) - обыиное расстояние до границы О, 5 0 (2) = (1 + 2 ) /2 и 5 о = тіп(^ ,5 о). Через Н 2(0,ет ) обозначается пространство функций, голоморфных в О и таких, что ||У (2) ет (2)йо (2) < да, где <3<з - элемент площади. Символом м*(2) обозначена верхняя регуляризация

О

функции и: и = Ііти(ет ).

СТ ^ 2

Отметим, что любая область на плоскости является областью голоморфности.

Так как теорема А оперирует интегральными нормами, а в наших пространствах - равномерные нормы, поэтому используем еще одну лемму для перехода от интегральных норм к равномерным.

Лемма 4. Если У Є Н 2(О,ехр(-Ф)5 05 0*), то выполняется неравенство,

\У (2) < ^ М № (С ))(1 + £ |2)|| У| |, С Є О, где ||У|| обозначает норму в пространстве

УІЖ

Н2 (О, ехр(-Ф)5 025 04).

§2 Основной результат.

Теорема 1. Пусть последовательность (тп) регулярна, а область О жорданова. Тогда отображение С: Б ~ £ устанавливает топологический изоморфизм между пространствами Л (С, М) и Л(О,М). Доказательство.

Из леммы 2 следует, что отображение С непрерывно действует из Л (С,М)в Л(О,М). Следующий шаг - показать инъективность отображения С. Поскольку по лемме 1 для любой точки 2 Є дО функция

------- приближается в пространстве Л(С, М) системой {(£ - 2) 1, 2 Є ОІ по лемме 3 пространство

С - 2

н (С) плотно в Л(С,М), то система {(£ - 2) 1, 2 Є О^ полна в пространстве Л(С,М). Значит по теореме Банаха отображение инъективно.

Чтобы закончить доказательство теоремы нам осталось доказать сюръективности отображения С. Возьмем

функцию У Є Л(О,М) и построим линейный непрерытный функционал на Л(С,М) , для которого £ = У . По лемме 3 пространство Н(С) плотно в Л (С,М), следовательно, непрерытный функционал достаточно определить на Н (С) и затем продолжить по непрерытности на все Л (С, М). Для любой функции

с компактным носителем в С такой, что

С

<------------, Сє С, где С, В — некоторые константы.

М (Bd (С))

у Є A(G,М), голоморфной на G положим S(у ) =------------- fу (z) f (z)dz .Заметим, что можно выбрать

2кі D

гладкий контур Гу, лежащий в пересечении области голоморфности у и D, так, что S(у ) =- f у (Z) f (Z)dz .

2кІ '

у

Это замечание нам потребуется при применении формулы Грина.

Воспользуемся теоремой о псевдоаналитическом продолжении из работы [1]:

М n

Теорема В. Пусть D - некоторая область в С и да =-------- - регулярная последовательность. Тогда

n n.

любая функция/из класса A(D,М) может быть продолжена до непрерывно дифференцируемой функции F

3F_

с

По этой теореме функцию f Є A(D,М) продолжим до функции F и применим формулу Грина

s(у) = f у (z)f (Z)dz = -^ f у (z)F(z)dz = — — f у (z) 8FJC)do (С) = — — f у (z) do (С),

2КІ /у 2КІ /у К G дС К К 0 G дС

где К - носитель функции F и do (С) - элемент площади. Из этого представления получим оценку

, , ІКІС |у (z)| . . . .. ..

\S(у ) <-----sup------------= 2 К\С\М , где К - площадь компакта К и у - норма функции у в

1 1 К сeG М(Bd(С) . Хя

пространстве Хв. Таким образом, S — линейный непрерывный функционал на пространстве H(G) по норме пространства Хв, а значит и в смысле топологии пространства A(G,М). В силу плотности H(G) в A(G,М) функционал S продолжается до линейного непрерывного функционала на A(G,М) . Прямо по определению и формуле Коши вычислим S (Z) = f (z), Z Є D . Таким образом, теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. ДынькинЕ.М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций, равномерная шкала.// Сб. Матем. программ. 1976. М. С.40.

2. Себастьян - и - Сильва. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в применениях //Математика. Сб. переводов иностранных статей. 1957. 1:1. СС. 60-77.

3. S^ony^ Approximation polinomiale ponderee dans un domamed'holomorphie de С1// 1976. Ann. Inst. Fourier. Grenoble T.26, V.2. PP.77-99.

Поступила в редакцию 03.08.05 г.

УДК 519.623.620:623.197:621.357

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

Болотнов А.М., Махмутов М.М., Хисаметдинов Ф.З.

Рассматривается подход к совместному моделированию электрических и тепловых полей в заполненных электролитом областях с цилиндрическими границами. Для решения исходных трехмерных задач применяется дифференциально-разностный метод, в котором решения одномерных задач выписываются аналитически.

Болотнов Анатолий Миронович — д. ф - м. н., ироф каф вычислит, математики БашГУ; Махмутов Мажит Махмутович — к. ф. - м. н., зав. каф математики и информатики Сибайского инст. ГОУ ВПО «БашГУ»; Хисаметдинов Фиргат Зайнуллович — ст. иреиод. каф. математики и информационных технологий Сибайского инст. ГОУ ВПО «БашГУ».