Об одной проблеме Адамара и сглаживании выпуклых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2005, Том 7, Выпуск 3

УДК 517.5

ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ АДАМАРА И СГЛАЖИВАНИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ

Г. Г. Брайчев

Дорогому учителю посвящается

Приводятся узкие классы функций, в которых для произвольной целой функции можно найти представителей, дающих точные оценки снизу и сверху различных характеристик роста целой функции с возможностью вычисления таких характеристик по тейлоровским коэффициентам функции.

В 1892 году Ж. Адамар [1] ввел понятия порядка и типа целой функции и нашел формулы, определяющие введенные величины по коэффициентам ряда Тейлора целых функций. Некоторые целые функции при этом могли иметь при положительном порядке тип, равный нулю или бесконечности, а тип функции f (z) при порядке р определялся формулой (jf := lim lnMf (r), где Mf(r) = max{|f (z)| : |z| ^ r}. Начиная с Ж. Адамара, математиков интересовал вопрос о нахождении возможно более узких классов функций H таких, в которых для любой целой функции f (z) нашлась бы h(x) Е H с условием

=— ln Mf (r) , . .

jf := lim , f ; =0, то (*)

т^ж h(r)

и с возможностью вычислить эту величину (называемую типом f (z) по отношению к h(r)) по тейлоровским коэффициентам f (z).

Эту задачу для подкласса целых функций конечного положительного порядка решил Ж. Валирон [2], введя понятие уточненного порядка. Накладывая на такие порядки дополнительные требования (такие как дифференцируемость достаточное число раз или бесконечная дифференцируемость и др.), классы уточненных порядков, применяемых для изучения сравнительного роста целых функций, постоянно сужались (см., например, [3, 4]). Многие авторы решали задачу коэффициентного описания роста целых функций нулевого или бесконечного порядков, определяя логарифмические, экспоненциальные, p, q — порядки и типы (и многие другие) и вводя соответствующие уточненные порядки.

Важность коэффициентной характеризации для различных пространств целых функций нашла убедительное подтверждение в работах Ю. Ф. Коробейника (см., например, [5, 6]) и его многочисленных учеников, а также последователей созданной им школы. Именно, координатный метод был Ю. Ф. Коробейником развит и применен к исследованию разрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка в различных общих классах аналитических функций определенных им пяти типов.

© 2005 Брайчев Г. Г.

Универсальной шкалы роста целых функций, конечно, не существует, но возможность иметь более узкий класс функций, с которым можно было бы сравнивать в том или ином смысле рост произвольной целой функции, имеет большое значение. Такие классы называются плотными классами функций сравнения роста во множестве всех целых функций

Наиболее полное решение проблемы Адамара получено в последнее время В. А. Осколковым [7, 8], которым показано, что классы H^, состоящие из возрастающих на R+, дважды непрерывно дифференцируемых функций Ф(ж) с Ф"(ж) > 0, удовлетворяющих условию

К « y (1)

ж^те [Ф'(ж)]2

с константой 7 ^ 1 являются плотными классами функций сравнения роста, а классы H7 с 7 < 1 — таковыми не являются.

Условие (*) дает точную асимптотическую оценку логарифма максимума модуля целой функции сверху. Но во многих вопросах анализа важное значение имеют и нижние оценки целых функций, поэтому мы расширяем задачу Адамара, дополняя ее нахождением возможно более узких классов функций H таких, что для любой целой функции f (z) дополнительно к (*) найдется hi (ж) £ H с условием

ln Mf (r) hi(r)

CTf := lim —— = 0, ж (**)

и с возможностью вычисления и этой величины по коэффициентам ряда Тейлора функции / (г). Такие классы функций мы назовем классами функций двустороннего сравнения роста (верхнего и нижнего), или двусторонне плотными в указанном смысле во множестве всех целых функций .

Оценки (*) и (**) можно уточнять и находить такие классы функций, в которых для любой целой функции /(г) нашлись бы функции Л(ж) и Н\(ж) со следующими условиями

йш(1п М/(г) - Л(г))=0, (***)

lim (ln Mf (r) — hi(r))=0. (****)

Таким образом, под обобщенной проблемой Адамара мы понимаем отыскание возможно более узких классов функций, в которых для любой целой функции f (z) нашлись бы функции, дающие точные асимптотические оценки Mf (r) как снизу, так и сверху, причем с возможностью описания тейлоровских коэффициентов f (z), удовлетворяющих таким оценкам.

Эта задача оказалась связанной с регуляризацией и двусторонней аппроксимацией выпуклых функций и последовательностей.

Приведем результат О. Кизельмана [9], который показал, что если y = ^i(x) — уравнение ломаной, звеньями которой являются опорные прямые к графику функции ^>(x) = ln Mf (ex) с угловыми коэффициентами, последовательно равными натуральным числам, то для всех x Е R+ выполняются неравенства

(x) ^ ^(x) ^ (x) + C, где C — абсолютная константа, ln2 < C < ln3.

Вначале мы приводим результаты о двусторонней аппроксимации выпуклых функций, каждый из которых может быть применен для решения обобщенной проблемы Адамара, а затем даем коэффициентные характеристики целых функций, необходимые для решения проблемы Адамара в различных формах.

Известно, что для трансцендентной, т. е. отличной от многочлена, целой функции f (z) функция ^>(x) = ln Mf (ex) является выпуклой и удовлетворяет условию

lim = (2)

х^ж X

Вписывая и описывая в график выпуклой функции ломаные с достаточно мелкими звеньями, в [10] получен следующий результат, примыкающий к [9].

Теорема A. Пусть ^>(x) —выпуклая функция на R+, удовлетворяющая условию (2). Существуют кусочно-линейные выпуклые функции (x) и ^>2 (x) такие, что для любого X £ R+ выполняются неравенства

^l(x) ^ ^(x) ^ ^2(x)

со знаками равенства на некоторой последовательности xn fro и ^>(x) = ^¿(x) + o(1), ^>'(x) = (x) + o(1), x ^ ro, i = 1,2.

Под ^>'(x) в дальнейшем понимаем правую производную выпуклой функции ^>(x).

Выпуклая регуляризация функций и последовательностей играет важную роль также в теории квазианалитических классов функций, используется при рассмотрении весовых пространств функций и последовательностей, при этом на регуляризованные функции часто накладываются дополнительные условия, одним из которых является дифферен-цируемость достаточное число раз. Кроме того, нередко для решения экстремальных и других задач требуется, чтобы приближающие функции имели строго возрастающие производные, т. е. чтобы эти функции были строго выпуклыми, или имели положительные вторые производные.

Применяя определенные процессы сглаживания кусочно-линейных или кусочно-параболических мажорант и минорант выпуклых функций в [10] получен следующий результат:

Теорема В. Пусть ^>(x) —выпуклая функция на R+, удовлетворяющая условию (2). Существуют бесконечно дифференцируемые строго выпуклые функции ^i (x) и ^(x) (т. е. ^i'(x) > 0, i = 1, 2) такие, что для любого x £ R+ выполняются неравенства

^1(x) ^ ^>(x) ^ ^2(x) и ^>(x) = ^j(x) + o(1), x ^ ro, i = 1,2.

А если дополнительно выполняется условие

^>'(x) — ^>'(x — 0) ^ 0 при x ^ ro, (3)

то и ^>'(x) = (x) + o(1), x ^ ro, i = 1, 2.

Дальнейшее сужение классов аппроксимирующих функций связано с наложением на такие функции дополнительных условий типа условия В. А. Осколкова (1).

Именно, обозначим через ln& = ln(ln^-1) — k-ю итерацию логарифма и через Y > 0, k € N — класс бесконечно дифференцируемых, строго выпуклых на R+ функций, удовлетворяющих условию

Пт^ ^(x)... ^ln ln $(x) ^n ^(x^ —1 — 1 —1 ••• — 1 < Y.

k (k) (k) Очевидно, что для каждого k Е N имеем Hk С H7. Кроме того, Н/ С Hj2 для

Y1 <72 и H^k) С Hfc) для k >

Справедлив следующий результат (ср. [11] ).

Теорема С. Пусть k £ N. Для любой выпуклой на R+ функции ^>(х), удовлетворяющей условию (2), существуют функции $i(x) и Ф2(х) из класса Hlk) такие, что для всех х справедливо

Ф1(ж) * ^>(х) * Ф2(х),

причем для некоторых последовательностей xn ^ ж и Xn ^ ж выполняется $i(Xn) = ^(х„) + o(1), n ^ ж и Ф2(Xn) = ^(Xn) + o(1), n ^ ж.

В то же время, для любого 7 < 1 найдется выпуклая функция ^>(х) со свойством (2) такая, что для всех Ф(х) € H(k) будет выполняться lim ф|Ху = +ж.

Рассмотрим некоторые свойства функций из классов

H(k) , которые будут нам полезны в дальнейшем. Мы сделаем это для более широкого класса функций.

Обозначим через H• класс выпуклых дважды дифференцируемых на R+ функций H(х), удовлетворяющих условиям (2) и

f H(x)H''(x) 1

В силу условия (2) имеем lim H'(x) = ж, поэтому каждая функция из класса H^

х^те

является строго возрастающей положительной для достаточно больших значений аргумента. Кроме того, эти функции обладают следующими свойствами

Предложение 1. Функции H(х) из класса H• удовлетворяют условиям:

Функция —является выпуклой для всех х > хо при некотором хо > 0, (5) H (х)

xH'(х) , .

lim „о/ \ = 0. (6)

H 2(х)

< Условие (5) следует из (4) поскольку

1 V (H'(x))2 f2_ H(x)H"(х)' > 0.

H (x)/ H3 (x) \ [H '(x)] Условие (6) вытекает из условия (5):

H'(х) х /1 V ( х\

И2 (ж) 2 \И(ж)У V 2/" \И(|) И(ж), Предложение 2. Функции И (ж) из класса И• удовлетворяют условию

И (ж) ~ И ( ж--- | , ж ^ ж. (7)

< Обозначив с = , 1 , по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагран-Vя/(ж)

жа имеем при некотором 9 : ж — с < 9 < ж

H '(х) С2

ln H(х) - ln H(x - c) = H(x) c + —

H (x) 2

H '(0)

Lh (0) J

H ''(0)H (0)

[H '(0)]2

Первое слагаемое правой части H '(ж)

H '(ж)

H '(ж)

H(ж) H(ж)УЩЖ) V h2(ж)

-»■ 0

в силу (6).

Во втором слагаемом выражение в круглых скобках не превосходит единицы в силу (4). Оставшийся сомножитель имеет оценку

H '(g)'

H (g)

H'(g) H'(g) < 1 H'(ж - 1)

2H'(ж) H2(g) 2 H2(ж - 1)

-»■ 0.

Мы использовали возрастание производных функций H(ж) и -щху ввиду выпуклости

х)

последних (свойство (5)), а также то, что для достаточно больших ж имеем с = ^^^ ) 1, и g > ж - 1. >

<

2

2

c

2

О равенстве некоторых характеристик роста целых функций

Обозначим тип и нижний тип целой функции /(г) относительно Л(г), соответственно,

- 1п Иг (г) 1п Иг (г)

= Г^-^Т и ^ = •

Имея в виду решение обобщенной проблемы Адамара, нам необходимо вычислить эти

те

характеристики по коэффициентам Тейлора функции /(г) = ^ /пгп. Однако с коэффи-

п=о

циентами непосредственно связан не максимум модуля целой функции, а максимальный

)П |г"

член ее ряда Тейлора ßf (r) =: max |/n|rn

n

Поэтому, определив величины aßf = lim 1п/Уи ст = lim lnh/, имеет смысл

т^те ^J х^те h

найти условия, при соблюдении которых выполняются равенства

= , = • (8)

Мы покажем, что для функций Л(г) таких, что Л(ех) £ Н*, равенства (8) имеют место.

Теорема 1. Пусть функция Л(г) такова, что Л(ех) £ Н*, тогда справедливы равенства (8), т. е.

_ 1п М/(г) = 11- 1п м(г) и 11ш 1п М/(г) = 1.т 1п м(г). гйте Л(г) Л(г) Л(г) Л(г) '

< Нам понадобятся простые неравенства, первое из которых — следствие неравенств Коши. Для к = к (г) < 1 имеем

те те

/(кг) < М/(кг) ^ |/п|гпкп < /(г) ^ кп = /(г)——, о о 1 к

т. е.

/ (кг) ^ М/ (кг) ^ (г)

1 - k

Учитывая, что ln x x, x >> 0, получаем неравенства

lnßf (kr) ^ lnMf (kr) ^ /lnßf (r) +1 ^ h(r)

Н(кг) Н(кт) \ Н(т) (1 — к(т))Н(т)/ Н(кт)

Чтобы равенства (8) имели место, достаточно проверить, что при г ^ то выполняются условия

Л(к(г) ■ г) ~ Л(г), (9)

(1 — к(г))Л(г) ^то. (10)

Полагая г = ех, к (г) = ехр <--, 1 >, с помощью предложения 2 получаем

[ Vя'(1п г) J

1

h(r) = h(ex) = H(x) ~ H x -

= h ^exp |x - —^H== jj = h(exk(ex)) = h(rk(r)), r ^ то, и условие (9) выполнено. Проверим выполнение (10):

(1 - k(r))h(r) = (1 - k(ex))h(ex) = h - exp j --^H= 1J H(x)

1 H( ) H2(x)

:H (x) = W ^ то, x ^ то.

v/HM w V H'(x)

Оба условия (9) и (10) выполнены, так что утверждение теоремы справедливо. >

Замечание. В работе [11] показано, что утверждение теоремы имеет место, если ln h(r) выпукла вверх или вниз на R+, а функция h(r) удовлетворяет условию (6) или соответственно несколько более сильному условию lim J^h^Xn = 0.

Т^те h v)n( 2 >

Еще один способ выяснения роста целой функции состоит в том, что ее максимум модуля сравнивается с максимумом модуля «правильных» целых функций. В качестве таких «правильных» функций могут быть взяты функции сравнения.

те

Функция A(z) = Anzn называется функцией сравнения, если An > 0 для любого n

n=0

и Aj4+1 I 0. Из последнего условия следует, что все функции сравнения являются целыми. Весьма полезным является следующее свойство функций сравнения.

те

Теорема 2. Для каждой функции сравнения A(z) = Anzn, An = exp{-Ф(n)},

n=0

$(x) G H•, выполняется соотношение

ln Ма(г) ~ lnßA(r) ~ Ф(1пr), r ^ то.

< С одной стороны,

lnßA(ex)= sup {xn - Ф(n)} ^ sup{x( - Ф(Z)} = $(x).

n=0,1,2,...

С другой стороны, если (ж такова, что 8ир{х£ — Ф(С)} = х£ж — Ф(Сж) и [£ж] — целая часть

С^о

Сж, то

1п)= вир {хп — Ф(п)} ^ х[(ж] — Ф([Сж]) ^ х((ж — 1) — Ф(Сж)

п=0,1,2,...

= х(ж — Ф ((ж) — X = 8Ир{ж( — Ф (()} — X = Ф(ж) — Ж. с^о

Таким образом, выполняются неравенства Ф(ж) — X ^ 1п^а(еж) ^ Ф(ж), из которых, учитывая (2), получаем 1п^а(г) ~ Ф(1пг). Но в силу теоремы 1 также и 1пМа(г) ~ Ф(1пг). >

Тип и нижний тип целой функции /(г) относительно Л(г) можно определить следующим образом:

а/ = т£{т > 0 : М/(г) < ехртЛ(г), г > г0(т)},

соответственно,

а/ = 8ир{^ > 0 : М/(г) < ехр^Л(г), г > г0(^)}. Аналогично этому вводятся и следующие понятия.

Величина а а = оа(/) = 1п£{т > 0 : М/(г) ^ А(т ■ г), г > го(т)} называется типом целой функции /(г) относительно функции сравнения А(г) или просто А-типом /(г).

Величину Ста = Ста(/) = йир{т > 0 : М/(г) ^ А(т ■ г), г > го(т)} назовем нижним типом целой функции /(г) относительно функции сравнения А(г), или нижним А-ти-пом /(г).

те

Ю. А. Казьмин [13] показал, что для целой функции /(г) = ^ /пимеет место

п=0

формула jA(f) = lim ^|f„|/A„.

n—те

Для определения ja и Ja по коэффициентам целой функции нам, как и в теореме 1, понадобится заменить в определениях этих величин максимум модуля целой функции Mf (r) на ее максимальный член jf (r).

Теорема 3. Пусть f (z) — целая функция и A(z) — функция сравнения. Тогда JA(f) = inf{т > 0 : (r) ^ ^a(t ■ r), r > ri(r)}, Ja(f) = sup{T > 0 : jf (r) ^ ^a(т ■ r), r > r1 (т)}.

< Если f (z) — многочлен, то утверждение очевидно и JA(f) = 0. Обозначим j = inf{т > 0 : jf (r) ^ ^a(t ■ r), r > г1(т)}. Если f (z) — трансцендентная целая функция, то для k > 1 выполняется lim fkT = 0. Поэтому для любых т > JA(f) и ki > 1 имеем

т—>те L1 f(кт)

ki

(r) ^ Mf (r) ^ А(тг) ^ ^А(к1т ■ r)

ki - 1

= (т ■кк1 г)к7—7^аУ^ ^ Ыт ■кк1г)

при всех достаточно больших г.

Отсюда заключаем, что а ^ т ■ ккь Устремляя к и к1 к единице, а т — к ста(/), получаем а ^ аА (/). С другой стороны, для любых т > а и г > п(т) имеем

М/(г) ^ (кг) ^ ^А(т ■ кг) ^ МА(т ■ кг) = А(т ■ кг).

Отсюда по определению ста(/) получаем ста(/) ^ тк, что в силу произвольности чисел к > 1 и т > ст влечет неравенство ста(/) ^ ст. Вместе с предыдущим это приводит к первому утверждению теоремы. Второе доказывается аналогично. >

Вычисление типов целой функции по ее тейлоровским коэффициентам

Напомним, что сопряженной к функции ¥(ж) по Юнгу (Фенхелю — Лежандру) называется функция <£>(£) := зир{ж£ — ^(ж)|. Отметим, что для функций, удовлетворяющих

х

условию (2), супремум достигается. Для выпуклых функций (и только для них) имеет место двойственная формула: ¥(ж) := 8ир{ж£ — ¥(С)}. Поэтому для выпуклых функций

С

¥Ч(ж), ¥2 (ж) и им сопряженных по Юнгу функций </л(С), ¥>2 (С) условие ^1(ж) ^ ¥2 (ж) для всех ж ^ 0 эквивалентно условию ¥>1(С) ^ ¥2 (С) для всех ( ^ 0.

Обозначим сопряженную по Юнгу функцию к 1п(ех) через д(у), и пусть Еп =

ехр{—д(п)}. Тогда 1п(ех) = 8ир{жп + 1пЕп}, т. е. функции ^ Еп£п и /(г) имеют

п п=0

одинаковые максимальные члены. Коэффициенты Еп называются регуляризацией Ньютона — Адамара |/п|, а точки (п; — 1п Еп) лежат на границе выпуклой оболочки точек (п; — 1п |/п|).

Коэффициентная характеризация типов целых функций опирается на теоремы 1, 3 и следующие три леммы.

Лемма 1. Пусть функция ^(С) удовлетворяет условию (2). Условие 1п (г) ^ ¥(1п г) асимптотически (т. е. для всех г ^ Го) выполняется тогда и только тогда, когда асимптотически выполняется условие 1п |/п| ^ — </5(п), или когда 1п Еп ^ — ¥(п).

< Будем предполагать для простоты, что неравенства выполняются для всех значений аргументов. Общий случай лишь незначительными деталями отличается от этого. Если 1п(г) ^ ¥(1пг), то

— 1пЕп = 8ир{пж — 1п(ех)} ^ 8ир{пж — ¥(ж)} = ¥>(п).

Отсюда 1п |/п| ^ 1п Еп ^ —</?(п). Если же 1п |/п| ^ — </5(п), то

1п(ех) = тах{жп + 1п |/п|} ^ тах{жп — </?(п)} ^ тах{ж( — </?(()} ^ ¥(ж). >

п п £

Оценки снизу, как обычно, не столь просты.

Лемма 2. Пусть функция ^(С) выпукла, возрастает и удовлетворяет условию (2).

Если 1п(г) ^ ¥(1пг), то 1пЕп ^ — </5(п).

Если 1п Еп ^ — ¥(п), то 1п(г) ^ ¥(1пг)(1 — о(1)).

< — 1пЕп = 8ир{пж — 1п^(ех)} ^ 8ир{пж — ¥(ж)} = ¥>(п) и первое утверждение дока-

хх

зано. Для доказательства второго заметим, что

¥(ж) = 8ир{ж( — ¥(С)} = Схж — ¥(Сх). С

Обозначив т = [£х], с учетом того, что т ^ £х < т + 1 и ¥(т) ^ ¥(Сх), получаем 1п^(ех) = тах{пж + 1п Еп} ^ тах{пж — ¥(п)} ^ тж — ¥(т)

х

х

^ (Cx - 1)ж - = <(ж) - ж = <(ж) ^ - = ^(ж)(1 - о(1)). >

Замечание. Второе утверждение леммы 2 можно уточнить, если функция <(ж) удовлетворяет более сильному, чем (2) условию <''(ж) ^ го при ж ^ го ^ roj. Именно, в этом случае справедливо утверждение: Если lnFn ^ —<(n), то lnßf (r) ^ <(lnr) — o(1).

Следующий простой вспомогательный результат мы не нашли в литературе, и поэтому для полноты изложения и удобства ссылок приводим его.

те те

Лемма 3. Пусть f (z) = ^ fnzn, g(z) = ^ gnzn — целые функции и Fn и Gn — ре-

n=0 n=0

гуляризации Ньютона — Адамара последовательностей |fn| и |gn| соответственно. Справедливы следующие равенства

lim f- = nm Fn = um f), м -F1 = lim -F1 = lim f).

п^те Gn п^те Gn т^те ßg (r) п^те |gn| п^те Gn т^те ßg (r) < Обозначим A = lim f т). Для любого e > 0, A' = A + e и r > r0 = r0(e) имеем

т^те №gvT)

ßf (r) ^ A'ßg (r). Теперь для n > n0 = nf (r0) получаем

|f,,| < f,, < f> < a' ü&>

Ifn| ^ Fn ^ A' exp{— sup n lnr — ln(r)} = A'Gn,

r>ro

а тогда lim Gn ^ A' = A + е. Устремляя e к нулю, получаем

n—

в := lim f < üm ^ < A.

n—те Gn n—те Gn

С другой стороны, для любого e> 0 и n>n0 = n0(e) выполняется |fn| ^ (B + e)Gn. Выберем r0 = r0(e) настолько большим, чтобы при r > r0 центральный индекс nf = nf (r) превосходил n0, т. е. nf > n0. Тогда для таких r имеем

ßf (r) = |fnf |rnf < (B + e)Gnfrnf < (B + e)ßg(r)

и

A = üm < B + e.

т^те ßg(r)

Отсюда вытекает A = lim №/(т) ^ B, что вместе с предыдущим доказывает предложе-

т^те Mg(т)

ние. Второе утверждение леммы следует из уже доказанного рассмотрением обратных отношений. >

Обозначим через H0(x) ассоциированную по Ньютону с H(ж) функцию: H0(x) = ж — Я'(Х). Теперь у нас есть все необходимое, чтобы доказать основные в этом пункте результаты.

и

Теорема 4. Пусть функция h(r) такова, что h(ex) = H(х) € H•, ß(t) — обратная функция к H'(х), Но(х) — ассоциированная по Ньютону с H(х) функция, а w(t) — функция, обратная к exp{Ho(ß(x))}. Тогда справедливы формулы

-— ln Mf (r) -— n -— n

lim ———— = aUt = lim -^ = lim -^,

™ h(r) ' ™ w(|/n|-n) ™ n)

ln Mf (r) n , .

h(r) n)

< Для всех а > а^, и только для них, выполняются неравенства 1п(г) < аЛ(г), г > го (а). Обозначив И (ж) = Л(еж), получим неравенства

1п(ех) < аИ(ж), а > аМ/, ж > жо(а). (12)

По лемме 1 условие (12), в котором удобно считать И (ж) = И (жо) для всех ж ^ жо = жо(а), эквивалентно условию — 1п |/п| ^ Ф(п), или условию — 1п^ Ф(п), где Ф(у) является сопряженной по Юнгу к функции аИ(ж). Найдем эту функцию.

По определению Ф(у) = 8ир|жу — аИ (ж)}. А так как супремум достигается при ж =

в (п), то для п > п0 = аИ'(жо) имеем

*(")= в (П) п — аИ (в (П)) = пИо (в (П))■

Таким образом, условия (12) эквивалентны условиям

^ ехр{ —пИо (в(П))}, п>по,

или

|/п| < ехр{ —пИо (в(п))}, п>по,

_ 1

которые легко преобразовать к виду п) ^ п, или к виду

п

-— ^ а, а > аМ/, п > по(а).

п)

Таким образом, последнее условие эквивалентно условию (12), что доказывает первое утверждение теоремы. Аналогично, опираясь на лемму 2, проверяется и второе. >

те

Теорема 5. Пусть /(г) = ^ /п£п —целая функция, —регуляризация Ньютона —

п=о

Адамара коэффициентов /п и А(г) — функция сравнения. Тогда справедливы формулы

-a(/) = lim n f = ш ЛЩ, -a(/) = lim

у An V An n^<re V An

< Утверждение очевидно для многочленов. Если /(z) — трансцендентная целая

те

функция, то для т > аа(/) функция А^(г) = ^ Ап^"", Ап = тпАп является функцией • п=о

сравнения так как А+1 = тI 0 и ^а(т ■ г) = ^а» (г). Согласно лемме 3 имеем

ит = ит = пт ^ = ит < 1.

га^те ТпАп га^те Ап га^те Ап га^те ^а» (г)

Отсюда t := lim у A1 = lim у A^ ^ т, что в силу произвольности т > ста(/) дает

t ^ ста(/). Но для любых е > 0 и n > n(e) выполняется у A ^ ti = t + е или Fn ^ tnAn. Отсюда следует для достаточно больших r неравенство ßf (r) ^ ßA(tir), которое означает, что t + е > ста(/). Устремляя е к нулю, получаем t ^ ста(/). Сопоставив с ранее полученным неравенством, получаем t = ста(/).

Для доказательства второго утверждения положим s = lim у Ау. Если n достаточно

n—хте n

велико, то имеем последовательно ^A^ > si = max{0; s - е}, Fn > snAn и, значит, ßf (r) ^ ßA(s1r) для достаточно больших r, т. е. s1 ^ ста(/). Это при е | 0 дает s ^ £.а(/). Значит, s = 0, если ста(/) = 0. Если ста(/) > 0, то взяв произвольно положительное т < ста(/), получаем ßf (r) ^ ßA(T ■ r), r > r1 (т). По лемме 3 получаем

V Fn ßf(r) „/F" lim = lim —--- ^ 1 и s = lim W —— ^ т,

n—те т An r—те ßA(т ' r) n—те V An

что дает s ^ ста(/) и, окончательно, s = ста(/). ^

Различные формы решения проблемы Адамара

Теоремы 4 и 5 дают вместе с теоремой С некоторое решение обобщенной проблемы

(k) v Адамара, предлагая любой класс H1 , k G N, в качестве плотных в т!те классов функций

двустороннего сравнения роста.

Теорема 6. Пусть m G N. Для любой целой функции /(z) существуют функции hi(r), hi(ex) G H(m), i = 1, 2, такие, что для всех r > 0 выполняются неравенства

hi(r) < ln Mf (r) < h2(r),

причем для некоторых последовательностей r^ ^ то, k ^ то, i = 1, 2, справедливы равенства

ln Mf (r|) = hi(r|) + o(1), k ^ то, i = 1, 2. Кроме того, выполняются равенства

-— ln Mf (r) -— ln ßf (r) -— n ■-— n _ lim ———— = lim ———— = lim --.-— = lim --.-— = 1,

r—те h(r) r—те h(r) n—те / А n—те /

W2 |fn| n W2 Fn

ln Mf (r) ln ßf (r) n lim ——тЦ-— = lim ——гЦ-— = lim -^-— = 1.

r—те h(r) r—те h(r) n—те I

Wj Fn

Здесь Wi(t) связаны с hi(r) как в теореме 4.

С другой стороны, для любого y G [0,1) найдется целая функция /(z) такая, что lim lnfaCf^ = то при любой функции h(r), h(ex) G

r—те

Последнее утверждение теоремы означает, что при каждом m G N в рамках классов

Я(т) ^ n тт(т)

Y , y > 0, дальнейшее сужение H невозможно. Однако, опираясь на теорему 2, классы Hlm) можно сузить, рассматривая совокуп-

те ~ ( )

ности функций {lnA(r), A(r) = £ e-t&(n)rn, $(x) G H}m)}, m G N.

n=01

В теореме 6 формулы для вычисления типов целой функции получены в общей ситуации. В каждом конкретном случае они малопригодны, и их основное значение состоит в том, что они доказывают возможность решения проблемы Адамара.

В работе В. А. Осколкова [8] для функций одного переменного и в работе Ю. Ф. Коробейника [14] для функций многих переменных при выполнении некоторых дополнительных условий получены общие формулы вычисления типа целой функции по ее коэффициентам Тейлора, являющиеся конкретизацией формул теоремы 6. Аналогичные формулы с нижними пределами и с заменой коэффициентов |fn| на их регуляризации Fn справедливы и для вычисления нижнего типа целой функции. Отметим также, что в этих работах фактически доказано равенство ст^ = CTMf при условии, что функция а(ж) = жЫ(ж) удовлетворяет условию (6).

Класс всех функций сравнения обозначим U.

Класс U является плотным классом во множестве всех целых функций в том смысле, что для всякой целой функции f (z) найдется такая функция A(z) € U, что ста(/) =0, то (см. [13]).

И здесь опять возникает проблема Адамара нахождения возможно более узких классов функций сравнения, плотных в этом смысле. Так в работе [15] А. Ю. Попов показал, что плотной в классе целых функций, имеющих бесконечный тип при логарифмическом порядке 2, является совокупность всех функций сравнения с дополнительным условием lim AArn±a = 1.

n—те An+1

Обозначим uYk) = {A(z) : A(z) = § е-ф(n)zn, Ф(ж) € Я^}. Поскольку здесь

n=0

= е-ф(n), то ^A+i = еф(п)-ф(n+1) j 0, и каждый класс \ k ^ 1, y > 0, состоит из

функций сравнения. Очевидно, при любом k ^ 1, y > 0 и с uf.

Следующие результаты говорят о том, что при любом k ^ 1 в качестве плотного во множестве всех целых функций класса функций сравнения как сверху, так и снизу, может быть взят любой из классов

uf°. В то же время классы uf с y € (0; 1) при любом k ^ 1 не могут служить такими классами функций сравнения, т. е. дальнейшее сужение в рамках

uf при любом k ^ 1 уже невозможно.

Теорема 7. Пусть к £ N. Для всякой целой трансцендентной функции /(я) =

ОО / (ЬЛ

найдутся функции Ф}(ж) £ ' и $2(ж) £ Н} ' такие, что

lim {lnß/(ex) - Ф1(ж)} = 0 и lim {lnß/(ex) - Ф2(ж)} = 0,

x x—

причем

lim {ln |fn| + Фi(n)} = lim {ln+ Фi(n)} = 0 и ¡im {ln+ Ф2(n)} ^ 0.

n—те n—те n—те

Здесь опять Fn регуляризация Ньютона Адамара |fn|.

С другой стороны, для всякого y € (0; 1) найдется целая функция f (z) такая, что lim {ln Fn + Ф (n)} = то при всех Ф(ж) € Я^к).

< По теореме С для функции ^>(ж) = lnß/(ex) существуют функции Ф1 (ж) и Ф2(ж) из

Ф1(ж) ^ ^(ж) ^ Ф2(ж),

класса Я1 такие, что для всех

n—

причем для некоторых последовательностей xn ^ то и xn ^ то выполняются соотношения $i(Xn) = ^(Х„) + o(1), n ^ то и $2(x„) = ^(x„) + o(1), n ^ то.

В то же время, для любого 7 < 1, найдется выпуклая функция ^>(x) со свойством (2) такая, что для всех $(x) Е будет выполняться lim [^(x) — $(x)j = +то.

Рассмотрим функцию A(z) = ^ , = e ф2(n). Для n = 0,1, 2,... выполняется

n=0

ln |/n|enx ^ ln(ex) ^ Ф2(х) и ln |/n| ^ Ф2(х) — nx, а тогда

ln |/n| ^ ln ^ — sup{nx — Ф2(x)} = —Ф2(n),

x

т. е. |/n| ^ Кроме того,

ln^A(ex) = max{nx — Ф2(n)} ^ sup{(x — Ф2(Z)} = Ф2(х).

Обозначим q = lim A1, q ^ 1. Если бы q < 1, то для qi G (q; 1) и достаточно больших

n—те An

r в силу леммы 3 имели бы ^f (r) ^ qi^A(r), а тогда

Ф2(x) + o(1) = ln^f (ex) ^ lnqi^A(ex) ^ lnqi + Ф2(х), x = x„ ^ то. Противоречие указывает на то, что q = 1. Следовательно, lim A^ = lim A1 = 1 и

n—те An n—те An

um [ln |/ra| + Ф2(n)] = um [ln+ Ф2(n)] = 0.

n—те n—те

те

Рассмотрим теперь функцию B(z) = ^ Brazn, Bn = l(n). Поскольку ln^f (ex) =

С (ж), где у = С (£) — уравнение ломаной Ньютона — Адамара функции / (г), то условие

Ф1(ж) ^ 1п (еж) = С (ж) эквивалентно условию ) ^ Ф ). Тогда 1п = —С(п) ^

—Ф1 (п), т. е. ^ и 1п + Ф1 (п) ^ 0. >

Теорема 8. Пусть к £ N. Для всякой целой трансцендентной функции /(г) = те те те

X] /„г" найдутся функции сравнения А(г) = £ £ В (г) = £ г" £

п=0 п=0 п=0

такие, что аА(/) = 1 и (/) ^ 1, причем

аА (/) = шт г/ А! = шт г/АА" и аБ (/) = м ^,

где — регуляризация Ньютона — Адамара |/„ |.

В то же время, для любого 7 £ (0; 1) найдется целая функция /(г) такая, что Ста (/) = то при всех А(г) £ Цук).

< На самом деле, функции, построенные при доказательстве теоремы 7, пригодны и для доказательства теоремы 8. Это ясно для функции А(г), поскольку

Mf (r) ^ |/n|rn ^ A„rn = A(r).

n=0 n=0

И если бы для некоторых т < 1 и г0 при всех г > г0 выполнялось М/(г) ^ А(т ■ г), то по лемме 1 предыдущего пункта имели бы для всех достаточно больших г и некоторого т1 £ (т; 1) оценку (г) ^ ^а(т1 ■ г) ^ ^^а(г) с произвольно малым положительным . Но это, как мы видели, невозможно. Следовательно, аА(/) = 1.

x—>те

По доказанной теореме 2 ^ а тогда (f ) = lim -g? ^ 1. > (k)

Классы , k G N пригодны и для более точной, чем в теореме 6 классификации роста целой функции в смысле (***) и (****).

те

Теорема 9. Пусть k G N. Для любой целой трансцендентной функции f (z) = ^ fnz™

n=0

существуют функции Ф^(ж) G i = 1, 2, такие, что выполняются равенства

lim (ln Mf (ex) - Ф2(ж)) = 0, lim (ln Mf (ex) - Ф^ж)) = 0,

а для коэффициентов функции выполняются соотношения

um ln|fra| + Ф2(n) = um ln+ Ф2(n) =0; lim ln+ Ф2(n) >0.

га^те n га^те n га^те П

< В самом деле, существование таких Ф^(ж) G fi|k), i = 1, 2, гарантирует теорема С.

те ~ те ~

Построим функции A(z) = e-$2(ra)z™, B(z) = ^ е-фl(n)zn. Как и в теореме 8, по-

n=0 n=0

казываем, что a^(f) = 1 и (f) ^ 1. А это после логарифмирования дает требуемые формулы. >

те ~

Замечание. Если дополнительно функция B(z) = ^ B„z™, = е-фl(n) тако-

n=0

ва, что ж = о(Ф1(ж)), ж ^ ж (например, Ф1'(ж) ^ ж, что влечет n+2 ^ 1), то

ßn+1

в теореме 8 можно утверждать, что (f) = 1, и, соответственно, в теореме 9 — что

lim lnl(n) =0.

В самом деле, если бы (f) > 1, то для некоторого т > 1 по лемме 1 имели бы асимптотически ßj(r) ^ ßß(т ■ r), что влечет

Ф1(ж) + o(1) = ln(ex) ^ ßß(ex+lnT) ^ Ф1(ж + lnт) - (x + lnт), ж = X„ ^ ж.

А тогда имели бы

o(1) ^ Ф1(ж + lnт) - Ф1(ж) - (ж + ln т) ^ Ф1 (ж) ln т - (ж + ln т) (ж = жп ^ ж)

или

/Ф1 (ж) \

o(1) ^ ( —-lnт - 1 ) ж - lnт ^ ж, если ж = жп ^ ж,

ж

что невозможно. Противоречие доказывает требуемое равенство aß (f ) = 1.

Применяя методы работы [14], можно перенести полученные результаты и на функции многих переменных.

Литература

1. Hadamard J. Essai d'étude des fonctions données par leur développement de Taylor // J. Math. Pure et Appl.—1892.—V. 8.—P. 154-186.

2. Valiron G. Lecture on the General Theory of Integral Functions. Privat Toulouse, 1923.

3. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.: ГИТТЛ, 1956.

4. Таров В. А. Гладко меняющиеся функции и совершенные уточненные порядки // Мат. заметки.— 2004.—Т. 76, вып. 2.—С. 258-264.

5. Коробейник Ю. Ф. Аналитические решения операторных уравнений бесконечного порядка: Дис. ... докт. физ.-мат. наук.—Ростов-на-Дону, Ростовский гос. ун-т, 1965.

6. Коробейник Ю. Ф. Нормально-разрешимые операторы и дифференциальные уравнения бесконечного порядка // Литовский мат. сб.—1971.—Т. XI, № 3.—С. 569-596.

7. Осколков В. А. Современные методы теории функций и смежные проблемы // В сб.: ВЗМШ, тезисы докладов.—Воронеж, 1997.—С. 126.

8. Осколков В. А. О некоторых вопросах теории целых функций // Мат. сб.—1993.—Т. 184, № 1.— С. 129-148.

9. Kiselman Ch. O. Croissance des fonctions plurisousharmoniques en dimension infinie // Ann. Inst. Fourier, Grenoble.—1984.—V. 34, № 1.—P. 155-183.

10. Брайчев Г. Г. О сглаживании выпуклых функций // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона.—Киров, 2004.—Вып. 6.—С. 38-47.

11. Брайчев Г. Г. Несколько простых замечаний о равенстве характеристик роста целых функций // В сб.: Актуальные проблемы математики, физики, информатики и методики их преподавания. Юбилейный сборник к 130-летию МПГУ.—М.: МПГУ, 2003.—С. 49-53.

12. Брайчев Г. Г. О сглаживании выпуклых функций. Обобщенная проблема Адамара // В сб.: Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. Юбилейный сборник к 70-летию кафедры математического анализа МПГУ.—М.: МПГУ, 2004.—С. 147-156.

13. Казьмин Ю. А. Методы интерполяции аналитических функций и их приложения: Дис. ... докт. физ.-мат. наук.—М.: МГУ, 1972.

14. Коробейник Ю. Ф. О связи между максимумом модуля и тейлоровскими коэффициентами целых функций многих комплексных переменных // Мат. заметки.—1997.—Т. 62, вып. 2.—С. 238-258.

15. Попов А. Ю. Границы сходимости и единственности интерполяционных задач Абеля — Гончарова // Мат. сб.—2002.—Т. 193, № 2.—С. 97-128.

Статья поступила 15 мая 2005 г. Брайчев Георгий Генрихович, к. ф.-м. н.

г. Москва, Московский педагогический государственный университет E-mail: [email protected]