О характеристиках роста операторнозначных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 112-124.

УДК 517.98+517.53

О ХАРАКТЕРИСТИКАХ РОСТА ОПЕРАТОРНОЗНАЧНЫХ

ФУНКЦИЙ

С.Н. МИШИН

Аннотация. В работе обобщаются теорема Лиувилля и понятия порядка и типа роста целой функции на случай операторнозначных функций со значением в пространстве Lec(Hi, H) всех линейных непрерывных операторов, действующих из локально выпуклого пространства Hi в локально выпуклое пространство H, наделенном равностепенно непрерывной борнологией. Найдены формулы, выражающие порядок и тип операторнозначной функции через характеристики последовательности коэффициентов. Установлены некоторые свойства порядка и типа операторнозначной функции.

Ключевые слова: локально выпуклое пространство, порядок и тип последовательности операторов, порядок и тип целой функции, равностепенно непрерывная борно-логия, борнологическая сходимость, операторнозначная функция.

ВВЕДЕНИЕ

ГО

Известно [3, 4], что если целая скалярная функция f (z) = ^2 anzn не многочлен, то

n=0

ее максимум модуля Mf (r) = max |f (z)| растет быстрее любой положительной степени r

|z|<r

при r —— ж (теорема Лиувилля). Для оценки роста таких функций обычно используются характеристики (порядок и тип):

-— lnln Mf (r) -— ln Mf (r

p = lim ----—, a = lim --------

r—ro ln r r—ro rp

При этом известны формулы, выражающие эти характеристики через коэффициенты:

-- n ln n 1 -- 1 А-Г / \

p = lim —-—:—-, (pea)р = lim np у |an|. (2)

n——ro — ln |an| n——ro

Данная работа посвящена обобщению этих формул и теоремы Лиувилля на случай целой

ГО

операторнозначной функции F(t) = Antn со значениями в пространстве Lec(H1, H)

n=0

всех линейных непрерывных операторов, действующих из локально выпуклого пространства Hi в локально выпуклое пространство H. Пространства Hi и H, вообще говоря, ненормируемы.

1. Целые операторнозначные Функции и аналог теоремы Лиувилля

H1 и H — отделимые локально выпуклые пространства над полем комплексных чисел с топологиями, задаваемыми соответственно мультинормами {||-||q}, q Е Q и {||-||p}, p EV. Без ограничения общности можно считать мультинормы в H1 и H мажорантными [2]. Обозначим A = {An}ГО=0 — последовательность линейных непрерывых операторов, действующих из локально выпуклого пространства H1 в локально выпуклое пространство H.

S.N. Mishin, On growth characteristics of operator-valued functions.

© Мишин С.Н. 2013.

Поступила 16 августа 2012 г.

Последовательность A называется имеющей порядок [1, 5], если найдется последовательность положительных чисел {cn}ro=0, такая что

Vp Е V 3Cp > 0 3q(p) Е Q Vx Е H1 Vn Е N : ||cnAn(x)|p < Ср||ж|^, (3)

то есть семейство операторов {cnAn} будет равностепенно непрерывным.

Пусть

6U(p,q,n)= sup I|An(X/)|p 1 , n = 0,1,2,•••

l|xyq=0 I llXllq J

(случай в a (p,q,n) = +ж не исключается). Обозначим

а , ln eA(p,q,n)

Pp,q (A) = lim -----------.

n—ro n ln n

Определение 1. Число вР(A) = inf ep,q(A), (p Е V) называется p-nоpядком последо-

qeQ

вательности опеpатоpов A, а число в (A) = sup{^p(A)} — ее поpядком.

per

Если в (A) = ±ж и при этом последовательность A имеет порядок, то она называется последовательностью бесконечного порядка.

Замечание. Отметим, что между последовательностями, имеющими порядок в(A) = +ж, и последовательностями, не имеющими порядка (несмотря на то, что для них формально также в(A) = +ж), есть существенное отличие. Если в(A) = +ж, но при этом последовательность A = {An} имеет порядок, то для нее можно подобрать последовательность положительных чисел {cn}, такую что будет выполнено условие (3). Для последовательностей, не имеющих порядка, такой последовательности подобрать нельзя.

Если последовательность операторов A имеет р-порядок вр^) = ±ж, то для нее вводится более тонкая характеристика. Обозначим

ap,q(A) = lim n-ep(A) \Jвд(р, q,n).

n—ro

Определение 2. Число ap(A) = inf ap,q(A), (p Е V) называется p-типом последова-

qeQ

тельности опеpатоpов A щи p-поpядке вр^).

Очевидно вр^) < в (A), Vp. Можно показать [7], что случай, когда равенство

вр^) = в(A) справедливо не для всех p, а лишь для некоторых, сводится к случаю, когда вр^) = в^), Vp заменой мультинормы на эквивалентную. Эта замена не изменяет ни порядка, ни типа последовательности операторов. Поэтому (не ограничивая общности) будем рассматривать два случая: либо вР^) = в (A), Vp, либо вP(A) < в (A), Vp.

Определение 3. Пусть последовательность опеpатоpов A имеет p-поpядки вр^) и порядок в(A) = ±ж. Число

[ sup{ap(A)} , вр (A) = в (A), Vp a (A) = < per

\ 0 , вр(A) <в(A), Vp

называется типом последовательности опеpатоpов A npu поpядке в (A).

Последовательность операторов A называется принадлежащей классу £ньн[Ь,а], (см. [1, 5]) если ее порядок меньше b, либо равен b, но тогда тип не превосходит а.

Пусть H — полное пространство. Известно [8], что в этом случае пространство Lec(H1, H) всех линейных непрерывных операторов, действующих из H1 в H, наделенное равностепенно непрерывной борнологией, является полным борнологическим векторным выпуклым пространством.

Определение 4. Операторнозначная функция F : C ^ Lec(Hi, H) называется дифференцируемой в точке t0 £ C, если существует предел (по борнологии пространства Lec(Hi, H))

lim F(t) - F(to). (4)

t——to t — t0

Этот предел называется производной операторнозначной функции F в точке t0 и обозначается F'(t0).

Определение 5. Операторнозначная функция F : C ^ Lec(H1, H) называется целой,

если она определена и дифференцируема в каждой точке t £ C.

Целая операторнозначная функция, очевидно, непрерывна всюду (по борнологии пространства Ьее(Н1, И)).

Пусть

ГЕ2)Мк'

6F (p, q, t) = sup <------------------------------- ——-------------> , t £ C

\\x\\'q =0 I llxllq J

(случай 0^(р, д, ^) = не исключается).

Теорема 1. Целая операторнозначная функция ^(£) ограничена на любом замкнутом круге, то есть семейство операторов (£)}|*|<г равностепенно непрерывно для всякого г > 0.

Доказательство.

□ Зафиксируем произвольное г > 0. Предположим, что функция ^(£) целая, а семейство (^(*)}|4|<г не является равностепенно непрерывным, то есть найдется р0 £ Р, такое что для всякого С > 0 и для всякого д £ 2 найдется (д), такое что |^с | < г и

0р(р0,д,£с) > С. Зафиксируем произвольное д £ 2 и возьмем С = п, п £ N. Получим последовательность комплексных чисел = £п(д), целиком лежащую в круге |£| < г. При этом

0^(ро,д,4) > П, Уп. (5)

В силу ограниченности последовательности (£„} найдется сходящаяся подпоследовательность (£„к}. Из (5) следует 0^(ро,д,^пк) > п^, Ук, то есть последовательность (^(£„к)} не является равностепенно непрерывной, а следовательно расходится. Но в силу непрерывности функции она должна сходиться. Получаем противоречие.В

Если функция ^(£) целая, то для всякого фиксированного х £ Н1, ^(^)(х) — целая вектор-функция со значениями в Н. Такая функция представляется степенным рядом [9]

F(t)(x) = ^x„tn, x £ Hi, {xn} С H

n=0

(для каждого x последовательность {xn} своя). Положим по определению

MF(p, q, r) = sup 0F(p, q,t).

|t|<r

Определим последовательность операторов An : H1 ^ H следующим образом:

An(x) = xn, Vx £ Hi. Получим разложение функции F(t) в степенной ряд:

ГО

F (t) = ^ A„tn. (6)

n=0

При этом ряд (6) сходится всюду к функции F(t) поточечно (при любом фиксиро-

ГО

ванном x £ Hi ряд Y, An( x)tn сходится всюду к функции F(t)(x)). Покажем, что

n=0

{An} С Lec(Hi, H) и ряд (6) сходится всюду по борнологии к функции F(t). Для начала докажем следующую теорему.

Теорема 2 (аналог неравенства Коши). Справедливо неравенство

0д(р, 5, п) < М(рП^’Г), Ур Уд Уп Уг > 0. (7)

Доказательство.

□ Пусть р Є Р, д Є 2, г > 0. Если Мр(р, д, г) = то, то неравенство (7) выполнено. Пусть Мр(р, 5, г) < то. Так как при любом фиксированном х вектор-функция

ГО

^(і)(х) = ^ Ага(ж)іга целая, то (см., например, [9])

n=0

1 Г ^ (£)(хЫ£

А(х) = п £ м-

|5|=г

Отсюда Ур £ Р Ух £ Н1 Уг > 0 Уп £ N имеем

йиР 11^(£)(х)||Р йир (Р,д,С) .

И,,(*)»,, < ^----------------< |^^------------------К = ||хи;,

что влечет неравенство (7).И

Так как функция ^(*) целая, то по теореме 1 для всякого г > 0 семейство (^(*)}|*|<г равностепенно непрерывно, то есть

Ур £ Р ЗСР > 0 Здр £ 2 Ух £ И У* |*| < г ^ ||^(*)(х)||р < Ср|х|^р.

Для каждого р выберем д0 = д0(р) такое, что ||х||^0 > ||х||^р, Ух £ Н1 (это всегда можно сделать, так как мультинорма мажорантная). Тогда

[IIF (t)(x)||p

Cpllxllgp

(p,q0,t)= sup ^——--------------> < sup ^ M = C7p(q0), |t| < r.

iix\q0 =0 I 11x П qo J iix\q0=0 I 11x N qo j

Таким образом, для всякого r > 0 и для всякого p £ P найдется q0 £ Q, такое что (p, q0, t) (как функции t) ограничены в круге |t| < r. А это значит, что

Vr Vp 3q0(p, r) : MF(p, q0, r) < to.

То есть по теореме 2

lim ^6U(p,q0,n) < 1, r > 0. (8)

n—ro r

Из (8) следут либо вР(А) < 0, либо вР(А) = 0, но тогда в силу произвольности r

ap(A) = inf lim n0a(p, q, n) = 0.

Таким образом, последовательность (Ага) принадлежит классу £ньн[0, 0] и, следовательно, ряд (6) сходится всюду по борнологии к функции ^(і) (см. [1, 5]).

Теорема 3 (аналог теоремы Лиувилля). Пусть функция (6) целая и удовлетворяет условию:

3& Ур 3Кр > 0 Зд(р) Уг > 0 : Мр(р, д, г) < Кргк. (9)

Тогда ^ — операторнозначный многочлен, степень которого не превышает &, то есть

F (t) = ^ Antn

n=0

Доказательство.

□ Из неравенств (Т), (Q) и определения чисел 0^(p,q,n) имеем:

||An(x)||p < 0A(p,q,n)|x|q < Kprk-n|x|q, Vp Vx Є Hl Vr > О Vn, q = q(p).

В силу произвольности r,

l|An(x)||p = О, Vn > k Vp Vx Є Hi,

следовательно, An = О, Vn > k. И

Теорема З показывает, что если F — целая трансцендентная функция, то величины Mf (p, q, r) растут при r ^ то быстрее любой положительной степени.

2. Характеристики роста целой операторнозначной функции и формулы

их вычисления

Определение в. Пусть F і C ^ Lec(Hl, H) — целая трансцендентная функция. Число pp(F) = inf pp,q(F), где

— lnln Mf (p,q,r)

Pp,q(F) = lim -----]--------

ln r

назовем p-порядком функции F, а число p(F) = sup{pp(F)} — ее порядком.

peP

Если О < pp(F) < то, то число ap(F) = inf ap,q(F), где

qeQ

ln Mf (p,q,r)

ffp,q (F ) = ,bm—rppF-----.

назовем p-типом функции f при p-порядке p(F).

Можно показать, что случай, когда для одних p, pp(F) < p(F), а для других

PP(F) = p(F), сводится к случаю pp(F) = p(F), Vp заменой мультинормы на эквивалентную. Поэтому (не ограничивая общности) будем рассматривать два случая: либо Pp(F) < p(F), Vp, либо Pp(F) = p(F), Vp.

Определение Т. Пусть функция F(t) имеет p-порядки pp(F) и порядок О < p(F) < то. Число

\ О , Pp(F) <P(F), vp

^(F) = S sup{ap(F)} , Pp(f)= p(F), Vp

L peP

назовем типом функции f при порядке p(F).

Лемма 1. Пусть

Vp 3qp 3ap,bp > О 3r0(p) Vr > r0 і Mf(p, qp,r) < e“p,bp. (10)

Тогда

' \ -aPbPe ' ь

Ур Зпо(р) Уп > по : ^6л(р,дР,п) <^ ——^ . (11)

Доказательство.

□ Пусть выполнено неравенство (10), тогда в силу (7) имеем

0а(р, др, п) < ——; Ур Уг > го(р) Уп. (12)

rn kp

Обозначим ^p(r) = eapr pr-n. Очевидно,

Vp і ^(О) = ^(+то) = +то.

Найдем min{^p(r)}.

,>0

K(r) = Mr)ln' Mr)

^P(r) = ^p(r) (aprbp — n ln r);

^P(r) = Mr) (apbprbp-1 — n)

1

^Р(г) = 0 при г = г1 = (опт) Ьр . Подставляя г1 в неравенство (12), получим (11). И Лемма 2. Пусть

Ур Здр З«р,6р > 0 Зпо(р) Уп > по : 0а(р, др,п) < ^^п^ . (13)

Тогда

Ур Уе > 0 Зг0(р, е) Уг > г0 : Мр(р, др,г) < е(“р +£)гЬр. (14)

Доказательство.

□ В силу условия (13) А £ £ыьы[0,0], следовательно, Е — целая операторнозначная функция. Зафиксируем произвольное р (тем самым зафиксируем зависящие от него др, ар, Ьр) и рассмотрим неравенство:

, , ч х \ п

0л(р,др,п)гга < ( ( арпр~) Р г

Для достаточно больших п

/ар6ре\1 п ,

--- г < 7^ (15)

п / 2

Обозначим ^р(г) — наименьшее из натуральных п, при которых выполняется неравенство (15).

Найдем зависимость ^р(г) от г. Имеем:

2г ^арЬр6^ < 1, при п > (2г)Ьр (ар6ре).

Следовательно, можно положить ^р(г) = [(2г)Ьр(ар6ре)] + 1.

Далее, для любых фиксированных р £ Р, * £ С и х £ Н1 имеем:

оо оо

IIеС0(х)||р < £ 1К(х)||р Ип < £0л(р,др,п)|*|га|х|^р,

п=0 п=0

следовательно,

о

0р(р,др,*) < £ 0A(p,дp,n)|t|ra,

п=0

то есть

о Nр (г) — 1 о

Ур Уг > 0: Мр(р, др, г) < £ 0а(р,др,п)гп = £ 0Л(р,др,п)гп + £ 0л(р, др, п)гп.

п=0 п=0 п=Мр(г)

Для п > ЛТр(г) выполняется неравенство: 0а(р, др,п)гп < п , поэтому

о о ✓ чга о ✓ \ п

£ 0А(р,др,п)гП < £ (2) < ^ (2) =2.

п=Мр (г) п=Мр(г) п=0 ' '

Так как при любых фиксированных р и г

Иш 0а(р, др, п)гп = 0,

п—о

то последовательность (0а(р, др, п)гп} имеет максимальный член. Пусть

Шр(г) = шах(0А(р, др, п)гп},

п> 0

тогда

Мр(г)-1

£ 0а(р, др, п)гп < Шр(г)Жр(г).

п=0

Оценим тр(г). Пусть 0а(р, др, з)г5 — максимальный член. При неограниченном увеличении г номер 5 максимального члена также начнет неограниченно увеличиваться, то есть в ^ то при г ^ то. Если г — достаточно большое, то в > п0, где п0 — число из (13).

Поэтому

^ ^ 5 ,, ^ арЬре ^ Ьр 5 ^ ^ арЬре ^ Ьр ^

тр(г) = 0а(р, др,в)г < ( ^^ ) г < Щах И г?

Обозначим

/^ч I арЬре \ р г

^р(0 = ( ) гг.

Очевидно,

Ур : ^р(0) = 1, ^р(+то) = 0.

Найдем шах{^р(£Н. Имеем:

5>0

/^1п(ар6ре) 1п £ 1

"р К) = ^ -17 - ьр + г

^р(С) = 0 при £ = £і = (йр6р)гЬр.

^р(Єі) = е“ргЬр.

Следовательно (при достаточно больших г), тр(г) < е“рГ р.

Итак

Мр(р, др, г) < Жр(г)тр(г) + 2 < ((2г)Ьр(арЬре) + 1)е“ргЬр +2 < е(“р+е)гЬр.

■

Теорема 4. Характеристики роста функции (6) вычисляются по формулам

^ = - Щ)' Ур- (16)

Стр= - АМцдд))-дет, Ур, (17)

р(Я = - в(А) ’ (18)

(р)^ 0 , в(А) <в(А) Ур (19)

а( ) ^ в(А)(а(А))-къ , вр(А) = в(А), Ур. ( )

Доказательство.

□ Зафиксируем произвольное р. Пусть р-порядок функции Е равен рр(Е). Тогда Ур Уе > 0 Здр(е) Зг0(р, е) Уг > г0 : Мр(р, др, г) < ехр {гРр(р)+£} .

По лемме 1 (Ьр = рр(Е) + е, ар = 1)

^ АРр(^)+ є) е \ рр(і?)+£

у Мр, 5р, п) < (-----------------п---------) , Уп > по.

Отсюда последовательно находим:

п 1п ^ др, п) < (р-^) 1п ((рр(^) + є> е) - = Ср(£) - ,

і л і ^ п і \ п 1п п

1п0л(р,5р,п) < Ср(є)п -

Рр(^) + є’

і п 1п п ^ ( 1 Ср(є) \ , ,

1п л ^-------- > —тї^г;----------Ср(є)п = п 1п п ( —^ ^ |------^— ) , Уп > п0. (20)

і

0А(р,др,п) Рр(Е)+ е \Рр(Е)+ е 1п п

При п ^ то выражение в скобках в (20) стремится к р (Р)+£, поэтому при больших п

1 п 1п п

1п^----------г >

0л(р,5р,п) Рр(Е) + 2є ’

то есть

п 1п п

Рр(^) + 2є >

- 1п 0А(р,др,п)‘

В силу произвольности е,

1 Г— п 1п п

вр,9р(А) п—° - 1п0A(p, дp, п) < Рр .

Так как вр(А) = іп£{вр,9 (А)}, то

9

Таким образом, рр(Е) > — в~(Ау, Ур. Обратно, поскольку

р

і

вр

1 / 1 / (Г)

вр(А) <-вр-М < Рр( '■

1 ^— п 1п п

1іш

вр,-(А) - 1п 0д(р, д, п) ’

то

п 1п п 1 є

! Д /---------V < - Д / + о, Ур Ує > 0 У5 Уп > по(р,д,є).

- 1п бА(р,д,п) вр,9 (А) 2

Так как вр(А) = іп£{вр,9 (А)}, то

1 1 Є Ур Ує> 0 ЭД: -вр-Д) <-вр(А) + 2-

Таким образом

п 1п п 1

----------- <-------

— 1п 0А(р,др,п) вр(А)

следовательно,

Ур Ує > 0 Здр(є) Зп0(р, є) Уп > п0 : —-—------------------------ < - + є,

Ур Ує > 0 Здр(є) Зп0(р, є) Уп > п : {/0д(р, др, п) < п вр

і

'вр(А)

+£

По лемме 2 (би — — я 1 ^ + є, йр

Ч - вртА+е

Ур Уе > 0 Здр(е) Зг0(р, е) Уг > г0 : Мр(р, др, г) < ехр <{ (ар + е)г^-вр(А)

А это означает, что рр(Е) < — ^ 1а) , Ур.

Таким образом равенство (16) доказано. Равенство (18) непосредственно следует из (16) Докажем равенство (17).

Пусть функция Е имеет р-порядок 0 < рр(Е) < то и р-тип ар(Е). Тогда

Ур Уе > 0 Здр(е) Зг0(р, е) Уг > г0 : Мр(р, др, г) < ехр {(ар(Е) + е)гРр(р^ .

і

По лемме 1 (ар = тр(Е) + е, Ьр = рр(Е)) имеем:

ПТ,-------Г Лтр(Е)+ е) рр(Е)е\ рр(^) „

у0А(р,др,п) <(-----------п---------) , Уп>по,

п^0а(р, др,п) < ((тр(Е) + е) рр(Е)е) Рр(^, Уп > по.

В силу произвольности е

ар,др(А) = Иш п-вр(А) ^0А(р,др,п) =

п—о V

= Иш пу/0А(р,др,п) < (тр(Е)рр(Е)е)

п—о V

Так как ар(А) = т£{ар9(А)}, то

9

1

«р(А) < ар,9р (А) < (тр(Е)рр(Е)е)Рр(^) , Ур.

Обратно, поскольку

ар,9(А) = Иш п-вр(А) V0а(р, д, п) = Иш прр(^) V0а(р, д, п), Ур, Уд,

п—о п—о

то

Уе > 0 Ур Зд(р, е) Зп0(р, е) Уп > п0,

1 1 ^0-^ < (^(А^+е)Рр(Р)) Рр<Р 1 < (<°р(А>+2е>Рр(Р)) 'р,Р’.

По лемме 2 ^6р = рр(Е), ар = (ар(—^ получаем:

Ур Уе > 0 Здр(е) Зг0(р, е) Уг > г0 : Мр(р, др, г) < ехр |(ар + е)гРр(р^ .

Отсюда следует, что

т ^ 7 =(ар(А) + 2е)рр(р)

Тр(Е ) < “р = —рр(Ё>е—.

В силу произвольности е

Тр^Ы^е < ЫА)Гр(р),

следовательно,

1

ар (А) > (Тр(Е )рр(Е)е) 'р<^ > ,

то есть

Тр(Е) = — вр(еА) (ар(А))-вр(А), Ур.

Таким образом равенство (17) доказано.

Докажем равенство (19).

Если вр(А) < в (А), Ур, то из равенства (16) следует рр(Е) < р(Е), Ур и по определению т(Е) = 0.

Если же вр(А) = в (А), Ур, то из равенства (16) следует рр(Е) = р(Е), Ур и по определению

т(Е) = 8ир{тр(Е)} = — в(А) 8ир{(ар(А))-в(А)} = — в(А) (а(А))-в(А). р е р е

■

Замечание. Отметим, что соотношение (16) верно и для рр(Е) = то. Так как, если предположить, что рр(Е) = то и вр(А) < 0, то должно быть (по доказанному) рр(Е) < то, что не так. Аналогично равенство (17) верно и для тр(Е) = то.

Замечание. Формулы (16) и (17) показывают, что р-порядки и p-типы целой операторнозначной функции полностью определяются характеристиками последовательности ее коэффициентов.

Примеры.

1. Пусть Hi = H = H(C) — пространство всех целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах:

l|x(z) ||p = max |x(z) |, р > 0.

|z|<p

Найдем характеристики функции

^ tn dn

FМ = e‘- = £ ^^ C ^ Lec(H(C)).

n=0

Последовательность A = {nr } имеет следующие характеристики [1]:

вр(А) = ap(A) = 0, Vp.

Следовательно, pp(F) = то, Vp.

2. Пусть Hi = [р,а], H = [р,0],0 > а. Топологии на этих пространствах определяются мультинормами

||x(z)||£ = sup < max |x(z)|e-(CT+e)p f , e> 0, x G [р,а].

p>0 [ |z|<p j

z)||£ = sup {max |y(z)|e-(0+£)p f , e> 0, y G [р, 0].

p>0 [ |z|<p j

Найдем характеристики функции

V

n! dz

n

n ! dz

n=0

Последовательность A = { nil } имеет следующие характеристики [1]:

в,(A) = -1, a,(A) = (peaO,)p, Vє, p где ( ( )

о, = ((і - (A) A Г . p> і

І і , p < і

Следовательно,

p,(F) = p, a,(F) = aO,, Vє.

3. Пусть H1 = H = H(C) — пространство всех целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах:

l|x(z) ||p = max |x(z) |, p > 0.

|z|<p

Найдем характеристики функции

z

F(t)(x) = x(z) + t J e(z-?)tx(£)d£ =

0

z

(z - е)ntn

= x(z) + t£ ———x(e )de

n=0 0

F(t) : С ^ Lec(H(C)).

Здесь

г

Г (г _ £)га-1

Ап(х) = —---х(£)^£, п = 1,2,..., Ао = Е.

] (п - 1)!

о

Последовательность А = {Ап} имеет следующие характеристики [1]:

вр(А) = -1, ар(А) = р, Ур.

Следовательно, рр(Е) = 1, ар(Е) = р, Ур.

3. Свойства характеристик роста операторнозначных функций

Отметим некоторые свойства характеристик роста операторнозначных функций, следующие из теоремы 4.

10. Целая функция Е и ее к-я производная Е(к) имеют одинаковые р-порядки и р-типы роста.

Справедливость следует из того, что последовательности {Ап} и Ага+к| имеют

одинаковые характеристики при любом фиксированном к.

20. Если функция Е1 имеет р-порядки рр(Е^ и р-типы аДЕ^, а функция Е2 имеет р-порядки рр(Е2) > рр(Е1), Ур и р-типы ар(Е2), то функция Е = Е1 + Е2 имеет р-порядки Рр(Е) = рр(Е2), Ур и р-типы ар(Е) = СТр(Е2), Ур.

Справедливость следует из того, что характеристики суммы последовательностей операторов равны характеристикам того слагаемого, у которого порядок больше.

30. Если функция Е1 имеет р-порядки рр(Е1) и р-типы ар(Е1), а функция Е2 имеет р-порядки рр(Е2) = рр(Е1), Ур и р-типы ар(Е2) > ар(Е1), Ур, то функция Е = Е1 + Е2 имеет р-порядки рр(Е) = рр(Е2), Ур и р-типы ар(Е) = ар(Е2), Ур.

Справедливость следует из того, что характеристики суммы последовательностей операторов с одинаковыми порядками равны характеристикам того слагаемого, у которого тип больше.

40. (Для случая Н1 = Н.) Пусть функция Е1 имеет порядок р(Е1) и тип а(Е1), а функция Е2 имеет порядок р(Е2) > р(Е1) и тип а(Е2). Тогда функция Е = Е1Е2 имеет порядок р(Е) < р(Е2) и тип а(Е). Если р(Е) = р(Е2), то а(Е) < а(Е2). Аналогично для

функции Е = Е2Е1.

Доказательство основано на следующей лемме.

Лемма 3. Пусть последовательность операторов А = {Ап} имеет порядок в (А) и тип а(А), а последовательность операторов В = {Вп} — порядок в (В) > в(А) и тип

П

а(В). Тогда последовательность операторов С = {СП}, где Сп = ^ Вп-к имеет поря-

к—0

док в (С) < в (В) и тип а(С). Если в(С) = в(В), то а(С) < а(В).

Доказательство.

□ Обозначим а = а(А)ев(А), Ь = а(В)ев(в).

Из определения порядка и типа последовательности операторов имеем [1] Ує,є1 > 0, Ур, ЗМр, Зд, Уп, Ух Є Н :

||Сга(ж)||р < Мр ^(Ь + є)пп!в(в) + (а + єі)(Ь + є)га-11!в(л)(п - 1)!в(в) + ■ ■ ■ + + (а + Єі)га-1(Ь + є)(п - 1)!в(А)1!в(в) + (а + єі)гап!в(л^ ||ж||, < < Мр(Ь + є)пп!в(в)

х||<?, (21)

где V = в (А) - в (В).

Если в (В) > в (А) (V < 0), то при больших п выражение в квадратных скобках в (21) не превосходит (1 + є2)п, Ує2 > 0 и следовательно в (С) < в (В), причем, если в(С) = в(В), то а (С) < а(В). ■

50. (Для случая Н1 = Н.) Пусть функция Е1 имеет порядок р(Е1) и тип а(Е1), а функция Е2 имеет порядок р(Е2) = р(Е1) и тип а(Е2) > а(Е1). Тогда функция Е = Е1Е2 имеет порядок р(Е) < р(Е2) и тип ст(Е). Если р(Е) = р(Е2), то а(Е) < 2а(Е2). Аналогично для функции Е = Е2Е1.

Доказательство основано на следующей лемме.

Лемма 4. Пусть последовательность операторов А = {Ап} имеет порядок в (А) и тип а (А), а последовательность операторов В = {Вп} — порядок в (В) = в(А) и тип

П

а(В) > а(А). Тогда последовательность операторов С = {Сп}, где СП = ^ АкВп-к

к=0

имеет порядок в (С) < в(В) и тип а(С). Если в (С) = в (В), то а (С) < 2-в(в)а(В). Доказательство.

□ В условиях леммы выражение в квадратных скобках в (21) не превосходит 2-в(в)пп и следовательно в (С) < в (В), причем если в(С) = в(В), то а (С) < 2-в(в)а(В). ■

Замечание. Как известно, для скалярного случая справедлива теорема о категориях [3, Теорема 12]. В случае операторнозначных функций этот вопрос пока открыт.

60. (Инвариантность). Пусть Н1, Н1, Н и Н — четыре л.в.п. с топологиями, задаваемыми соответственно мультинормами || ■ ||^, д Є 2, || ■ ||~, 2 Є <2, || ■ ||р, р Є Р, || ■ ||р, р Є Р и

пусть Т1 : Н1 ^ Н1, Т : Н ^ Н — два топологических изоморфизма. Тогда:

1) для всякой операторнозначной функции

ГО

Е(*) = £ : С ^ Ьее(Нь Н)

п=0

ее порядок и тип совпадает с порядком и типом функции

ГО

Ё(£) = £ ТА„Т-1Г : С ^ Ьее(Н 1, Н);

га—0

2) если все р-порядки функции Е строго меньше ее порядка, то все р-порядки функции Е строго меньше ее порядка;

3) если хотя бы один р-порядок функции Е равен ее порядку, то хотя бы один р-порядок функции Е равен ее порядку;

4) если функция F имеет р-порядки pp(F), порядок p(F), р-типы ap(F) и тип a(F), причем множество

Pf = {р ЄР г pp (F) = p(F)}

не пусто и Vp Є Pf ; ap(F) < a(F), то функция F имеет р-порядки pp'(F), порядок p(-F), р-типы op:(-F) и тип a(F), причем множество

Pf = {р Є P ; pp(^) = p(F)}

не пусто и Vp Є Pf ; ap(F) < a(F);

5) если в условиях п. 4) Зр Є PF ; ap(F) = a(F), то Зр Є Pf і &p(F) = a(F). Справедливость свойства б0 следует из аналогичных свойств для характеристик последовательности операторов [1, б].

Из свойства инвариантности следует, что при любых заменах мультинорм в H1 и H на эквивалентные (T1 и T — тождественные операторы):

1) порядок и тип операторнозначной функции F не меняются;

2) если все р-порядки функции F были строго меньше ее порядка до замены мультинорм, то после замены мультинорм все ее рр-порядки будут также строго меньше порядка;

3) если хотя бы один р-порядок функции F был равен ее порядку до замены мультинорм, то после замены мультинорм хотя бы один ее p-порядок (не обязательно тот же самый) также будет равен ее порядку;

4) если функция F до замены мультинорм имела р-порядки pp(F), порядок p(F), р-типы ap(F) и тип a(F), причем множество

Pf = {р Є P ; pp(F) = p(F)}

было не пусто и Vp Є Pf і ap(F) < a(F), то после замены мультинорм эта функция будет иметь р-порядки pp(F), порядок p(F), р-типы op:(F) и тип a(F), причем множество

Pf = {р Є P ; pp(F) = p(F)}

будет не пусто и Vp^ Є PF ; a^(F) < a(F);

5) если в условиях п. 4) Зр Є PF ; ap(F) = a(F), то Зр Є PF ; ap(F) = a(F).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин С.В. Операторы конечного порядка и дифференциальнооператорные уравнения. Орел: ОГУ, 2009.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в ноpмиpованных пpостpанствах. М., Физматгиз, І959.

3. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, І956.

4. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, І983.

5. Мишин С.Н. Связь характеристик последовательности операторов с борнологической сходимостью jj Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. 20І0. №4. С. 26-34.

6. Мишин С.Н. Инвариантность характеристик последовательности операторов и операторных характеристик вектора jj Ученые записки ОГУ (лаб. ТФФА). №7. Орел. 20І0. С. 32-35.

7. Мишин С.Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение: Дисс. ... к. ф.-м. н. Орел, 2002.

8. Радыно Я.В. Линейные уравнения и борнология. Мн.: Изд-во БГУ, І982.

9. Garrett P. Holomorphic vector-valued functions. [Электронный ресурс] URL: http://www.math.umn.edu/~garrett/rn/fun/Notes/09_vv_holo.pdf

Сергей Николаевич Мишин,

ГОУ ВПО "Орловский государственный университет", ул. Комсомольская, 95,

З0202б, г. Орел, Россия E-mail: [email protected]