Применение теории обобщенных операторных экспонент к решению операторных уравнений в локально выпуклых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, Ni? 4 (1), с. 291-297

УДК 517.98

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ОПЕРАТОРНЫХ ЭКСПОНЕНТ К РЕШЕНИЮ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

© 2014 г. С.Н. Манько

Орловский госуниверситет [email protected]

Поступила в редакцию 15.05.2013

Описывается метод, позволяющий с помощью аналитических векторнозначных функций находить решения операторных уравнений вида F(А, и(7)) = 0. Исследование ведётся с помощью характеристик (порядка и типа) оператора А, а также операторных порядков и типов векторов локально выпуклого пространства относительно оператора А.

Ключевые слова: дифференциально-операторное уравнение, локально выпуклое пространство, порядок оператора, тип оператора.

Начало теории операторных экспонент было положено Э. Хилле, К. Иосидой [1]. В их работах получены первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения f' = Af с неограниченным оператором А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. Решение данной задачи было получено в виде

f(0 = ^ —= е— (-). Также идея ис-¿—¡п=° п\

пользования операторных экспонент при исследовании линейных дифференциальных уравнений в абстрактных пространствах развивалась, например, в трудах С.Г. Крейна [2]. Дальнейшее развитие теории операторных экспонент связано с работами М.Л. Горбачука [3] и Г.В. Рад-зиевского [4]. В них изучались целые векторы линейного оператора, действующего в банаховом пространстве, и были получены характеристики роста операторной экспоненты.

Теория дифференциально-операторных уравнений и далее строилась в тесной взаимосвязи с теорией операторных экспонент и обобщённых операторных экспонент. Последующее развитие теории дифференциально-операторных уравнений в абстрактных пространствах связано с именами многих отечественных и зарубежных специалистов. Ими опубликовано большое количество работ, в которых рассматривались разнообразные задачи для дифференциально-операторных уравнений различного вида и предлагались новые методы их изучения. Тем не менее, почти во всех этих исследованиях внимание уделяется задачам для уравнений относительно вектор-функций действительного

аргумента со значениями в банаховом или гильбертовом пространствах. Менее изучены задачи для дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах. Наиболее близкими в этом смысле являются работы В.П. Громова [5-8], С.Н. Мишина [9, 10], Н.А. Аксёнова [11], С.В. Панюшкина [12], посвящённые изучению комплексной задачи Коши в локально выпуклых пространствах для одного уравнения. Обширная библиография по данной тематике приводится, например, в [13].

Во многих работах (например, В.П. Громова [12], В.К. Иванова, И.В. Мельниковой и А.И. Фи-линкова [13], Ю.Н. Валицкого [14] и др.) дифференциально-операторные уравнения решались, по существу, методом формальной подстановки. Составлялось и решалось вспомогательное уравнение, где оператор был заменён на числовой параметр, а решение дифференциально-операторного уравнения записывалось по аналогии с решением вспомогательного уравнения, после чего обосновывалось его существование. Дифференциальная специфика уравнения при таком подходе представляется лишь при решении вспомогательного уравнения, что позволяет решать таким способом не только дифференциально-операторные уравнения, но и другие классы операторных уравнений (например, В.П. Громов [5]).

В настоящей статье делается попытка расширить этот способ на более широкий класс операторных и дифференциально-операторных уравнений. Разработан метод решения линейных операторных уравнений вида F(A,u(t)) = 0 в локально выпуклых пространствах. Основу метода составляет решение вспомогательного

уравнения, которое получается из исходного формальной заменой оператора А комплексным параметром a. В статье показано, что если вспомогательное уравнение имеет решение, представимое степенным рядом, то и операторное уравнение также имеет решение, предста-вимое аналогичным степенным рядом, при условии, что этот ряд сходится.

Приведём некоторые необходимые для дальнейшего факты функционального анализа.

Полунормой на линейном пространстве (X: P) называется действительнозначная функция (|| • ||), обладающая свойствами:

1) ||ах ||=|а | • II x ||, х е H, а е P;

2) II % + ^ ||<|| х || +1| ^ ||, где || • || - полунорма. Линейное пространство Н, на котором задана система полунорм || х || р, Ур еТ (V - множество индексов), называется локально выпуклым пространством.

Теория обобщённых операторных экспонент при решении операторных уравнений в локально выпуклых пространствах

Пусть Н - секвенциально полное1 отделимое локально выпуклое пространство, топология на котором задана мультинормой {|| • ||},

р е V (V - частично упорядоченное множество индексов), и пусть А : Н ^ Н - линейный непрерывный оператор.

Определение 1. - пространство всех целых вектор-функций со значениями в локально выпуклом пространстве Н, топология на котором задаётся мультинормой

\\/(7)1 = тах||/ (7) II р, / (2) еПН ,

II 11р,Г 2 <г У

г > 0, р е V. Н 0 — локально выпуклое пространство, непрерывно вложенное в пространство функций, аналитических в нуле.

Пусть дано операторное уравнение относительно неизвестной функции и(/) е 7^Н, t е С, вида

F (А, и(/)) = 0, (1)

левая часть которого представима в виде

да

F(A,u(t)) = у(t) = ^Уп(А)(/ - О" (2)

п=0

(при условии сходимости ряда (2) на С или в

некотором круге с центром в точке /0), где у п (А) определяются равенством

Ч (А)1 (тоо Ак тА т10 Ак т11Ак2

у(А)

Уп (А)

тп0Ак1 тп1Ак2

т0пА

тыАкп

т Ак

^0 ^

Ф1

Фп

т1 е С, кп е М, фп е С (здесь и далее операторная сходимость подразумевается слабой).

Для решения уравнения (1) рассмотрим вспомогательное семейство уравнений вида

F(a,ф(0) = 0, а е С, ф(/) е Н0, / е С, (3)

которое получается из исходного уравнения (1) формальной заменой оператора А комплексным параметром а, и где F(а, ф(/)) - линейный непрерывный оператор в пространстве Н0 , зависящий от параметра а е С, то есть левая часть уравнения (3) представима в виде

F (а, ф(/)) = у (/) = ^ У п (а )(t - tо)

где

ГУ0(а)1 (

У(а)

Уп(а)

т

.а*

т10ак1 т11ак2

т01а 1а

т

ак1

т .а ■

т0па^п

т1

т а'

/0 е С,

^Ф0 ^

Ф1

Фп

(4)

т. . е С, к е М, Ф е С.

i, J ' п ' *п

Пусть существует функция Ф е Н(0) с тейлоровскими коэффициентами Фп, такая, что для каждого а е С ответствующее уравнение семейства (3) имеет решение Фа (/), представимое в виде

Фа (/) = Ф(а(/ - /0)) = £ Фпап (/ - /0)п,

п=0

(5)

Фа е Н(/0).

Теорема. Если решением уравнения (3) является функция (5), то и соответствующее операторное уравнение (1) также имеет решение, представимое аналогичным степенным рядом

да

и(/) = Ф(А(/ - /0))(х) = ^ ФпАп (%)(/ - /0)п, Ух е Н,

п=0

при условии, что данный ряд сходится на С

или в некотором круге с центром в точке /0.

Доказательство. Запишем левую часть вспомогательного уравнения (3) в матричном виде

2

Wo(a)1 Wl(a)

Wn (a)

Сmnnakl mniah ... mna

v J (

m,nak m,,ak

•kn \ Сф01

mina ■

k k k m a 1 m ,a 2 ... m a'

ф1

фomooakl +Фlml0akl + + Фnmn0akl +

V J \

Фomola 2 +Ф

Ф0m0na П +Ф

mnak2 + • + фnmnlak2 +'

m a n +-----+Ф m a n +—

1n t n nn

V у

Поскольку фа(/) = ф(а(/ -10)) является решением уравнения (3), бесконечные линейные комбинации коэффициентов равны нулю:

kk Фomooa 1 +Фlml0a 1 + •

Ф0m01ak2 +ф1m11ak2 + •

Фomona n +Фlmlna n + •

+ Ф nmnoak1 + • = 0,

+ Фnmnlak2 + • = 0,

= ^ФпАп (-)(? -10)п является решением урав-

п=0

= нения (1) при условии сходимости ряда на С

или в некотором круге с центром в точке t0. Теорема доказана.

Замечание. Теорема обобщает ранее полученные результаты [12-14], а также дает достаточные условия решения операторных уравнений методом формальной подстановки и схему решения.

Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение доказанной теоремы.

Пример 1. Рассмотрим дифференциально-

df . ч

операторное уравнение — = Atf (г), удовле-

dt

творяющее начальному условию f (0) = - е Н. Рассмотрим вспомогательное уравнение вида

., (6) f

k

+ Ф m a n +— = 0,

n nn

Так как оператор Г (а, ф(t)) полагается определённым на всем пространстве Н(С), то бесконечные линейные комбинации в этих равенствах всегда определены.

Запишем левую часть операторного уравнения (1) в матричном виде

|Ч(А)^ (Щ— Щ— ••• Щ— Ч^(А) Щ0Ак1 щ—к2 •.. Щ—

Wn(A)

V ' у

с

mn0Ak1 mn1Ak2

m

Akn

1 V

Ф1 Фп

V ' у

ФomooAk1 +Фlml0Ak1 + • Ф0m01 Ak2 + ф1m11 Ak2 +•

ФomonAkn + ФlmlnAkn +'

+ ФnmnoAkl +' + ФnmnlAk2 +•

Л

+ ф m Akn + •

n nn

Фomol Ak2 +ФlmП Ak2 + ••• + Фnmnl Ak2 + ••• = 0,

— = atf (t), удовлетворяющее начальному ус-dt

ловию f (0) = 1. Решением данного уравнения

является функция f (t) = У

2nn!

t2 n = e 2 , тогда

по теореме решением исходного дифференциально-операторного уравнения будет функция

■» Лп(^\ А(-)г2

f (t)=Е:

' A n (x)t 2n =

,.=„ 2пп!

Пример 2. Рассмотрим дифференциально-

операторное уравнение — = А(О, щ е Z,

dt

удовлетворяющее начальному условию f (0) = = - е Н. Рассмотрим вспомогательное уравнение

— = а(0, щ е Z, удовлетворяющее началь-dt

ному условию f (0) = 1, решением которого яв-

ляется функция f (t) = У -

¿—t 1

a

_tn( m+1) = e m+1

v У

Бесконечные линейные комбинации (6) представляют собой функции аргумента a, тождественно равные нулю, следовательно:

Ф0 mooAkl +Фlml0Akl + • + ФnmnoAkl + = °

n=o (m + 1)nn!

тогда по теореме решением исходного дифференциально-операторного уравнения является

функция f (t) = У-

An (x)

. A( x)-

n( m+1) = e m+1

n=o (m + 1)nn! "

Пример 3. Рассмотрим дифференциально-

d4 f

—— = Af (t), удовлетво-

операторное уравнение

dt4

Ф0 monAkn + Ф1m1nAkn + • + ФnmnnAkn + • = o,

а это и есть наше исходное операторное уравнение (1). Таким образом, ф(а(? -10 ))(-) =

ряющее начальным условиям

dkf.

dt

k It=0 _ k

= x e H .

k=1,...,3. Рассмотрим вспомогательное уравне-

ние вида

dt4

= af (t), удовлетворяющее на-

Ф

n

2

чальным условиям

dk f I

dt

k |<=0

= 1, k=1,...,3. Реше-

но последовательности операторов Л. Тогда

f (t)=y

да n / ч да

0 (ч 4n + y

4n!

an (x2)

0 (X1) 14n+1 +

n=0 n

+ ^^ a (x2 ) 14n+2 +

n=o (4n +1)!

да

y

a (x3) 14n+3

f (t)=y

A (x0 ^n , ^^ A (xi) t4n+1

4n!

-Г" +

y^

An (x2)

+yA (x2) 14n+2 +

n=o (4n +1)!

да

y

-T

+

A (x3) 14n+3

число

нием вспомогательного уравнения является функция

a (x, Л) = lim n

"ß p (х,Л)

п=0(4п + 2)! п-0(4« + 3)! тогда по теореме решением исходного дифференциально-операторного уравнения является функция

п=0'(4и + 2)! п-0(4п + 3)! Этот результат был получен ранее другим способом Ю.Н. Валицким [14].

Замечание. Решения в примерах 1-3 существуют при условии сходимости соответствующих операторных рядов. Условия сходимости таких рядов приведены, например, в [12].

Решение одного дифференциально-операторного уравнения

Для исследования поставленной ниже задачи будем применять характеристики линейного оператора (порядок и тип), а также фиксированного вектора относительно линейного оператора, введённые В.П. Громовым [15] и получившие дальнейшее развитие в работах С.Н. Мишина [1618] и монографии [12].

Приведём некоторые опорные сведения, заимствованные из монографии [12].

Пусть Л - некоторая последовательность операторов (вообще говоря, нелинейных и неограниченных), и пусть х е Н - фиксированный вектор, на который указанные операторы действуют бесконечно много раз.

Определение 2. Число

-1п || Ап(х) || р

Рр (х, Л) = Пш " Л Л1р , р е V, п 1п п

называется операторным р-порядком вектора х относительно последовательности операторов

Л, а число Р( х, Л) =sup{Р р (х, Л)} - оператор-

pеV

ным порядком вектора х относительно этой последовательности.

Определение 3. Пусть вектор х е Н имеет операторный порядок Р(х, Л) ^ ±да относитель-

называется операторным p-типом вектора x при p-порядке ß (x, Л), а число

[sup{a p (x, Л)}, ß p (x, Л) = ß(x, Л) Vp a(x, Л) = |

[0, ßp (x, Л) < ß(x, Л) Vp

- операторным типом вектора x при порядке ß( x, Л) относительно последовательности операторов Л.

Из определений операторных p-порядков и p-типов вектора вытекают следующие оценки. Пусть вектор x е H имеет операторные p-порядки ß (x, Л) Ф ±да и операторные и p-типы a (x, Л). Тогда

Vp, Vs > 0 3Cp (s,x): Vn, Vx е H

-ßp (x,A )n

II An ||p< Cp(s,x)(ap(x,Л) + s)nn p , Vp, Vs > 0 3C : 3nk ^ да

II An(x) ||p > C(ap (x, Л) -s)nk«kßp^ .

Определение 4. Пусть f: С ^ H - целая

трансцендентная функция. Число

.... — lnln M (f, r, p) P p (f) = lim--—

n ^да ln r

называется p-порядком функции f, а число

p( f) = sup{p p (f)} - её порядком.

p

Если p (f) ф 0, да, то число

— lnM (f, r, p) ^ (

lim-p~7f)-= CT p (J )

r^да r P

называется p-типом функции f, а число [0, p p (f) <p( f) Vp a(f) = |sup{pp (f)}, pp (f) = p(f) Vp

- её типом.

Пусть f представляется рядом:

да

f(z) = y x^z^; x } с H; Vz е С,

n=0

тогда p-порядки и p-типы функции f вычисляются по формулам

-— n ln n p = lim-

n^да - n ln II x„

(7)

1 1

(ст реР р)Рр = ЙШ пРр Л\хп\\р , 0 <Рр < да. (8)

с с п ^да "

Если / - целая скалярная функция, то формулы (7) и (8) приобретают классический вид [19]

n

р

n=0

-— n ln n р = lim-

- n ln || a_

(стер)p = limnp nj| an |,

где {ап} - тейлоровские коэффициенты функции f, а р и ст - её порядок и тип роста.

Пусть НЯ - пространство функций, аналитических в круге | 7|< Я с топологией, определяемой полунормами:

(7)1 р,г = гах IГ(7) |р, Г(7) е Ня, р < Я.

Рассмотрим в пространстве НЯ дифференциальный оператор

Оп (у) = у(п) + 60(7) У(п-1) +... + бп-1(7) У, (9)

где 6к (7) е НЯ . Пусть функция у(7, а) - решение уравнения Оп (у) = апу с начальными условиями у(к) (0, а ) = ак, к = 0, 1,„., п-1.

Известно [20], что у(7, а) представляет собой целую функцию по а, по 7 является аналитической в круге 7 < Я. Кроме того, у(7, а) можно представить в виде ряда у(7, а ) =

да

= ^ Ак (7)ак, где функция Ак (7) представляет

к=0

собой базис в НЯ , причём

— (7)1 = Ср^. (10)

11 кЧ '«р р к!

Оператор дифференцирования и оператор умножения на функции (7) представляется в виде (4), поэтому оператор Бп, являющийся суммой их композиций, также представляется в виде (4). Тогда если решением уравнения Вп (у) = а"у является функция у(7, а), то решением операторного уравнения Оп (у) = Апу, по доказанной выше теореме, является функция

у(7, a)(x ) = £ Ak (7 )Ak (x).

Выясним, при каких условиях ряд (11) сходится. Оценим общий член ряда

max

Izl <r

Vq, Vs > 0 3Cq (s,x): Vn, Vx e H \\Ak(x)|| < C (s,x)(aq(x) + s)kkPq(x)k <

(ад (-)и (-) - операторный порядок и тип вектора - относительно оператора А, а(-) и Р(-) - порядок и тип вектора -). Из (10) и (12)-(14) вытекает:

У", Уе > 0, Уп ЗС? (е, -):

|| Ак(-)|^ тех | Ак(7) |<М(е(а + е))кк^)крк,

Уq, Уе > 0 ЗС" (е, -): Зп ^да М(е(а + е))кп кп(р(-)-1)кпркп < <| Акп (7)Цд птх| А (7)|,

^ |7|< Г п

где М = ССр—.

" р 2л

Воспользуемся полученными оценками и аналогом формулы Коши-Адамара [12] 1

- = lim k||Ak (x)||q | Ak (z)|, R

R < =

1

lim(a(x )+s)knkp(x )-1 p

k

1

< R.

lim(a(x) -е)к"кß(x)-1 p

к -^ад

Отсюда следует [21], что ряд (11) сходится при условии

lim a( x)kkр( x)-1 = 0,

к -^ад

а функция (12) - целая. Тогда можно вычислить порядок и тип данной функции:

-— к ln к р = lim---=

кln—(«a( x)) кк x >-1) крк|| 1 -ß( x)

1

1 -ß( x)

(CTepq)Pq = limk MU(z) Ak(x)

сте-

(11)

y(z,A)(x)||q<¿11 Ak(x)||q • max|Ak(z)|: (12)

J J |z|<r

(13)

< C(s, x)(a(x) + s)kkß(x )k. Vq, Vs > 0 3Cq(s,x): 3kn ^да C(s,x)(a(x) - s)4np(x)kn < J|Akn (x) (14)

--= (ea( x) p)1-p(x >,

1 -P(x)

a = (1 -P( x))(a( x) p)1-p(x).

Примечания

1. Если в пространстве H каждая счётная фундаментальная последовательность сходится, то H называется счётно полным или секвенциально полным.

Список литературы

1. Yosida K. On the differentiability and the representation of one parameter semi-group of operators // J. Math. Soc. Japan. 1948. V. 1. № 1. P. 15-21.

2. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

q

3. Горбачук М.Л. О порядке роста операторной экспоненты на целых векторах // Функциональный анализ. 2002. Т. 36. Вып. 1. С. 75-78.

4. Радзиевский Г.В. Прямые и обратные теоремы в задачах о приближении по векторам конечной степени // Мат. сб. 1998. Т. 189. № 4. С. 83-124.

5. Громов В.П. Операторный метод решения линейных уравнений // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Вып. 3. С. 4-36.

6. Громов В.П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах // ДАН РФ. 2004. Т. 394. № 3. С. 305-307.

7. Громов В.П. Операторный метод решения задачи Коши дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Вып. 6. С. 4-18.

8. Громов В.П. Задача Коши для уравнений в свёртках в пространствах аналитических век-торнозначных функций // Математические заметки. 2007. Т. 82. Вып. 2. С. 190-200.

9. Мишин С.Н. Дифференциально-операторные уравнения в локально выпуклых пространствах // Ученые записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Вып. 6. С. 46-61.

10. Мишин С.Н. Дифференциально-операторные

уравнения вида (Р - А)Уи(/) = /(/) // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Вып. 7. С. 55-66.

11. Аксёнов Н.А. Дис. ... кандидата физ.-мат. наук. Орёл: ОГУ, 2011. 153 с.

12. Громов В.П., Мишин С.Н., Панюшкин С.В. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. Орёл: ОГУ, 2009. 430 с.

13. Иванов В. К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 182 с.

14. Валицкий Ю.Н. Четырёхточечная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Функциональный анализ и его приложения. 1981. Т. 15. Вып. 4. С. 69-70.

15. Громов В.П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // ДАН СССР. 1986. Т. 228. № 1. С. 27-31.

16. Мишин С.Н. О порядке и типе оператора // ДАН РФ. 2001. Т. 381. № 3. С. 309-312.

17. Мишин С.Н. Дисс.... канд. физ.-мат. наук.

Орёл, 2002. 116 с.

18. Мишин С.Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Вып. 3. С. 47-99.

19. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.

20. Елисеев И.С. Перестановочность с линейным дифференциальным оператором // Математические заметки. 1979. Т. 26. № 5. С. 719-738.

21. Ле Хай Хой. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. Ростов-на-Дону: РГУ, 1981. 54 с.

APPLICATION OF THE THEORY OF GENERALIZED OPERATOR EXPONENTS TO THE SOLUTION OF OPERATOR EQUATIONS IN LOCALLY CONVEX SPACES

S.N. Manko

A method is described which finds the solutions of operator equations of the form F(ä,u(t)) = 0 using vector-valued analytic functions. The study is conducted by the characteristics (an order and a type) of the operator A , as well as operator orders and vector types of the locally convex space relative to the operator A .

Keywords: differential-operator equation, locally convex space, operator order, operator type.

References

1. Yosida K. On the differentiability and the representation of one parameter semi-group of operators // J. Math. Soc. Japan. 1948. V. 1. № 1. P. 15-21.

2. Krejn S.G. Linejnye differencial'nye uravneniya v banahovom prostranstve. M.: Nauka, 1967. 464 c.

3. Gorbachuk M.L. O poryadke rosta operatornoj ehksponenty na celyh vektorah // Funkcional'nyj analiz. 2002. T. 36. Vyp. 1. S. 75-78.

4. Radzievskij G.V. Pryamye i obratnye teoremy v zadachah o priblizhenii po vektoram konechnoj stepeni // Mat. sb. 1998. T. 189. № 4. S. 83-124.

5. Gromov V.P. Operatornyj metod resheniya linejnyh uravnenij // Uchyonye zapiski laboratorii teorii funkcij i funkcional'nogo analiza OGU. 2002. Vyp. 3. S. 4-36.

6. Gromov V.P. Analiticheskie resheniya differen-cial'no-operatornyh uravnenij v lokal'no vypuklyh pro-stranstvah // DAN RF. 2004. T. 394. № 3. S. 305-307.

7. Gromov V.P. Operatornyj metod resheniya za-dachi Koshi differencial'no-operatornyh uravnenij s peremennymi koehfficientami // Uchyonye zapiski laboratorii teorii funkcij i funkcional'nogo analiza OGU. 2006. Vyp. 6. S. 4-18.

8. Gromov V.P. Zadacha Koshi dlya uravnenij v svyortkah v prostranstvah analiticheskih vektorno-znachnyh funkcij // Matematicheskie zametki. 2007. T. 82. Vyp. 2. S. 190-200.

9. Mishin S.N. Differencial'no-operatornye uravne-niya v lokal'no vypuklyh prostranstvah // Uchenye za-piski laboratorii teorii funkcij i funkcional'nogo analiza OGU. 2006. Vyp. 6. S. 46-61.

10. Mishin S.N. Differencial'no-operatornye uravneniya vida (p - a )v u (t) = f (t) // Uchyonye za-piski laboratorii teorii funkcij i funkcional'nogo analiza OGU. 2010. Vyp. 7. S. 55-66.

11. Aksyonov N.A. Dis. ... kandidata fiz.-mat. nauk. Oryol: OGU, 2011. 153 s.

npuMeHeHue meopuu o6o6^eHHUx onepamopHux экспонент

297

12. Gromov V.P., Mishin S.N., Panyushkin S.V. Operatory konechnogo poryadka i differencial'no-operatornye uravneniya. Oryol: OGU, 2009. 430 s.

13. Ivanov V.K., Mel'nikova I.V., Filinkov A.I. Dif-ferencial'no-operatornye uravneniya i nekorrektnye za-dachi. M.: Nauka, 1995. 182 s.

14. Valickij Yu.N. Chetyryohtochechnaya zadacha dlya differencial'nogo uravneniya v banahovom pro-stranstve // Funkcional'nyj analiz i ego prilozheniya. 1981. T. 15. Vyp. 4. S. 69-70.

15. Gromov V.P. Poryadok i tip linejnogo operatora i razlozhenie v ryad po sobstvennym funkciyam // DAN SSSR. 1986. T. 228. № 1. S. 27-31.

16. Mishin S.N. O poryadke i tipe operatora // DAN RF. 2001. T. 381. № 3. S. 309-312.

17. Mishin S.N. Diss.... kand. fiz.-mat. nauk. Oryol, 2002. 116 s.

18. Mishin S.N. Poryadok i tip operatora i po-sledovatel'nosti operatorov, dejstvuyushchih v lokal'no vypuklyh prostranstvah // Uchyonye zapiski laboratorii teorii funkcij i funkcional'nogo analiza OGU. 2002. Vyp. 3. S. 47-99.

19. Leont'ev A.F. Celye funkcii. Ryady ehksponent. M.: Nauka, 1983.

20. Eliseev I.S. Perestanovochnost' s linejnym diffe-rencial'nym operatorom // Matematicheskie zametki. 1979. T. 26. № 5. S. 719-738.

21. Le Haj Hoj. Vektornoznachnye funkcii i diffe-rencial'nye operatory beskonechnogo poryadka. Rostov-na-Donu: RGU, 1981. 54 s.