Разрешимость задачи Трикоми для некоторых классов многомерных смешанно гиперболо-параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

КОНТАКТНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА*)

С, В, Попов, А. И, Шадрина

В работе устанавливается разрешимость краевых задач для некоторых классов уравнений, имеющих вид

д(х)щ + Ьи = /, (1)

где Ь — эллиптический оператор 2-го порядка, д(х) = sgnx или д(х) = sgn(x — кЬ).

В монографии С. А. Терсенова [1] впервые установлено, что гладкие решения этих задач для уравнения (1) существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между данными задачи.

Результатом данной работы является явное представление условий ортогональности (разрешимости) для уравнений (1), когда функция д(х) меняет знак то некоторой прямой х = кЬ.

1. В области ^ = П х (О, Т), П = М, рассмотрим уравнение

sgnxuí = а2ихх + Ьих + си, (2)

а, Ь, с — некоторые действительные постоянные.

Решение уравнения ищется из пространства Гёльдера р = 2/+7, О < 7 < 1, и удовлетворяет следующим начальным условиям:

и(х, 0) = ^.(х), х > 0, и(х, Т) = <^2(х), х < 0, (3)

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^2010 гг.)» и Советом программы (Протокол № АХ-23/11 пр от 12 декабря 2008 г.), мероприятие 2 (код проекта 3443).

© 2009 Попов С. В., Шадрина А. И.

и условиям склеивания

и_о,г) = ц+о,г), их(—о,г) = их(+о,г), (4)

где 1 > 1 — целое чиело, Q± = М± х (О, Т).

В силу принципа максимума нетрудно видеть, что всякое ограниченное в ^ ^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^енцируемое вплоть до х = 0 решение задачи (2)-(4) единственно. В самом деле, если существуют решения и и и5 то положительный максимум решения и(х,г) однородной задачи

х

склеивания эти максимумы достигаются в одной точке (0, г). Тогда в силу известного свойства нормальной производной в этой точке имеем их _ их < 0, что противоречит второму из условий склеивания. Аналогичное противоречие получим в случае отрицательного минимума. Отсюда следует единственность решения. Сделаем замену

Ь Ь2

и(х, = ехр(/хж + М)у(х, £), А = sgn ж (с — •

Тогда вместо краевой задачи (2)-(4) получим

sgnxví = а2Ухх, (5)

^х, 0) = ехр(— (х) = Ф\{х), х > 0,

(6)

^х, Т) = ехр(—^х — АТ)<ъ{х) = ^г(х), х < 0,

VI —о,г) = ехр(2А+гМ+0,г), Vx( —О,г) = ехр(2А+гК(+0,г), (7)

где Л+ = с — ¿у. Также введем обозначение = — с + .

Для удобства вместо уравнения (5) будем рассматривать систему уравнений

1 2 1 2 2 2 vt = а vxx, —'vt= а vxx

(8)

в области Q+. При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид

= ^(—х), ^(х,^^ ^(х, х (9)

= ехр(2А+ф2(0,Ь), Ь) + ехр(2А+фХ(0,Ь) = 0. (10)

Будем предполагать, что х) € Ир{М) (г = 1,2). Тогда функции

К 2 (П)

=-. 1 /

^ 7 2ау/п(Т-г) У V 4

к

являются решениями уравнений (8), удовлетворяющими условиям (9), М

ным представлением решения для системы уравнений (8): г

^(х^) = ! ехр 4д2^ _ ^ (г - т)~%а(т) ¿т + ^ (ж, ¿),

°т ^ (12)

г

Функции, представленные формулами (12), удовлетворяют начальным условиям (9) и уравнениям (8) соответственно. В силу общих результатов [2,3] ук принадлежат пространству , если введенные нами неизвестные плотности а(Ь), принадлежат 0, Т), причем

О- я)(0) = вя) (Т) = 0 (8 = 0,...,/ — 1). (13)

Из условий склеивания (10) получим систему уравнений относительно а, в

' -шЬОг ¿т + Ш1(о, г)

= ехр(2А+;) ( - ^ / ^ ¿г + *2(0, *)) , (14) + х(0 ,Ь) + ехр(2А+Ь)(в(Ь)+^2 х(0 ,Ь)) = 0

или

Г ¿Т - Г ехр(2Л+г)^(г) (1т = Тг Щ Щ , (1т ф ^Ч

о { { К " У ' 01 (15)

где

а

= — ехР( 2А+г)^2 х(о ,г) — х(о ,г),

ч ехр(2А+г) — ехр(2А+т)

= -;-—г-•

(г -г) 2

Если первое уравнение в (15) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то

Т = Г

т-г ъМ.} (4_т)4 >

где

«w - * / (i)1/2ex p(2£Wr) dr = Hf^rdr. о

T

$(t) = J K(t,T)e(T)dT + $0(t).

t

Введем обозначения t) = Ф^(t) — Ф^(0)exp

1 /• (Т)-Ф(s+1Ho) F№) = - -77^-1-<> "-1.....1 1).

7Г J (t-Tp

Легко видеть, если @(t) принадлежит искомому пространству, то Fq-1(t), F[—(t) принадлежат пространству Гёльдера с показателем (1 + y)/2, причем F-(t) = F— (t) = O(t(1+^^^^^^алых t.

Предположим, что функции a(t), e(t) принадлежат пространству )/2(0, T). Тогда из системы (16) следует, что

-J dr = Ф(0),

о U'J

в(0) = <Ы0).

При выполнении (17) систему (16) можно переписать так:

a(i) - ^ dT = 2Ф'(0)^/2 + Fo(i))

0 l1») a(t)+exp(2A+t)(e(t) — e(0)) = F°(t).

Введем в системе (18) новые искомые функции ¡3(t) = (3(t) — /3(0)-^-^. Тогда систему (18), воспользовавшись формулой из [4, с. 177] т

1 г тр-1 (T — т)

- / -^--dT = tp-1(T-t)'J-1ctg(aTr)-

п J т - t

о

представим в виде

ait) + 1 J(l)l/2 ехр(2Л+г)Жг) ^ = 2ф,(0^1/2 + рОф О

(19)

a(t) + exp(2A+t)/3(t) = /3(0) exp(2A+i)£ + Ffti),

где

1 f ft\i Т-т 4/1 3 t \ f t 1 ■dr=--F --Л

п Т(т — Ь) ^ V 2' '2 'Т)\Т

о

/>

му уравнений (19). Имея в виду формулу из [5,с. 12]

с;^0-1] = (с - 1)^-2^(а, Ь, с — 1;*),

получим

' <*'(*) - & (*-* / ^ + ^ I / ^

— — 2^г/3(0)-р1(— 2, 1, 2' т) (т)

+Ф'(0)*-* + 2Ф"(0)** + (20)

а'(Ь) + ехр(2А+Ь)[2А+,3(Ь) + в' (Ь)]

= /3(0) ехр(2А+^(1 + 2А+|т) +Ф' (Ь) — Ф^0)2А+ехр(2А+Ь). Из этой системы следует, что

11 С1т = ^/3(0) - тгФ'ф), (21)

в'(0) = Ф'(0) — гА+Ф^О).

В силу формулы [6, с. 254]

й] г-« т т-г ] т — ^

о о

систему (20) при выполнении условия (21) и из того, что в(Т) = 0, можно переписать в виде

т

<*'(*) " £ |(|)1/2ехр(2Лт+_т^,(т) ¿т = 2Ф"(0)^/2 + о

а'(г) + ехр(2А+г)[(в' (г) — в'(0)) + 2А+(в(г) — в(0))] = ВД.

Таким образом, мы получили первое уравнение в системе (22), имеющее точно такой же вид, как и первое уравнение в (18). Легко видеть, что при выполнении условий

| / ехр(2А+т/"(т)-тС(0)^ ¿г = ^/?М(0) - 7гф('>(0),

в<я)(0) = Ф^(0) — Ф^-1)(0)2А+ — 1 &(2А+)я-квк)(0),

к=1

(23)

в( я) (Т)=0, 8 = 2,...,/ — 2,

получим систему уравнений

т

I

О

(24)

о

а (г) + ехр(2А+г)[(в( '-1) (г) — в '-1)(0))

+ Е (А + 1)(2А+ )'-к( в( к (г) — в( к)(0))] = Fl1-1 (г). к=0

Введем новую искомую функцию /З^-1^) = — (З^^Ц0)-^^,

тогда систему (24) можно переписать в виде

«('-!)(*) - I |(1)1/2ехр(2Л+г)/3(г)^т О

= 2ФС-1)(0)^/2 + ^(г) - 1/?('-1)(0)^(-|, 1, §; (£)

а '-1) (г) + ехр(2А+г)

в(г)

(25)

'-1

£ (А + 1)(2А+)'-к(вк(г) — в(к)(0))

к

= /3(г-1)(0)ехр(2Л+^| +

Так как а((г), в*-(г) должны принадлежать "^/2(0,Т), потребуем выполнения условия

1 уае^М* = ^-..,0, - „(«.( о,. <»,

о

Тогда при выполнении (26) в конечном итоге придем к системе уравнений

т

г ехр(2А

т-4

о

(27)

где

^о (г) =2ф('-1)(о)гг/2 + (г)

- -^'-"(О)

п

1-1

^(г) = — Е (* + 1)(2А+ )'-к( в( к) (г)

к

-/3(к)(0)) +/3(г-1)(0)ехр(2Л+^- +

принадлежат пространству Д"(1+т)/2(0, Т), причем *(£) = ^ *(£) =

г

Исключая а1 ^ в системе (27), получим сингулярное уравнение относительно в(¿):

где

о

Сингулярное интегральное уравнение (28) будем рассматривать как уравнение относительно во(£) = ех Найдем решения

не ограниченные при 4 = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при 4 = Т. В этом случае каноническая функция х(-г) равна (г — , индекс х равен 0.

Согласно общей теории [7,8] сингулярное уравнение (28) однозначно и безусловно разрешимо, и его решение дается формулой

т

ехр= [ --Щ---¿т.

2 2п } (Т - т)*т*(т - г)

о

(29)

Так как <(£) принадлежит пространству Н1+7/2(0,Т), функция в1(4), представленная формулой (29), удовлетворяет условию Гёль-дера с показателем во всех точках контура (0, Т), отличных от концов. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [8, с. 76], легко видеть, что вг_1)(0) = в1_1) (Т) = 0.

В силу леммы о принадлежности класу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [8, с. 82-86; 1,с. 14-17]) получим, что в формуле (29) функция в(¿) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем при 0 < 7 < условию Гёльдера с показателем | при ^ < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем | — е при

7 = 1-

вТ

(26), которые имеют вид

- / ¿т = ф(0), о т

< I / ехр(2Л+г)^1ЬЙМ££ ^ = ^/?(8)(0) - тгф(»>(0), (30)

в = 0Д,... ,1 -1; ^ в к) (Т) = 0, А = 0,1,...,/ - 2,

получили функцию в(^) из искомого пространства )/2(0, Т), удо-

влетворяющую условиям

8-1

вя)(0) = Ф^(0) - Ф2А+ - ^ А(2А+)8-квк)(0),

к=1

в = 0,1,... , / - 1, в'-1) (Т) = 0. Значения в8 (¿) определяются по формуле Тейлора

<*"<« = £ + /<«"

к-я 0

в = 0Д,...,/ - 2. (31)

Тогда для выполнения условий вк (Т) = 0 при А = 0,1,... , / - 2 необходимо и достаточно, чтобы

° = Е + (ТгЬл /<г -

к-Я ц

в = 0,1,... , / - 2.

Подставив найденные значения функций в8 (¿) в условия (30), полу-

чим

/ ехр(2Л+г)гг-3/2 (1т}( 1- ау-2^1-^ (ат) да о о

= Е вк) (О) / тар(2А+т)тк-1/2 ¿т + Ф(0), к=0 О

< 1__/ехр (2Л+т)т1-^5/2(1т}(1-ау-2-^(1-1Нат)да (32) о о

= -§/ехр(2А+т)( Е +

О \к=з+1 /

„ в = 0,... ,1 - 1.

Отметим, что функция в1 -1 Ч^) дана формулой (29). Итак, доказана следующая

Теорема 1. Пусть <р\,<ръ € Ир, р = 21 + 7. Тогда при выполнении 21 условий (31), (32) существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3), (4) из пространства:

1) если 0 < 7 <

2)Я^/2>(/ = 2/+|,если±<7<1;

3) Ях Е'{ч если 7 = |, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

2. В области Q рассмотрим уравнение

sgn(x — к~Ь)п1 = а2ихх + Ьпх + си, (33)

а, Ь, с, к — некоторые действительные постоянные.

Решение уравнения также ищется из пространства Гёльдера Яр'р/2 р=21 + 7, 0<7< 1,и удовлетворяет следующим на-

чальным условиям:

и(х,0) = ^(х), х > 0, и(х,Т) = ^(х), х < кТ, (34)

и условиям склеивания

и(—М,г) = и(+М,г), их(—к^) = их(+ к^). (35)

Сделаем замену

w(x,t) = ехр

к ( к2 ИУ ~ 2 \У I + t ( Л + ~ sSn У~[

у(у^),

где у = х — Ы, ¡1 = —2^2, А = sgní/(c — ¿2), и вместо краевой задачи (33)-(35) получим уравнение

sgny;í = а2;уу, (36)

начальные условия

;(у,0) = ехр[(Л/2 - ^)у]<^1(у) = ^3(у), у > О, ;(у, Т) = ехр[— (Л/2 + м)у - (Л + + к2/4)Т]^2(у + ЛТ) (37) = ^з(у), у <0,

и условия склеивания

-;),38)

Обозначим элементы матрицы склеивания через а^(¿), тогда находимся в условиях леммы (см. [9, с. 84]). В самом деле, нетрудно проверить выполнение условий

а12(^) = 0, ац(£) ■ а22^) >0, ац(г) ■ а21^) <0, (ац(г) ■ а22^))' <0, 0< ^ < Т,

при

2

b

к^ 0, 4с - — - Л2 < 0. (39)

a

После этого аналогия со случаем, рассмотренным в работе [9, с. 7585], становится настолько полной, что мы можем, не останавливаясь на доказательстве, сформулировать окончательный результат данного пункта.

Теорема 2. Пусть щ, щ & Hp, p = 2/ + 7, п выполнено (39). Тогда прп выполнении 2/ условий вида (31), (32) существует единственное решение уравнения (33), удовлетворяющее условиям (34), (35), из пространства

1) Щ'Р/2, если О < 7 <

2) Н1:1'\Ч = 21+\, если \ <-!<!;

3) Е'{ч если 7 = |, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

2. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразованийц. Т. 2. Преобразование Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.

5. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. Учебное пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1985.

6. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Наука, 1979.

7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.

8. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

9. Туласынов М. С. Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции: Дис.... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Якутск, 2008. 99 с.

г. Якутск

9 июня 2009 г.