Гельдеровская гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

Пинигина Нюргуяна Романовна; Попов С.В.

УДК 517.956.4

ГЕЛЬДЕРОВСКАЯ ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

В работе устанавливается разрешимость краевых задач для параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением эволюции в пространствах Гельдера. Для таких задач показано, что гельдеровские классы их решений существенно зависят как от форм условий склеивания, так и от нецелого показателя.

Введение

Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением времени стали предметом для исследования в теории уравнений в частных производных давно. Одним из первых работ, посвященных параболическим уравнений с меняющимся направлением времени, были работы М.Жевре. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа были предметом исследования М.А. Лаврентьева, А.В.Бицадзе, С.А. Терсенова, И.М. Петрушко,

В.Н. Монахова, Т.И. Зеленяка, А.И. Кожанова и многих других.

Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений, простейшее из которых имеет вид

g( x)ut + Lu = f, g( x) = sgn x, (1)

где L — эллиптический оператор 2-го порядка. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Терсенова, А.М. Нахушева, И.Е. Егорова, А.А. Керефова, Н.В. Кислова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова и многих других авторов. В монографии С.А. Терсенова [1], в частности, впервые было установлено, что гладкие решения этих задач существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между данными задачи. Он изучал эти задачи в гельдеровских классах функций Hp'p2 (0 < p -

- [p] < 1/2). Разрешимость сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде.

1 Пинигина Нюргуяна Романовна, Попов С.В., кафедра высшей математики Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова, 677000, Россия, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

В данной работе устанавливается разрешимость краевых задач для некоторых классов уравнений вида (1). Как и в работе [2], здесь замечено, что при р— [р] > 1/2 гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных данных, которое, оказалось, существенно зависит от условий согласования (склеивания) при х = 0.

1. Непрерывные условия склеивания

В области Ql = П X (0, Т), П = К рассмотрим уравнение

ХЩ = Ыхх. (2)

Решение уравнения (2) ищется из пространства Гельдера Ир,р/2, р = 21 + +у, I - целое, 0 < у < 1, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

и(х, 0) = ф1(х), х > 0, и(х, Т) = ф2(х), х < 0, (3)

и условиям склеивания

и(—0, ?) = и(+0,0, их (—0, ?) = их(+0, ?). (4)

В силу принципа максимума нетрудно видеть, что всякое ограниченное в Q и непрерывно дифференцируемое вплоть до х = 0 решение задачи (2)-(4) единственно. В самом деле, положительный максимум решения и(х, ?) однородной задачи может достигаться на линии х = 0. Причем в силу первого из условий склеивания эти максимумы достигаются в одной точке (0, ?). Тогда в силу известного свойства нормальной производной в этой точке имеем и1 х — и2х < 0, что противоречит второму из условий склеивания. Аналогичное противоречие получим в случае отрицательного минимума. Отсюда следует единственость решения.

Для удобства вместо уравнения (2) будем рассматривать систему уравнений

щ1 = и1х, —и2 = и2х (5)

в области Q+ = К+ X (0, Т). При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид:

и1(х, 0) = ф1(х), и2(х, Т) = ф2(х), х > 0, (6)

и1(0, ?) = и2(0, ?), и1 (0, ?) + и2х (0, ?) = 0. (7)

Предположим, что фг-(х) е Ир(К) (/ = 1,2). Тогда функции

К

являются решениями уравнений (5), удовлетворяющими условиям (6) в К. В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (5):

і

и1{х, і) = —— хехр

2 уя и

ы2(х, і) = -

і

- г

2 л/л и

х ехр

4(і - т)

4(т - і)

(ґ - т) 2 а(т) <1т + щ (х, і),

(Т - І) 2 |3(т) СІХ + С02(х, і).

(9)

Функции, представленные формулами (9), удовлетворяют начальным условиям (6) и уравнениям (5) соответственно.

Покажем, что ик принадлежат пространству Ир,р/2, если введенные нами неизвестные плотности а(?), Р(?) принадлежат пространству Ир/2 (0, Т), причем

а(5)(0) = р(5)(Т) = 0 (5 = 0,..., /). (10)

В самом деле, в силу общих результатов [4], например, и1(х, ?) е Их[р/2^+), если краевое условие ¥(?) = и1(0, ?) е Ир/2(0, Т) и выполнены условия согласования ¥(5)(0) = ф125)(0) (5 = 0,...,/). Из представления и1 по формуле (9)

получим ¥(?) = и1(0, ?) = а(?) + ш1(0, ?) и, следовательно, ¥(5)(?) = а(5)(?) + + ш15)(0,?) (5 = 0,...,/). Отсюда получим, что при выполнении условий

а(5)(0) = 0 (5 = 0,..., /) следуют ¥(5)(0) = ф125)(0) (5 = 0,..., /).

Из условий склеивания (7) получим систему уравнений относительно а,

в

а(і) + Ші(0, і) = —в(і) + ш2(0, і),

її 1 Г*

--рГ5а(0)-— І

уп уп J

«Чт)

^ Л (ґ - т)

1 dx + Шіх (0, і)+

(11)

н—^(Т7 - ґ) 2|3(77)-----------------— Г ^ ^ 1 сіт + со2х(0, 0 - 0>

у Л J (х - ґ)2

или

где

а(і) + в(і) = Фо(і),

і Т

Г-Щ*+

'і а-т)2 ^ (т-02

+гг<х(0) - (т - 0“*Р(Л = Фі(0.

Фо(і) = Ю2(0, і) - Ші(0, і), Фі(0 = л/л(со2х(0, о + £01,(0,0).

2

х

2

х

2

При выполнении условий

в(0) = ф>(0), в(Т) = 0

систему уравнений (12) можно переписать так:

а(і) + в(і) = Ф0(і),

і Т

а'(т) , Г Р'(т)

(т - і)

~(к = Фі(0.

(14)

Отметим, что первое условие в (13) необходимо и достаточно для того, чтобы было выполнено условие а(0) = 0.

Если второе уравнение в (14) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то

' а(?) + р(?) = Ф0(?),

:Р'(х) Г_Ф1С0_Л- (15)

л Л J ^ _ т^2

аЧ0 + - [ (пі

(1) 1/2Ь^а =

ті

0 0 Введем обозначения ^ (і) = Ф0’?)(0 - Ф0’?)(0),

і а г Ф(і'-1}(т) - Ф(і'-1|(0) р'(,) = пл] ■ ■*—

(? - т)2

ат (^ = і,..., /).

Легко видеть, что ^0(?), Е11 (?) принадлежат пространству Гельдера с показателем у/2, причем ^0 (?) = (?) = 0(?у/2) для малых ?.

Предположим, что функции а(?), Р(?) принадлежат пространству Ир/2 (0, Т). Тогда из системы (15) следует, что

і

Т

Р'(т)

г(/2

йт = ф((0).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(16)

При выполнении (16) систему (15) можно переписать так: І а'(і) + Р'(і) = Ф0(0) ^(і),

а'М + і/©1,2И?А=^(().

0

(17)

Пусть выполнены условия

р'(0) = ф0(0), Р'(Т) = 0, (18)

и введем в системе (17) новые искомые функции Р'(?) = Р'(?) —Р'(О)-^. Тогда систему (17), воспользовавшись формулой [4. С. 177]

і

п

тР-ЧГ-т)0"1 т - ?

■ йт = ір ((Т - і)а 1 еоі(ап)-

2

- Г|У Г<° ~ 1} - р - о, 1,2 - о;

пГ(р + а - і) \ Т

представим в виде:

а'(0 + Р'М = Р'(0)т + ^¿(<),

0

(19)

где

Ч{-

пт

х/ Г(т-() я V 2 2 Т)\ТІ

Далее, если / > 1, то возьмем первые производные в полученной системе уравнений (19). Имея в виду формулу [5. С. 12] й

— [Р(а, Ь, с; ?)?с И = (с - IVе 2Р(а,Ь,с - 1;?), аі

получим

а''(і) + в ''(і) = Ф0'(і),

Т

а''(і) + 2

г РЧт) г-^

2лV J т!/2(т-0 ¿О т!/2(т-0

0

1 Г,Г_і 1 __________ і

(т)

і

ат =

(20)

|3'(0Ж-^, 1, -х-г^ + -ф;(0)г* + ^(0.

Тп 2 2 Т Т п і і

Из этой системы следует, что

Т -

ї/^А=^'(0)+фі(0)'

(21)

В силу формулы [6. С. 254]

йI Г ф(т)

¿/О х - і

ф(0) Ф(Т)

Т

Систему (20) при выполнении условия (21) и того, что в'(Т) = 0, можно переписать в виде

а''(і) + в''(і) =Ф0' (0) + Р2(і),

0

(22)

Таким образом, мы получили уравнения (22), имеющие точно такой же вид, как и уравнения (17). Легко видеть, что при выполнении условий

' р«(0) = ф0")(0), р«(Т) = 0,

1 г Р«(т)-|}М(0)£Д

2 ] т3/2

0

£ = 2,..., I - 1

ек = 2 ^Р(і)(0) + 0^(0),

(23)

Т

получим систему уравнений

a(l)(t) + |3®(0 = Ф0г)(О) + F‘ (t),

о ^ " ov

Р(г)(тК (24)

АО +1 Г (-)1/2^-^^ = f|(0

л J т т -t 1

от '(п +

л J 'т' т — ?

0

Потребуем выполнения условий

Р(/)(0) = ф01)(0), р(/)(Т) = 0 (25)

и введем новую искомую функцию |3®(?) = |3®(0 - |3®(0)^, тогда систему (24) можно переписать в виде:

аЩ + р®(0 = Т01( о,

Т

Л + 1Г('^А = Т,'(4 <26>

л J т т — ?

0

где ^ог(0 = р^(0)^+^(0, ^/(0 = ||3(г)(0)^(-^, 1, £Хт)^+^(0 принадлежат

пространству НУ/2(0, Т), причем (0 = ^ (0 = 0(^/2) для малых ?.

Исключая а(/)(?) в системе (26), получим сингулярное уравнение относительно Р(/)(?)

Т

р(/)(0_1 Г (L\l/2^.dx = Q(tl (27)

л J \т/ т — t

где _ _

е(0 = ^о/(0-^1/(0.

Сингулярное интегральное уравнение (27) будем рассматривать как уравнение относительно |Зо(0 = Найдем решения |Зо(0, неограниченные при

? = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при ? = = Т. Для этого введем кусочно-голоморфную функцию

Т

Тогда на основании формул Сохоцкого-Племеля уравнение (27) эквивалентно решению задачи сопряжения

^+(0 = т-^^'(0 + Р® , Г Є (0, Г), 1_г i5(i-0

¥+(t) = ¥-(t), t е (-га, 0) и (0, +га) при дополнительном условии Т(оо) = 0. Так как G =

T

I 1 Г lnG л \ г А

exp ---- -----ах ] = (z-l)4z 4,

V 2ш J т - z !

о

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т

и

то в указанном выше классе каноническая функция равна %(г) = ,

индекс к = 0.

Согласно общей теории [7, 8]

Т

ми ч Х(г) Г б(т) л

Ч'ОО = ---------------------Лх.

2т ^ ¿5(1 _ 7)х+(т)(т -г)

Тогда

1 1 ^

р(о(0 = ^(у+(0 _у-(0) = Ш + Г-------££)----------^ (29)

2 2л J ^т7 _ 4 х 4 ^

Так как Q(t) принадлежит пространству И^/2(0, Т), то функция |3(/)(0, представленная формулой (29), удовлетворяет условию Гельдера с показателем | во всех точках контура (0, Т), отличных от концов. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [8. С. 76], легко видеть, что |3(/)(0) = = ¡3(/)(Т) = 0. Для дальнейшего исследования поведения их на концах контура воспользуемся леммой Мусхелишвили—Терсенова [1. С. 14-17; 8. С. 82-86].

В силу этой леммы получаем, что в формуле (29) функция |3(/)(?) удовлетворяет условию Гельдера с показателем | при 0 < у < условию Гельдера с показателем | при ^ < у < 1 и условию Гельдера с показателем | - е при У = 5-

Таким образом, при выполнении условий (13), (16), (18), (21), (23), (25), которые имеют вид

Т

|У(т)

/ ск = Фі(0),

0

Т

2 / т3/2 Уг

6«(т) - Ф^(0)^ 2 , ч , ч , л

--------^Л = Т/^фо (0) + ф(/}(°)’ (30)

5 = 1,...,/ — 1,

Р(к)(Т) = 0, к = 0,1,...,/ — 1,

мы получили функцию Р(?) из искомого пространства Ир/2(0, Т), удовлетворяющее условиям

р (5)(0) = ф05)(0), 5 = 0,1,..., / — 1, Р(/)(Т) = 0.

Значения Р(5)(0 определяются по формуле Тейлора

/— 1 гЬ(к)

Р(%) = У 7гЦ-/~° + а ! ч, Г^-х)1-^^(х)ёх,

(к - 5)! (I - 1 - ^)и

К=Э 0

5 = 0, (,...,і- 1.

Тогда для выполнения условий Р (к)(Т) = 0 при к = 0,1,...,/ — 1 необходимо и достаточно, чтобы

0 = 2 (Г^г ^ + (гт^г /(Г - А- «31>

к=5 0

5 = 0, 1,...,/ — 1.

Подставив найденные значения функций Р (5)(?) в первые / условий (30), получим

Т

/-«-3/2 , I (л _ -Л-\-в

2(/ — 1 —

I—я)! / Тг“"“3/2Л ^ (1-о)г_1“"|3(г)(от)^о =

1 /—1 ф(к)(0)Тк—5—1/2 1 (32)

I У 0 ( )________________+ -!-ф«(о) + ф«(0)

2^1 (к-*)\{к-*-Ц2) V? ° 1

5 = 0, . . . , / — 1.

Отметим, что функция Р(/)(?) дана формулой (29) Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть ф1, ф2 е Ир, р = 2/ + у. Тогда при выполнении 2/ условий (31), (32) существует единственное решение уравнений (2), удовлетворяющее условиям (3), (4) из пространства

1) Н^’^2, если 0 < у < ^;

2) Щ’^2, q = 21+\, если \ < у < 1;

3) Н*Ц, е’^ е^2, если у = 5, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

2. Частный случай

Для уравнений (5), удовлетворяющих начальным условиям (6), рассмотрим следующие условия склеивания:

и(—0, ?) = и(+0, ?), их (—0, ?) = их(+0, ?). (33)

В этом случае сингулярное уравнение относительно |3(/)(?) будет иметь

вид

Т

р(/)(0 + 1 Г т1/2Ё!^т = е(0, (34)

л т т — ?

0

где

б(о = ^Ло-^(/(о-

Сингулярное интегральное уравнение (34) будем рассматривать как уравнение относительно (З1 (Г) = и найдем решения |31(?), неограничен-

ные при ? = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные

при t = Т. В этом случае G = ---------- и

1 + i

T

/1 Г InG \ , Ч_1 1

exp -— I --------dx\ = (z-T) 4^4,

V 2ni J т - z /

о

в указанном выше классе каноническая функция равна %(z) = (z - T)iz~4,

индекс к = 0. Имеем

т)-_тл^і£і[—щ—А. (35)

2 2л J (j7 _ х) 4 х 4 (х _ ^

Из формулы (35) следует, что |3®(0) = 0 тогда и только тогда, когда

Т

f

(Т - х) 4X4

о

При выполнении (36) формула (35) примет вид

-!‘Т[ г Л = 0. (36)

Г от А (37)

2 2 л J (Т _ х) 4 х 4 (х _ ^

Так как 2(?) принадлежит пространству Н1/2(0, Т), то функция |3(г)(0, представленная формулой (37), удовлетворяет условию Гельдера с показателем | во всех точках контура (0, Т), отличных от концов. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [8. С. 76], как и выше, легко видеть, что |3(1)(0) = |3(1)(Т) = 0. Далее, в силу леммы и неравенства | < | при 0 < у < 1 получим, что в формуле (37) функция р«(0 удовлетворяет условию Гельдера с показателем

Таким образом, при выполнении условий, аналогичных (13), (16), (18), (21), (23), (25) и (36), получим функцию Р(?) из искомого пространства Нр/2(0, Т), удовлетворяющего условиям: Р(5)(0) = Ф0’?)(0) 5 = 0,1,...,1 - 1, р(г)(Т) = 0.

Итак, справедлива теорема.

Теорема 2. Пусть фь ф2 е Нр, р = 21 + у. Тогда при выполнении 21 + 1 условий вида (31), (32) и (36) существует хотя бы одно решение уравнения

(2) из пространства Нр’р/2, удовлетворяющее условиям (3), (33).

Замечание 1. В теореме 1 показано, что при р — \р\ ^ \ гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных данных, которое в случае теоремы 2 не выполняется. Таким образом, гладкость решения существенно зависит от условий склеивания при х = 0.

3. Общий случай

Для уравнений (5) с начальными условиями (6) рассмотрим общие условия склеивания

м1(0, t) = u2(0, t), u\(0, t) + z • u2x(0, t) = 0, (38)

где z = r exp (г'ф) — комплексное число.

В этом случае получим сингулярное уравнение вида

T

^0_£ Г(')*№* = ею. ,39)

п J \т) т - t

0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Сингулярное интегральное уравнение (39) будем рассматривать как уравнение относительно Ро(0 = 1Найдем решения |3o(i), неограниченные при t = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при t = = T. Для этого введем кусочно-голоморфную функцию (см. [7, 8])

T

ад ‘ гшл,

2ш J т-п

0

Тогда на основании формул Сохоцкого—Племеля уравнение (39) эквивалентно решению краевой задачи Римана

1 + i • zu,-^ . Q(t)

*р+(0 = -j——^“(0 + i w , t e (о, T),

1 1 ' Z f2(l - 7 • z)

¥+(t) = ¥-(t), t e (-M, 0) U (0, + то)

при дополнительном условии ¥(м) = 0. Отметим, что G =

(1 - r sin ф) + i • r cos ф

=---------------------------- и

(1 + r sin ф) - i • r cos ф

T

0

1 ¡ r cos ф r cos ф

0 = — I arctg --:— + arctg ■

(40) 1 + i ■ z

1 - i ■ z

2л l 1 - r sin ф 1 + r sin ф)

2 > 2> v 1:1111 Ч3! ^ e f ’ ^ (f

ехрО- Г ^Л) = (л-Л“е“е1-'ле+01-',

\2л^ т - п '

0

Согласно общей теории [7, 8]

T

Тогда

= ^ Г ---------------------&--------------------л.

zm j т2(і + гзіпф - /гcosф)х+(х)(т - г|)

|3®(0 = ¿Q¥+(t) - Т“(0) =

T

«') +_І_(Г-,ЛЬ»Ш(,) f (41)

1 + г2 я(1 + г2) о (Г “ х)етЬесо(т)(т - г)

или

_ Т

= (Г-О^Г^ЧО Г----------^-------------л. (42

1 + г2 я(1 + г2) о (Г~ Т)1_0Т“5+0СО(Т)(Т - О

Из формулы (42) следует, что |3(1)(0) = 0 тогда и только тогда, когда

Т

г--------щ---------А = 0 (43)

При выполнении (43) формула (42) примет вид

'^) = Ш_ + z (Г-О^+ЧО Г-------------------—Щ-------------dx. (44)

1 + z я(1 + z ) J (Т - т^тг+ЧтХт - О

Так как Q(t) принадлежит пространству Hl/2(0, T), то функция |3(l)(t), представленная формулами (41), (44), удовлетворяет условию Гельдера с показателем | во всех точках контура (О, Т), отличных от концов. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [8. C. 76] легко видеть, что |3(l)(0) = = |3(l)(T) = 0. Для дальнейшего исследования поведения их на концах контура также воспользуемся леммой Мусхелишвили-Терсенова.

В силу этой леммы получаем, что если 0 ^ то в формуле (41) функция |3®(f) удовлетворяет условию Гельдера с показателем | при 0 < у < 1 —

— 20, условию Гельдера с показателем ^ - 0 при 1 — 20 < у < 1 и условию Гельдера с показателем 0 —е при у= 1-20. Кроме того, заметим, что если 0^^, то функция |3®(f) удовлетворяет условию Гельдера с показателем | при 0 < у < 20, условию Гельдера с показателем 0 при 20 < у < 1 и условию Гельдера с показателем 0 - е при у = 20.

В формуле (44) в силу леммы Мусхелишвили—Терсенова и неравенства | < min{l -0,^+0} при 0 < у < 1 функция |3®(f) удовлетворяет условию Гельдера с показателем

Таким образом, при выполнении 21 условий, имеющих вид (31), (32), получим функцию |3 (t) по формуле (41) из искомого пространства Hp/2(0, T).

Во втором случае при выполнении 21+1 условий, имеющих вид (31), (32) и (43), получим функцию |3(í) по формуле (44) из искомого пространства Hp/2(0, T).

Таким образом доказаны:

1) Hp’p/2, если 0 < у < min{20,1 - 20};

2) Hqq/2, q = 2l + min{20,1 - 20}, если min{20,1 - 20} < y < 1;

3) H" e(q e)/2, если y = min{20,1 - 20}, где e — сколь угодно малая положительная постоянная.

Теорема 4. Пусть ф1; ф2 е Hp, p = 2l + у и пусть при |r sin ф| ^ 1, ф е (-л; - |) U (|; л), при |r sin ф| > 1, ф е (-л; - |) U (0; |).

Тогда при выполнении 21 + 1 условий вида (31), (32) и (43) существует хотя бы одно решение уравнения (2) из пространства Hp,p/2, удовлетворяющее условиям (3), (38).

Замечание 2. Случаи ф = 0 и ф = п были рассмотрены в работах [2, 9].

При ф = имеем G = у^, следовательно, каноническая функция xOl) = (г|-

_0j _ inpl ПрИ о < г < 1 или х(г|) = (г|-77)i-01'r|-5+ei' при г > 1. При этом, очевидно, мы находимся в условиях теоремы, аналогичной 4.

Литература

[1] Терсенов, С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени / С.А. Терсенов. - Новосибирск: Наука, 1985. - 105 с.

[2] Пинигина, Н.Р. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / Н.Р. Пинигина,

С.В.Попов // Мат. заметки ЯГУ. - 2002. - Т.9. - №1. - С. 71-82.

[3] Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. -М.: Наука, 1967. - 736 с.

[4] Бейтмен, Г. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. - М.:Наука, 1970. - 327 с.

[5] Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов // Учеб. пособие для вузов. - М.:ВШ, 1985. - 304 с.

[6] Пресдорф, З. Некоторые классы сингулярных уравнений / З. Пре-сдорф. - М.:Наука. 1979. - 496 с.

[7] Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

[8] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Му-схелишвили. - М.: Наука, 1968. - 512 с.

[9] Попов, С.В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / С.В. Попов // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1991. - Вып. 102. - С. 100-113.

Поступила в редакцию 13/XTT/2006; в окончательном варианте — 13/ХЦ/2006.

HOLDER SMOOTHNESS OF SOLUTIONS OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR PARABOLIC EQUATIONS WITH VARIABLE TIME DIRECTION

The solvability of the boundary-value problem for the second order parabolic equations with various time conditions in Holder spaces is considered. We show that the Holder classes of the solutions depend significantly on the from of the gluing conditions and non-integral Holder exponent.

Paper received 13/XTT/2006. Paper accepted 13/X///2006.

2Pinigina Nyurguyana Romanovna, Popov S.V., Dept. of Higher Mathematics, Yakutsk State University, Yakutsk, 667000, Russia.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Пинигина Нюргуяна Романовна, Попов С. В.

Текст научной работы на тему «Гельдеровская гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции»