О параболических уравнениях с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

О ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ С УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ, СОДЕРЖАЩИМИ ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА*) Н, Р, Пинигина, С, В, Попов

В работе, продолжающей статьи авторов [1,2], устанавливается разрешимость краевых задач для уравнений, имеющих вид

д(х)щ + Ьи = ¡, (1)

где Ь — эллиптический оператор 2-го порядка, д(х) = А при х > 0 и д(х) = х < О, А, В — положительные постоянные. Результатом

данной работы является явное представление условий разрешимости для уравнений (1), когда условия склеивания (сопряжения) содержат разные производные до второго порядка.

1. В области ( = М+ х (0,Т) рассмотрим систему уравнений

Аи1 = и\х> —Ви1 = иХх■ (2)

В пространстве Гёльдера Щ¡р/2 ((+), р = 2/ + 7, 0<7< 1, ищется решение уравнений (2), удовлетворяющее начальным условиям

и1^,®) = щ{х), и2{х,Т) = ^2{х), х > 0, (3)

и условиям склеивания

^(О^ + иХф ,*) = 0, и^О = иХ^О ,1) 0<г<Т, (4)

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, программа «Университеты России» (код проекта 04.01.047).

© 2008 Пинигина Н. Р., Попов С. В.

где I — целое число.

Единственность решения поставленной задачи устанавливается интегрированием тождеств

А 9

О = и1 • (Аи] - и1х) = -[(и1)2^ + (и1У - («ЧЬ О = и2 ■ (Ви2 + и2хх) = В (и2)2 - и2х)% + (и2и2х)х

по области Q+ с применением соответствующих начальных условий и условий склеивания.

Будем предполагать, что х) € Ир(М) (г = 1,2). Тогда функции

^ К (5)

Г ^ Уд Г ( В(х-р2\

Ш2(хЛ) = -, / ехр--——-— ¥>2 (с) «с

к

являются решениями соответственно уравнений (2), удовлетворяющими условиям (3) в М. В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (2):

л/А * А 9

и1 ОМ) = J х ехР а(т) ^ +

П т 'I (6)

и2(х,г) = ! ехр ^ ) (т ~ ^ + (х, ¿)■

г

Функции, представленные формулами (6), удовлетворяют начальным условиям (3) и уравнениям (2) соответственно. Отметим, что пк принадлежат пространству если а(Ь) принадлежит пространству Ир/2(0,Т), а принадлежит пространству 0,Т), причем

«М(0) = 0^ = 0,...,0, /3{8) (Т)=0(з = 0,... ,1 -1). (7)

Из условий склеивания (4) получим систему уравнений относительно

а в

а{г) + р{г) = Ф0{г), г Т

Г7<1 Г <х(т) , /ТТ Л I' , Ж / ч 8

\[А— /-^Ц- ¿т + у/В — / ^ ; , ¿т = $1

У Л.] (т-ф у '

о г

где

Ф0(*) = -с<л(<М) -ш2а!(0,*), Ф^) =

Пусть I ^2. При выполнении условий

в(0) = Ф„(0), в(Т) = 0 (9)

систему уравнений (8) можно переписать так:

г Т / %

+ = Ф1(4), (10)

У У (т-*)*

г

Отметим, что первое условие в (9) необходимо и достаточно для того,

а

Если второе уравнение в (10) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то

«(*)+£(*) = Ф0(*),

т £

/-т ,. ч у/в [ /г\1/2 [З'(т) , 1 й [ ФЛт) , (11)

д/Ао/ ¿) + — / - ^ ¿т = —- / —¿г.

7г У и У гтгсйУ (г_т)*

о о

Введем обозначения ^^ (Ь) = Ф^ (Ь) — Ф^(0),

1 ¡Ф[а) (т) — Ф ^(0)

(. = 1.....

Ъ } и~т) 2

О

Легко видеть, что (¿), ^^ (Ь) принадлежат пространству Гёльдера с показателем (1 + 7)/2, причем ^ = И = для

малых Ь.

Предположим, что функции а(1), ¡3(1) принадлежат искомым пространствам Гёльдера. Тогда из системы (11) следует, что

т

= (12)

о

При выполнении (12) систему (11) можно переписать так:

() + ${ <) = «да +

+ Л / ^у Ш* = 1Ф;(О,<» + енч (13)

П J \т у т—1 п

о

Пусть выполнены условия

в'(0) = <^(0), 0{ Т) = 0, (14)

и введем в системе (13) новые искомые функции

Т — 1

/?(*) =/?(*)-/?'( 0) —. Тогда систему (13), воспользовавшись формулой [3, с. 177]

т

1 Гтр— (Т —

¿т = гр— (Т — 1) (ап

п У т — 1

пГ(р + ст — 1) \ Т

представим в виде

(А)*+ |ф1(0)**+ *?(*), (15)

где

1 ( [ Т-т 1 4/13^,^ от =--1< —, 1

Т(т — Ь) п V 2' '2 Ту\,Т

о

Далее, если I > 2, то продифференцируем один раз полученную систему уравнений (15). Имея в виду формулу [4, с. 12] й

получим

с;^0-1] = (с- 1)гс-2Г(а,Ъ,с- !;£),

а" (Ь)+в" (*) = Ф" И,

Т Т

\ о о /

Из этой системы следует, что

^ = 2^(0) +ФИО). (17)

у т3 Л V Т о

В силу формулы [5, с. 254]

1тгА11(1т=_т.т+т[т(1т

А]т-г Т Т-Ь ] г-(

о о

систему (16) при выполнении условия (17), учитывая, что в'{Т) = 0,

можно переписать в виде

*•( п + 0' и = «ги +

л-и + л / аУ'Щ.г = + (18)

п ] \т ) т — Ь п

о

Таким образом, мы получили уравнения (18), имеющие точно такой же вид, как и уравнения (13). Легко видеть, что при выполнении условий

в( а)(0) = ф{,а)(0), в( а) (Т) = о,

VВ /-/3(8)М-/3(8)(0)^ ,

- ' --— от

гз/2

= 2^|/ЗМ(0) + ф[з)(0), 8 = 2,..., 1-2, (19)

получим систему уравнении

*(-1) в 1 = (0) + ^о- (1)

о V«; ^ 1 о

^оХ-) {г) + ^Т[П)1/2 ^1 пг = (0)^ + ^ (0•

^ т — 1 п

о

(20)

Потребуем выполнения условий

в-1) (о) = ф{,'-1) (о), в-1)(т) =

и введем новую искомую функцию

/?('-!) (¿) = /?('-!) (¿) - /?('-!) (0)^. Тогда систему (20) можно переписать в виде

о

4 /- / 13 2,г,_1

(22)

Так как О'-1), впринадлежат нространству Н1

должно выполняться условие т

■ / ^^ = ^^ (0) + ФГ} (0). (23)

Тогда при выполнении (23) в конечном итоге придем к системе уравнений

п У V т / т — Ь о

где

=/3(^(0)-+

1, -; — | - 1 2 2 Т

Р— И,

п

принадлежат пространству Щ1+^^0,Т), причем для малых Ь.

Исключая а(¿) в системе (24), получим сингулярное уравнение относительно в^—^(¿):

уГа^-Ч)— = (25)

о

где

Сингулярное интегральное уравнение (25) будем рассматривать как уравнение относительно = Найдем решения Д>(£), неогра-

ниченные при 4 = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при £ = Т. В этом случае каноническая функция х^) равна (г — Т)вг~в, в = ^ ап^ индекс х равен 0.

Сингулярное уравнение (25) в этом классе решений во^) однозначно и безусловно разрешимо, и решение дается формулой [6,7]

0<«-1)(*) = 1-Щ-Лт.

В + А*у> п(В + А)к ' У (Т-г)М-®(г-4)

о

(26)

Так как в' ^принадлежит пространству Н1то из формулы (26) следует выполнение условия

](т = (27)

При выполнении (27) формула (26) примет вид в-1) (1)

;<Э(*) + ~Г1-+ ^ / --¿г.

о

(28)

Так как принадлежит пространству Н1+^^0,Т), функция в(1), представленная формулой (28), удовлетворяет условию Гёль-дера с показателем во всех точках контура (0, Т), отличных от

концов. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [7, с. 76], легко видеть, что

в-1)(0) = в(-1) (Т) = 0. Далее, в силу леммы о принадлежности классу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [1]) и ввиду неравенств (1 + 7)/2 < 1 + 9 и (1 + 7)/2 < | — 9 при 0 < 7 < 1, получим, что в формуле (28) функция в^ (1) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем (1 + 7)/2.

Таким образом, при выполнении условий (9), (12), (14), (17), (19), (21), (23), (27), которые имеют вид

= Ф1(0),

о

^/'9"'(г1 - ф;,-'(0) + Ф;-'(0), (29)

о

^ = 1,... ,0 — 1, в^(Т) = о, & = о,1,... ,1 — 1,

мы получили функцию в(^) из искомого пространства Нр 1 ^/2(0,Т), удовлетворяющую условиям

в(а)(о) = Ф{,а)(о), * = о,1,...,/ — 1, в(-1)Т) = о.

Значения ва определяются по формуле Тейлора

о*"«) = + <7^ /<« ■-т)'-*'->м*.

0

в = 0,1,... ,/ — 2.

Тогда для выполнения условий в^^ (Т) = 0 при & = ОД,... ,/ — 2, необходимо и достаточно, чтобы

° = ё + (Г^ ]<т - т)'--*"-:' М (»)

0

в = ОД,... ,1 — 2.

Подставив найденные значения функций ва в первые / условий (29), получим

т 1

о о

^ У *Рмтк-1/2 + (0) + Ф«(0) (31)

2 ^ (к- з)\(к-з-1/2) V Т 0 {01>

з = 0,... ,1 — 2,

2 у т3/2 ■¿г = 2^-Ф^(0) + ФГ1'(0). (32)

о

Отметим, что функция в*-—^ дана формулой (28), при этом а^)* как и ^^ принадлежит пространству )/2(0,Т), причем

аа)(0) = 0 (в = 0,...,/— 1).

Итак, доказана следующая

Теорема 1. Пусть € Нр, р = 20 + 7. Тогда при выполнении

0

(2) из пространства Нр—'[р—)/2, удовлетворяющее условиям (3), (4).

0—

найденное в теореме 1, будет принадлежать пространству НХЧ/2, д = 20 - 2 + гшп{20,1 - 26»}, где 0 = ± ап^ ,/§.

А'

Замечание 2. Если предположим, что ^(х) € Нр, ^(Х € Нр+1, 0

жать пространству (см. [1]):

1) НР'Р/2, если 0 < 7 < гшп{20,1 — 20};

2) Н™/2, д = 20 + ттр0,1 — 20}, если гшп{20,1 — 20} < 7 < 1;

3) Н^ Е'}4 Е^/2, если 7 = тш{20,1 — 20} где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

2. Для системы уравнений (2) с начальными условиями (3) рассмотрим следующие условия склеивания:

^(0,*) = 4(0,*), и1(о,г) = и2хх(о,г), о<г<Т. (зз)

В этом случае сингулярное уравнение относительно в—^ (1) будет иметь вид

Т 'А3/2Д0-1>(Т)

+ ^ / (;) ' ^^ ^ = (34)

^ ' Е // I -

п ] т — 1

о

Сингулярное интегральное уравнение (34) будем рассматривать как уравнение относительно /?].(£) = ¡3(1Н~% и найдем решения ¡3\{р), неограниченные при 1 = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при 1 = Т. В этом случае каноническая функция равна х(г) = — Т)1 -9г~1+9, индекс к равен 0.

Имеем

VВ /гг Л1_ел+в 1 <Э(т)

(Т-^-Ч-^ ----¿т. (35)

7г(В + А)к } (Т-ту-вт*+в(т-г)

Так как принадлежит пространству Н10,Т), то функция в^ 1~1'> представленная формулой (35), удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ^Чр^ во всех точках контура (О, Т), отличных от концов. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [7, с. 76], как и выше, легко видеть, что в-1>(0) = в(-1) (Т) = 0.

Далее, в силу леммы (см. [1]) и в силу неравенств 7/2 <1 — в и 7/2 < §■ + в при 0 < 7 < 1, получим, что в формуле (35) функция удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 7/2. Таким образом, при выполнении условий, аналогичных (9), (12), (14), (17), (19), (21) и (23), получим функцию в{Ъ) из пространства Нр—)/2^0,Т), удовлетворяющую условиям

в(а>(0) = ф£а)(0) (в = 0,1,...,/ — 1), в(-1)Т) = о.

Итак, справедлива

Теорема 2. Пусть € Нр, р= 2/ + 7. Тогда при выполнении

/—

уравнения Н% 1,}р 1 , удовлетворяющее условиям (3), (4).

Замечание 3. Если предположим, что € Нр, € Нр+1,

/

решение задачи (2)-(4) будет принадлежать пространству НХр'1р/2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пипигипа П. Р., Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, N 1. С. 71-82.

2. Пипигипа П. Р., Попов С. В. Гладкость решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные первого и второго порядков // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, N 1. С. 86-97.

3. Бейтмеп Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразование Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.

4. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа: Учебное пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1985.

5. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Наука, 1979.

6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.

7. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

г. Якутск

19 января 2004 г■