Нелокальные краевые задачи Самарского для параболических уравнений с меняющимся направлением времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ САМАРСКОГО ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ*)

А. И, Шадрина

Пусть Л — конечный интервал ( —1,1) оси Ox Q — прямоугольник П х (О, Т), 0 < Т < + <ж. В области Q рассматривается уравнение вида

g(x)ut + Lu = f(x,t), g{x) = signx (1)

с нелокальными краевыми условиями

( u( — 1 ,t) = axUxi — 1 ,t) + a2u(\,t) + fi(t), [ux( l,t) = faux( — 1 ,t) + e2u(l,t) + f2(t), L f x, t f t f t

заданные функции, определенные при х £ ft = [—1,1], t £ [О, Г], и а\, a j A j в — заданные действительные числа такие, что векторы а = {a\, a) и ft = в) линейно независимы.

u x, t

Q

ются нелокальные краевые условия (2), условия склеивания

Т^—0 ,t) = T2u(+0,t), (3)

а также начальные условия

u(x,0) = ^i(x), x > 0, u(x,T) = ifi2(x), x < О, (4)

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации № 02.740.11.0609.

© 2012 Шадрина А. И.

где <р1(х), ср2 (х) — заданные функции, определенные при х £ Л = [—1 их), Т\,Т2 — невырожденные матрицы с постоянными

действительными коэффициентами.

В монографии С. А. Терсенова [1], в частности, впервые установлено, что гладкие решения этих задач для уравнения (1) существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между данными задачи. Эти задачи изучались в гёль-деровых классах функций Н^2, 0 < р — [р] < 1/2. При этом разрешимость эквивалентно сводилась к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, и эти связи (условия разрешимости) выписывались в явном виде.

Результатом данной работы является явное представление условий разрешимости для уравнений (1), когда функция д(х) меняет знак с некоторым постоянным весом. Как и в работе [2], здесь замечено, что при р — [р] ^ ^ гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных данных.

Отметим, что в [3] исследована разрешимость начально-краевой задачи для уравнения (1) при несколько других нелокальных краевых условиях Самарского.

Решение уравнения (1) ищется из пространства Гёльдера где р=2/ + 7, 0<7< 1.

Разрешимость краевой задачи

Для удобства в области Q+ = (ОД) х (О, Т) вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений

Щ 1 = Щ хх, —и21 = Щ хх. (5)

Тогда поставленная краевая задача для системы (5) переформулируется так: найти решения щ (х, £) п щ(х, £) системы (5) в области Q+ из

ТТР'Р/2

пространства Нх £ , удовлетворяющие нелокальным краевым условиям

( и2(М) = — ащх( М) + Л(^), (

{ их(М) = —ртзхМ + ^М + ЛзЮ,

начальным условиям

и\(х,0) = щ(х,Т) = ^(—X, х > О,

(7)

и условиям склеивания

и2(о,г) = (т2-1 • т)и 1(0,^ (Ро<г<т, (8)

где Р, 7 — невырожденная преобразующая н жордаиова матрицы

условий склеивания (8) будем рассматривать условия склеивания вида

предполагая, что в поставленной краевой задаче можно ввести замены Рщ = VI, Рщ = «2. Будем рассматривать случай матрицы

Заметим также, что в случае диагональной матрицы 7 мы находимся в условиях работы [3].

Единственность решения. Пусть поставленная задача имеет два отличных друг от друга решения (щ, щ) и (щ ,й2). Тогда функции VI = щ — щ и щ = щ — щ удовлетворяют системе (5), однородным нелокальным краевым условиям (6), однородным начальным условиям (7) и условиям склеивания (8).

Интегрируя тождества

Т2 1Т соответственно. Предполагаем, что все характеристические корни матрицы Т2-1 Т являются действительными числами. Далее, вместо

(9)

(10)

по области Q+ и применяя начальные условия (7), получим систему

§■ / v2(x, Т) ¿х + // V2х " о 4+

т т

— / Л + / мо,^^ х(0 ,г)(И = о,

(п)

1

Ь 1vf(x,0) ¿х + // х ¿хМ " о 4+

т т

— /х( ММ + /ДО= 0. о о

В силу однородных нелокальных условий (6) систему (11) можно привести к виду

2 1 9 99 т

/ у2(х, Т) <1х + <т2 // у2х йхсИ + <т2 • Д / £)г>2Ж(1, ¿) Л

0 о

т т

—а2 • д / ^(мМ + а2/ До,г)(ь = о,

о о

1 т т ± / V2 (х, 0) ¿х + Я ^х + а / ^х( 1 Д) — а ! v1(l,t)v2х( 1 Д) " о о о

т т

—а2/ «ДОД)«! ДО ,г)А — а / V? Д 1Д) = 0, о о

(12)

откуда

V2 (х, Т) ¿х + а2 j j V2х

1

■ ! [а^Д М) + (а2Д — аМ(1,ф2х(М) — ] ¿ь

о

1 т

+ —У V2(x,0)dx + JJ — а J ^Д 1,£)Л = 0. (13)

Из равенства (13) следует, что, например, при а < 0 и неотрицательной определенности квадратичной формы

= а^ + ^р! — — >0, (&,&) е К2, (14)

в силу однородности краевых условий получаем =0, г = 1,2. Таким образом, доказана

Лемма 1. Если выполнены условия а < 0 и (14), то краевая задача (5)-(9) может иметь не более одного решения в пространстве

н11+\1+Чя+)-

Существование решения. Пусть /1 /г(^) е Яг+2(0, Т) и х) е Ир(0, 1), ^( —х) е Ир( — 1,0). Будем считать <^г(х) продолженными па (—те, те) с сохранением принадлежности пространству Ир{—те, те) (см. [4]). Пусть выполнены условия согласования

£Х>1(1) = £Х>2 ( — 1) = 0, 8 = 0,...,/. (15)

Тогда функции

1 г ( (х — \

1 К Г ( (х — ^ \ (16)

Ш2(хЛ) = -, / ехр - ——-- I (£) ,

к

являются решениями уравнений (5), удовлетворяющими начальным условиям (8).

В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (5):

t х2 « (х — 1)2

. . 1 Ге , 1 Г е )г/2(т) , . .

щ(хА) =--= / -=-от--= / -:-ат + ъил(хА),

к ' урйУ а-т)* урйУ

о о

т х2 Т (х-1)2

. . 1 Ге 4<—«/хЛт) , 1 Г е 4<—/х2(т) , . .

и2\х,Ь) =--■= / -5-ат--= / -5-ат + ад?(ж,Л.

V 7Г 7 (т-ф л/-к } (7"

4 4 (17)

Тогда функции, представленные формулами (17), удовлетворяют системе уравнений (5) и начальным условиям (8). Таким образом, нужно найти функции ¿) и ^(¿) из пространства , удовлетво-

ряющие условиям согласования

г/{8)(0) =/48)(Т) = 0, в = 0, / — 1, г = 1,2. (18)

Введем обозначения:

4 1 г 1

Г е г/(т) Ге 4('-т> г/(т)

^^ = / "77-Д"1 ^^ = / "77-

7 и —т) 2 7 и —т) 2

о о

т__т__

ТГ / N [ е 4(т-4) м(г) , ТГ . , Г е 4<—«и(т) ,

= / —-т^т2 ¿г, = / —-¿г.

7 \т —Ь) 2 7 (г — 2

(19)

Легко видеть, что интегралы (19) являются ограниченными линейными отображениями пространства ограниченных интегрируемых функций на пространство бесконечно дифференцируемых функций. Если введем обозначения

$!(*) = - 7^7= - ^u2Vl(t)

- «1^2x( M) + a^i(M) - w2(l,i) + h^),

21 > 2^ л/тг

X

(l,t) - Лi, t) + t) + hit),

$3(t) = a[/^2(t) + - Vim(t)

+ л/т1Ю2 (0, t) — (Т\рКШ\ (0, t) — у/тГШ 1ж(0, t),

= 0 +-iT^2 " V™2a!(0,t) - V^Wi^O,*),

то с учетом краевых условий (6) и условий склеивания (8) для функций (17) получим две системы уравнений:

г и ^ I (т-т ^ I

4

(20)

Ы*) + АМ*) + ^ / у^г ¿т = Ф2(*),

у 0 (*-т12

4

{ (т-о* о (21)

+ = Ф4(4).

При «1=0 функция $1(4) принадлежит пространству (0, Т),

в противном случае — пространству (0, Т). Аналогичное

утверждение верно и для при Д = 0. Функции Фз(4) и Ф4(4)

принадлежат пространству (0, Т).

Для простоты будем предполагать, что 1=1. Тогда ищем функции ¿/¿(4), /«¿(4), г = 1,2, из пространства Н 2 (0, Т), удовлетворяющие условиям (18) при в = 0.

Предполагая, что функции 4), 4) принадлежат искомому-пространству, в силу условия согласования (18) из систем уравнений (20), (21) соответственно получаем

а1М0)-^1^ат = Ф1(0), (22) АЫО) = $2(0),

= (23) ^1(0) = $4(0).

Система (22) эквивалентна следующей системе:

= Ф2(0).

При выполнении условий (23), (24) системы (20), (21) можно переписать в виде:

^ ■{ (т-ф ^(г-т)Ь

-«1М2(0) + ¡^Р Пт = ф^г) - <Ы0),

V 0 т 2

(25)

г

Ы*) + + / -¡^г ¿т - /?1М2(0) = Ф2(*) - ф2(0).

< 4 о о т2 (26)

I (*) + а^ (*) — ^ (0) = Ф4 (¿) — Ф4 (0).

Исключая ^(О в системе (25), получим уравнение

г _ _

/" ^(г) («1/?2 2/32 УГ^

«1^2 о + / т~--г —--ь -:==-

} (г - г) 2 V V71" ^ лЛ - т

а А 1 * — т 2 в.

■1п

¿т

Ыт)

(т -ф \ аД

1 2^2

1п

л/т^г

где

1 /т — * 2Д

1п

л/Т+^/Т^

¿т = Щ1), (27)

^ ^ ?Ф2(т)-Ф2(0) 1 /" Ф2(т) — Ф2(0)

' ^ {т-Ф ^ ' тЬ

г

¿т

2АМ0)

((Т - - Т5) - ац[Ф2(*) - Ф2(0)] + ДФДО - АФДО).

Также исключаем в системе (26):

т

VI (¿) — а У

VI (т)

<т / -' ' 1 (1т + <т I —5— (1т — а

(т-г) 2

VI (г)

1

Г 2

^(7

(* —

— ¿т = ^(г), (28)

г

где

Тф4(г) -Ф4(0) , , (Ф4(т) -Ф4(0) л

ат+ -^-ат

- 2М1(0)[(Т - - Т*] + Ф3(4) - Ф3(0).

В итоге получим систему вида

т

а11У2(г) + Г ^-т)1(т) (Iт = о

(29)

где

5\(г,т) =

I Мг. 1п

Л"

о < т < г,

Л/7Г 7Г

0^2/^1 I 1 / ¿ — Т

1 т-г

V т '

г <т <т,

Здесь

^(г,т) =

1 1 п

(4 —т) 2 -т 2

-т-

1 Ь (т-4) 2 —т 2 -т-

о < т <г,

г <т <т.

уп уп

^(г,г -о) = 51(г,г + о) = -а.

В полученной системе интегральных уравнений (29) возможны два случая: а ф 0, при этом первое уравнение системы (29) является неоднородным уравнением Фредгольма второго рода, иначе — неоднородным уравнением Фредгольма первого рода, которую можно привести к сингулярному интегральному уравнению.

а

интегрального уравнения (29) получим

откуда

где

а.\1

а-т

= - / Шг^-з^Ыг) ¿Т)

|т-4| 2

о

т

VI (4) - а Г -^г (1т - а [ -¡Щ- <1т

т

т —4 2

К1(Ь,Г) =

о

т __

+ / К (г, т^т^т = о

Г 0 < т <

(4-т)2

«1

(т-4):

г <т <Т,

а

Рг(г) —

К(г,т) =

\r-t\i

о <т <г,

¿т

г-т

(т-4) 2

(30)

У

о

Система уравнений Фредгольма (30) имеет единственное решение. В самом деле, если (30) имеет нетривиальные решения v\(t), ^(г), то VI (г), ^(г) будут нетривиальными решениями однородной системы уравнений (30), откуда следует, что однородные системы уравнений

(20), (21) также имеют нетривиальные решения. Тогда при выполнении леммы 1 имеем, в частности, и±(г) = ^(г) = 0, что и требовалось. Согласно общей теории [5,6] отсюда следует существование решений уравнений Фредгольма (30).

Подставив найденные решения уравнений (30) в (23) и (24), получим четыре условия разрешимости. Если I > 1, то аналогично [2,7] можно получить 41 условий разрешимости

= о, в=1,...,4/. (31)

Итак, доказана

Теорема 1. Пусть х) € Н'+7(0,1), <&(х) € Н-1,0), /ф)

£ (0, Т), I ^ 1, 0 < 7 < 1, и «1 ф 0. Тогда прн выполнении усло-

вий леммы 1, а также условий (31) существует единственное решение краевой задачи (1)-(4) из пространства (С

Случай 2. Пусть а = 0.

Если первое уравнение системы (20) обратить с помощью формул Абеля, то (20) можно переписать в виде

+ М^М = ад + 2^(0),

о

Ы*) + АМ*) + % I Лт = ф2(*),

у 0 (*-т12

4

(32)

о С4"1")*

Мы ищем функции ^(г) и ^(г), принадлежащие пространству Н1~1+221 (0,Т), которые удовлетворяют условиям (18).

Предположим, что ^(г), ^(г) принадлежат искомому пространству, то из системы (32) следует, что

1Тгт(г1г1т = 0

^ о ~ (33)

дМ2(о) = Ф2(О),

= (34)

При выполнении (33) система (32) примет вид

-Т77+ ^мг) = ад + я*Ф1(0),

о

г

(35)

Ы*) + АМ*) - /?1М2(0) + / -¡Щ- с1т = Ф2(*) - ф2(0).

О 2

Введем новую искомую функцию

~ Т — г

= Ы*)--—№¡(0).

Тогда из (35) получим

' IШ1 Щ * + ^ (*)* ^ (-1,1, |; *) + ^съъУ)

о

о. о+Ья>' гт

(36)

Ы*) + №(*) - А (Д2(0) - ММО)) + % / Ат г — .

Так как ^(г) принадлежит искомому пространству, из первого уравнения системы (36) имеем

+ ^ = (37)

V71" и т 2 7Г_/ 2

о

При выполнении (37) из системы (36) выводим

I ш1 *+^ (р (-11, §, -1)

о

+ = (38)

+ А - М2(0)) + ■%} ^т ¿г = Ф2(*) - Ф2(0).

о 2

Исключив ^(г) из системы (38), получим

Т / \ I ~

АДа(*) + —[(-) 2 ^ = «И, (39)

а^ У \т/ т — г о

где

тта.2 а.9 \ТJ \ ^ 2' ' 2' Т А. [ Ыт) Зт _ 4/?2М2(0) Г т* (1-^ Лт

о о

7Г У Т2

о

Сингулярное уравнение (39) будем рассматривать относительно ^ (г) = М2

(¿) Тогда

уравнение примет вид

+ (40)

«271" 3 Т —Ъ ¿2

О

Решения ^о(г), неограниченные при г = 0 (по допускающие при г = 0 особенность порядка меньше 1) и ограниченные при г = Т, имеют в случае «2А > 0 каноническую функцию х(г) = (г ~ Т)^+в, а в случае «2А <0 — каноническую функцию х(г) = (г ~ ,

где 9 = ^ аг^ |ск2 А ПРИ этом индекс к равен 0.

Сингулярное уравнение (40) в этом классе решений ^ (г) однозначно и безусловно разрешимо, и решение в случае а^/Зг >0 дается формулой [5,6]

т

Ы,) ' Щ - / (Г - - о (41)

г А у

в случае а2в1 <0 — формулой

* г и

Рассмотрим уравнение (41). Функция при заданной функ-

ции (¿(Ь) из пространства Н 2 (0, Т) будет удовлетворять условиям

Гёльдера с показателем во всех точках контура (О,Т), отличных от концов. Рассмотрим ее поведение на концах.

Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [5] имеем Д2(0) = Д2 (T) = 0. Для дальнейшего исследования поведения на концах воспользуемся следующей леммой.

Лемма 2. Пусть <^(t) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем А вблизи C, включая C (C обозначает 0 или T), 0 < А < 1 н 0 < y < 1. Тогда для точек контура (0, T) интеграл типа Коши

nt) = (t-cy /т--,dr

w 1 .) (r-C)f(r-t)

о

CC

равным min {А, y }, при А ф y и условию Гёльдера с показателем А — е при А = y, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

В силу леммы 2 получим, что если аА (аА ^ l)j то в (41) функция /х2 (t) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем при 0 < y < 1 — 20 (0 < y < 26) и условию Гёльдера с показателем 1 — 6 при 1 — 26 < y < 1 (26 < y < !)■> условию Гёльдера с показателем ^^тг- — е при 7 = 1 — 2в (7 = 26). Тогда при выполнении (33) и (37)

^ Т + 1

получим функцию (t) из искомого класса Н 2 (0, Т), 0 < 7 < 1 — 2в (0 < y < 26), при ав (аА < 1). Отметим, что ^2(0) задана формулой (34).

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из регуляризованного уравнения (41) и первого уравнения системы (30)

т

vx (t) + yK2(t,T)^(T)dT = ^(t). (43)

о

Как и в случае 1, система уравнений, состоящая из (41) и (43), является системой уравнений Фредгольма второго рода, следовательно, разрешимость также следует из доказанной в лемме 1 единственности

решения. Подставив найденные решения уравнений (41), (43) в (23), (37) и в первое уравнение (33), получим четыре условия разрешимости.

Рассмотрим уравнение (42). В этом случае функция ^2(г), как и выше, при заданной функции <3(¿) из пространства Н 2 (О, Т) удовлетворяет условиям Гёльдера с показателем ^^ во всех точках контура

,т

как ^ — 0 < в силу леммы 2 функция Дзудовлетворяет условию Гёльдера с показателем \ — 0 при 0 < 7 < 1.

Если I > 1, то аналогично [2,7] можно получить 41 условий разрешимости вида (31). Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть ^(хх) € Нр(0, 1), у2(х) € Нр( -1 ,0), /&) € НР/2(0, Т), р = 21 + 7, / > 1, = 0, а2/?1 > 0, 0 = ± аг<*£ |а2/?11- Тогда при выполнении условий леммы 1, а также 41 условий вида (31) существует единственное решение краевой задачи (1)-(4) из пространства

1) Н£'£/2, если 0 < 7 < тш{1 - 20, 20};

2) ^ = 21 + гшп{1 - 20, 20}, если гшп{1 - 20, 20} < 7 < 1;

3) ее ли 7 = тпп^ - 20, 20}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

Замечание 1. Если а2/31 = 1, то 0 = \ и тт{1 - 20,20} = Если же аА ^ 0 или а2@1 ^ го, то 0 ^0, следовательно, выполнены утверждения 2 и 3 теоремы 2, и повышения гладкости решения фактически не происходит.

Теорема 3. Пусть ^{х) € Нр(0,1), у2(х) € Нр(-1,0), /Д^ € Нр/2( 0,Т), р = 21 + 7, 1 а = 0, а2/#1 < 0. Тогда при выполнении условий леммы 1, а также 41 условий вида (31) существует единственное решение краевой задачи (1)-(4) из пространства Н^/2 П С1,1, ^ = 21 - 20.

Замечание 2. Если потребовать в (42) выполнение дополнитель-

ного условия

j Q(1d; =0, (44)

о

то в условиях теоремы 3 при выполнении 41+1 условий вида (31) и (44) существует единственное решение краевой задачи (1)-(4) из про-

Р p/9

странства H^t, _p=21 + y, 0<y< 1.

Замечание 3. Вместо нелокальных условий (2), как и выше, можно исследовать нелокальные краевые условия II:

иж(-1 ,t) = -1 ,t) + а2и(М) + /i(t)> /,„4

(45)

UX{ l,t) = Au(-1 ,t)+e2u(M) + /2(i)

и нелокальные краевые условия III:

U-1 ,t) = аиж(-1 ,t) + аиж( М) + /i(t),

(46)

и(М) = Диж( -1 Д) + виж( l,t) + /2(t), где /i(t), /2(i) — заданные функции, определенные при х G ft = [—1,1], t £ [0, T], и а, а> въ вг — заданные действительные числа такие, что векторы а = (а, а) и ^ = (А, А) линейно независимы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

2. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 100-113.

3. Туласынов М. С. Об одной краевой задаче для уравнения теплопроводности с меняющимся направлением времени с нелокальными граничными условиями Самарского // Неклассические уравнения математической физики Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2010. С. 279-292.

4. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева П. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

5. Мусхелишвили П. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.

7. Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Деп. в ВИНИТИ № 8646-Б88. 56 с.

г. Якутск

21 июня 2012 г.