Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ С ВЕСОВЫМИ УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ*) М. С, Туласынов

В области ^ = (\у\ < <) х (0 < Ь < Т) рассмотрим сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением времени:

sgn уиг = иуу+ (1)

где & = 2а — 1 и 0<а<1 являются постоянными.

Отметим, что в случае функции г>(ж,£) = и^пх2у/\х\, уравнение (1) эквивалентно вырождающемуся уравнению с меняющимся направлением времени

Vt = ХУХХ + аух, х ф О,

а в случае функции ю(х,Ь) = м^пх(2/3)\х\2/3,Ь) с а = 2/3 оно эквивалентно уравнению

XVг = Ухх, хф 0.

Для решений уравнения (1) определим пространство Гёльдера Нркр/2 (см. [1, с. 25]).

Определение. Пространством Нк'р/2, 0 < 7 < 1 — тах(&, 0), называется банахово пространство функций и(у,Ь), непрерывных в <3

Работа поддержана Министерством образования РФ, программа «Университеты России» (код проекта 04.01.047) и грантом ректора ЯГИТИ (г. Якутск).

© 2008 Туласынов М. С.

вместе со всеми производными вида Dt Л® щи 2r + q < p, имеющими конечную норму

м& = {*№ + £ Е DrDqulkQ,

j=0 2r+q=j

где

u)ïph = + (*)№, (vipQ= E (DrDvu,

2r+q=[p]

(«>!ЙЧ= E

(p/2) _ ^ (nrr>q„.\(l 0<p—2 r-q<2

, если q = 2s,

Dq

" ' если </ = 2s + 1,

Bfc = + f ^ является оператором Бесселя и х = [g/2 — [g/2] + 1/2].

к_а_

У ду

Решение уравнения (1) ищется из пространства Гёльдера Нр'р/2 р = 2/+ 7, удовлетворяющего следующим начально-краевым условиям:

u(y, 0) = <fi(y), V>0, u(y, T) = ^M, V<0, (2)

и условиям склеивания

u(-0,i) \ - fa Л ( u(+0,i) ((-y)k ■ uy)(-0" ^0 ^ Д (yfc ■ u^0,i)

(3)

где а, Ь, с — действительные постоянные, / — целое число.

При с = 0 аналогичные краевые задачи для уравнения (1) рас-

с

к = 0 отметим работу [3], где рассматривались условия склеивания, имитирующие наличие непроницаемой перегородки.

Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему

в д+:

Щ4 = Щ уу + (к/у)их у, -и2 г = и2 уу + (к/у)и2 у. (4)

Тогда поставленная задача переформулируется следующим образом: найти функции и2(у, го пространства ИР'р/2которые

удовлетворяют системе уравнений (4) и начально-краевым условиям

щ(у,0) = ^Лу), и2(у,Т) = р2(у), У>$, (5)

и условиям склеивания

(и2 — аиг — еЮу щ) 1у=0 = 0, Ву( и2 + Ъщ) 1у=0 = 0, 0<1<Т. (6)

Единственность поставленной задачи устанавливается интегрированием тождеств

ук ^ ^

0 = иг • (укии - (уки1у)у) = — [Ю2]/; + ук(и1у)2 - («1 • Уки1у)у,

ук 9 9

0 = и2 • {-уки21 - (уки2у)у) = - — [(и2)% + ук{и2у)2 - (и2 ■ уки2у)у

по области Q+ и применением соответствующих начальных условий и условий склеивания при оЪ > 0 и Ъо ^0.

Пусть функции ^(у) (г = 1, 2) принадлежат пространству И(0, <х>). р = 2/ + 7 (будем считать, что (у) (г = 1,2) продолжены на значения х < 0 с сохранением принадлежности пространству Ир,, см. [4,с. 343]), и пусть

В2у°+1 у)|у=0 = 0, 8 = 0,1,...,/. (7)

В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решений и и и2 уравнений (4) в Q+, удовлетворяющим начальным условиям (5) [1]:

г

о

(8)

т

= 2кГ((к + 1)/2) / е~у2/4{Т~г)(т - ¿)-(й+1)/2м(г) 3,Т + г

где

сю сю

Цу,п,Р,к) = (¡М) - п(1+VI* е-у+П/41{ /2 Ып/21)

2йГ((^ + 1)/2)^+1)/2 (а)„(2п)! '

(а)о = 1, (а) п = «(« + 1) . .Да + п — 1) = Г(а + п)/Г(а),

и х) является модифицированной функцией Бесселя.

Лемма 1. Если функции и ц(-Ь) принадлежат пространству Нч(0, Т), </ = I — 1 + 7+2а; и удовлетворяют условиям

^я)(о) = ^8)(т) = о, а = о,1,...,/ — 1, (ю)

ии

Нркр/2 (д+).

Для доказательства этого утверждения, например для функции достаточно воспользоваться известным результатом, который мы приводим в виде следующей леммы.

Лемма 2 [1,гл.2,§2]. Если р(у) е Нк(0,Ь), ф{г) е Нк/2{0,Т), г = 1, 2, н выполняются условия согласования

фЫ(0) = вкр^(у)|у=0, 3 = 0,1,...,/, (11)

то уравнение щ = В„и (|к| < 1) имеет единственное решение и(у,1) е Нк'к/2которое удовлетворяет условиям

и(у,0) = ^(у), и(0,*) = ^),

и справедлива оценка

Действительно ((к + 1)/2 = а)

ф(г) = и1(0,г) = —

21-2«Г (а) У (* — т)

¿т + ^(0,1).

Используя формулу (7) для функции ф(г), имеем

а г ^т — ^>-1)(о)

21-2«га аг

в

я-г)(о) (г-а)(г-1)

ат

(г — т)"

сю

У Г(0,п,Р,к)Б{кв) $=!,...,[,

следовательно, ф(Ь) € Нр/2(0,Т) при и (г) € НЦ0,Т), д = 1-1 + (см. [1,гл. 2, §3], а также теорему 1.5) и условия согласования (11) выполнены при выполнении условий ^ (0) = 0 (в = 0Д,...,1 — 1), что и требовалось.

у

а/

1

21-2«га У (т — г)

г

т г

о

(12)

где

Исключая /г) в системе (12), получим уравнение

1

+ У #(г,т) |г — т 1-а„(т)ат = г0(г),

(13)

где

А.((,т)=

{ с 21-^Г(а) ПРИ Т > Щ ; с с - 21-2°Г(а) У (г -¿)"

4

принадлежит пространству Нч(0,Т), </ = I — 1 +

Из уравнения (13) следует, что ^(0) = 0 тогда и только тогда, когда

0), ,14,

о

а из второго уравнения системы (12) — что

^^^ Ь^(Т) + Ф1(Т) = 0. (15)

Уравнение (13) относительно функции

можно переписать так:

т

й(г) + I к(г,т) — т1-ай{т)ё,т = Р0 (г), (16)

о

где

т

= + + 1 тт)т\±-т\-°<1т.

о

Если / > 1, то возьмем первые производные в уравнении (16). Имеем

т

V (г) + I К(г,т) \г — т\-ау' (т)^ = Р1(г), (17)

о

где е Н 0,Т).

Таким образом, при выполнении условий

^ = ^(0), Ъ^ (Т) + Ф ^ (Т) = 0, в=1,...,/ — 2,

(18)

1

^ (г) +1 К(г,г) 1г — т -V-1) (т)аг = ¥1-1 г. (19)

придем к уравнению

т

к(г,г) 1г — т I о

Из уравнения (19) и из второго уравнения системы (12) следует, что должны выполняться условия

= 0), Ъ^(Т) + Ф^-1](Т) = 0, (20)

о

в=1,...,/ — 2.

Отметим, что ^(г) € Ич-в(0,Т), в = 1,...,/ — 1, — известные функции относительно (г = 1,2). Вводя новую искомую функцию

получим в конечном итоге интегральное уравнение Фредгольма второго рода

т

(*) +1 к(г,г) 1г — т |(т)ат = р1-1 г, (21)

о

где*- € И0,Т).

Функция V(г) при заданной функции Р'^ (г) из пространства ГёльдераИ0,Т) будет (см. [5, с. 176])

удовлетворять условию

Гёльдера с показателем (7+2а)/2 во веет точках контура [0, Т], причем в силу условий (20)

^'-1)(0) = ^'-1) (Т) = 0.

а

Итак, ограниченные и интегрируемые решения уравнения Фред-гольма на концах О, Т ведут себя как ^т+2«)/2 (Т—)Ь+2аУ2 и^^ (г) е Н( т+2а)/2( О, Т).

Уравнение Фредгольма (21) имеет единственное решение. В самом деле, если однородное уравнение (21) имеет нетривиальные решения то они будут нетривиальными решениями однородного уравнения (13), т. е. системы (12). Тогда в силу единственности решения исходной задачи (4)-(6) имеем V = 0, что и требовалось.

Согласно общей теории (см. [6-9]), отсюда будет следовать существование решения уравнения Фредгольма (21).

Подставляя найденные по формуле Тейлора значения функций

т

/'(т - ¿у-2-3^-1 V) ¿Г,

(/ — 2 — в)! J

4

в = 0,1,...,/ — 2, /

дачи (4)-(6) в пространстве Щ'р/2. Если эти условия обозначить так:

Ьа( рьр2) = 0, 8 = 1,..., 2/, (22)

то доказана

Теорема. Пусть рк (у) е Щ, р = 2/ + 7 (к = 1,2) и аЬ > 0, Ьс < 0. /

кие уравнения (1) в Q из пространства Нр'р/2удовлетворяющее условиям (2), (3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

2. Popov S. V. On a boundary value problem for a singular parabolic eguation with changing time direction // Мат. заметки ЯГУ. Т. 1, вып. 1. С. 113-128.

3. Попов С. В., Шахурдин К. А. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1997. Т. 4, вып. 2. С. 49-56.

4. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

7. Киприяпов И. А., Катрахов В. В., Лялин В. М. О краевых задачах в областях общего вида для сингулярных параболических систем уравнений // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230, N 6. С. 1271-1274.

8. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

9. Гурса Э. Курс математического анализа. М.; Л.: ОНТИ, 1934. Т. 3, Ч. 2.

г. Якутск

26 января 2004 г■