Краевая задача для параболического уравнения с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЙ СКЛЕИВАНИЯ*) М. С, Туласынов

В области ф = (—<х>, <х) х (0,Т) рассматривается параболическое уравнение с меняющимся направлением времени:

иг ^пх = ихх. (1)

Ищется ограниченное решение уравнения (1) из пространства Гёльдера Н^^" (ф) (/ € М, 7 € (0,1)) [1,с. 25], которое удовлетворяет начальным условиям

и(х,0) = ^(х), х > 0, и(х,Т) = фъ{х), х < 0, (2)

и общим условиям склеивания

) = (ап ^)(и{иЛ) , °<1<Т> (3)

их{—0] \а21 а22 У \их(+0,£) ) где ац — заданные постоянные.

Предполагается, что матрица А = ( а±1 °12 ) является невырож-

аа

денной, т. е.

ац • а22 — а\2 • а21 ф 0. (4)

В противном случае поставленная задача распадется на две незави-

А

чет существование связи между и( —0, ¿) и их(—0,1), и тогда в области ф- = (—<х>,0) х (0,Т) возникает независимая подзадача.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ректора ЯГУ. © 2007 Туласынов М. С.

Краевая задача (1)-(3) в случае единичной матрицы рассматривалась в монографии С. А. Терсенова [2].

Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений

Щ г = Щ хх,

(5)

Щ г — Щ хх

в области = (0, с) х (0,Т). Тогда поставленная задача (1)-(3) для системы (5) переформулируется следующим образом: найти ограниченные решения щ(х,~Ь) н и2{х,1) системы (5) в области Q+ из пространства нХ1+1'[+1/2которые удовлетворяют начальным условиям

щ(х,0) = и2(х,Т) = ф2 (-х), х > 0, (6)

и условиям склеивания

( ^(0*) \Аап ^Л/МО^П 0<1<т. (7) \-и2,ч ) а22) х(0,ц)

Единственность решения. Пусть поставленная краевая задача (5)-(7) имеет два отличных друг от друга решения (иьщ) и (й\,й2). Тогда функции щ = щ — Щ и щ = щ — Щ удовлетворяют системе

Щ г = щ хх, ^

—щ г = Щ хх,

начальным условиям

^(х,0) = у2(х,Т) = 0, х>0, (9)

и условиям склеивания

А _ /ац а^ А (

Ш+М - \ М ш 1, 0<г<т. (10)

—щх(и,4 ) \а21 а22 I х(0,4

Поэтому, интегрируя тождества

( ч 1 , 2 • У\х) п

, , 1 д^й 2 8(у2 ■ щх) п • (-V* ~ V2xx) = -- —+«,„--= 0

по области и применяя начальные условия (9), получим следующую систему:

l(х,T)dх + JJ х ¿хА + J • щ х(0 =

о т

vl(х,0)dх + JJ у|х dхdt + J Уг(О^) • Щ х(0 ,^¿¿ = 0.

о о

В силу условий склеивания (10) из системы уравнений (11) получим (

(ац • + а±2 • а21)

с \ сю

- J Т) ¿х + II у\х ¿хскЬ + - У

\ О Q+ ) О

т

+ II dхdt — аца21 I vf(0,t)dt — а\2^2 I У2х(0 =

Q+ о о

Отсюда при выполнении условий

аца22 + а!2^1 > 0, аца21 ^ 0, ^ 0 (12)

получаем, что =0, ¿ = 1,2.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 1. Если выполнены условия (12), то краевая задача (1)—(3) может иметь не более одного решения.

Существование решения. Будем считать, что функции < (х) и <2 — х) принадлежат пространству Н1+7 (0, то). Без ограничения общности будем считать, что функции <1(х) и < —х) продолжены па значения х < 0 с сохранением принадлежности пространству Н21+1 (—то, то) [2,3].

ии

простого слоя

г

1 Г _1

и1(х,1) =--= / е 4(4-т) П _т\ 2У(Т\ ¿а + гоЛж,

дА 7

0

т

1 Г X2 _1

и->(х,Ь) =--= / е 4<т-«(1-т) 2 уи(г) А + го9(ж,г),

дА 7

г

сю у ^

1 [

= у е 44 VI (С) ^

— с

сс

1 I'

го2(х,1) = —т / е

¿у'пЦ — 7

—с

Очевидно, функции, представленные формулами (13), удовлетворяют системе уравнений (5) и начальным условиям (6) соответственно. Функции = щ(0,£) и = иг(0,£) удовлетворяют условиям

^ 8)(0) = %), 8 = 0,1,...,/,

^(0) = ^2я+1)(0), 8 = 0,1,...,/ — 1.

Легко проверить, что условия (14) эквивалентны следующим условиям согласования:

^ «)(0) = ^ я> (Т) = 0, 8 = 0,1,...,/ — 1. (15)

Таким образом, нужно найти функции у(Ь) и ц(~Ь) из пространства Н1-1+2т1 (0, Т), которые удовлетворяют условиям (15).

Если для функций, представленных формулами (13), потребовать удовлетворения условий склеивания (7), то получим г т

0 ( г (16)

№ = -а22у&) + / у ¿т + Ф1 (¿),

о

где

Ф0^) = —ац^1(0,^ — а^! х(0 +

Ф^) = х(0 — — а22^1 х(0

причем Ф< € Н1-1+2^ (0,Т) (г = 0,1).

Предположим, что функции у^) и принадлежат пространству (0, Т). Тогда в силу (15) из системы (16) следует, что т

Т (17)

о

При выполнении условий (17) систему (16) можно переписать так:

, 1 Т Кт)

урн У (г

■¿Т = Ф0(^ — Ф0 (Т), (18)

МО = -«.(.(О - .(Л) + Э (/ ^ * - / ^ *

чО О

Ф^) Ф1 Т.

Продифференцируем один раз систему уравнений (18): г т

о г

г

Из системы (19) следует, что

т

Т (20)

о

При выполнении условий (20) систему (19) можно переписать так:

\о о /

т

г

^ (г) = —а22(у' (г) — т))

\о 0 /

Таким образом, мы получили систему уравнений (21), имеющую аналогичный вид, что и система уравнений (18). Следовательно, при выполнении условий

о

Т (22)

о

в = 2,3,...,/ — 1,

мы придем к системе уравнении

«с-—-с*> —- ^ (/ -

= (23)

(¿) = —ашУ>— (¿) — V1-1) (Т))

где функции V1 ^ (¿) и ^1 ^ (т) ищем из пространства Я 2 (О, Т). Вводя новую искомую функцию = — (Т)^, из

системы (23) имеем

Т-Г

т , Т '-V т Л 1 Т 1-г> (т) л

г

= фГ'Ю " *(Г\т) + (24)

о

+ фГ'Ю - ФГ'со + 4"('")(^-)а21(г3/2 - ;3/2).

ОТ уп

Исключив функцию 1 ^(г) из системы уравнений (24), получим г

з(,-1} (*) + /(-

аа

а\2 V

у/^Ь-т) 1/2 ^(Т-Т и

2а21 (Т - ¿)У2 + (Г - г)1/2 2а21(Г - г)1/2 \

7Г П (¿-г)!/2 7г(Т-т)!/2 уГ

аа

г

^(¿-т)1/2 ^ ^(Т-г)1/2

7Г (Г -4)1/2 7Г(Т — г)1/2 ,Г ^^

= д(г), (25)

где

ад = .?-«) - .Г'т + ^^ (>-<«• -

- ((2Т-Г>Т»ЧТ- ц V -ь т1,г+^-')"г)

Тп

г

Уравнение (25) представим следующим образом:

-0-1) то. } м (г, ф^Цт) л «12^ >(£) + J - _т|1/2- Лт = (26)

где

и(г,г) = <

_011 , ац(г-т)1/2 _ 2а21а-т)1/2(Т-Ь)1/2 ^ у^(т-т)1/2 7г(т—т)1/2

_ 022 , ац(т-^)1/2 _ 2а21(т-^)1/2(Т-^)1/2

^ т-т)!/2 7г(т—т)1/2

причем М(М - 0) = -^А, М(М+ 0) =

Уравнение (26) при а±2 = 0 является неоднородным уравнением Фредгольма первого рода, которое эквивалентно сингулярному (особому) интегральному уравнению. Мы должны показать, что решения данного уравнения принадлежат пространству Н 2 (0, Т) и что они являются неограниченными при Ь = Т (по допускающими при Ь = Т особенность порядка меньше единицы) и ограниченными при Ь = 0.

Поэтому далее будем рассматривать два случая.

случай 1. Пусть а^ = о и выполнены условия (12), т. е. аца^ > 0, аца21 ^ 0. Тогда уравнение (26) представим в виде

J |í-T|l/2

T

dr = R(t) — j k(t, tV— (t) dr, (27)

где k(t,r) = ■ Из формулы (27) следует, что регулярная

часть k(t, т) непрерывна всюду на интервале (0, Т), кроме точки т = t, где для нее справедлива оценка \k(t, r)| s' .

Далее воспользуемся известными формулами обращения оператора Абеля [1,2]:

/ T т

d I , />(Tl)dTl

J(r-tr-Ut J ■

dt \ J J (r — n)

a о

T -,

1 —a

= 7rctg7ra •<?(*) + /(Jzj) (28)

l(T[ÍT-tr-UTT[p^)=_^ 0 < a < 1. dt \J y ' J T - r) al sin na

Если уравнение (27) обратить при помощи формул (28) к эквивалент-

a

ному сингулярному уравнению, то получим

-ч Ч ап 1 (Т - т V^ V1-V (т) , о

_--|2Ф (Т)СГ-*) + У (т_*)1/2

где

т

Ф(г) = Щг) - ! к(г, тр1-1) (т) ¿т. о

При г = Т уравнение (29) примет вид

1 V (т)

«и у (г_т)1/2^ = ф(г)- (3°)

о

При выполнении (30) уравнение (29) перепишем следующим образом: -и т ч ап 1 ( Т - г V/2 V(т) ,

а22«( Ч^) - — / ™- -—¿т

п .] \Т — т) т — г

о

Так как € Н-^1 (0,Т), должно выполняться

1 V—1) Ы

У (Г_т)3/2^ = -2фт (32)

о

Тогда при выполнении (32) уравнение (31) примет вид

«22^)-^ = Ш (33)

О

где

т „ „ 1 Г Ф'(т) - Ф'(Т)

г

Тогда уравнение (33) будем рассматривать относительно функции щ (Ь) = V(^(Т - Ь)-з/2:

т

- — / — Лт = Д(*)(Т - ¿)~3/2. (35)

п .] т - Ь о

Каноническая функция х(^) равна (г — Т)-1"1"^1-0, в = iarctg^, а индекс к равен 0. Уравнение (35) в этом классе решений однозначно, безусловно, разрешимо, и решение дается формулой [4,5]

"г"

т „

I «11 (Т Л1/2+вЛ-в [_Д(Т) 3'Т_ /0*4

а^ + а29 ^ У (Т-г)1/2+вт1-в(г-4)' 1 ]

о

Полученное решение (36) при заданной функции Д(Ь) из пространства

1-1-у

Н 2 (0, Т) будет, очевидно, удовлетворять условиям Гёльдера с показателем во всех точках контура (0, Т), отличных от концов [5, с. 58]. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [5, с. 76] легко видеть, что выполняются V—1^(0) = V(Т) = 0.

Для дальнейшего исследования поведения их на концах воспользуемся следующей теоремой [2,5].

Теорема 2. Пусть функция ^{Ь) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем X вблизи точки С, включая С (С обозначает 0 или Т), 0 < 7 < 1. Тогда для точек контура (0, Т) интеграл типа Коши

т

^ = (г-сНг-г)^

о

удовлетворяет условию Гёльдера вблизи точки С, включая С, с показателем min {Л, y } при Л ф y и условию Гёльдера с показателем Л — е при Л = y, где е является сколь угодно малой положительной постоянной.

В силу теоремы 2 получаем, что если ^ ;:г 1 s' 1), то в

формуле (36) функция V(t) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем Чр при О<7<20(О<7<1 — 20), условию Гёльдера с показателем \ + в (1 — в) при 2в < 7 < 1 (1 — 2в < 7 < 1) и условию Гёльдера с показателем — е при 7 = 2в (7 = 1 — 2в).

Таким образом, при выполнении условий (17), (20), (22), которые имеют вид

v

_ а11ф[а)(Т) - сыФ^р) (1)~ \А\ ' (

«<->(т) (37„

У (Г - ту|А|

о

в = 0,1,...,/ - 1,

а также условия (32) мы получили функцию у^) из искомого класса Я'^+^О.Т), 0 < 7 < 20 (0 < 7 < 1 -29) при > 1 (§£ < 1). Значения V ^ (¿) определяем по формуле Тейлора:

k=s

T

1

AK к — s)!

T

-J{t — r)l—-s Vl-1) (r)dr, s = 0,l,...,l — 2.

(l — 2 — s)

t

Для выполнения условий Vs(0) = 0, s = 0,1,... ,l — 2, необходимо и достаточно, чтобы

^ |A|(jfe-s)i

k=s

—

ls

l— —s

о

1

У J т'-2-^0-!) (т) dr = 0, s = 0,1,...,/- 2. (38)

s

Подставив найденные значения функций vs(t) в уравнения (37"), получим

^ a^i^-am^oHT) fc_s+1/2 f^ \A\(k - s)l(k - s + 1/2)

+ <7^ / (Т^тж / с - -1'-2-'«"-1' (1) ■*

О т

а12Ф^)(Г)-а22ф|)8)(Г) = -pq-Vtt, -s = 0,1,...,/ — 2. (39)

Отметим, что значение функции Vl(t) дано формулой (36). Итак, доказана следующая

Лемма 1. Пусть

1) функции < (x) п < {—x) принадлежат пространству Иl+7(0, то)

(l е N 7 И0,1));

2) ai2 = 0 н выполнены условия (12), т. е. аца22 >0, аца21 ^ 0;

3) 0 < 7 < min(l - 20, 26), где в = ± arctg

Тогда при выполнении 21 условий (37") при значении s = l — In (32), (38), (39) существует единственное решение краевой задачи (5)-(7) из пространства (Q+)-

СЛУЧАЙ 2. Пусть ai2 ф 0 и выполнены условия (12), т. е.

аца22 + ai2a2i > 0, аца21 ^ 0, ai2a22 ^ 0.

Перепишем уравнение (26) в следующем в виде:

т

ai2Vl-1] (t) + J K(t, t)V{l-1] (t) dr = R(t), (40)

о

г№K(t,r) = ^.

Уравнение Фредгольма (40) имеет единственное решение. В самом деле, если однородное уравнение (40) имеет нетривиальное решение

V1 ^ (£), то функция V1 ^ (¿) будет нетривиальным решением однородной системы (24). Так как V 1~1'> (£) вблизи точки £ = Т контура (0,Т) ведет себя как ОЦТ — г)(1то функция V(^(Т - ¿)—¡2 будет нетривиальным решением однородного уравнения (40). Нетрудно видеть, что и у(1)(Т — £)—/2 будут нетривиальными решениями однородной системы (16). Тогда в силу единственности решения краевой задачи (5)-(7) имеем у^) = 0. Согласно общей теории [4,5] следует, что неоднородное уравнение Фредгольма (40) имеет решение.

Подставив найденное по формуле Тейлора значение функции

т

\l-2-s

(I — 1 — в)

.¡Ц — т) -2- V-1) (т)с!т, В = ОД ,...,1 — 2,

г

в (37), получим, как и выше, условия (39). Для выполнения условий V^(0) = 0, в = 0,1,... ,1 — 2, получим условия (38). Итак, доказана следующая

Лемма 2. Пусть

1) функции фх (х) н (—х) принадлежат пространству И21+7(0, то)

(I € N,7 е (0,1));

2) «12 ф 0 н выполнены условия (12), т. е.

«11«22 + «12«21 > 0; «11021 ^ 0, «12«22 ^ 0.

Тогда при выполнении 21 условии (37') (37") при значении в = I — 1 и (38), (39) существует единственное решение краевой задачи (5)-(7) из пространства (Я+)-

Таким образом, на основании лемм 1 и 2 имеет место

Теорема 3. Пусть

1) функции ф1 (х) и ф (— х) принадлежат пространству И21+7 (0, то)

(I € N 7 € (0,1));

2) при ai2 = 0 выполнены условия аца22 > 0, ^ 0 и 0 < y < min(l - 28, 20), 8 = ± arctg

3) при ai2 Ф 0 выполнены условия ац^2 + > 0, аца21 ^ О,

ai2a22 ^ 0.

Тогда при выполнении 21 условии (37'), (37") при значении s = l — 1 и (38), (39) существует единственное решение краевой задачи (1)-(3) из пространства (Q).

Замечание 1. Приведенные в случае 1 рассуждения показывают,

а

будет принадлежать пространству

1) H2xl+ß'lt+ß/2 (Q), если ß = min (1 — 28,28) <y< 1;

„Ч tj-21+7-2e,1+j/2-е/глЛ ,

2) Hx t (Q) (е — сколь угодно малая положительная постоянная), если ^ ^ min(1 — 28, 28).

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН СССР, 1982.

2. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

г. Якутск

22 декабря 2006 г.