Полная матрица условий сопряжения в контактных сингулярных параболических задачах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

ПОЛНАЯ МАТРИЦА УСЛОВИЙ СОПРЯЖЕНИЯ В КОНТАКТНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

М. С, Туласынов

В области д = (—<х>, <х) х (0,Т) рассматривается сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением времени:

к

щ-щпу = иуу + -иу, (1)

где |к| < 1.

Ищется ограниченное решение уравнения (1) из пространства Гёльдера Е1р'р/2(д), р= 21 + ^,1 € N 7 € (0,1) (см. [1, с. 25]), удовлетворяющее начальным условиям

и(у,0) = ^(у), у > О, и(у,Т) = <^2(у), У < 0, (1.1)

и условиям склеивания

( ) = (ЙП Й12 )( ) , 0<4<Т, (1.2)

\—уи —0, ¿)/ \а21 а22 / \—уи(+0,£) )

где а,ц — данные действительные постоянные, Оуи = \у\к ■ Щ (см. [1, с. 26]).

а а а а

для уравнения (1) рассматривалась в монографии С. А. Терсенова [1], где было установлено, что гладкие решения этих задач для уравнения (1) существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными задачи. При

© 2006 Туласынов М. С.

этом разрешимость задачи эквивалентно сводилась к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывались в явном виде. Отметим работы [2,3], в которых аналогичная краевая задача рассматривалась в случае диагональной (а12 = а21 = 0) и треугольной (а21 = 0) матриц. В этих работах разрешимость задачи эквивалентно сводилась к разрешимости сингулярного интегрального уравнения или уравнения Фредгольма второго рода соответственно. В данной работе считаем, что а^2 + ф 0.

Пусть матрица

А — ( ап °12 ] \«21 «22 )

является невырожденной, т. е. ац ■ а22 — ^2 ■ «21 Ф 0, так как в противном случае поставленная задача распадется на две независимые подзадачи. Действительно, вырожденность матрицы А влечет за собой существование связи между и(—0, ¿) и Пуи( —0, £), и тогда в области Q- = (—<х>,0) х (0, Т) возникает независимая подзадача.

Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений в области = (0, то) х (0, Т):

ии = и1уу + ±и1у,

-П21 = У2уу + | «2 у

Тогда поставленная задача переформулируется следующим образом: найти ограниченные функции щ (у, ^ которые

удовлетворяют системе уравнений (2), начальным условиям

и(у, 0) = ^(у), щ2{у, Т) = (—у), У >0, (2.1)

и условиям склеивания

( ) = (а12)( Л'Л) , 0<*<Т. (2.2)

у—Оуи2\У},1); \а,21 а22 ) уПуици^) у

Единственность решения поставленной задачи. Пусть поставленная задача имеет два отличных друг от друга решения (щ, и2)

и ((1,(2). Тогда функции щ = и — ( и (2 = и — ( удовлетворяют системе

Г «И = «1„„ + ±У1у,

1 , к ^ [ -^24 = + -У2у,

начальным условиям

(1(у,0)=(2(у,Т) = 0, у>0, (3.1)

и условиям склеивания

( п(0тл ) = ( ^ ^ К л1(0/Л ) , о < 4 < т. (3.2)

\-DyV2i) \а21 аш ) Интегрируя тождества

^«И - - = О, - - = 0 (4)

по области и применяя соответствующие начальные условия (3.1) и условия склеивания (3.2), при выполнении условий

аца22 + а!2а21 >0, аца21 ^ 0, а^агг ^ 0 (5)

((

Таким образом, доказана следующая

Теорема 1. Если выполнены условия (5), то поставленная задача имеет единственное решение.

Существование решения поставленной задачи. Будем считать, что функции < (у) и < (—у) принадлежат пространству Н£(0, то). Без ограничения общности можно считать, что функции < (у) и < (— у) можно продолжить па значения у < 0 с сохранением принадлежности пространству —то, то) (см. [4, с. 343]), и пусть

-уя+1 <|у=о = 0, 8 = 0,1,...,/. (6)

Решения и и и для системы уравнений (2) будем искать в следующем виде:

г

■>1-2 а г

21__

= Iе ау{т)<1т + ил(у,г),

Г(а) } о

т

а

(7)

Г(а) }

г

где

к + 1 а = —^—

сю

> (У, ^ = J Г(у, п ^ к)^1 (п)

сс

= J Г(у, п,Т - ¿;к)^2{-п)йп,

Ч 1 1-Ь 1 + Ь у2+12 (уп

Г (у, п, Ц к) = Щ

и ж) — модификационная функция Бесселя.

Тогда функции, представленные формулами (7), удовлетворяют системе уравнений (2) и начальным условиям (2.1) соответственно. Как показано в [1, гл. 2, § 2], если функции и принадлежат пространству Н Ь+2аУ2(О, Т) и удовлетворяют условиям

8)(0) = м( ^ (Т) = 0, 5 = 0,1,...,/ - 1, (8)

то функции и и и2 в формулах (7) принадлежат пространству Н%( Q).

Удовлетворив искомые решения условиям склеивания (2.2), получим следующую систему уравнений:

<Ч2"(*) - / ^ * + ^Г / (^Р ^ =

г г (9)

М*) = -«22«^ + ^тЭ21 / ^ +

где

Фо(£) = w2(0,i) - anwi(0,i) - ai2Dywi(0,i), $2(i) = -Dyw2(0,i) - a2iwi(0,i) - a22Dywi(0,i). Исключив из первого уравнения системы (9) ^(t), имеем

ai2v(t)

K(t,T)v(r)

dr = $i(t),

(10)

где

K(t, т)

" 22a —1г(а) т

__«22__, a2i(T-T)1~a(T-tr о Т-т\ t<T<T

22а — 1т(а) (1 -a)-(t-i)" rl1'u' z "'t-i/' ^ ^ ' ^ ^ '

(H)

F(a, b, c, z) — гипергеометрическая функция,

T

$l(t) = $o(t) -

>l-2a

Г(с

ф2(т) (r-i)<

■ dr.

Известно, что гипергеометрическая функция ^(а, 6, с, г) сходится абсолютно и равномерно для любых г : |г | ^ 1, если с — а — 6 > 0 (см. [5, с. 370]). В формулах (11) очевидно, что т^р < 1 \/т € (0,4) и

Т-т

Т-т

T_t < 1 Vr G (t,T). Тогда функция K(t,r) является непрерывной на (0,t) U (t,T) Vt G (0,Т), если а<\.

В силу формулы автотрансформации

F(a, b, c, z) = ( 1 - z)c-a-bF(c - a, c - b, c, z) (12)

(cm. [5, c. 373]) формулу (11) можно переписать следующим образом: ail

-22о-1Г(о

(T-t)1""^—г)1"" 1321 (1-a) (Т-т)1-"

T-t '

K(t, т) = <

xF(l - a, 2 - 2a, 2 - a, 0 < r < t,

1321 (1-a) (T-t)1-"

(13)

22О-1Г(о

xF( l-a,2-2a,2-a, Çei), t<r<T.

Тогда функция К (г, т) непрерывна на (0,Ь) и (Ь,Т) Vt € (0, Т), если а > \.

При а = §■ (см. [5, с. 370])

Г + 2а210 < г < Ь, к(г, г) = < г(а) 1 ^ ; (14)

[ + 2а21t < г < Т.

В этом случае функция К(Ь, т) также является непрерывной на (0, г) и

(г,Т) vt е (о,т).

Вывод. Функция К (г, т) является непрерывной па (0, Ь) и (Ь, Т) V € (0, Т), причем

К*,+о) = -- ■ а21 [(Т-гГ1-*

;2а-1Г(а) 1 - а V Т Т -г'

хЛ 1 - а,2-2а, 2-а,

Т

. + ^ (Г-*)1-^ Л _ Т-^ (15)

22°-1Г(а) 1 - а Т" ^ ^ т

ап

Кг, г -0) = -

22а-Г (а)'

КМ + о) = - ,, к(г,т-о) = -: а22

2 2а-1Г (а)' У 22а-Г (а)'

Итак, разрешимость поставленной задачи сведена к разрешимости

а

исключив в системе уравнений получим уравнение т „

+ I ^ = «21^0. (16)

О

Уравнение (10) представляет собой уравнение Фредгольма второго рода. Действуя, как и в работе [3], получим условия разрешимости поставленной задачи.

Если эти условия разрешимости обозначить так:

Ья( <ь<2) = 0, 8 = 1,..., 2/, (17)

то доказана

Теорема 2. Пусть < к € Щ(() (к = 1, 2) и апа22 — а12а21 О, аца22 + ^2^ > 0> аца21 О, а12а22 ^ 0. Тогда при выполнении 21 условий (17) существует единственное решение уравнения (1) в области ( из пространства Q), удовлетворяющее условиям (1.1), (1.2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

2. Туласынов М. С. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Сб. науч. тр. аспирантов ЯГУ им. М. К. Аммосова. Якутск: изд-во ЯГУ, 2004. С. 149-154.

3. Туласынов М. С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 107-115.

4. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

5. Справочник по специальным функциям / Под. Ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.

г. Якутск

27 января 2006 г.