Задача Жевре для уравнения теплопроводности с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеивания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

ЗАДАЧА ЖЕВРЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ С ОБЩИМИ УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ*)

М. С, Туласынов

1. Постановка задачи

В области ^ = (0 < |х| < го) х (0,Т) рассматривается модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением времени

и^п х = ихх. (1)

Ищется ограниченное решение уравнения (1) из пространства Гёльдера Я^,1' 2 (С^) (I ё К, 7 е (0,1)) [1, с. 25], удовлетворяющее начальным условиям

и(х, 0) = ^.(х), х > 0, и(х, Т) = <^2(х), х < 0, (2)

и условиям склеивания

( и(А _ Аап(г) ( и(+0,^) А П<^<Т го)

(их(-0^йДи^0,£)у ' и<г<Т V)

где ац(¿) — заданные непрерывно дифференцируемые функции до (.I — 1)-го порядка включительно из класса Нх 4 ' 2 0 < 7 < 1, 1 € N.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^2010 гг.)» и Советом программы (Протокол № ах-23/11 пр. от 12 декабря 2008 г.), мероприятие 2 (код проекта 3443).

© 2009 Туласынов М. С.

Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющим направлением времени, были работы французского математика Жевре, опубликованные в начале XX в. Поэтому постановки краевых задач для параболических уравнений с начальными данными вида (2) иногда называют задачей Жевре.

В дальнейшем, будем полагать, что матрица условия склеивания

а а12(Ъ)\ , ,

А = ;,; ;,; является невырожденной при любом значении г

уа21(£) а22\Ъ))

из отрезка [0, Т], т. е.

|А| = аи(Ъ)а22(Ъ) - а12(г)а21(г) ^ 0 ШЪ е [0,Т]. (4)

А

сматривалась в работах С. А. Терсенова [1,2].

Для удобства, вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений

и г = и хх,

(5)

—и г — и хх

в области Q+ = (0, + те) х (0,Т). Тогда поставленная задача (1)-(3) для системы (5) переформулируется следующим образом: найти ограниченные решения щ(х,Ъ) и м2(х, Ъ) системы (5) в области Q+ из про-страиства Нх г 2 ), которые удовлетворяют начальным условиям

и(х,0) = ^(х), и(х,Т) = ^2 (— X, х > 0, (6)

и условиям склеивания

«2(0, Ъ) \ _ (ац(г)а12(г)\ ( щ( 0, г)

—шх(о, г)) х(о, г)у 0 <ъ < Т- (7)

2. Единственность решения задачи

Пусть поставленная задача имеет два отличных друг от друга решения (и1,и2) и (Й1,и2). Тогда функции щ = и — и и «2 = и — «2 удовлетворяют системе

' «1 г = % хх, , .

_ (о)

—Щ г — Щ хх,

начальным условиям

^(х,0) = «2(х,Т)= 0, х > 0, (9)

и условиям склеивания

) = (ап!;!а12!;!)(Ч0Л), о<*<т. (ю)

-щ ж(0 ) \а^щашщ ) х(0, Ц ) Тогда, интегрируя тождества

^ - ^=^ (¡д4+- =о,

, ч 1 2 д(№>№> х) п

(-«* - = + V*, ~ —= 0

по области и применяя начальные условия (9), получим следующую систему:

^р- / ь>1 (ж, Т) ¿х — \ Л (¿) ¿хсМ + Л ¿хсМ

0

т_

+ /А(ф1(0,ф1ж(0^)^ = 0, (11)

о

оо Т

| / (х, 0) ¿х + // х ¿х^ + / ^(0, х(0,0 = 0, " о 4+ о

где А(£) = ап(£)а22(£) +

В силу условий склеивания (10) из системы уравнений (11) получим

__о

—^ J Т) (1х — — JJ А {~Ь)у\х (1х(И + JJ А(-Ь)у1х (1х<И о

о Т

1

«|(х,0)йх + ^У х — J ап^аг!^)«! (0,£) ^

о

Т

— J ^2(^22(^)^1 х(0 ,£)Л = 0.

о

Т

Отсюда при выполнении условий

ап(£)а22(£) + а12(£)а21(£) >0, — (ац^)а22^) + а!2^)а21^)) < 0,

Л

(12)

ац(£)а21(£) ^ 0, в12(£)а22(£) ^ 0

следует, что V = 0 (г = 1, 2).

Таким образом, доказана следующая

Лемма 1. Если выполнены достаточные условия (12), то краевая задача (5)—(12) может иметь не более одного решения.

Будем считать, что функции ^(х) и ^ (—х) принадлежат пространству Нг+7(0, + те). Без ограничения общности положим, что функции ^(х) и (—X продолжены па значения х < 0 с сохранением принадлежности пространству Нг+7(—те,+те) [2,3].

Решения и и и системы (5) будем искать в виде параболических потенциалов простого слоя:

3. Существование решения задачи.

о

(13)

Т

где

Тогда функции, представленные формулами (13), удовлетворяют системе уравнений (5) и начальным условиям (6) соответственно. Нужно найти функции и из пространства которые удовлетворяют условиям согласования

V я)(0) = ^8) (Т) = 0, 8 = 0,1,...,/ - 1. (14)

Если функции, представленные формулами (13), удовлетворить условиям склеивания (7), то получим

«12 (*М*) - ^ I ¿Т+ф <*Г = Ф0(*),

4 (15)

№ = -а22(гнг) + ^ } ¿т +

о где

= -ацф^О,*) - а12(^1 ж(0,*) + и2(<М), Ф^) = .(0,Ь) - а^)^0,*) - а22(^1 ж(0,*), причем Ф„(*) € Яг+?(0,Т), Ф^) € Яг-1+^(0,Т), если а12(Ь) = 0 V* € [0,Т], иначе Ф< € (0, Т) (г = 0,1).

СЛУЧАЙ 1. Пусть ф 0 Ш £ [0,Т] и выполнены условия (12).

Тогда в силу (14) из системы (15) получим

а12(ТНТ) - ^¡^^¿г = Ф0(Т),

° т (16)

~а22(ТУо(Т) + т^т, <*т + Ф^Т) = 0.

о

При выполнении условий (16) систему (15) можно переписать так:

«12(*м*) - а12(ТНТ) т?/* Лт

о

+ ^ / -¿т + =Ф0(*) - Ф0(Т),

4 4 (17)

№ = ~а22тг) + а22(Т)у(Т) + ^ / д.т

о

о

Далее, если 1 > 1, то, требуя выполнение условия

Мо) = <Ыо),

возьмем первую производную в системе уравнений (17):

а12(ф'(;) + о/12тг) - -4. / с1т

Т

(г) = —а22(гу (г) — а'2 (г)«(г)

о

Из системы (19) следует, что

а!2(ТУ( Т) + а'2 (Т)«(Т)

Т , ,

1 Г аи(Т)у (т)+дг1(Т)у(т) , _ ^, ,т, 1 (Т-т)1/2 йТ ~ ^ОИ

(Т -

—а22(Т)^ '( Т) — а'2 (Т)«(Т)

1_ | ^(Т)^К(Т)Кт) + ф;(у) = 0

Утг ■

(18)

(19)

(20)

При выполнении условий (20) систему (19) можно переписать так: а12(гу (г) + а'2 — а12(Ту (Т) — а'2 (Т)«(Т)

г Т

__1_ Г ац(^/(т)+а11(*Мт) I Г а11(Т)1//(т) + а^1(Т)1/(т) ,

^ П-т)1/2 ^ (Т-т)1/2

V 0 V V 0 V

Т // ■

1 Г М (т

М'(г) = — а22(гу(г) — а'2(*)«(*) + а22(ТХ(Т) + а'2(Т)«(Т)

г Т

1_ Г а21(*)^/(т)+а21(*)'/(т) __Г "21 (^)^Чт) + а21 (Т)у(т)

ЛР Л (4-т)1/2 Ы/ J (Т-т)1/2 Ы/

(21)

а-

+Ф' (0 — Ф' (Т).

Следовательно, при выполнении условий

т Е СОл (т)*<:-л)(т

Е - 4- / , 1/2-¿г = фМ(Т),

¿=о у о к '

-± Са« (Т)^^ (Т) ¿=о (22)

т е с:4«

+ (г_т)1/а-^ + фМ(Т) = 0,

о

^ *-1)(0) = Ф^-1)(0), 8 = 2,3,...,/ - 1, мы придем к системе уравнений

Е С— (ТУ-¿> (Т) - Е а« (Т)^( -¿> (Т)

¿=0 ¿=0

4 1—1 С— г-1-л)М __к. Г 1=°___ ЛТ

т 1—1 С— 4? (Т)Иг-1-«(т)

+ Г 2=2_ Ат

^ ^ (Т~т) !/2 Ы/

г-1) (*) = -1-1 с;- ай (¿)

¿

+ Е С (ТУ(Т)

¿

г-1

4 Е 4?,-1-<,(т)

'77 / 2-2 (4-т)!/2 ^т

о

г-1

(23)

тЕС— 4? (Л^г-1-л)М - т? / --(т^-<*т + ф1 } (*) - ф1 } (П

о

где функции и /х(г 1^(г) ищем из пространства Н^ (О, Т).

Систему (23) можно переписать в следующем виде:

(4-т) 1/2

и

Л ¿ —Т !/2 (т-()1/2 аТ

г-1

г-1

= — £ С-(гУ+ Е сиа$ (ТУ'-1-<> (Т)

¿=1 ¿=0

+ф{,г-1)(0 — Ф|,г-1)(Т),

г-1) (г) = —1-1 си 45 (гУ(г)

(24)

¿

г-1 ■ £

¿

Е си^тУ'-1-')^) +1 м(''т'\°_т))1/'~

о 4 т

|4-т |1/2

где

М(г, т,г,а(г)) =

а(г)

(г — т)1/2

г

1 . я.

ЬЗ - ... •(2г — 1)

га

а ' г г — т

• |г — тI1 /2. (25)

Следовательно, исключив функцию ^г ^ (т) из системы уравнений (24), получим

т

Мг -И ....

(26)

1г — т Г'"

о

Т

где

Мг,т

—М(г, т, г, аи (г)) + М(г, т, Т, ац(Т))

г, Т, а21(Т))(Т - 01/2 + ^М^, г),

г, Т, а21(Т))(Т - *)1/2 + г),

< т < г,

г < т < Т,

м (4, т) = 2

г-1

«21 (Т) + Е - г

¿

х ^ — г 1п ■

-2

г

«21 (г) + Е 1.3-...'ч2»-1)С'/-1а21^)^ - т

т

¿

Д=7

+ 2л/£ - г/1п-

— с;- (4Г} (*)(* - т)

г' Е птттт~щ

¿

¿

-

¿г, (27)

М2(4,т) = 2

г

«21 (Г) + Е ЬЗ,.2(2»-1)^-1а21(Г)(Г - Г

X 1п ■

— 2а21 (г) л/г — £ 1п ■

г-1

Е

1-3-...-(2 ¿-1)

х (4^1} (*)(* - т) ; + ¿4У (г) (г - т) ¿-1)

¿

¿г,

г

г

<*>(*) = - Е с;-№г-1-<>и + £ с-г-1-г) (Т) ¿¿

, сиа^ г-1-<> (4)

¿

■ ¿т

г

(т - ^/2

+ -7= £ (Т)^1^ (Т)(т - г)1'2

Вводя новую искомую функцию = — ¡/^^(Т)^, из

уравнения (26) имеем

т

«Ы^-1^) + / = *(*), (28)

¿

где

ад = #(() _ + ¡^т

о 1 1

Уравнение (28) является неоднородным уравнением Фредгольма, которое имеет единственное решение. В самом деле, если однородное уравнение (28) имеет нетривиальное решение V-(£), то функция V1-1) будет нетривиальным решением однородной системы (24). Так как при выполнении

г-1)(0) = Ф^г-1)(0) (29)

функция V-(£) вблизи точки £ = Т контура (0,Т) ведет себя как О^2^-), то функция будет нетривиальным решением од-

нородного уравнения (26). Тогда в силу единственности решения краевой задачи (5)—(7), т. е. с учетом выполнения условий (12) имеем V-(£) = 0. Согласно общей теории следует, что неоднородное уравнение Фредгольма (28) имеет решение [4,5].

Условия (16), (20) и (22) перепишем в следующем в виде:

V

{т) = аЩ (аи(т) (" ^ (1>(8~г)(т)

Т Е с.4? (ТУ^ (г)

(1 - тГ>-

о

/ в

(¿)

У (Т - Т)1/2

О

- Мт) (- Е с: а«(Ту(Т)

.а

¿=1

ТЕ с. 4? (ТУ .-¿) (т) XX

я/" (Т-Г)^-+ ' ^

.

т

/ ЖЖ * = Ж) (а^ (-±С1аШ(Т)^(Т)

¿

т £ С(ТУ'-¿> (т)

Т-т

о

/ з

¿

_!_ / »=!_^_^ ^ лО3

А У (Т-Х17

о

- а22(Т) (- Е с; 42 (тИ(Т)

т £ С 4^ (Т)^((X XX

т/"' (/ ,)■*-* + ' <31>

(З-1)(0) = Ф^-1)(0), 8=1,2,...,/ - 1, (32)

где

т _ О11(Г)Ф1(Г)-О21(Г)Ф0(Г)

т , [М)

1 Иг) аМТЩТ) - а22(Т)Ф0(Т) г

¡Жгг-Ж)-{)

о

где = ац(4)а22(4) - а!2(4)а21(4).

Формулы (30)-(34) соответственно обозначим следующим образом:

^ 8) (Т) = ^0,

г ^Цт) , _ _П1 (35)

J №_ти/2 ®'7" — ! 5 — и, 1, . . . , I 1, О

где ^ и ^ — известные значения.

Тогда значения ^^ (4) определяем по формуле Тейлора г

V

т-4

1

(/ - 2- в)!

о

J (Т - 4 - Xг--я Vе г-1) (т)^т, 8 = 0,1,...,/ - 2. (36)

Тогда для выполнения условий Д8 (0) = 0, в = ОД,..., / — 2, необходимо и достаточно, чтобы

' ^ т

\ Гк(Т) Тк-з,_1_ [ /Т_ у-1-8 (г-1)/ ч , 0

¿(А--)Г (I — 2 — в)\ ] Т) (Т)"Т-0' (37)

К—8 0

в = 0,1,..., / — 2.

Подставив найденные значения функций Д8 (£) во второе условие (35), получим

ВД № ^-«+1/2 1 1 ^

V_^^_(т - г)

¿-^ (и _ _ в ^ 1 /9\К 4

(к — в)!(к — в+ 1/2)4 7 (/ — 2 — в)! У (Т — т)V2

Т-т

х^ (Т — т — т!)'-1-М'-1) (тД^п^.1 (Т), в = 0,1,..., / — 2. (38) о

При в = / — 1 условия (35) можно представить в следующем в виде: П-2 1? (т) — _ ^

Т1 /2 2 У (Т — т)з/2 о

Итак, доказана следующая

= . (39)

Лемма 2. Пусть выполнены условия:

1) ^(х),«^ (—X е Н'+ДО ,+ го) (/ е N,7 е ( ОД));

2) для всех £ го интервала [0, Т] выполнены условия Ф 0,

ац(^)а22(^) + al2(t)a2l(t) > 0, ^(ац(Да22(Д + сц2^)а21^)) ^ 0,

^ 0, ац(£)а21(£) < 0, ап(Да22(Д — а12(Да21(Д > 0. /

ствеипое решение краевой задачи (5)-(7) из пространства 2 ).

случай 2. Пусть 012(4) = о для люб ого 4 £ [О, Т] и выполнены условия (12). Тогда система (13) примет вид

^ (т-«)1

М*) = -а22 тг) + ^ / (¿^ <*т + Ф1(4).

(40)

Предположим, что функции v(t) и м(4) принадлежат пространству (0,Т). Тогда в силу (14) из системы (40) следует, что

т

V 0 V

(41)

-а22(ТНТ) + % / + ф1(Т) = 0.

V 0 V

При выполнении условий (41) систему (40) можно переписать так:

а"(*) Г 1Т I а"(т) г_¡4т}_ 1

■) (4-т11/2 Л (Т — т)1/2

(Т-т)

М*) = "МФИ + 022(Т)«(Т) + ^ / <1т

о

т

о

Далее, если / > 1, то, требуя выполнения условия

м(0) = Ф1(0),

возьмем первую производную в системе уравнений (42):

I *г + ^ I<*г =*&(*)

^ (т-«)1

< м'(^) = -а22(Ф'(г) + а'ш(ф(4)

1 Г а21(Ж(т) + а210Мт) I Л' у^Л (4-т)1/2 ат + ч^г».

(42)

(43)

(44)

Из системы (44) следует, что

т ,,

1 Г о-и(Т)у (т)+а11(Т)и(т) ] _ ф/ ,гр\

V 0 V

< —а22(ТУ( Т) + а'2 (Т)«(Т) (45)

/ ¿г + ФПГ) = о.

При выполнении условий (45) систему (44) можно переписать так:

/ г Т

1у(т) т , 1 г йп{Т)и'{т)-\-а'л 1 {Т)и{т) т

Л (4-т)!/2 ^ Л (Т-т)1/2 Ы/

О о

< = —+ а^(*)«(*) + а22(ТХ(Т) + а'2(Т)«(Т) (46)

г а21 (¿)|^/(-г) + а21 (^)^(т")

л/7Г ^ — Т)1/2

О 1

_ 1 | ^.тук(т)Ф) + ф, ^ _ ф, (т)

у о (

Следовательно, при выполнении условий

Т Е с:(т)

/ (г_т)1/2-<*г = Ф« (П

. ^ ? е с 4? (Т^(и

-Е + , 1/2-<*т (47)

¿

+фМ (Т) = 0, , 8-1) (0) = ф(8-1) (0), в = ..., / — 1,

придем к системе уравнении

t Е с?-t Е с?-(^V

I ~ (i-r)l/2 dT + I ~ (T-r)l/2

0 0

4 W = -1-1 qU ag (t) +1-1 qu «22 (T)v(1-1-i) (T)

ii

t E с?-4i i-1-)w

/

0

' V^ / ~ (t-r)1'2 dT

1 1 -

tEC- 4V mvi

/ ^-{T^r)i72-dr + ф[1~г) (t) - b(t1] (T).

(48)

где функции V (i) и 4(т) ищем из пространства Я 2 (о,Т). Систему (48) в силу (25) можно переписать в следующем виде:

J (i-т)1/2 "Г" J li-rl1/2

О 0 1

4(*) = -42 (i)v((i) (49)

¿=0

+ £ Q-i42 (ту-1-^ (T) + / M(t-T-tft2_1ff1)/f'11(T) dr ¿=o о 1 T

_ J M(t|T,r ,,(y'-''(r) dT + Ф0-1) (t) _ ф0-1)(T)

о T|

Рассмотрим следующий двойной интеграл:

J dr f M(T,z,T,a21(T)yi-V(z) ^

J (r-ty/ij (r-zy/i

t о

Изменив порядок интегрирования в вышеуказанном интеграле, полу-

чим повторный интеграл:

Г г,«-1) (г) сЬ /" М(т, г, т, а21(т))(1 - г)1!2

У У (т_^1/2(т_^)1/2

О 4

Т[^-1Цг)гЬ М(т, г, т,а21(т))(г-г)^

1 У (т-Д1/2(т_Д1/2 Йт' ^

4

где функция М определяется, как и в (25).

Интегрируя интеграл (50) по частям и используя формулу (47),

имеем

I М^тУ^Цт)^ ТГ М2(^г)Д'-1)(г)^ У (¿-т)1/2 +У (г-Д1/2 ' ^

О 4

ММ

Следовательно, исключив функцию 4(т) из системы уравнений (49) и в силу (50), получим

[мщ_^1){т)(1т = т^ (52)

Й — т 1

где

М(£,т) = <

—М(£, т, ап (*)) + М(£, т, Т, ап (Т))

г, Т, а21(Т))(Т - Д1^ + г),

г, Т, а21(Т))(Т - Д1^ + г),

0 < т <

£ < т < Т,

г-i

! ТЕ ag (t)v< l-1-i) (t)

ФИ = ФГ1)И-ФГ)(Т) + — -—W2-dr

г-i

]Tci-45(T)v<'-1-i> (T)(T — t)1 /2

/П

¿=0

(r-t)^

t

vn

и M(t, t - 0) = M(t, t + 0) = -^¿i.

Вводя новую искомую функцию v^(t) = v^(t) — v^(T) из системы (52) имеем

т1

} M(t,r

J t — t T ./ t — T '"

о 1 1 о 1 1

(53)

Тогда уравнение (53) представим в виде

Т

m(t, t)v(i-d(

|t —

|l/2

. dT = Rt) — J t)V(l-1) (X dT, (54)

В дальнейшем нам потребуются формулы обращения оператора Абеля [1,2]:

Т

t

Т 1 _а

= тг ctg (тга) ¥>(*) + f ° y^l dr, (55)

о

г

£ С /V - Г-1 / ) =

I У ; У (п - т)" I 81п(7га)

Если уравнение (54) обратить при помощи формул (55), то получим о

1 ( *(Т) <1 7ф(т)-Ф(Г)

(т-гу/2 + (г-Д1/2 ^

где

Ф(*) = Д(Д — у к(*, т)£<'-1) (X йт.

При £ = Т уравнение (56) примет вид

= ад. (57)

о

При выполнении (57) уравнение (56) перепишем следующим образом: о

1 й ?Ф (X — ф (Т)

Л У (Г - Д1/2

йт, (58)

4

Так как ¿/С ^(О € Н-?1 (0,Т), должно выполняться

У (Г_т) 3/2 ^ = (59) о

При выполнении (59) уравнение (58) примет вид

_<„,(.-.><„ _ Мй ] ,т = ад, (Ю)

О

где

1 ( 2(an(t) — ап(Т))ФР (T)(T — t)1 /2

R( t) =

/ЙД ац (T)

. (aii(t)-aii(TmT) Т[фУ(т)-фУ(Т)

C'll(T)(T — t)1/2 +J (r-t) 1/2

t

d /ад-ад \

+ dtj (r-ty/2 dT)

t

1 ffT-t\3/2 (an (t) - an (r)

' ' 1 -d,T.

п j \t — t j t — t

о

Тогда уравнение (60) будем рассматривать относительно функции v0(t) = V('-1>(t) (T — t)-/2:

Т

a22(t)i/0(t) _ МЙ f^lldr = R(t) (T - ty3'2 . (61)

П 7 T — t

о

tT

tT

t

= «22 (¿) ~ anft)»

«22 (t) + «ii(t)i

Пусть для ln G(0) и ln G(T) выбраны ветви ln G(0)ko,1 n G(T)fci соответственно. Тогда

--^1пС(О) = 0(О)-Ао, -T^rlnG{T) = e{T)-ki, 0(t) = Iarctg^l.

2ni zni п «ii(t)

Заметим, что в силу условия an (t)a<22(i) > 0 из (8) имеем > О

для любого t G [О, T • Следовательно, ветви lnG(O) и lnG(T) будут совпадать и индекс N равен 0.

Далее для канонической функции N, имеем

N(z) = (z — T)-1+0 • z1-0.

Уравнение (61) в этом классе решений однозначно разрешимо, и решение дается формулой [4, 5]:

V

( 1-1) (А =

а2г(Д

~~ 2 П\~>,-2~ТЛ

а11\Ч + а22\Ч

ан(0 № .и/2+0 .1-е А К

О

Полученное решение (62) при заданной функции Д(Д из пространства Н 2 (О, Т) будет, очевидно, удовлетворять условиям Гёльдера с показателем 'Цр- во всех точках контура (О, Т), отличных от концов [5, с. 58]. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла Коши на концах контура интегрирования [5, с. 76] легко видеть, что ^г-1)(0) = ^(Т) = 0.

Для дальнейшего исследования поведения их на концах воспользуемся следующей леммой [2,5].

Лемма 3. Пусть функция удовлетворяет условию Гёльдера с показателем А вблизи точки С, включая С (С обозначает 0 или Т), 0 < 7 < 1. Тогда для точек контура (0, Т) интеграл типа Коши

о

СС

тел ем гшп{А, 7} при А ф 7 и условию Гёльдера с показателем А — е при А = 7, где е является сколь угодно малой положительной постоянной.

В силу леммы 2 получим, что если 1 ^ 1), то в

формуле (62) функция Д(Д удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ЩЗ- при 0<7<1— 20(О<7< 29), условию Гёльдера с показателем §■ + в (1 — в) при 1 — 2в < 7 < 1 (2в < 7 < 1) и условию Гёльдера с показателем Цр- — е при 7 = 1 — 2в (7 = 20).

Таким образом, при выполнении условий (41), (43), (45), (47), которые имеют вид

"1а) (Т) = т1 т ('311 ^ (- £ (т>{8~г) ^ ац(1 )а22(т ) \ * ^

\ ¿=1

т ± С»42 (ТУ^ (г) х

(Г_Т)1/3-^ +

о у

Те с» 4 2 (ту -¿> (г)

- ^ / ^"'(г-г)^— +;; • (бз)

Г Ж) , ^ (г

1 (Т_т)1/2йт а11(Т)а22(Т){ (Т-т) 1/2 ЙТ

о

+ ф['\Т)-а22(Т)\ф ] 8=1 (г-_'т)1/а ^ + (64)

^ 8-1)(0) = Ф^-1)(0), 8=1,2,...,/ - 1, (65)

где

„Г) = »П(Г)Ф,(Т,(М)

ап(Т )а22(Т )

1 Иг) , Ф„(Г) Г

/ 77-=--т^- 67)

} (Т - Xа ац(Т)

о

Рекуррентные формулы (63), (64), (66) и (67) соответственно обозначим следующим образом:

^») (Т) = ,

= * ».1...../ 1- ^

о

ТЕ с» 42 (ту»

где ^ и ^ — известные значения. 3начения Д^ (£) определяем по формуле Тейлора

1

Т-4

(1 — 2 — .

- J (Т — 4 — т)'-1-я^(т)йт, в = 0,1,...,/ — 2. (69) о

Тогда для выполнения условий Д^ (0) = 0, в = 0,1,..., / —2, необходимо и достаточно, чтобы

1 /<г - * = 0,

в = 0,1,...,/ — 2.

Подставив найденные значения функций Д^ (4) во второе условие (68), получим

_(Т _ ^й-з+1/2

(к-з)1(к-з + 1/2)( '

+ (Т7'(Г-.-п)'--,«-«^

о о

в = 0,1,...,/ — 2. (71) При в = / — 1 условия (68) можно представить в следующем в виде:

1 . Ы-!

Т1/2 2 У (Т-т)3/2 • ^

о

Отметим, что значение функции ^(4) дано формулой (61). Итак, доказана следующая

Лемма 4. Пусть 1) ^(ж),^ (—ж) € Н1+7(°>+ (/ € N,7 €

,

2) для всех £ из интервала [О, Т] выполнены условия = О, ап(г)а22(г) > 0,ац(г)а21(г) < О, ^(ац(4)а22(4)) <Ож ац(г)а22(г) ф О;

3) О < 7 < /3, где 6(1) = ± /3 = гшп(1 - 20, 2в).

Тогда при выполнении 2/ условий (57), (70)-(72) существует единственное решение краевой задачи (5), (6) из пространства ' 2 (<5+) Замечание 1. Приведенные выше рассуждения показывают, что найденное в лемме 2 решение краевой задачи (5), (6) будет принадлежать пространству

1) Н2Х[+,3'1+Ц(3+), если /3 < 7 < 1;

2) "е'г+2 е(<5+) (е — сколь угодно малая положительная постоянная), если 7 = в

Если полученные условия разрешимости для обоих случаев обозначим следующим образом:

Ья(Ы=0, 8=1,2,...,/, (73)

то на основании лемм 1-3 получим основной результат в виде следующей теоремы.

Теорема. Пусть выполнены условия:

1) ^(Х е Нг+7(о,+те) и^(Х е Нг+7(-те, о) (/ е N 7 е (0,1));

2) при а12(£) = 0 Ш е [0, Т] выполнены условия

ац(4)а22(4) > 0, ац(£)а21(£) < 0, — (ап(£)а22(£)) < 0, ац(£)а22(£) 0,

от

0 < 7 < /3, /3 = гшп(1-2(9,2(9), в = - arctg ;

п а22(£)

3) при а^^) ф 0 Ш е [0, Т] выполнены условия

ац(£)а22(£) + а12(£)а21(£) > 0, ац(£)а21(£) < 0, а12(£)а22(£) < 0,

— (ац(£)а22(£) + а12(£)а21(£)) < 0, ац(£)а22(£) — а12(£)а21 (£) 0. /

ние краевой задачи (1)-(3) из пространства Ц^[+7'г+2

Замечание 2. При а12(£) = 0 для доказанной теоремы имеет место замечание 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Ин-т математики, 1982.

2. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

г. Мирный

12 мая 2009 г.