CC BY
15и условиям склеивания
и_о,г) = ц+о,г), их(—о,г) = их(+о,г), (4)
где 1 > 1 — целое чиело, Q± = М± х (О, Т).
В силу принципа максимума нетрудно видеть, что всякое ограниченное в ^ ^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^енцируемое вплоть до х = 0 решение задачи (2)-(4) единственно. В самом деле, если существуют решения и и и5 то положительный максимум решения и(х,г) однородной задачи
х
склеивания эти максимумы достигаются в одной точке (0, г). Тогда в силу известного свойства нормальной производной в этой точке имеем их _ их < 0, что противоречит второму из условий склеивания. Аналогичное противоречие получим в случае отрицательного минимума. Отсюда следует единственность решения. Сделаем замену
Ь Ь2
и(х, = ехр(/хж + М)у(х, £), А = sgn ж (с — •
Тогда вместо краевой задачи (2)-(4) получим
sgnxví = а2Ухх, (5)
^х, 0) = ехр(— (х) = Ф\{х), х > 0,
(6)
^х, Т) = ехр(—^х — АТ)<ъ{х) = ^г(х), х < 0,
VI —о,г) = ехр(2А+гМ+0,г), Vx( —О,г) = ехр(2А+гК(+0,г), (7)
где Л+ = с — ¿у. Также введем обозначение = — с + .
Для удобства вместо уравнения (5) будем рассматривать систему уравнений
1 2 1 2 2 2 vt = а vxx, —'vt= а vxx
(8)
в области Q+. При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид
= ^(—х), ^(х,^^ ^(х, х (9)
=ехр(2А+ф2(0,г), ^(0,г) + ехр(2А+г)^(0,г) = 0. (10) Будем предполагать, что ж) € Ир{!) (г = 1,2). Тогда функции
К 2 (П)
=-. 1 /
^ 7 2ау/п(Т-г) У V 4
к
являются решениями уравнений (8), удовлетворяющими условиям (9), (10) в!. В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (8): г
^(х^) = ! ехр 4д2^ _ ^ (г - т)~%а(т) ¿т + ^ (ж, ¿),
°т ^ (12)
= J ехр (- * ) (т - г)-Ь/3(т) ¿г + г).
г
Функции, представленные формулами (12), удовлетворяют начальным условиям (9) и уравнениям (8) соответственно. В силу общих результатов [2,3] ук принадлежат пространству если введенные нами неизвестные плотности а(£), ^(^принадлежат 0, Т), причем
О- а)(0) = ва) (Т) = 0 (в = 0,...,/ -1). (13)
Из условий склеивания (10) получим систему уравнений относительно а, в
' -шЬОг ¿Т + Ш1(о, г)
= ехр(2А+^ ( - ^ / ^ ¿г + *2(0, *)) , (14) а^ + ш *(0, £) + ехр(2А+£)(в(£) + Ш *(0,*)) = 0
или
Г ¿Т - Г ехр(2Л+г)^(г) (1т = Тг Щ Щ , (1т ф ^Ч
о { { К " У ' 01 (15)
где
а
= — ехР( 2А+г)^2 х(о ,г) — х(о ,г),
ч ехр(2А+г) — ехр(2А+т)
= -;-—г-•
(г -г) 2
Если первое уравнение в (15) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то
Т = Г
т-г ъМ.} (4_т)4 >
где
«w - * / (i)1/2ex p(2£Wr) dr = Hf^rdr. о
T
$(t) = J K(t,T)e(T)dT + $0(t).
t
Введем обозначения t) = Ф^(t) — Ф^(0)exp
1 /• (Т)-Ф(s+1Ho) F№) = - -77^-1-<> "-1.....1 1).
7Г J (t-Tp
Легко видеть, если @(t) принадлежит искомому пространству, то Fq-1(t), F[—(t) принадлежат пространству Гёльдера с показателем (1 + y)/2, причем F-(t) = F— (t) = O(t(1+^^^^^^алых t.
Предположим, что функции a(t), e(t) принадлежат пространству )/2(0, T). Тогда из системы (16) следует, что
-J dr = Ф(0),
о U'J
в(0) = <Ы0).
При выполнении (17) систему (16) можно переписать так:
a(i) - ^ dT = 2Ф'(0)^/2 + Fo(i))
0 l1») a(t)+exp(2A+t)(e(t) — e(0)) = F°(t).
Введем в системе (18) новые искомые функции ¡3(t) = (3(t) — /3(0)-^-^. Тогда систему (18), воспользовавшись формулой из [4, с. 177] т
1 г тр-1 (T — т)
- / -^--dT = tp-1(T-t)'J-1ctg(aTr)-
п J т - t
о
представим в виде
ait) + 1 J(l)l/2 ехр(2Л+г)Жг) ^ = 2ф,(0^1/2 + рОф О
(19)
a(t) + exp(2A+t)/3(t) = /3(0) exp(2A+i)£ + Ffti),
где
1 f ft\i Т-т 4/1 3 t \ f t 1 ■dr=--F --Л
п Т(т - ^ V 2' '2 'Т)\Т
о
Далее, если / > 1, то продифференцируем один раз полученную систему уравнений (19). Имея в виду формулу из [5,с. 12]
получим
' <*'(*) - & (*-* / ^ + ^ I / ^
— — 2^т/3(0)-р1(— 2, 1, 2' т) (т)
+Ф'(0)*-* + 2Ф"(0)** + (2°)
а'(г) + ехр(2А+г)[2А+в(г) + в' (*)]
= /3(0) ехр(2А+^(1 + 2А+|т) +Ф' (¿) -Ф^О)2А+ехр(2А+г). Из этой системы следует, что
11 С1т = ^/3(0) - тгФ'ф), (21)
рщ = Ф'(0) - 2А+Ф1(0).
В силу формулы [6, с. 254]
й] г-« т т-г ] т — ^
о о
систему (20) при выполнении условия (21) и из того, что в(Т) = 0, можно переписать в виде
т
<*'(*) " £ |(|)1/2ехр(2Лт+_т^,(т) ¿т = 2Ф"(0)^/2 + о
а'(г) + ехр(2А+г)[(в' (г) — в'(0)) + 2А+(в(г) — в(0))] = ВД.
Таким образом, мы получили первое уравнение в системе (22), имеющее точно такой же вид, как и первое уравнение в (18). Легко видеть, что при выполнении условий
| / ехр(2А+т/"(т)-тС(0)^ ¿г = ^/?М(0) - 7гф('>(0),
в<я)(0) = Ф^(0) — Ф^-1)(0)2А+ — 1 &(2А+)я-квк)(0),
к=1
(23)
в( я) (Т)=0, 8 = 2,...,/ — 2,
получим систему уравнений
т
I
О
(24)
о
а (г) + ехр(2А+г)[(в( '-1) (г) — в '-1)(0))
+ Е (А + 1)(2А+ )'-к( в( к (г) — в( к)(0))] = Fl1-1 (г). к=0
Введем новую искомую функцию /З^-1^) = — (З^^Ц0)-^^,
тогда систему (24) можно переписать в виде
«('-!)(*) - I |(1)1/2ехр(2Л+г)/3(г)^т О
= 2ФС-1)(0)^/2 + ^(г) - 1/?('-1)(0)^(-|, 1, §; (£)
аг-1^ (¿) + ехр(2А+*)
Ж*)
(25)
г-1
£ (А + 1)(2А+ )г-к(вк(*) - вк)(0))
к
= /3(г-1)(0)ехр(2А+^| +
Так как аг-1^ (£), вг-1^(¿) должны принадлежать 0,Т), по-
требуем выполнения условия
1 уае^М* = ^-..,0, - „(«.( о,. <»,
о
Тогда при выполнении (26) в конечном итоге придем к системе уравнений
т
г ехр(2А
т-4
о
(27)
где
^о (*) =2ФО-^О/2 + (*)
- -^'-"(О)
г-1
^(*) = (*+1)(2А+)г-к(вк)(*)
к
-/3^(0)) +/3(г-1}(0)ехр(2А+^- +
принадлежат пространству Д"(1+т)/2(0, Т), причем ^ *(£) = ^ *(£) = для малых
Исключая а1 ^ в системе (27), получим сингулярное уравнение относительно в(¿):
где
о
Сингулярное интегральное уравнение (28) будем рассматривать как уравнение относительно во(£) = ех Найдем решения
не ограниченные при 4 = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при 4 = Т. В этом случае каноническая функция х(-г) равна (г — , индекс х равен 0.
Согласно общей теории [7,8] сингулярное уравнение (28) однозначно и безусловно разрешимо, и его решение дается формулой
т
ехр= [ --Щ---¿т.
2 2п } (Т - т)*т*(т - г)
о
(29)
Так как <(£) принадлежит пространству Н1+7/2(0,Т), функция в1(4), представленная формулой (29), удовлетворяет условию Гёль-дера с показателем во всех точках контура (0, Т), отличных от концов. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [8, с. 76], легко видеть, что вг_1)(0) = в1_1) (Т) = 0.
В силу леммы о принадлежности класу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [8, с. 82-86; 1,с. 14-17]) получим, что в формуле (29) функция в(¿) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем при 0 < 7 < условию Гёльдера с показателем | при ^ < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем | — е при
7 = 1-
вТ
(26), которые имеют вид
- / ¿т = ф(0), о т
< I / ехр(2Л+г)^1ЬЙМ££ ^ = ^/?(8)(0) - тгф(»>(0), (30)
в = 0Д,... ,1 -1; ^ в к) (Т) = 0, А = 0,1,...,/ - 2,
получили функцию в(^) из искомого пространства )/2(0, Т), удо-
влетворяющую условиям
8-1
вя)(0) = Ф^(0) - Ф2А+ - ^ А(2А+)я-квк)(0),
к=1
в = 0,1,... , / - 1, в'-1) (Т) = 0. Значения в^ (¿) определяются по формуле Тейлора
<*"<« = £ + /<«"
к-я 0
в = 0,1,... , / - 2. (31)
Тогда для выполнения условий вк (Т) = 0 при А = 0,1,... , / - 2 необходимо и достаточно, чтобы
° = Е + (ГгЬц/<г -
О
в = 0,1,... , / - 2.
Подставив найденные значения функций в^ (4) в условия (30), полу-
чим
/ ехр(2Л+г)гг-3/2 (1т}( 1- ау-2^1-^ (ат) да о о
= Е вк) (О) / тар(2А+т)тк-1/2 ¿т + Ф(0), к=0 О
< 1__/ехр (2Л+т)т1-^5/2(1т}(1-ау-2-^(1-1Нат)да (32) о о
= -§/ехр(2А+т)( Е +
О \к=з+1 /
„ в = 0,... ,1 - 1.
Отметим, что функция в1 -1 Ч^) дана формулой (29). Итак, доказана следующая
Теорема 1. Пусть <р\,<ръ € Ир, р = 21 + 7. Тогда при выполнении 21 условий (31), (32) существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3), (4) из пространства:
1) Н™'2, если 0 < 7 <
2)Я^/2>(/ = 2/+|,если±<7<1;
3) Ях Е'{ч если 7 = |, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.
2. В области Q рассмотрим уравнение
sgn(x — к~Ь)п1 = а2ихх + Ьих + си, (33)
а, Ь, с, к — некоторые действительные постоянные.
Решение уравнения также ищется из пространства Гёльдера Яр'р/2 р=21 + 7, 0<7< 1,и удовлетворяет следующим на-
чальным условиям:
и(х,0) = ^(х), х > 0, и(х,Т) = ^(х), х < кТ, (34)
и условиям склеивания
и(—М,г) = и(+М,г), их(—к^) = их(+ к^). (35)
Сделаем замену
w(x,t) = ехр
к ( к2 ИУ ~ 2 \У I + t ( Л + ~ sSn У~[
где у = х — Ы, ¡1 = —2^2, А = sgní/(c — ¿2), и вместо краевой задачи (33)-(35) получим уравнение
sgny;í = а2;уу, (36)
начальные условия
;(у,0) = ехр[(Л/2 - ^у^Ду) = ^3(у), у > О, ;(у, Т) = ехр[— (Л/2 + м)у - (Л + + к2/4)Т]^2(у + ЛТ) (37) = ^з(у), у <0,
и условия склеивания
-.(;№;>). ,38)
Обозначим элементы матрицы склеивания через а.у(¿), тогда находимся в условиях леммы (см. [9, с. 84]). В самом деле, нетрудно проверить выполнение условий
а12(^) = 0, ац(£) ■ а22^) >0,
ац(г) ■ а21^) <0, (ац(г) ■ а22(^)' <0, 0< ^ < Т,
при
2
b
к^ 0, 4с - — - Л2 < 0. (39)
a
После этого аналогия со случаем, рассмотренным в работе [9, с. 7585], становится настолько полной, что мы можем, не останавливаясь на доказательстве, сформулировать окончательный результат данного пункта.
Теорема 2. Пусть щ, щ & Hp, p = 2/ + 7, и выполнено (39). Тогда прп выполнении 2/ условий вида (31), (32) существует единственное решение уравнения (33), удовлетворяющее условиям (34), (35), из пространства
1) Щ'Р/2, если О < 7 <
2) #«'?/2,<7 = 2/+|,есяи±<7<1;
3) Е'{ч е^2, если 7 = |, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.
ЛИТЕРАТУРА
1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.
2. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.
3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразованийц. Т. 2. Преобразование Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.
5. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. Учебное пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1985.
6. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Наука, 1979.
7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.
8. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
9. Туласынов М. С. Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции: Дис.... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Якутск, 2008. 99 с.
г. Якутск
9 июня 2009 г.
