Разрешимость параболических краевых задач с полной матрицей условий сопряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

РАЗРЕШИМОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЙ СОПРЯЖЕНИЯ

Е, Ф, Шарин

Работа посвящена исследованию гладкости решений краевых задач для параболических уравнений с негладкими коэффициентами в классах Гёльдера.

В работе [1] предлагается единообразный подход к построению моделей сопряжения различных физических процессов таких, как распространение тепла в неоднородных средах (задачи типа дифракции), взаимодействия фильтрационных и каналовых потоков жидкости (фильтрация в скважину) и др. В настоящей работе мы рассматриваем случай односторонних спутных потоков, на границе раздела которых выполняются общие условия сопряжения.

Пусть Б = П х (О, Т), где либо О — область в М, либо О = М, причем 0 € П. В области Б рассмотрим уравнение

/(х)и4 = Ьи, (1)

где Ь — строго эллиптический оператор 2-го порядка по переменным х с коэффициентами из класса Гёльдера в Б. Пусть в уравнении (1) функция /(х) больше 0 и терпит разрыв в точке 0. Решение уравнения (1) в классе ограниченных функций будет единственным при выполнении начальных условий

и(х, 0) = (х) (х € П+), и(х, 0) = <^2(х) (х € О-) (2)

Работа выполнена при финансовой поддержке научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Министерства образования и науки РФ (коды проектов 8427 и УР 04.01.449).

© 2008 Шарин Е. Ф.

и условий непрерывности производных до 1-го порядка. В работе рассматривается общий случай сопряжения потоков:

м(+0,г) \ _ /ац Я12А ( и(-0,г) \

«х(+о,^ ^а21 а22у! Л«л—о,*))' { )

где а^- — элементы невырожденной матрицы.

Если решение поставленной задачи искать в пространстве Гёльдера Щ'Р(2> т0 Для однозначной разрешимости краевой задачи (1)-(3) необходимо и достаточно выполнения [р] + 1 или [р] условий па данные задачи вида

■М <Ръ<Р2) = о, 8=1,...,[р] + 1, (4)

Где — интегральные операторы от функций Таким образом,

справедлива

Теорема 1. Пусть <р\,<ръ € Нр. Тогда существует единственное решение краевой задачи (1)-(3) в пространстве (Б±) при выпол-

нении

1) [р] + 1 условий (4), если матрица а,ц подобна диагональной;

2) [р] условий (4), если матрица а,ц подобна треугольной.

Доказательство теоремы проведем в случае, когда матрица азаявляется или диагональной, или треугольной.

1. Случай диагональной матрицы условий сопряжения. В

области Б = П х (0, Т) рассмотрим уравнение (1). Решение уравнения ищется в пространстве Гёльдера НХ'Р(2 (Б±) и удовлетворяет начальным условиям (2) и условиям склеивания

и( —0, = аци(+0, их(—0, = а22иХ(+0, (5)

Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений:

Аи1 = иХХх, Ви? = и1х (6)

в области При этом начальные условия и условия склеивания

будут иметь вид

и^х, 0) = и2(х,0) = <^2(х), (7)

и*( 0,г) = ац^(0,г), <( 0 ,£) + а22иХ( О ,г) = 0. (8)

В силу принципа максимума нетрудно видеть, что всякое ограниченное в Б и непрерывно дифференцируемое вплоть до х = 0 с весом решение задачи (6)-(8) единственно при аца22 > 0. В самом деле, положительный максимум решения и(х,£) однородной задачи может х

ивания эти максимумы достигаются в одной точке (0, £), если ац и а22 положительны. Тогда в силу известного свойства нормальной производной в этой точке имеем и\х — а22и2х < 0, что противоречит второму из условий склеивания. Аналогичное противоречие получим в случае, когда ац, а22 одновременно отрицательны. Отсюда следует единственность решения.

Будем предполагать, что х) € Нр (г = 1,2). Тогда функции

^(х'г) = Ш /ехр (—^Чт-) ^ (е) с

(9)

являются решениями уравнений (6), удовлетворяющими условиям (7), (8) в!. В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (6):

г

иг(х,г) = (—4 х— т))^ — Т>—12 (1т + Ш!(х,г),

о

г

(10)

о

Функции, представленные формулами (10), удовлетворяют начальным условиям (7) и уравнениям (6) соответственно.

Покажем, что ик принадлежат пространству И7р'р^2, если введенные нами неизвестные плотности принадлежат пространству

H(p-1)/2(0,Т) (см. [2]), причем

aW(0) = s)(0) = 0 (s = 0,...,/-1). (11)

В самом деле, например, t) G Hp'p/2 (D+), если краевое усло-

вие Ф^) равно U(0,t) G Hp/2(0, T) и выполнены условия согласования фМ(0) = s^(0) (s = 0,..., /). Из представления U по формуле (10) получим Ф(^) = U(0,t) = a(t) + wi(0,t) и, следовательно, ф(2я) (t) = аs (t) + ^ 0,t) (s = 0,...,/). Отсюда при выполнении условий аs) (0) = 0 (s = 0,...,/) имеем фМ (0) = ^s) (0) (s = 0,..., /). Из условий (8) получим систему уравнений относительно а, в

1 г d , «п г т d

- 7A у (t-o^dT + J (t-o^dT = фо(i2)

о 0

a(t) + a22e(t) = $i(t),

где

$0(t) = vn(anw2(o,t) - ^i(o,t)), $l(t) = *(о ,t) + a22w2 *(о ,t)).

Если первое уравнение системы (12) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то система примет вид

1 g(t) + т = ± f-Щ- dT,

WA dtj (t - т)V2 ' (14)

at) + a22e(t) = $i(t).

Рассмотрим случай, когда / = 1, т. e. p = 2 + 7. Потребуем выполнения условий

,.

Тогда систему (14) можно преобразовать следующим образом:

t

-1 aii ^ n d f Ф0(т) - Фо(0) , ^ 1

о

a(t) + a22e(t) = $i(t),

или при выполнении условия

Ф'(0) = 0 (16)

система примет вид

а(г) + а22в&) = Ф1^).

По условию

ф„(г) е н1+^2(о,т), Ф^г) е Н1+^/2(о,т), % (г) е н^2(о,т).

Тогда при выполнении условий (15), (16) получим, что а(г),@(г) е Таким образом, для существования решений ик уравнений (6), удовлетворяющих условиям (7), (8) и принадлежащих пространству Нр'р/2 (р = 2 + получили три условия (15) и (16). Если I > 1, то систему (17) можно продифференцировать и аналогично проделанным рассуждениям получить

ф{,8)(0) = о(5 = м^"), ф^(о) = о (в = 0,7), (18)

при выполнении которых а(г),@(г)

е н{р—)/2. Очевидно, существование плотностей а(г), р(г) в системе (17) следует из того, что определитель системы (17) не равен нулю. Таким образом, доказана следующая

Лемма 1. Пусть е Нр. Тогда при выполнении [р] + 1 усло-

вий (18) существует единственное решение уравнения (1) в Б± из пространства НХ'р/, удовлетворяющее условиям (2), (5).

2. Случай треугольной матрицы условий сопряжения. В

области Б = П х (0,Т) рассмотрим уравнение (1). Решение уравнения ищется в пространстве Гёльдера НХр'р(2 (Б±) [3,4] и удовлетворяет начальным условиям (2) и условиям склеивания

и(+0,г) \ _ { аи а12 А ( и( —о,г)

их(+о,г) I V о а22) \их\—о,г) I' ^

где &12 отлично от 0. Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений (6) в области При этом начальные условия примут вид (7), а условия склеивания — вид

м1^) = аци2(0,г) + 012^(0 иХ(0 ,Ь) + а22иХ(0 ,Ь)=0. (20)

Будем предполагать, что X € Нр = 1,2). В силу метода исследования также будем пользоваться интегральным представлением решепия(Ю) для системы уравнений (6). Отметим, что ик принадле-

ир,р/2

жат пространству Н'х ¡. , если введенные нами неизвестные плотности а(Ь)> принадлежат пространству Нр—^/2(О, Т) (см. [2]), причем

ая)(0) = в(я)(0) = 0 (5 = 0,...,/ -1). (21)

Из условий склеивания (20) получим систему уравнений относительно

а в

- ( 011 + ) ¡т^ш *

V «12 ■ л/АВ / У (Ь - т)1/2 о

(*»«> + 73 / <*>

где

ф0(ь) = х(о,ь) + ап^2(о,ь) - ^(о,ь)) ^

ф^Ь) = х(0 + «22^2 х(о

причем Ф0(г),Ф1(г) € Нр—^/2. Первое уравнение системы (22) является уравнением Вольтерра второго рода. Решение таких уравнений может быть найдено известным методом последовательных приближений. Доказательство существования и единственности решения можно найти, например, в [5]. Далее, проделав аналогичные предыдущему случаю рассуждения, можно получить

фМ(0) = 0(в = 0,/ -1), Ф^(0) = 0 (з = 0,/ - 1), (24)

при выполнении которых а(Ь), € /2. Таким образом, доказа-

на следующая

Лемма 2. Пусть G Hp . Тогда при выполнении [p] условий

(24) существует единственное решение уравнения (1) в D± из пространства HX'P (2, удовлетворяющее условиям (2), (19).

Таким образом, из лемм можно сделать вывод, что в случае полной матрицы условий сопряжения (3) справедлива теорема 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Монахов В. П., Попов С. В. Контактные краевые задачи математической физики // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С. 62-72.

2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

3. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 100-113.

4. Popov S. V. On a boundary value problem for a singular parabolic eguation with changing time direction // Мат заметки ЯГУ. 1994. T. 1, вып. 1. С. 113-128.

5. Васильева А. В., Тихонов П. А. Интегральные уравнения. 2-е изд. стереотип. М.: Физматлит, 2002. С. 102-110.

г. Якутск

16 июня 2005 г.