Регулярная разрешимость параболических уравнений с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные первого и второго порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

РЕГУЛЯРНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ С УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ, СОДЕРЖАЩИМИ ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ Н, Р, Пипигипа, С, В, Попов

В работе, продолжающей статьи авторов [1,2], устанавливается разрешимость краевых задач для уравнений, имеющих вид

д(х)щ + Ьи = /, (1)

где Ь — эллиптический оператор 2-го порядка, д(х) = А при х > 0 и д(х) = —В при х < О, А, В — положительные постоянные. Результатом данной работы является доказательство регулярной разрешимости краевых задач для уравнения (1), когда условия склеивания (сопряжения) содержат производные первого и второго порядков.

В области = М+ х (О, Т) рассмотрим систему уравнений

Аи£ = иХх> —Ви? = иХх• (2)

Решение ищется из пространства Гёльдера НХ'р/2 ((+), 7 < 1 и удовлетворяет следующим начальным условиям:

и^х, 0) = ^(х), и2(х,Т) = <^2(х), х > 0, (3)

Работа выполнена ири финансовой поддержке научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Министерства образования и пауки РФ (коды проектов 8427 и УР 04.01.449).

© 2008 Пинигина Н. Р., Попов С. В.

и условиям склеивания

иЦо,г) = и2х(ои1х(о,г) + и2хх(о,г) = о, о <г<т, (4)

где I = 1. Отметим, что в работе [2] рассматривался случай I > 2.

1. Будем предполагать, что ж) € Ир{М) (г = 1,2). Тогда функции

. VI [ ( А(ж - О2 N

.] V

„ К (5)

г ^ У^ Г ( Щж - О* \

^ ; 2лД(т - г)У V ЦТ - г)

к

являются решениями соответственно уравнений (2), удовлетворяющими условиям (3) в М. В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (2): г

1 Г ( !ж2 \ 1

П °т "Т (6) 9 1 ? А вж2 \ _ 1

и2(ж,Ь)=--еХР( - ^-Т )(Т - г + ж,г).

УпЕУ Ч 4(т - г)

г

Функции, представленные формулами (6), удовлетворяют начальным

условиям (3) и уравнениям (2) соответственно. Тогда (см. [2]) ик ПРИНТЕР/ 2

надлежат пространству НХ г > если введенные нами неизвестные плотности а(г), в(^) пРинаДлежат пространству /2(0,Т), причем

а(0) = в(Т) = 0. (7)

Из условий склеивания (4) получим систему уравнений относительно а, в

а(г) + в(г) = Ф0(г),

VI! ^ + ^Е| / ¿т = Ф1(г), (8)

о (г-т)2 г (т-г)2

ФоСО = — "2 х( М) — " х( 0,*), Ф^*) = хх( 0,*) — "2 хх( 0,*)).

С точностью до постоянной Со система уравнений (8) эквивалентна следующей:

+ = Ф0(*),

г т г Го)

у/А} а(т\ ¿Т+^В/ в<Т\ ¿Т= /Ф^Т^Т + Со = Ф2 (*)•

о (г-т)2 г (т-г)2 о

Если второе уравнение в (9) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то

уа«(*)+^ т(т)1/2/т(:г ^= п -} ¿т. (10)

г-т

Введем обозначения Во(*) = Фо(*) — Фо(0),

1 I dT.

п J (t- т) 2

(t-■

и

Легко видеть, что F(t), F(t) принадлежат пространству Гёльдера с показателем (1 + 7)/2, причем F0(t) = F(t) = O(t^1+для малых t.

Предположим, что функции a(t), /(t) принадлежат пространству Гёльдера Hp-0, T). Тогда из системы (10) следует, что

т

^B j /Г^ dr = Ф2(0) = C. (11)

о

При выполнении (11) систему (10) можно переписать так:

a(t) + /(t^o(0) + Fo(t),

va^ + iB ht)1^^ ^ = ^ ^ )t* + FW. 0

Пусть выполнены условия

(12)

/(0) = Фо(0), /(T) = 0, (13)

и введем в системе (12) новые искомые функции Т{г) = - Т(0 Тогда систему (12). воспользовавшись формулой [З.с. 177]. представим в виде

а(г) + в(г) = в(0) г + Ыг),

,/Аа{г) + /Ц)1^- ¿т (14)

о

= Пв(0/,)(£)' + 1Ф'(О)и + К®,

1 т('У Т-т * =-4к(-иы)(1 '

п

т) Т(т -г) п V 2' ' 2' т]\т

Так как а(Ь), в(Ь) принадлежат пространству Н1то должно выполняться условие

4е / Т&

(15)

Тогда при выполнении (15) придем к системе уравнений

^Аац) + ^ /о3^- = (16)

о

I

ад = в(0)Т + ^(г) = ПТ(ОУЕК(, 1, ^ ^ (Т) °

принадлежат пространству Н10,Т), причем ^(г) = =

для малых

Исключая ) в системе (16), получим сингулярное уравнение относительно

^Ат-^Щ /(Т^ = (17)

где

Сингулярное интегральное уравнение (17) будем рассматривать как уравнение относительно во(*) = Найдем решения не-

ограниченные при * = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при * = Т. В этом случае каноническая функция х(г) равна (г — Т)0г-0, в = П аг^ АА' инДекс к равен 0.

Сингулярное уравнение (17) в этом классе решений во(*) однозначно и безусловно разрешимо, и решение дается формулой [4.5]

т

№= /\лт — №-Ч ((8т) ¿т.

^ в + п(В + А)1 ! У (Т — X0 Т2 -0( Т — *)

о

(18)

Так как

принадлежит пространству то из формулы (18)

следует выполнение условия

т

/ (Т) 3 ¿т = 0. (19)

У (Т — т)1+0 т"-0 о

При выполнении (19) формула (18) примет вид

№= ^А^Н /\лТ—*)1+^- 0/ д(т3} ¿т.

(20)

Так как ((*) € 7)/2(0,Т), то функция представленная

формулой (20), удовлетворяет условию Гёльдера с показателем

,Т

поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [5, с. 76] легко видеть, что в(0) = в(Т) = 0. Далее, в силу леммы о принадлежности классу Гёльдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [1]) и в силу неравенств (1 + 7)/2 < 1 + в и (1 + 7)/2 < 3/2 — в при

0 < 7 < 1 получим, что в формуле (20) функция удовлетворяет условию Гёльдера с показателем (1 + 7)/2.

Таким образом, при выполнении условий (11), (15), которые имеют

вид

' уВ ]([¿г = Ф2(0),

_ Т (2!)

^ I *т)-*$)Г-Т ¿т = 2,/ТФо(0) + Ф^(0),

о у

и условия (19) мы получили функцию из искомого пространства -1)/2(0,Т), удовлетворяющую условиям

в(0) = Фо(0), в(Т) = 0.

Отметим, что функция дана формулой (20). Итак, доказана следующая

Теорема 1. Пусть € р = 2 + 7. Тогда при выполне-

нии трех условий (19), (21) существует единственное решеппе системы уравнений (2) из пространства Нр'р/2, удовлетворяющее условиям (3),

(4).

Замечание 1. При выполнении одного условия (11) решение, найденное в теореме 1, будет принадлежать пространству Н"Х'^/2> Ч =

1 + гшп{2в, 1 — 2в}, где в = П аг^ А •

2. Для системы уравнений (2) с начальными условиями (3) рассмотрим следующие условия склеивания:

иХ(0,*) = иХ(0,*), иХ^О,*) = иХх(0,*), 0 < * < Т. (22)

В этом случае сингулярное уравнение относительно имеет вид

.= т

+ ^ / = ((*). (23)

о

Сингулярное интегральное уравнение (23) будем рассматривать

как уравнение относительно Д(^) = и найдем решения

неограниченные при г = О (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при г = Т. В этом случае каноническая функция х(г) равна (г - Т)1—9г~1+9, индекс к равен 0. Имеем

Т(г) = /Ад(г) - , - г)1—9 г 2 +9 , -^

Е + п(Е + Ау ' ] (Т - т) !-9 А +9( т - г)

о

(24)

Так как ^г) € 0,Т), то функция Т(г)> представленная

формулой (24), удовлетворяет условию Гёльдера с показателем

,Т

поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [5, с. 76], как и выше, легко видеть, что Т(0) = Т(Т) = 0.

Далее, в силу леммы (см. [1]) получаем, что если Е ^ А, то в формуле (24) функция Т{г) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем (1+7)

при 0 < 7 < 1 - 26, условию Гёльдера с показателем 1 - 6 при 1-26 < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем 1 - 6 - £ при 7 = 1-26. Кроме того, заметим, что если Е ^ А, то функция Т(г) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем при 0 < 7 < 26, условию Гёльдера с показателем 2 + 6 при 26 < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем 1+6 - £ при 7 = 26.

Таким образом, при выполнении условий, аналогичных (21), получим функцию Т(г) из искомого пространства )/2(0, Т), удовлетворяющую условиям Т(0) = Фо(0), Т(Т) = 0.

Итак,справедлива

Теорема 2. Пусть <р\,<ръ € Нр, р = 2 + 7. Тогда при выполнении двух условий вида (21) существует хотя бы одно решение системы уравнений (2), удовлетворяющее условиям (3), (22) из пространства

1) Щ'Р/2, если 0 < 7 < гшп{26,1 - 26};

2) НХ'Р, я=2 + гшп{26,1 - 26}, если гшп{26,1 - 26} < 7 < 1;

3) НХ ^ е^/2, если 7 = тш{26,1 - 26}, где £ — сколь угодно малая положительная постоянная.

Замечание 2. В теореме 2 показано, что. как и в работе [2], при р — [р] ^ I гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных данных ^, •

ЛИТЕРАТУРА

1. Пмимгмиа Н. I'., Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. '2002. Т. 9. выи. 1. С. 71 82.

2. Пмимгми а П. Р.. Попов С. В. Гладкость решении параболических уравнении с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные первого и второго порядков // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10. вьш. 1. С. 86 97.

3. Вемтмеи Г.. Эрдсмм .4. Таблицы интегральных преобразовании. Т. 2. Преобразование Весселя. Интегралы от специальных функции. М.: Паука. 1970.

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз. 1963.

5. Мусхслмшвмлм П. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Паука. 1968.

г. Якутск

29 тоня 2005 г.