Контактные параболические краевые задачи в гёльдеровских пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

КОНТАКТНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ГЁЛЬДЕРОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ*)

Н, Р, Пинигина, С, В, Попов

В работе [1] предлагается единообразный подход к построению моделей сопряжения различных физических процессов таких, как распространение тепла в неоднородных средах (задачи типа дифракции), взаимодействие фильтрационных и каналовых потоков жидкости (фильтрация в скважину), возвратные течения в пограничном слое за точкой его отрыва и др. В работах [2-6] устанавливается разрешимость краевых задач в гёльдеровских пространствах для некоторых классов уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени с границей раздела, имитирующей противоположные спутные потоки. В настоящей работе мы рассматриваем общий случай границы раздела двух сред, в который, в частности, включаются также и ортогональные потоки, косое соударение и т. д. Как и в работе [4], решение поставленной задачи разыскивается в виде параболических потенциалов двойного слоя с неизвестными плотностями.

В области ^ = П х (О, Т), П = М, рассмотрим уравнение

д(х)щ = ихх, д(х) = sgn х. (1)

В пространстве Гёльдера р=2/ + 7, 0<7< 1, ищется

решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим начальным усло-

Работа поддержана научной программой «Развитие научного потенциала высшей школы» Министерства образования и науки РФ (код проекта 8427 и УР

04.01.449).

© 2008 Пинигина Н. Р., Попов С. В.

и(х, 0) = (х), х > О, и(х, Т) = ^(х), х < О, (2)

и условиям склеивания:

и( —о ,г) = и(+о,г), ^ • их(—о ,г) = их(+о,г), (з)

где 1 — целое чиело, Q± = М± х (О, Т), г = г ехр (гу) — комплексное число.

Для удобства вместо уравнения (1) будем рассматривать систему уравнений

1 — 1 2 — 2 ¿"¿Л

иг — ихх, —иг~ ихх I4/

в области Q+. При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид

и*(х,0) = ф\(х), и2(х, Т) = ^(х), х > 0, (5)

и1^) = и2(0,г), иЦ 0 ,г) + гих(0 ,г) = 0. (6)

Будем предполагать, что х) € Ир{М) (г = 1,2). Тогда функции 1 г ( (х — £)2 \

"1(х'г) = ш/ехр I—4

К ,7Ч

1 Г ( (х — £)2\ 1 ;

ш2(х,г) = —. ехр — --

2^ЫТ—Щ' V 4(Т — г); ^ ;

К

являются решениями уравнений (4), удовлетворяющими условиям (5) М

представлением решения для системы уравнений (4):

и*(х,г) = J хехр{—щгГ—^)^ — Т«М^ + ^М),

п°т 7 ^

и2(х,г) = —-¿^п / хехр(—4(7—^)^ — ^^(т)^г + ^2(х,г).

г

Функции, представленные формулами (8), удовлетворяют начальным условиям (5) и уравнениям (4) соответственно.

Согласно [7,8,4] ик принадлежат пространству Нр'р/2, если введенные нами неизвестные плотности а (г), в(*) принадлежат пространству Н р/2, причем

(0) = вя) (Т) = 0 (* = 0,...,/). (9)

Из условий склеивания (6) получим систему уравнений относительно а, в

а(г) + ^(0,г) = -в(г)+^2(0,г),

^ ^о (г-^ (ю)

+ ^ (Т - *) ^ в(Т) - ^ I Т^к ¿Т + ^*(0, г = 0

V г (г— 2

или

аг) + в(г) = ФоИ,

г ' I '

/ + ^^ ¿т (11)

+г—^а(о) - *(Т - г)в(Т) = Ф^г),

где

ф0(г) = ^М - ^(о,*), = ж(о,г) +^ж(о,г)).

При выполнении условий

в(0) = Фо(0), в(Т) = 0 (12)

систему уравнений (11) можно переписать так:

Г^Щ. ¿т + гТГ-?Щ- ^ = (13)

0 (*—т)* Г (т — Г)! 4 '

Отметим, что первое условие в (12) необходимо и достаточно для того,

а

Если второе уравнение в (13) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то

а(г) + в(г) = Ф0(г),

+ П Л Т )'^ *т = Н, (14)

о о (г-Т)2

Введем обозначения ^(г) = Ф^(г) — Ф^(0),

\<1 } Ф^-1*(т)-Ф^"Чо)

п аг } (г — т) г

Легко видеть, что г), г) принадлежат пространству Гёльдера с показателем 7/2, причем ^(г) = РЦг) = О{г1/2) для малых г.

Предположим, что функции в(г) принадлежат пространству Нр/2(0, Т). Тогда из системы (14) следует, что

*/в^ат = Ф1(о). (15)

о

При выполнении (15) систему (14) можно переписать так:

а '(г) + в'(г) = ^(0) + Ро1(г),

а чг)+п л г г /2вТ"? (16)

о

Пусть выполнены условия

в(0) = Ф'(0), в'(Т) = 0. (17)

Введем в системе (16) новые искомые функции @'(г) = в'(г) — в'(О)^—-Тогда систему (16) представим в виде

а '^ + в'^ = в'( о)Т + ^(г),

а'(г) + П ЛТ^/2вТ"?а^ £в'(0)Р(4д, §; Т)(Т)* + рНг),

о

(18)

где

1 T(t V т - TdT = _iF(_Ii 3 *

-kJ\t) T(t -t) п V 2' '2'TJ\T

о

Далее, если l > 1, то продифференцируем полученную систему уравнений (18):

а "(t)+0' '() = Ф^),

« "(t) + ! тДт-Ц dT + th £ T тДт-щ dr) (19)

= e'(0)F(-1,1,1; T) (T+ 0)t^ + F?(t).

Из этой системы следует, что т

\j (%dT = 2^Тв(0) + ФН0). (20)

о

Систему (19) при выполнении условия (20) и в'(T) = 0 можно переписать в виде

a"(t) + e"(t) = *i;(0) + Fo2(t),

«"(t) + f !(ТГdT = ^(t). (21)

о

Таким образом, мы получили уравнения (21), имеющие точно такой же вид, как и уравнения (16). Легко видеть, что при выполнении условий

вв>(0) = ф£в)(0), в'(T) = 0,

f ! вs(Т)-f3d^ 2^в'40) + <¡>^(0), (22)

s = 2,... ,l - 1, получим систему уравнений

« '> (t) + e( ° И = ф |,г)(о) + Fq( t), «" (t) + f TT(ТГ^ dT = FKt). (23)

о

Потребуем выполнения условий

г)(0) = ф{,г)(0 ), в0 (T) = 0 (24)

и введем новую искомую функцию ^ ^ (г) = ^ ^ (г) — ^ ^(0)^"-?. Тогда систему (23) можно переписать в виде

а о ^ + 0 (г) = 70 \ г), а '> (г) + П/(Т Г^ ^ =

Т( г а Л в" . —

где

Р>'( г)(0) ™ +

Т

п ^ ^ к л ^'ЬТ) ( Т Р1{ г},

принадлежат пространству Нт/2(0, Т), причем = ^'(г) = О(г7/2)|

г

Исключая а^ (г) в системе (25), получим сингулярное уравнение относительно ^ (г):

в«> и — п Д £ у /! ^ат^т. (м,

О

где

^^^ г( г) — Ё1 \ г).

Сингулярное интегральное уравнение (26) будем рассматривать как уравнение относительно во (г) = в^ ^ Найдем решения во(г), неогра-

г

гТ функцию (см. [9,10])

Т ЙМ

*<« = 5г/

¿т.

Т — С о

Тогда на основании формул Сохоцкого — Племеля уравнение (26) эквивалентно решению краевой задачи Римана

Ф+(г) = ^Ф"(г)+ 3(г). г € (о,Т),

1— гг гЦ1 — гг) (27)

Ф+(г) = Ф-(г), г €(—<»,0) и(о,+го),

при дополнительном условии = 0. Отметим, что

1 + (1 - г вш р) + гг сое р

С =

1 - гх (1 + г вш р) - 1г сое р

1п|С|

2п '

)= К - Т) 9—9Ч—* =

г р г р ' arctg --:--Ь arctg ■

2п у 1 - г вт р 1 + г вт р )'

Р € (-I, I) при |гзшр| < 1; р € (-|;0) и (§; п) при |гзшр| > 1. Кроме того,

«■.(¿г/гС* )=< <- Т> •

р € (-п - §) и (§; п) при |гвшр| < 1, р € (-п - §) и (0при

|г р| >

на ХО = (С - Т)0Г'9или ХО = (С - Т)1—0Г1+0<Ж), индекс к равен 0, где ^(0 = (С - Т)—9^91\ Согласно общей теории [9,10]

од = # К_—_¿т.

о

Тогда

вг) (г) = гг/2(Ф+ (г) -Ф— (г))

°(г) , 2 /гт +\еЛ-е ,и\ [

, ■ , ,АТ - г)9^—0ш(г) (--¿т (28)

1 + х2 п(1 + х2)1 ! (Т - т)9 т*—9 ш(т)(т - г) 1 '

или

в4 (г) = ^ + -7ГТ--^Т - г)1—9г—н9и(г)

1 + П(1 + X1)

/ --¿т. (29)

У (Т - ту—9т— Н9ш{т){т - г)

Из формулы (29) следует, что в1 (0) = 0 тогда и только тогда, когда

т

/

О(т)

¿т = 0.

(30)

о

(Т - т)1 -ет*+вш(т)

При выполнении (30) формула (29) примет вид

т

х

[_От)_

У (Т - ту-вт*+вш(т)(т - г)

/

о

¿т. (31)

Так как О (г) принадлежит пространству Н 7/2( 0, Т), то функция в ^ (г)> представленная формулами (28), (31), удовлетворяет условию Гёльде-ра с показателем ^ во всех точках копт ура (0, Т), отличных от концов. Рассмотрим поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [10, с. 76] легко видеть, что в^ (0) = в^ (Т) = 0. Для дальнейшего исследования поведения на концах контура воспользуемся леммой Мусхелишвили — Терсенова [10, с. 82-86; 2, с. 14-17].

В силу этой леммы получаем, что если в ^ то в формуле (28) функция в^ (г) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ^ при 0 < 7 < 1 — 2в, условию Гёльдера с показателем | — в при 1 — 2в < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем ^ — в — £ при 7 = 1 — 2в. Кроме того, заметим, что если в ^ то функция в^ (¿) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ^ при 0 < 7 < 2в, условию Гёльдера с показателем ^и 2в < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем в — £ при 7 = 2в.

В формуле (31) в силу леммы Мусхелишвили — Терсенова и неравенства ^ < тш{1 — в, | + в} при 0 < 7 < 1 функция в1 (¿) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ^.

Таким образом, при выполнении условий (12), (15), (17), (20), (22),

(24), имеющих вид

X / ¿Т = $1(0),

о

£ Т в " И ^

2 Л ^72

¿т

о

(32)

= + (0), 5=1,---,/- 1,

_ вк (Т) =0, к = 0,\,... ,/ - 1,

мы получаем функцию в(г) из искомого пространства Нр/2(0, Т), удовлетворяющую условиям

в в)(0) = ф£в)(0), 8 = 0,1,...,/ -1, в0 (Т) = 0.

Значения в8 (г) определяются по формуле Тейлора

- <^(0)^

в 8 ю=I: ^ г -

/ - -

г

-1 (г - Т)1—1—8 в0 Жт,

8 = 0,1,... ,/ - 1.

вк Т к , , . . . , / -

ходимо и достаточно, чтобы

^ Ф^ к—

(к - Ю!

1

/ - -

I

- | (Т - т)1—1—8 в0 {т)<1т,

(33)

,/- 1.

Подставив найденные значения функций в8 (г) в первые / условий (32),

получим

2(г—1—8

- Т т8—3/2 ¿т }(1 - <1—8в0 {ат) ¿а

" 2 (к—^(к—/2) + + Vй,',

^0,... ,/- 1.

(34)

Отметим, что функция в^ (t) дана формулой (28).

Во втором случае при выполнении условий, аналогичных (12), (15), (17), (20), (22), (24) и (30), получим функцию e(t) по формуле (31) из искомого пространства Hp/2(0,T), удовлетворяющую условиям

ва) (0) = Ф^ (0), s = 0,1,... ,/ - 1, в0 (T) = 0.

Таким образом, доказаны

Теорема 1. Пусть р\,ръ G Hp, p = 2/ + % и |гвшр| ^ 1 при р G (-), |гзшр| > 1 нрир G (-П 0) U (П; п).

/

но решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3) из про-страиства:

1) HP'P^ если 0 < 7 < min{20,1 - 20};

2) Н'?/2, g = 2/ + min{20,1 - 20}, если min{20,1 - 20} < 7 < 1;

3) Hq Е'>/2) если 7 = min{20,1 - 20}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

Теорема 2. Пусть р\,ръ G Hp, p = 2/ + 7, п пусть р G (-п; -П) U (П; п) при |гвтр| р G (-п; -П) U (О; П) при |гвшр| > 1. Тогда /

одно решение уравнения (1) из пространства Hp'p/2, удовлетворяющее условиям (2), (3).

Замечание. Случаи ^^и^п были рассмотрены в работах [3,4]. При р = ±П имеем G = j^r, следовательно,

*(z) = (* - T)101 = Щ,

при 0 < r < 1 или x(z) = (z - T)i-01®r > 1. При этом, очевидно, мы находимся в условиях теоремы, аналогичной теореме 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Монахов В. Н., Попов С. В. Контактные задачи математической физики // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000. Вып. 115. С. 62-72.

2. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1991. Вып. 102. С. 100-113.

4. Пинигина П. Р., Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, № 1. С. 71-82.

5. Пинигина П. Р., Попов С. В. Гладкость решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные первого и второго порядков // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, № 1. С. 86-97.

6. Пинигина П. Р., Попов С. В. О параболических уравнениях с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, № 1. С. 72-83.

7. Солоннпков В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

8. Ладыженская О. А., Солоннпков В. А., Уральцева П. П. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

9. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.

10. Мусхелпшвплп П. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

г. Якутск

21 января 2005 г.