Разрешимость обратной задачи для эллиптико-параболического уравнения с интегральным условием переопределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ*)

А. В, Прокопьев

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой границей Г, 5 = Г х (О, Т), ф ^ цилиндр П х (О, Т), 0 < Т <+ те, а»Цх), г,] = 1,..., п, а(х, Ь), /(х, Ь), Н(х, Ь), К(х, Ь) — заданные функции, определенные при г ё П, 4 £ [О,Т].

В работе рассматривается эллиптико-параболическое уравнение вида

" д ••

Ьи = щ — > ——(а13(х)их.) + а(х, = /(ж,£) + дСЬ)Ых,Ь), (1)

дх» 0

п

Е а»чхе»е, , £ = (&,...,£") емп.

»¿=1

Обратная задача. Найти функции и(х, д(х), связанные в цилиндре ф уравнением (1) и такие, что для функции и(х, Ь) выполняются начальные и граничные условия:

и(х,0) = ио(х), х е 0; и|^ = О, а также интегральное условие переопределения:

¡щ^.п^о, <е[о,П

п

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект № 4402) и фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. (ГК № 02.740.11.0609).

© 2012 Прокопьев А. В.

Обратные задачи определения решения и неизвестной правой части для многомерных параболических уравнений рассматривались многими авторами [1-6].

Пусть пространство V — замыкание множества бесконечно дифференцируемых в ф функций у(х,г) таких, что у(х,г)= 0, по норме

1М|у = / {х,Ь) ¿х<И + I а3 х,г)юХ} (х,г)(1х(И

Я *,з=1

-н/Лм)^

Я

Введем понятие обобщенного решения рассматриваемой задачи для

функций и(х,г) е V, ^г) е ь2[о,т].

Определение. Функции и(х,г) е V, ^г) е ^[0, Т] называются обобщенным решением задачи (1)-(3), если выполнено интегральное равенство

/ ( щц + а3их,+ аи^ I ¿х& = / (/'Ц + дЬ'п) ¿х& Я ^ 31 ' Я

для любых гу € С°°(<Э) н = 0.

Введем некоторые необходимые обозначения:

/о (г) = J к(х,г)/(х,г) ¿х, Но(г) = J к(х,г)Н(х,г)г!х, п п

п д ■■

Ь0ь(х,г) = (хУ°х^х, г)) - а(х,гуи(х, г),

»3—1 ■

Ьо£у(х,г) = Ьоу(х,г) + еА.у,

М*) М*)

Н = тах / Н^(х.т) ¿х, НЕ = тах / $ _( х.т) ¿х,

Мг = Нттх ! К (У,Т) ¿У, Ме = Не птах ^ К (У, т) ¿У,

п ' п

М = Нтах / К2(у,т)ё.у, Ме = Не тах / К2{у,т)йу, п п

а\ = тах |а((ж,£)|,

Я

где 0 < е < £о, £о — малое число, «(х,Ь) — заданная функция и V = (V,..., V") — вектор внутренней нормали к Г в точке х.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

Цх,г) е с2(д), а(ж,г) е с^д), а^'(ж) е с2(Ц, г^ = 1,...,п,

К(х,г) € С1 (О), а(я,*) > а0 > 0, ^ а?'(х)^ >0, ж € Г; ^

К{х,г)|г = 0, |М*)I > ^>0, Ь е[0, Т]; (5)

(6)

а

! К{х,0)щ{х)<1х = 0, /(х,Ь) е Ь2 (0 ,Т;^2(П)). (7)

п

Тогда существует обобщенное решение и(х, Ь) е V, е ^[О, Т] задачи (1)-(3).

Доказательство. Рассмотрим уравнение

Ьи - еДи =/(х,Ь) + (8)

Умножим (8) на К(х, Ь) и проинтегрируем по области П. После несложных выкладок с учетом (3) и (5) получим

Ма

J К4(х,Ь)и(х,Ь) ¿х п

J К(х,Ь)Ьоеи(х, Ь) ¿х +/о(х) п

Подставляя полученное выражение для д£(г) в (8), имеем

д

(ж,£) — ——(а*-' (х)их - (ж, £)) + а(ж, ¿)м(ж, £) — еАм ^^ дх 0

1,3=1

/г(ж, /г(ж^)

кг( х, г)и(х, г) ¿х

к(х, г)Ьо еи(х, г) ¿х

. (9)

Пусть у(х,г) = Ьоеи(х,г). Применим оператор Ь£ к уравнению (9): Ь^ = «г(х,г) - Ь£«{х, г) + аг{х,г)и(х,г) = /£(х,г)

ьл д х,г)

J кг(х,г)и(х,г) ¿х + J к{х,гуи{х,г) ¿х п п

,

где

/£(х,г) = ь0£/(х,г) +

Положим «о£(х) = Ь£ио(х) и рассмотрим вспомогательную задачу: найти функцию у(х,г), являющуюся решением уравнения (10) и удовлетворяющую условиям:

«(х,0) = Уо£(х), х е О; у(х,г)= 0.

(П)

Имеет место разрешимость вспомогательной задачи при фиксированном е и выполнении условий теоремы в пространстве (ф) (см. [7,8]). Покажем выполнение равномерных по е априорных оценок.

Рассмотрим равенство г г

Ь£V ■ у{х, т) ¿x¿т = о п о п

/Дх,т) + Нг£(х,т)[ ! кт(у,т)и(у,т) ¿у п

к{у, ^^^^¿у

«(х,т) ¿,хс!т, (12)

где Ь — произвольное число из отрезка [0, Т]. Интегрируя почленно в левой части равенства (12), получим

1

V

/ V2 (х, Ь) ¿х + [ [ а3 (х^Хн (х, т^Х0 (х, т) <1х<1т о п =1

г 1 п

^ а(х,г^2 {х,т) ¿хйт + е J J ^""^ХДx,т)dxdт

»

/е(х, т)у(х, т) (1х<1т + — I Уд£(х) д,х

о п о п

г

о п

г г

■ J J аг{x,т)u(x,т)v(x,т) dxdт + ^ J Н\е(x,т)^J Кт(у, т)и{у, т) ¿у о п о п п

+ / К(у,т)'о(у,т) ¿у го(х,г) ¿хг!г.

Применяя в правой части полученного равенства неравенства Юнга и Гёльдера, имеем

1 Г 5

- / V

(х, Ь) ¿х + [ [ а3 ((х, (х, т) dxdт

» 3=1

г

(Ме + ^) - Ме ) / V2 (х, т) dxdт

а0 «5 + 1,

а

о П

нг н п нг н н

+ е J ! ¿хс1,т ^ ^ J ! /2(х,т) (1хс1т + — J у^Е(х)д,х.

»

е>

-(Ме + - Ме >0.

аа

а

Тогда из предыдущего неравенства с учетом (6) получим оценку

г п

«2{х,г) ¿х + J ! а?3 ((х, т)«х- (х, т) ¿xdт

■,3

г г п

У J«2(х,т)сШт+ е J J^2vХí(x,т)¿x¿т < м^у, (13)

о п

о п

где М£ зависит от е, ао, а±, щ(х), Н(х, г), /(х, г) и к(х, г).

Для следующей априорной оценки рассмотрим равенство

Ь£«^т(х, т) ¿x¿т = о п о п

/(х,г) + Нг4х,т)[ ! кг{y,т)u(y,т)¿y п

к{у, т)«(у, т)с!у

Vт (х,т) ¿,хс!т. (14)

Интегрируя по частям и используя неравенства Юнга и Гёльдера, получим

J ! у2(х,т)с1хс1т + — ! аР (х)уХн (ж, т)ух^ (х, т)

■,3

п г

^ J а{х,т)у2 {х,т)д,х |о + | J 'Но ^ (ж' т) 3,х3,т

о п

—[ [ у2(х,т) (1хс1т + — I I у2(х,т)(1х(1т

о п

т

о п

2М1 + 2^М2 [ [ 2

V" (х, т) ¿,хс!т.

о п

г

а

Из предыдущего неравенства с учетом (13) имеем оценку

1 п

J ! х,т) с!хс1т + ! а3((х^) ¿х + J v2{x,t)dx ''п

,, п

х,^с1х < М4е||/, (15)

о п а

где М^£ зависит от е,а(х,1),и$(х),Н(х,-Ь), /(х,~Ь) и К{х,Ь).

В силу малости £о числа Мз£,М±£ ограничены некоторым М, зависящим от тех же величин и функций, что и Мз£ и М4£, за исключением е.

Поскольку на самом деле функция ю(х,€) определяется также параметром е, из семейства {и£(х, ^} можно получить семейство функций {и£(х,£)} с помощью равенств

Ь0£и£(х^) = и£(х,^ = 0.

Тогда для семейства {и£(х,£)} в целом имеем оценку 1 1 п

J ! и£т (x,т)dxdт + J J а13 (х)и£Х¿(х,т)и£Х} (x,т)dxdт

О О. О О.

1 1 п

2(x,т)dxdт + е x,т)dx ^ М5, (16)

и£

о п

ММ Условие переопределения

J К(х,£)и£(x,t)dx = 0 (17)

п

для семейства {и£(х, ^} выполняется (см., например, [9]). Тогда для семейства {и£(х,~Ь)} в силу (17) выполняется равенство

и^(х^) - Ь0£и£ = /(х^) + д£(^Н(х^), (18)

где

1

qe{t) =

hQ(x)

j K(x,t)uet(x,t) dx — J K(x,t)Loeue(x,t) dx — fo(x) ~Q Q

Ум^^^ш (18) та пробную функцию n(x,t) и проинтегрируем по Q:

/ I Uet'n+E^^UexiVxi+^2 aljueXinx+ auE^ I dxdt = / {fn+q£hn) dxdt.

Q \ i=i л J Q

Из оценки (16) следует, что можно выбрать подпоследовательности |em} и {um(x,t)} такие, что при m ^ ж

£т ^ 0, um(x,t) ^ u(x,t), umt{x,t) ^ щ(x,t), alj (x)umXi(x,t) ^ alj (x)uXi{x, t) слабо в LziQ), £mumxi (x,t) ^ 0 слабо в L2{Q), qem(t) ^ q(t) слабо в L2 [0, T].

В пределе получим требуемое обобщенное решение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prilepko А. I, Orlovsky D. С., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 1999.

2. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Wichita: Springer-Verl., 2000.

3. Кожанов A. If. Задача определения решения и правой части специального вида в параболическом уравнении // Обратные задачи и информационные технологии. Югорск. ин-т информационных технологий. 2002. Т. 1, № 3. С. 13—41.

4. Belov Yu Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inverse Ill-posed Probl. 1993. V. 1, N 4. P. 283-305.

5. Belov Yu Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

6. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. L'viv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10.)

7. Кожанов A. If. Нелокальная но времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

8. Kozhanov А. I, SaSullova R. R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations //J. Inverse Ill-posed Probl. 2010. V. 18, N 1. P. 1-24.

9. Павлов С. С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 81-93.

г.Якутск

10 февраля 2012 г.