Линейная Обратная задача для эллиптико-параболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ*)

А. В, Прокопьев

Целью настоящей работы является исследование разрешимости некоторых линейных обратных задач для эллиптико-параболического уравнения. Под обратной задачей здесь понимается задача, в которой вместе с решением дифференциального уравнения неизвестным является тот или иной коэффициент самого уравнения или(и) свободный член уравнения (внешнее воздействие). Подобные обратные задачи достаточно хорошо изучены для параболических уравнений [1-8], но не для эллиптико-параболических уравнений.

Перейдем к содержательной части работы.

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой границей Г, Б = Г х (0,Т), д ^ цилиндр о х (0,Т), 0 < Т < + те, ¿1,..., Ьт — заданные точки из от резка [О, Т] такие, что 0 < < ■ ■ ■ < Ьт < Т, аг° (х), г^ = 1,. .. ,п, а(х), /(х,Ь), Нк( х,Ь), к = 0,. .., ш, 7(Ь) — заданные функции, определенные при х (Е О, Ь (Е [О, Т] соответственно.

В работе рассматривается уравнение эллиптико-параболического типа:

" д т щ ~ ^(агЧх)иХз) + а(х)и = /(х,г) + ^дк(х)]гк(х,г), (1) ¿,,7=1 г к=1

*) Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^2011 гг.)», per. номер проекта 2.1.1/13607, и гранта Министерства образования и науки Российской Федерации, № 02-740.11.0609.

© 2011 Прокопьев А. В.

¿,5=1

Обратная задача I. Найти функции м(ж, Цк{х), к = 1, то, связанные в цилиндре ф уравнением (1) н такие, что для и(ж, выполняются начальные и граничные условия:

и(ж,0)=0, х е 0; и|я = 0, (2)

а также условия переопределения:

м(ж,^-) = 0, ¿ = \,т. (3)

Обратная задача II. Найти функции и(ж,£) н я(ж), связанные в цилиндре ф уравнением

п д ••

щ ~ (х)иХз) + а(х)и =/(х,г) + д(х)1г(х,г), (1')

¿,¿=1 ®

такие, что для и (ж, £) выполняются начальные н граничные условия (2), а также условие переопределения: т

! ^{-Ь)п{ж,-Ь)<й = $, ж еП. (3')

о

Введем пространство V — замыкание бесконечно дифференцируемых в ф функций «(ж, £) таких, что «(ж, = 0, по норме

= I (ж,£)СжсИ + J а®5«¡^+ J «2(ж, .

Введем понятие обобщенного решения рассматриваемой задачи для

функций м(ж, £) (Е У, (/¿¡(ж) (Е ¿2(0), /г = 1,то.

Определение. Функции м(ж,г) е У, <з%(ж) е Ь2{Щ, к = 1, то, называются обобщенным решением задачи (1)-(3), если

/ I и^ + ^ а®5аиц\ ¿жЛ = / I /п + ^ Як^кП I dжdt

/ V ¿,¿=1 / / V к=1 /

П

для любой г/ g C°°(Q), t]\s = 0.

Введем некоторые необходимые обозначения. Для простоты рассмотрим случай m = 2 (случай m > 2 отличается от случая m = 2 лишь более громоздкими выкладками). Обозначим

U(x\- f hi(x,ti) Ь2(х,Ь)\

h(x,t) = ^ ^-[hlt(x,t)h2(x,t2) - h2t(x,t)h1(x,t2)],

k2(x,t) = - * jj[hit(x,t)h2(x,t1) - h2t(x,t)h1(x,t1)], a (x) = -hi(x,0)h2(x, t2) + h2(x,0)hi (x, t2), a(x) = h\ (x,0)h2(x, t\) — h2(x,0)hi (x, ti), a0(x) = ai(x)f(x, ti) + a2(x)f(x, t2) + f(x,0), a= max |аДж)|, /3= _ max _\a.iX.(x)\,

xEO,i=l,2 xeQ,i=l,2;j=l,n °

У^ aij(x)akxi{x)a.kxj (x) v = (v±,... ,vn) — вектор внутренней нормали к границе Г.

Mq = _max |kj(x,t)|, а= max

<2,¿=i,2 ®efi,fc=i,2

Теорема 1. Пусть выполняются условия

h1(x,t),h2(x,t) g C2(Q), a(x) g с^п), o^(x) gc2(q), ¿j = l,...,n,

n

0 < ao ^ ^ аЬ ^^ ix)viVj > 0, x G Г;

i,j=1

(4)

с^ Н(х) ф 0, ж с О; (5)

9 МТ

+ а2< «о|г = 0; (6)

а

f(x,t),ft(x,t) С ¿2^), f(x,t1),f(x,t2),f(x,0) € ^|(П). (7)

Тогда существует обобщенное решение u(x,t),ql(x),q2(x) задачи (1)-(3) такое, что щ(x,t) € У, ql(x)€ Ь2(П).

Доказательство. Вначале выполним некоторые вспомогательные построения. Положив в уравнении (1) сначала £ = ¿1, затем Ь = Ь2, получим систему

щ(ж,^) = /(ж,^) + Як{ж)Нк{ж,^),

¿=1

2

щ(ж,г2) = /(ж,г2)+ Чк{ж)Нк{ж,12).

¿

Отсюда (вследствие условия (5))

Я1(ж) = 9ю(ж) + Яп(ж)и4(ж, ¿1) + Я12(ж)и4(ж, ¿2), д2(ж) = Я2о(ж) + Я21(ж)и4(ж, ¿1) + Я2г(ж)и4(ж,¿2),

где

*»(*) = + /(ж, ¿2)^2(^1)],

920(ж) = - /(ж, ¿2)^1(^1)],

®1(г) = ~¿¡¿ПГ' д22{х) = ^ПГ-

Обозначим т = щ. Продифференцировав по переменной £ уравнение (1), получим

п д ■■

¿,¿=1- ® Имеет место равенство

т(ж,0) = а(ж)т(ж,£1) + а2(ж)т(ж,12) + ад (ж).

Обозначим

_ , \ а(ж)

го0(х) =

1 — а (ж) — а (ж)

Тогда для функции г>(ж,£) = го(ж, £) — и>о(ж) выполняется равенство «(ж, 0) = а(ж)-у(ж, ¿1) + а2(ж)у(ж,12), а также уравнение

п д ••

- —(аг:3(х)ьх^ + а(х)ь(х,г)

. . dxi

= f(x,t)+ k\{x,t)v{x,t\) + k2{x,t)v{x,t2),

где f(x,t) = ft(x,t) + q10(x)hlt(x,t) + q2o(x)h2t(x,t) + J2 wk;i0-*3w0xAx))

i,j= 1

— a(x)wo(x).

Воспользуемся методом регуляризации. Пусть Le — оператор, действие которого определяется равенством

Lev = Lv — ekv, е > 0. (8)

Рассмотрим вспомогательную задачу: найти функцию v(x,t), являющуюся решением уравнения

Lev = f(x,t) + k\{x,t)v{x,t\) + k2{x,t)v{x,t2) (9)

и удовлетворяющую условиям

v(x,0) = ai(x)v(x,ti) + a2(x)v(x,t2), x € П; v(x,t)|S = 0. (10)

При выполнении условий теоремы вспомогательная задача разрешима при фиксированном е в пространстве (Q) (см. [4,5]). Пока-

е

оцепки.

Нам понадобится следующее

Утверждение. Для неотрицательной на отрезке [0, T] функции

m

g(t) и неотрицательных чисел а,..., am, в таких, что ak < 1> из

k=1

неравенства

m

g{t) ^Y, ak g(tk)+ в, 0<h<t2< ••• <tm < T, t e[0 ,T], (11) k

вытекает оценка

М < -1—. (12)

1-2 ак

к

Рассмотрим равенство г г

/ / ^ ЛЫТ = 1 Т) + ^ ^ ^ + к ^ ^ ^ о п о п

где Ь — произвольное число из отрезка [О, Т]. Интегрируя, получим

г г - г

— / у2^, т) dx

п

аdxdт+ / ^x)v2{x,т) dxdт

0 о п ¿'7=1 о п

г _ г

£ x,т)dxdт= / f(x,т)dxdт

О П ¿-1 о п

г

JJыx,t)V(x,h)+ыx,t)V(x,t2)}dxdт.

о п

Имеет место неравенство

— J v2(x,G)d,x ^ а J V2 (x,tl ) dx + а2 J v2(x,t^d,x. п п п

Используя его, условие (4) и неравенство Юнга, получим

1 г "

— / vv2(x,t)dx+ а®7 dxdт

а о п ¿л-1

г

£2

1 I I (x т\ dxdт 4~ £ I I \ ^

—^--—J ! ъ2(х, г) (1х<1т + £ J ! У^г>2Дж,т) ¿¿сс^т

о п о п ¿=1

г 2 9

б2 /(ж, г) ¿¿Ыт + УЗ ( а2 + ° ) / у2(х,гк)йх. (13)

кк к

Положим ¿о = ч/а®, ¿1 = ¿2 = • Тогда при выполнении условия < ^ получим, что неравенство (13) есть неравенство типа

2 . 2 МТ

а0 ' 4

(11). Оценка (12) приводит к оценке

j + j j ^^ а®5¿жСт + j j у2(ж,т)СжСт

п о п ¿¿=1 о п

^£JJ УХА ж,т) ¿жСт ^ ^^У j /2{ж,Ь)Сж&, (14)

¿

где £ е [0, Т], постоянная М зависит лишь от чисел сщ, а, Мд. На следующем шаге рассмотрим равенство г г

ЬеУ-Ут СжСт = J J[f(ж,т) + kl(ж,т)v(ж,tl) о п о п

+ ж, т)«(ж, ¿жСт.

Интегрируя по частям и используя неравенство Юнга, получим г

J J ^¿т+^ У ^х

о п

¿,¿=1

о

— J а(ж)«2 (ж,т) ¿ж п

о

¿

г 9 г г

^ — / / г;2 <],жс1,т Н--/ / /2 (х, г) <],ж<],т

о 2^5 7 7

о п о п

~~2 J J ут ^жйт о п

М2^ 2(5?

г;2 (ж, ¿1) ¿ж + I I V* <1ж<1т

о П

Аф2 2 <Й

«2(ж,¿2) ¿ж.

Имеем

«х,(ж, 0) = а х, + аl(ж)vx¿(ж,tl)

+ а х,( ж)«(ж,¿2) + а2{ж)«х,{ ж,¿2),

г

vXi(x,0) = а±х. (x)vJ(x,tl) + аxi(x)v~(x,t2) + аl(x)vXi{x,tl) + а^^Х. + 2ахЛx)а1(x)v(x,t1)vxí(x,t1) + 2а{x)v{x,tl)v{x,t^ + 2аXi{x)а2{x)v{x,tl)vXi{x,t2) + 2аl(x)а2 ХД x)vХi{ x,t\)v{x,t^ + 2а\{x)а2(x)vХi( x,t\)vХi{ x,t2)

+ 2а Хi{x)а2{x)v(x,t2)vХi(x,t2).

Справедливы следующие неравенства:

/ ^ ^о) ^ ^ а1аЧ ^ ^ Ь1)<ь+а1аЧ * ^^

/и

УЗ а®7Vxi{x,Q^)Vxj ^,0) dx

П ¿'7=1

< а

2 и3 , и6

5а 5а 3

2 2

УЗ а®7 VxДx,t1)vxj (x,t1)dx

П ¿'!=1

+ ^ + / £ а^уХ1{хМУох,{хМ)<1х

; а ¿'7=1

+ М2{а, 53,5^,55,5$) ! dx

к

. " Г ^ "

■ ¿х ^ - а2 (2 + 52 + 5д) / у2х. {х, ¿1) ¿х

п ¿=1 ^ п ¿=1

и

+ а2(2 + 51 + 510) |^2vХí(x,t2)dx а ¿=1 * 1

+ М3(в,57,5$,59,51 о,е) ^3 v2{x,tk) dx.

" 7-,_1

Получим

_ ¿0 + 5\ + $2

'. с1хс1т + — / ^^ «^'^(ж^)?;^. (ж,£) с1х

о п

¿,¿=1

£ ( П

а(ж)-у2(ж,£) (1х + — / (ж, (1х

< а

2/ , ^6,3 2 2 2

„2/'^4 , , 3 2 2 2

У а¿j (ж,^)Сж

п ¿¿=1

/п

У^ a¿j«хДж, ¿2) ¿ж

п ¿¿=1

/п

«хДж, ¿ж

¿

/п

^^«хдж, ¿2) ¿ж

¿

в.

Вследствие оценки (12) для малых ^ при выполнении условия

п

6а2 < 1 получим ограниченность величины ^ ^ a¿jж, {ж,£)<1ж,

п ¿,¿=1

п

а при < 1 — ограниченность / ^ «х.(ж,Ь) ¿ж. Отсюда

п ¿=1 *

г п

/ / «Т ¿ж¿т + / a¿j(ж,^ ¿ж

¿,¿=1

п т

ж,^ж ^ М4 У У /2 (ж,~Ь) ¿,жА. (15)

о п

Суммируя оценки (14), (15), получаем, что для решений нашей задачи

выполняется неравенство

г г

v

dxdт + j j vT dxdт + £ j j У^ v2Xi dxdт о п о п о п ¿=1

г и

+ // ¿а®7' vxi vxj dxdт < М ||/, (16) о П ¿'7=1

где М зависит от ад, ах, а, а, в, Мд.

Из (16) следует аналогичное соотношение для

dxdт+ —Т dxdт + £ У^ wX¿ dxdт

г г

II'>

о п о п о п ¿—1

г и

+ JJ ^3 а®7 wXj dxdт < М6. (17) о п i'j=1

Поскольку на самом деле функция w(x,t) определяется также параметром £, го семейства {—е(x,t)} можно получить семейство функций {ие(x,t)} с помощью равенств

ueг(x,t) = WF(x,t), ие^, 0) = 0.

Далее, имеем

г г г

е

О п О п

г

и2е dxdт+ иет dxdт + £ У^ ^^ dxdт

и

УЗ а®7UеxiUеxj dxdт < М7. (18)

о п

В целом получаем оценку

г г г

и?Е dxdт + J J иет dxdт + J J и2етт dxdт

о п о п о п

г _ г

£ 53 и^ dxdт + £ и^ dxdт

О П «=1 О П «=1

г г

ии

а®7 Uеxi Uеxj dxdт + 53 а®7 UеxiтUеxjт dxdт < М8. (19)

о п ¿-7'=1 О П ¿'7'=1

Интегрируя вспомогательное уравнение от 0 до Ь и учитывая условие ие(x, 0) = 0, получим

" д ••

ие^х,г) - еАие(х,г) - 53 т—(а1Чх)иех^х,^)

- - б^г

»,7=1

+ аx,t) — f(x,t) — ^{¿с^^хе( ^ — е( x)

= иег^О) — /^О) — 0^1 е^) — (20)

где

^4^^ + X,tl) + ^(^иеДX,t2),

®Л^^ + q2l{x)uег{X,t1) + q22(x)Uег(X,t2).

Правая часть (20) равна

иег( x, 0) — о) — е( ^ — 4 x)

= x, 0) — f(x, 0) — е(x) — 4x)

= а^)—^x, Ь1) + а^^чл^^x,t^ + аo(x)

— Д^О) — ММ^4x) — ММ)®е(^ = о. (21)

Отсюда

и д ••

ие1 - еАме - 53 т—(а1Чх)иех^ + а(х)ие - - дxi «,7=1

= f(x,t) + h1(x,t)q1 е(^^ h2{x,t)q2е((22)

Подставляя £ = и £ = ¿2 в (22), получим уравнения дж

п д ••

—еАие - ——(а1:>(х)иеХ:!(х,г 1)) + а(ж)ме(ж, ¿1) = О,

¿,¿=1 п д ••

—еАие - ^2 (Х)иехз (х, ¿2)) + а(ж)ме(ж, ¿2) = О,

¿,¿=1 ¿

которые являются эллиптическими. В силу того, что а{ж) ^ ао > О и пе(ж,^) = пе(ж, ¿2) = 0 при ж е Г, получаем, что пе(ж,¿¿) = 0 при ж е О, г = 1, 2.

Умножаем (22) на пробную функцию ^{ж, ¿) и интегрируем по Q:

// п п \

I пегП + £ 53 М£х,Пх, + 53 a¿jиех,Пх, + апеп I ¿жЖ д V ¿=1 ¿,¿=1 /

= / I /п + 53 ^кИ ¿жен.

д V к=1 /

Из оценки (19) следует, что можно выбрать подпоследовательности |ет} и |пт(ж,£)} такие, что при т ^ то

£т ^

пт{ж, ¿) ^ п(ж, ¿), мтг(ж, ¿) ^ щ(ж, ¿),

(ж,г) ^ а4Пх,{ж, ¿) слабо в

птг{ж, ¿к) ^ щ(ж, ¿к), ^ = ^ ^або в

(ж,£) ^ 0 слабо в

В пределе получим нужное нам обобщенное решение. Теорема 1 доказана.

Перейдем к обратной задаче II. Введем обозначения:

т т т

/о(ж) = У ^{^/{ж^А, На{ж) = У ч(г)Н(ж,£) ¿¿, 7о = У(7'(¿))2 ¿¿,

hi(x,t) = ' } , Н = maxhf(x,t), ao = mma(x) rio(x) q n

k =

HT(1 + a0)

a0

T

ф,.) = 1{ТНх,Т) -J 7'(t)v{x,t)dt,

где v(x,t) — заданная функция.

Теорема 2. Пусть выполняются условия к{х,г)£С1{П), а(ж)еС1(П), а^(х) € С2(П), г^=1,...,п,

и

ао > 0, а»7(x)vivj > 0, ж е Г; (23)

¿,7=1

а0 + 1 — 4ЛУ > О, а0 — 4> 0; (24)

f(x,t) е (25)

Тогда существует обобщенное решение и^^) е V, ^^ е ¿г(^) задачи

(!'), (2)" (30- *

Доказательство. Умножим (1') на ^Ь) и проинтегрируем по отрезку [0, Т]. После несложных выкладок можем вычислить q{x)■.

т

7(Т)u(x, Т) — J 7'{t)u{x,t) dt — /О^

^х) =

ho(x)

1 / ч /о (ж) -<р{х,и) -

h0(x)rv~'"v h0(x)' Подставив выражение для q(x) в уравненне (1'), получим n д ••

Ut(x,t) — У ——(aiJ (x)ux.(x,t)) + a(x)u(x,t) = f(x,t) + hi(x,t)ip(x,u), dxi j

»,j=i

где f(x,t) = f(x,t) - hi(x)/0(x).

Воспользуемся методом регуляризации, как и в предыдущей задаче. Пусть £ — положительное число. Рассмотрим вспомогательную задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся решением уравнения

Leu = f(x,t) + h\{x,t)ip{x,u)

и удовлетворяющую условиям

u(x,0) = 0, х £ П; и{х,Ь)= О.

При выполнении условий теоремы вспомогательная задача разрешима при фиксированном е в пространстве (см. [4,5]). Покажем,

что для этих решений имеют место равномерные по е априорные оценки.

Рассмотрим равенство т т

LEu•udxdт = J J[f(x,t) + hl(x,t)<p(x,u)]udxdт. (26) о п о п

Интегрируя, получим

т т п т

/ и^, £) dx +

п

а®'их.иХ} dxdt + j j <кс<М,

0 о п о п

т „ т

е ^2uХi(x,t)dxdt= / f(x,t)u(x,t)dxdt

О П о п

т

//МММ^ММ)^.

о п

Используя неравенство Юнга, начальное условие (2) и условия теоремы, приходим к неравенству

— J u2{x,T) dx + е J x,t)dxdt + J ^^ а®'ux¿uХj

+ ад [ и2 (х,Ь) dxdt ^ / и2 (х,Ь) dxdt --[ /2(ж, £) с1хА

7 2 7 2о{ 7

<3 <3 <3

52 С НТ С

Н—- м2(ж,£) dxdt Н--/ tp2(x,u)dx, (27)

2 7 2^2 7

<

в котором ¿1 и ¿2 — произвольные положительные числа.

На следующем шаге рассмотрим равенство т т

Leu•ut dxdt = j j [f(x,t) + hl{x,t)^p{x,u)~\ut dxdt. (28) о п о п

Интегрируя по частям, используя неравенство Юнга и условия теоремы, получим неравенство

J и2 с1х<М + — J Т)иХ} (ж, Т) <],х + J и2(х,Т)с1х

3 п ®3=1 п

+ — [ У^ЦдДж, Г) (1х ^ [ и2 ¿хсИ + —^ [ $2(х,1)<1х(И

г=1

о

4 ' м? (1х(Ы,

Щ-

<3

[ (р2(х,и) ¿х, (29) 2о; ./

<

в котором ¿з и ¿4 — произвольные положительные числа. Сумма (27) и (29) даст неравенство

«о + 1 [ 2, ти . ( + ¿2

—-— и (ж, 1) <1х + а0---—

1

u2{x, £) dxdt

/и ,, и

а®'гахХx,T)uxj(

1 -

а 31

¿з + 64 2

1 1

г,3=1

' (1х(М + е / ^^ (1х(М + — / ^^ (ж, Т) йх

<

<

^ ( 7ГТ2 + ТГГ2 ) J f2(x,t)dxdt+ + ^^ J ^fi2(x,u)dx. (30) <

¿¿

Далее,

п п \о /

^2 72(Т) J U(x,T)dx + 2^J u2(x,t)dxdt. (31)

ХХ

Положим = = и = = Тогда из неравенства (30) и оценки (31) получим

0 --——-—- J и2(х, Т) (1х Н—^—-—— J и2 (х, £) сЬсА

п Q

1 Г и г " 2

/10 п / Ь

аг:'ихЛх,Т)их^х,Т)(1х+ /53" ^¡"ч^т^ I

П ¿7=1 Q ¿7=1

/и £ С и а 1

£ У ^ °а Н/Нмз)- (32)

¿,7 = 1 Q ¿'7'=1 Q

Q ¿=1 п

Поскольку па самом деле функция и^^) определяется также параметром £, для семейства {ие(x,t)} в целом имеем оценку:

J и2(х,Т) (1х + J и2 (ж, ¿) ¿Х(М + — J 53 ^ иехн(х,Т)иЕх^(х,Т) ¿X

П Q П ¿'7'=1

/и л л и

53 а7 ие^ uеXj dxdt + / иег dxdt + £ / dxdt

Q ¿'7=1 Q Q ¿=1

~ и

+ £JY;U2еxA X,Т)dx < N НУ Ц^ . (33)

¿

Умножив вспомогательное уравнение на 7^) и проинтегрировав его по отрезку [0, Т], с учетом условия ие(x, 0) = 0 получим

(Т \ и д ( (Т ^

— еА I / 7(г)ие(х,г)сМ - 53 — а^'(ж) / 7(¿)ме(ж, ¿) сЙ \о / ¿7=1 Xi \ \о У

т

+ а^) J Y(t)uе(x,t)dt = 0. (34) о

т

Обозначим X = / 7^)ие(x,t)dt. Тогда (34) перепишется в виде: о

и д ••

-еА/ле - 53 (х)Иех^ + а(х)/ле = 0. (35)

¿7=1 i

Это уравнение является эллиптическим. В силу того, что a(x) ^ а® > О и x) = 0, x £ Г, получаем, что x) = 0 при x £ ft.

Дальнейшие рассуждения аналогичны выполненным при доказательстве теоремы 1.

Теорема 2 доказана.

Замечание. Исходное уравнение (1) может иметь и более общий вид, например,такой:

n d n

щ ~ 53 -Q^r(atj(Х)их1)+ ^/btuXi(x,t) + a(x,t)u i,j= 1 i i=l

m

= f(x,t) + ^2qk( x)hk{ x,t) k=l

с условием переопределения (3) или

n d n

ut — } ——(al3(x)ux.) + У Ьгих.(х,Ь) + a(x,t)u = f(x,t) + q(x)h(x,t)

dxi »

i,j=1 i=l

с условием переопределения (3').

ЛИТЕРАТУРА

1. Prilepko А. L, Orlovskv D. С., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.

2. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer Sci., 2006. (Appl. Math. Sci., V. 127.)

3. Кожанов A. If. Задача определения решения и правой части специального вида в параболическом уравнении // Обратные задачи и информационные технологии. Югорский институт информационных технологий, 2002. Т. 1, №3. С. 13-41.

4. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

5. Kozbanov А. I, Safuillova R. R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations //J. Inverse Ill-posed Probl. 2010. V. 18, N 1. P. 1-24.

6. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inverse Ill-posed Probl. 1993. V. 1, N 4. P. 283-305.

7. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

8. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: vntl Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; Vol. 10.)

г. Якутск

20 июня 2011 г.