РАЗРЕШИМОСТЬ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

РАЗРЕШИМОСТЬ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С. В. Путилов

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

Доказываются следующие теоремы: 1) Если в конечной группе О только два класса неквазисубнор-мальных ненильпотентных максимальных подгрупп и их индексы равны степеням простых чисел, то О разрешима; 2) Если в конечной ^^-группе О все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы д-нильпотентны, имеют индексы взаимно простые с q и ^-замкнутые коммутанты, то G разрешима или д-нильпотентна; 3) Пусть в конечной группе О существует неквазисубнор-мальная нильпотентная максимальная подгруппа. Если в О все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы четного индекса одного порядка, то О разрешима. Ключевые слова: конечная группа, квазисубнормальная подгруппа, максимальная подгруппа, индекс подгруппы, разрешимая группа.

Введение

Рассматриваются только конечные группы. Используемые терминология и обозначения стандартны и соответствуют [ 1].

Исследование конечных групп с определенными индексами заданных подгрупп всегда было и в настоящее время остаётся актуальным, что видно из [2-4]. По О. Кегелю [5] подгруппу Н группы О называют квазисубнормальной, если Н п Ор = Нр для любого

р е л(О) и каждой силовской р -подгруппы Ор из О . Очевидно, что нормальная подгруппа является квазисубнормальной. Поэтому можно требовать, чтобы теоретико-групповые условия, которые задавались для тех или иных ненормальных подгрупп выполнялись для определенных неквазисубнормальных подгрупп. В этом направлении здесь получены обобщения некоторых результатов автора из [6-7].

1. Необходимые обозначения, определения и вспомогательные результаты

Под классом подгрупп группы О будем понимать класс сопряженных подгрупп. Простые числа обозначаются буквами р, q, г. Пусть О - конечная группа, А - подгруппа группы

О. Тогда |О| - порядок группы О; |О: А| - индекс А в О; N0(А) - нормализатор А в О. Далее Ор - силовская р -подгруппа группы О, Ор' - дополнение к силовской р -подгруппе в группе О, т. е. р' -холлова подгруппа группы О . Группу О называют рё -группой, если порядок О делится на р; р -замкнутой, если Ор нормальна в О ; р -нильпотентной, если Ор' нормальна в О ; р -разложимой, если Ор и Ор > нормальны в О; N < О - N является нормальной подгруппой группы О; 8у!р (О) - множество всех силовских ^-подгрупп в О; О= [А]В - полупрямое произведение подгруппы А на подгруппу В группы О, т.е. О = АВ, А <О, А пВ =1;Мо - ядро подгруппы М в О, т.е. пересечения всех подгрупп группы О, сопряженных с М; £(О) - наибольшая нормальная разрешимая подгруппа группы О; А8 -подгруппа, сопряженная с подгруппой А элементом g Е О; 8п - симметрическая группа на п символах; АШ(О) - группа автоморфизмов группы О ; л (О) - множество всех простых чисел, делящих порядок О; AгB - сплетение групп А и В; А х В - прямое произведение подгрупп А и В; [А, В] - взаимный коммутант подгрупп А и В; □ - знак окончания доказательства.

Лемма 1. [8, теорема 2.2.4] Пусть Р- силовская р -подгруппа группы О и М - ненормальная максимальная подгруппа в О. Если отношение |М| = |Р| х т, т > 1, влечет квази-субнормальность подгруппы М в О, то Р нормальна в О.

Лемма 2. [1, теорема 1.8.8] Если |О| = ра, для простого числар, и А а О, то А а N0 (А).

Лемма 3. [1, теорема 1У.7.4] Пусть Н - максимальная подгруппа группы О. Если Н нильпотентна и силовская 2-подгруппа из Нметабелева, то О разрешима.

Лемма 4. Условие квазисубнормальности для подгрупп группы О наследуется её эпи-морфными образами.

Доказательство. Пусть А - квазисубнормальная подгруппа группы О, N < О и N а А. Тогда А = А / N и Ор = Ор N / N - эпиморфные образы соответственно подгрупп А и Ор в

эпиморфном образе О = О /N группы О. Так как А П Ор = (А / N П (ОрN/N = (АП( Ор N ))

/ N = (АП Ор / N = Ар N / N = Ар, то А = А / N является квазисубнормальной подгруппой

в О. □

Лемма 5. Если в группе О только один класс неквазисубнормальных максимальных подгрупп, то О разрешима.

Доказательство. Пусть подгруппа А - представитель класса неквазисубнормальных максимальных подгрупп группы О и N = Ор не включается в А. Тогда по лемме 1 подгруппа

N < О, а фактор-группа О /N нильпотентна, откуда следует разрешимость О. □

Лемма 6. Если в группе О каждая неквазисубнормальная максимальная подгруппа нильпотентна, то О разрешима.

Доказательство. Пусть лемма неверна и О - контрпример минимального порядка. Если А - нильпотентная максимальная подгруппа группы О и| А| - число нечетное, то по

лемме 3 О разрешима. Значит, |А| - число четное. Пусть простое число р делит |О : А|. Если

Ар отлична от единичной подгруппы, то по лемме 2 подгруппа N = Ар <\С. Тогда по лемме 4

по индукции О / N разрешима, что влечет разрешимость О. Поэтому Ар =1 и подгруппа А,

как нормализатор силовской 2-подгруппы группы О, является представителем единственного класса нильпотентных максимальных подгрупп группы О. Тогда по лемме 5 группа О разрешима. □

Лемма 7. [8, теорема 2] Если в конечной группе О все неквазисубнормальные нениль-потентные максимальные подгруппы имеют один и тот же порядок, то О разрешима.

Лемма 8. [8, теорема 1] Если в pd -группе О любая максимальная подгруппа квази-субнормальна или р -разложима, то группа О разрешима или р -нильпотентна.

Лемма 9. [8, теорема 3] Пусть Б - 2-разложимая максимальная подгруппа конечной группы О и Б2 е Бу12 (О). Если неквазисубнормальные 2-неразложимые максимальные подгруппы в О имеют примарные индексы, то О разрешима.

Лемма 10. [9, замечание к Т.1] Только в изоморфных простых группах Ъ^^Г)и /^(2) максимальные подгруппы имеют индексы, равные степеням различных простых чисел.

Лемма 11. [1, теорема 1.18.1] Пусть N - нормальная подгруппа конечной группы О. Если порядки N и О /N взаимно простые, то в О существует дополнение к N.

Лемма 12. [1, теорема 1У.2.6] Если силовская р-подгруппа группы О включается в центр своего нормализатора в группе G, то G р -нильпотентна.

Лемма 13. [8, лемма 12] Пусть М = М2 х- 2 -разложимая максимальная 2d -подгруппа неразрешимой группы О. Если Б (О) = 1, то М = О2.

2. Доказательство основных результатов

Теорема 1. Если в конечной группе О только два класса неквазисубнормальных ненильпо-тентных максимальных подгрупп и их индексы равны степеням простых чисел, то О разрешима.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна и группа О - контрпример минимального порядка. Обозначим через F неквазисунормальную нильпотентную максимальную подгруппу в О, и пусть простое число р делит порядок F. Предположим, что силов-ская р-подгруппа ¥р из ¥ нормальна в О. Если в 0/¥р два класса неквазисубнормальных не-

нильпотентных максимальных подгрупп, то по индукции разрешима. Пусть в -

один класс неквазисубнормальных ненильпотентных максимальных подгрупп. Тогда по лемме 7 группа 0^р разрешима. Ясно, что в обоих случаях группа О разрешима. Поэтому

N0^ ) = F и Fp е Бу1р(О), т.е. ¥ - холлова подгруппа. По лемме 3 подгруппа F будет 2ё-

группой. Допустим, что в О все неквазисубнормальные максимальные подгруппы 2-разложимы. Тогда группа О разрешима по лемме 8. Поэтому в О есть неквазисубнормальные 2-неразложимые максимальные подгруппы. Тогда по лемме 9 группа О разрешима. Следовательно, в О нет неквазисубнормальных нильпотентных максимальных подгрупп.

Пусть О - простая группа и М и К - представители соответственно первого и второго классов неквазисубнормальных максимальных подгрупп в группе О. Если простое число р делит индексы подгрупп Ми К, то по лемме 1 (О ) = О, что противоречиво. Значит,

(0 : М, 0 : К) = 1 и О=МК. Тогда по лемме 10 группа О изоморфна 1/>(7), что невозможно, поскольку в ¿2(7) три класса максимальных подгрупп примарных индексов.

Пусть N - минимальная нормальная подгруппа в О. Тогда в О/N может быть или один класс неквазисубнормальных максимальных подгрупп, или два. В первом случае 0/N разрешима по лемме 5, а во втором случае 0/N разрешима по индукции. Поэтому N - единственная минимальная нормальная подгруппа в О и N неразрешима.

ПустьМа ф1 и Ка ф1. По лемме Фраттини О = N ■ ^ (Np ), где N - силовская р-

подгруппа из N для р из л^). Так как 0р — N (N), то по лемме 1 N0 (Np ) не может содержаться в квазисубнормальной максимальной подгруппе группы О. Допустив включение N0 (N ) в К или в М, получим противоречивое равенство О=К или О=М. Пусть Ка ф 1, а

Ма = 1 и 0 :М = ра для р из л(О). Так как подгруппа N не содержится в М, то О = МЫ. Поэтому (N ) не включается в подгруппу М. Допустив, что N(5 (N ) включается в К, получим противоречивое равенство О=К. Поэтому О = (N ), что противоречиво. Значит, Мс = 1 и Ка = 1. Если простое число р делит индексы подгрупп Ми К, то по лемме1 N0 (О ) = О, что противоречиво. Значит, (|О : М|, |0 : К|) = 1 и О=МК.

Так как N = N х N х...х N, где N - изоморфные простые группы для / = 1,2,..., к, и N не включается в М и К, то среди прямых сомножителей в N найдутся, по крайней мере, два таких N и N ■, I ф ], что N не содержится в М, а N. не содержится в К. Ясно, что

N : М п N | и N : К п N | будут степенями некоторых различных простых чисел р и д. Поскольку N изоморфна N., то в N существуют максимальные подгруппы примарных взаимно простых индексов. Тогда по лемме 10 N изоморфна !/>(7) .

Пусть ИСаN) С N«3(N) , для I = 1,2,.,к . Поскольку АШ(И1) = Р0Ц2,7) , то |Aмt(Nг) : N¿1 = 2 . Поэтому в N существует силовская 2-подгруппа Р такая, что в Ка(Р) со-

держится элемент f, индуцирующий внешний автоморфизм на подгруппе N . Так как в О нет разрешимых нормальных подгрупп, то Мс (Р) содержится в некоторой неквазисубнормаль-ной максимальной подгруппе из О. Без ограничения общности можно считать, что N5 (Р) ^ К. Очевидно, что элемент f нормализует К о N . Поскольку в N нет подгрупп порядка 56, то N о К может быть или 84, или силовской 2-подгруппой из N. Так как подгруппа 84 самонормализуема в РОЬ(2, 7), то N о К является силовской 2-подгруппой из N . Тогда N1 : N о К| = 21, что противоречиво. Следовательно, Ма(^) = N£0) .

Так как Са (К) = 1, то группа О будет изоморфна некоторой подгруппе из группы Аы1(Ы) = РОЪ(2,7)г8к, где к - число прямых сомножителей в N. Как показано выше, в О нет элементов, индуцирующих внешний автоморфизм на подгруппе N для 1 = 1,2,...,к. Поэтому О= [N] (О о Бк) = [N] А, где А= (О о Бк) действует точно, как группа подстановок на

прямых сомножителях из N.

Пусть к >1 и В - диагональная подгруппа в N. Покажем, что подгруппа АВ максимальна в О. Предположим противное. Тогда без ограничения общности можно считать, что

АВ а М. Так как О=М^ то [N оМ] А = [С] А, где С = N оМ. Поскольку \Ы:С | = |О:М|, то |Ж'С| = Га, а > 1, или |Ж'С|= 23, ¡3 > 3. Тогда для некоторого I, 1 < I < к, будет справедливо, что N не содержится в С, поэтому N о С = Б4 или N о С = [2Г ] . Поскольку С = [ В] Ь и В нормализует подгруппу N, то В а Мс (Ъ о N ), где Ъ о N = Б или Ъ о N = [2Г ] ^ . Однако в В есть элементы, которые не нормализуют подгруппы 84 и [ 2Г ] ^ из N . Поэтому

\О:М\ = Щ:С\ = 168, где 1 <у < к, что противоречиво. Значит, АВ - максимальная подгруппа непримарного индекса в О. Тогда АВ - квазисубнормальная подгруппа, что противоречит лемме 1 .

Следовательно, к =1. Тогда N=N1 и О=NG(N)=NхCG(N)=N. Получили противоречие с тем, что О не является простой группой. □

Теорема 2. Если в конечной цй-группе О все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы ц-нильпотентны, имеют индексы взаимно простые с ц и ц-замкнутые коммутанты, то О разрешима или ц-нильпотентна.

Доказательство. Пусть теорема неверна и группа О - контрпример минимального порядка. Если все неквазисубнормальные максимальные подгруппы в О нильпотентны, то О разрешима по лемме 6. Пусть в О нет неквазисубнормальных нильпотентных максимальных подгрупп. Покажем, что в О нет разрешимых нормальных д' -подгрупп. Допустим, что А -некоторая нормальная разрешимая д' -подгруппа из О. Тогда условие теоремы для факторгруппы О А выполняется и по индукции группа О А разрешима или ц-нильпотентна. Если О А разрешима, то О разрешима. Поэтому О А ц-нильпотентна. Понятно, что д' - холлова подгруппа из О А совпадает с группой Од, / А , откуда Од < О и О = [ О ] Од. Значит, в

группе О нет нормальных разрешимых д' -подгрупп.

Пусть в О есть только один класс неквазисубнормальных максимальных подгрупп. Тогда по лемме 5 О разрешима. Следовательно, в О не менее двух классов неквазисубнор-мальных максимальных подгрупп. Пусть В - неквазисубнормальная максимальная подгруппа из О, содержащая некоторую силовскую ц-подгруппу Од из О. Покажем, что Од содержится по крайней мере в одной неквазисубнормальной максимальной подгруппе, не сопряженной с В. Пусть Б - несопряженная с В неквазисубнормальная максимальная подгруппа в О. Тогда Б содержит некоторую силовскую ц-подгруппу Од, д е О и Од будет принадле-

жать сопряженной с D подгруппе О8 . Таким образом, без ограничения общности, можно считать, что О ^ В п О.

Покажем, что в О нет нормальных q-подгрупп. Пусть N - произвольная минимальная нормальная д-подгруппа в О и N = О. Тогда подгруппы В и D будут лежать в Сс (О ) , откуда О ^ 2 (О) и по лемме 11 О = О х О'. Поэтому N ф |0?|. Ясно, что N включается в В п О . Пусть К = N п 2 (О ) . Тогда из д-нильпотентности групп В и D следует, что К включается в пересечение 2 (В) п 2 (О) . Поэтому К ^ 2 (О) = 2 ((В, О)) . По индукции фактор-группа О К разрешима или д-нильпотентна. Если О К разрешима, то и О разрешима. Пусть О К будет д-нильпотентной группой. Тогда в О К существует нормальная д' -холлова подгруппа Я/К , откуда Я нормальна в О. Так как К = Я , то по лемме 11

Я = К х Яд. Поскольку Яд = Од, то О = [О^ ] 0д. Значит, в О нет нормальных д-подгрупп.

Пусть коммутант С подгруппы О отличен от единицы. Если В' и О' - коммутанты

подгрупп В и D, то через Ми £ обозначим силовские д-подгруппы соответственно из В' и О'. Так как С ^ В' П и, то в силу д-замкнутости подгрупп В' и О' следует включение С в М п 8 . Поскольку М и 8 - нормальные подгруппы соответственно в В и D, то

[С, В'] = [С О']=1, где В' и О' - д-дополнения в В и D. Из того, что С п2(0д) = Q ф 1, следует включение Q в 2(О) = 2((В, О)). Пришли к противоречию с тем, что в О нет нормальных д-подгрупп. Поэтому С=1 и О - абелева группа. Так как (О ) ф О и лежит в некоторой неквазисубнормальной максимальной подгруппе, то N (0д) = 0д х Т . Тогда по

лемме 12 О будет д-нильпотентной группой.

Значит, в О существуют неквазисубнормальные нильпотентные и неквазисубнор-мальные ненильпотентные максимальные подгруппы. Пусть Ь - неквазисубнормальная нильпотентная максимальная подгруппа в О. Тогда по лемме 13 Ь - силовская 2-подгруппа в О. Если в О только один класс неквазисубнормальных ненильпотентных максимальных подгрупп, то О разрешима по лемме 7. Значит, в О не менее двух классов неквазисубнор-мальных ненильпотентных максимальных подгрупп. Тогда, проводя рассуждения, как и выше, придем к противоречию с предположением, что О - контрпример минимального порядка. □

Следствие 1. Если в конечной группе О все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы 2-нильпотентны, имеют нечетные индексы и 2-замкнутые коммутанты, то О разрешима.

Следствие 2. Если в конечной группе О все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы сверхразрешимы и имеют нечетные индексы, то О разрешима.

Теорема 3. Пусть в конечной группе О существует неквазисубнормальная нильпотентная максимальная подгруппа. Если в G все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы четного индекса одного порядка, то Gразрешима.

Доказательство. Пусть теорема неверна и группа О - контрпример минимального порядка. Если в О нет неквазисунормальных ненильпотентных максимальных подгрупп, то по лемме 6 группа О разрешима. Поэтому группа О обладает неквазисубнормальными не-нильпотентными максимальными подгруппами. Пусть все неквазисубнормальные ненильпо-тентные максимальные подгруппы в О имеют четный индекс. Тогда по лемме 7 О разрешима. Следовательно, в О есть неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы с нечетным индексом.

Пусть N - минимальная нормальная разрешимая подгруппа в О. Тогда фактор-группа О / N нильпотентна или по индукции разрешима, откуда О разрешима. Значит, 8(О) = 1. Тогда по лемме 13 неквазисубнормальная нильпотентная максимальная подгруппа группы О

будет силовской 2-подгруппой в G, что противоречит существованию в G неквазисубнор-мальных ненильпотентных максимальных подгрупп нечетного индекса. □

Список литературы

1. Huppert B. Endliche Gruppen. - Berlin- Heidelberg -New York: Springer Verlag, 1967.

-793 p.

2. Maslova N.V. Classification of maximal subgroups of odd index in finite simple classical groups: addendum // Сиб. электрон. матем. изв. - 2018.- V.15.- P. 707-718.

3. Го В., Маслова Н. В., Ревин Д. О. О пронормальности подгрупп нечетных индексов в некоторых расширениях конечных групп ин // Сиб. матем. журн. - 2018. - Т. 59. - №4. - С. 773-790.

4. Монахов В. С., Ходанович Д. А. О разрешимости конечной группы с парой несопряженных подгрупп примарных индексов // ПФМТ. - 2018. - Т.35. - № 2. - С. 57-59.

5. Kegel O. Sylow Gruppen und Subnormalteiler endlichen Gruppen // Math. Z. - 1962. -Bd. 78. - P. 205-221.

6. Путилов С. В. К нормальному строению конечных групп // Докл. АН БССР. - 1985.

- Т. 29. - №5. - С. 393-396.

7. Путилов С. В. О нормальном строении конечных групп // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. - Мн.: Наука и техника. - 1984. - С. 205213.

8. Путилов С. В. Максимальные подгруппы конечных групп // Ученые записки Брянского государственного университета. - 2018. - № 1. - С. 18-26. - Режим доступа: http://scim-brgu.ru/wp-content/arhiv/UZ-20I8-NI.pdf.

9. Guralnick R.M. Subgroups of prime power index in a simple group // J. Algebra. - 1983.

- V.81. - № 2. - P. 304-311.

Сведения об авторе

Путилов Сергей Васильевич - доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].

SOLVABILITY OF FINITE GROUPS

S. V. Putilov

Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky

We prove the following theorems: 1) If in a finite group G only two classes of nonquasisubnormal nonnilpo-tent maximal subgroups and their indices are equal to the powers of primes, then G is solvable;2) If, in a finite qd-group G, all nonquasisubnormal nonnilpotent maximal subgroups of q-nilpotent are, have indices mutually simple with q and q-closed commutants, then G is solvable or q-nilpotent; 3) Let in a finite group G exist nonquasisubnormal nilpotent maximal subgroup. If in G all nonquasisubnormal nonnilpotent maximal subgroups of even index one order, then G is solvable.

Keywords: finite group, quasisubnormal subgroup, maximal subgroup, the index of the subgroup, solvable group.

References

1. Huppert B. Endliche Gruppen. - Berlin- Heidelberg -New York: Springer Verlag, 1967.

-793 p.

2. Maslova N.V. Classification of maximal subgroups of odd index in finite simple classical groups: addendum // Сиб. электрон. матем. изв. - 2018.- V.15.- P. 707-718.

3. Guo W., Maslova N. V., Revin D.O. On the pronormality of subgroups of odd index in some extensions of finite groups // Siberian Math. J. - 2018. - V. 59. - №4. - P. 773-790.

4. Monakhov V.S., Khadanovich D.A. On the solvability of a finite group with a pair of non-conjugate subgroups of primary indeces // PFMT. - 2018. - T.35. - № 2. - C. 57-59.

5. Kegel O. Sylow Gruppen und Subnormalteiler endlichen Gruppen // Math. Z. - 1962. -Bd. 78. - P. 205-221.

6. Putilov S. V. To the normal structure of finite groups // Dokl. Belorus. SSR. - 1985. -V. 29. - №5. - P. 393-396.

7. Putilov S. V. On the normal structure of finite groups // Investigation of the normal and subgroup structure of finite groups. - Minsk: Science and technology. - 1984. - P. 205-213.

8. Putilov S. V. Maximal subgroups of finite groups / S. V. Putilov/ / Scientific notes of Bryansk state University. - 2018. - № 1. - P. 18-26. Access mode: http://scim-brgu.ru/wp-content/arhiv/UZ-2018-N1.pdf.

9. Guralnick R.M. Subgroups of prime power index in a simple group // J. Algebra. - 1983. - V. 81. - № 2. - P. 304-311.

About author

Putilov S.V. - Ph.D. in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].