Конечные группы с субнормальными строго 2- или 3-максимальными подгруппами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 512.542

DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(3).4-11

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С СУБНОРМАЛЬНЫМИ СТРОГО 2- ИЛИ ^-МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ

Ю. В. Горбатова, М. Н. Коновалова

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ, Брянский филиал, г. Брянск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 11.06.2019

Дата принятия в печать 02.07.2019

Дата онлайн-размещения 28.10.2019

Ключевые слова

Конечная группа, разрешимая группа, л-максимальная подгруппа, строго л-максимальная подгруппа, нормальная подгруппа, нильпотентная группа, силовская подгруппа, группа Шмидта, субнормальная подгруппа

Аннотация. В работе дано описание конечных групп с субнормальными строго

2- или 3-максимальными подгруппами. Доказано, что ненильпотентная группа с субнормальными строго 2-максимальными подгруппами является группой Шмидта с абе-левыми силовскими подгруппами. Также доказано, что существует в точности 12 типов ненильпотентных групп с субнормальными строго 3-максимальными подгруппами. Установлено совпадение классов ненильпотентных групп с субнормальными 2- и

3-максимальными подгруппами с соответствующими классами групп с субнормальными строго 2- и 3-максимальными подгруппами.

FINITE GROUPS WITH SUBNORMAL STRONGLY 2- OR 3-MAXIMAL SUBGROUPS Ju. V. Gorbatova, M. N. Konovalova

Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Bryansk Branch, Bryansk, Russia

Abstract. In this paper we describe finite groups with subnormal strongly 2- or 3-maximal subgroups. It is proved that the class of non-nilpotent groups with subnormal strongly 2-maximal subgroups coincides with the class of Schmidt groups with abelian Sylow subgroups. We also give a complete description of 12 types of non-nilpotent groups with subnormal strongly 3-maximal subgroups. In particular, it follows coincidence of the classes of groups with subnormal 2- and 3-maximal subgroups with the classes of groups with subnormal strongly 2- and 3-maximal subgroups, respectively.

Article info

Received 11.06.2019

Accepted 02.07.2019 Available online 28.10.2019

Keywords

Finite group, solvable group, n-maximal subgroup, strongly n-maximal subgroup, normal subgroup, nilpotent group, Sylow subgroup, Schmidt group, subnormal subgroup

1. Введение

Все группы в данной работе являются конечными. Напомним ряд понятий, используемых далее. Подгруппа H группы G называется 2-макси-мальной, если она максимальна в некоторой максимальной подгруппе группы G. Аналогично определяются n-максимальные подгруппы для любого натурального п. Подгруппа H группы G называется строго п-максимальной, если H является п-макси-мальной в G, но не является n-максимальной подгруппой в любой собственной подгруппе группы G. Например, в группе SL(2,3) единственная подгруппа порядка 2 является 2-максимальной, но не строго 2-максимальной. Группа Шмидта - это ненильпо-тентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Группа Шмидта разрешима и имеет порядок paqb, где p и q - различные простые числа.

Связь между свойствами 2-максимальных подгрупп группы G и структурой группы G исследовалась многими авторами. Наиболее ранние результаты в данном направлении получены Редеи [1], описавшим неразрешимые группы с абелевыми

2-максимальными подгруппами, и Хуппертом [2], установившим сверхразрешимость группы, в которой все 2-максимальные подгруппы нормальны. Эти результаты стимулировали многие другие исследования в данном направлении. В частности, естественным развитием теории 2-максимальных подгрупп конечных групп стала работа Асаада [3], в которой автор доказал сверхразрешимость группы при условии, что каждая ее строго 2-максимальная подгруппа является нормальной. В развитие результата Асаада Горбатовой (Луценко) и Скибой в работе [4] было получено полное описание ненильпотентных групп, все строго 2-максимальные подгруппы которых нормальны. В этой же работе авторы получили описание ненильпотентных групп с S-квазинормаль-ными 2-максимальными подгруппами и с S-квази-нормальными строго 2-максимальными подгруппами. Развивая данные результаты, Горбатова в работе [5] получила полное описание ненильпотентных групп с нормальными строго 3-максимальными подгруппами. В свою очередь полное описание не-нильпотентных групп с S-квазинормальными строго

3-максимальными подгруппами было получено первым автором в недавней работе [6].

Отметим также работу [7], в которой Горбатова и Скиба получили точное строение групп с субнормальными 2-максимальными или 3-максималь-ными подгруппами. Опираясь на этот результат, в данной работе мы решаем задачу полного описания

групп с субнормальными строго 2- или 3-максималь-ными подгруппами.

2. Строение групп, у которых все строго ¿-максимальные подгруппы субнормальны

Далее используются следующие обозначения: <а> обозначает циклическую подгруппу, порожденную элементом а; для подгруппы Р группы в запись [Р] означает, что Р нормальна в в; через Р' обозначается коммутант группы Р; Ф(Р) обозначает подгруппу Фраттини группы Р; 1(Р) - центр группы Р.

Для доказательства основного результата нам потребуются следующие леммы.

Лемма 2.1 [8, гл. VI]. Если в - группа Шмидта,

то

(1) в = [Р]<а>, где Р и <а> - силовские р- и д-под-группы группы в соответственно;

(2) в имеет в точности два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются группы Р<ач> и Р'<а>;

(3) в' = Р;

(4) Ф(в) = 1(в) = Р' х<ач>;

(5) Р/Ф(Р) - главный фактор группы в, причем если ¡Р/Ф(Р)! = ра, то ра сравнимо с единицей по модулю д;

(6) Наибольшая нормальная подгруппа группы в, строго содержащаяся в Р, совпадает с Ф(Р) = = Р' = СР(а);

(7) Если Р абелева, то она элементарна;

(8) Если Р неабелева, то 1(Р) = Р' = Ф(Р) и эта подгруппа имеет экспоненту р.

Лемма 2.2 [9, лемма 1]. Если каждая п-макси-мальная подгруппа группы в субнормальна, то каждая (п-1)-максимальная подгруппа группы в является нильпотентной.

Лемма 2.3 [9, лемма 3]. Пусть Г(в) - подгруппа Фиттинга группы в. В том и только в том случае каждая п-максимальная подгруппа группы в является субнормальной, когда каждая п-максималь-ная подгруппа группы в содержится в Г(в).

Лемма 2.4 [9, следствие 1]. Если каждая 2-мак-симальная или каждая 3-максимальная подгруппа группы в субнормальна, то в разрешима.

Следующая теорема описывает группы, в которых каждая строго 2-максимальная подгруппа является субнормальной.

Теорема 1. В том и только в том случае каждая строго 2-максимальная подгруппа группы в является субнормальной, когда либо в нильпо-тентна, либо в - группа Шмидта с абелевыми си-ловскими подгруппами.

Доказательство. Необходимость. Пусть в -ненильпотентная группа, в которой каждая строго 2-максимальная подгруппа является субнормальной.

Допустим вначале, что каждая максимальная подгруппа из в является нильпотентной. В этом случае в = [Р]<а> является группой Шмидта, где Р и <а> -силовские р-подгруппа и ^-подгруппа в в соответственно (см. лемму 2.1(1)). Тогда, по лемме 2.1(4), Г(в) = Р<ач>. Предположим, что Р'*1. Тогда, по лемме 2.1(2), в имеет в точности два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются группы Р<ач> и Р'<а>. Пусть Е - максимальная подгруппа в группе Р'<а> такая, что <а> содержится в Е. Тогда Е не содержится в Г(в). Так как Е не содержится в максимальной подгруппе Р<ач>, то, очевидно, Е является строго 2-макисмальной подгруппой в в. По условию Е субнормальна в в и поэтому, ввиду леммы 2.3, Е содержится в Г(в), противоречие. Следовательно, Р'=1, и поэтому в является группой Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами.

Теперь предположим, что в группе в существует ненильпотентная максимальная подгруппа М. Пусть Н- максимальная подгруппа в М. Если Н-строго 2-максимальная подгруппа в в, то ввиду условия Н является субнормальной подгруппой в в и Н нормальна в М.

Допустим теперь, что Н не является строго 2-максимальной подгруппой в в. Это означает, что существует по крайней мере один ряд подгрупп в; группы в (0 < / < л) такой, что Н = вг для г > 3 и группа в; максимальна в в ¡-г. Среди всех таких рядов группы в выберем ряд наибольшей длины, например, 1 = вп < ... < Н = вг< ... < в2 < в1 < в0 = в. В этом случае группа в2 является строго 2-максимальной подгруппой группы в. Так как Н < М и Н < в2, то Н < в2 п М. Если в2 п М = 1, то Н = 1 и поэтому М нильпотентна, противоречие. Следовательно, в2 п М * 1. Ввиду максимальности Н в М имеем либо Н = в2 п М, либо в2пМ = М. Ясно, что второй случай не имеет места и поэтому Н = в2 п М. По условию в2 является субнормальной подгруппой в в, и поэтому по [10, глава А, лемма 14.1] в2 п М субнормальна в М. Таким образом, Н субнормальна в М. Так как в группе М каждая максимальная подгруппа является субнормальной, то группа М нильпотентна, что противоречит рассматриваемому случаю. Следовательно, в - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами.

Достаточность. Предположим, что в = [Р]0 -группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами. Покажем, что каждая строго 2-максимальная

подгруппа из G субнормальна. В силу леммы 2.1 группа G имеет точно два класса максимальных подгрупп: PQ1 и Qx, где Q1 - максимальная подгруппа в Q. Тогда представителями 2-максимальных подгрупп в G являются подгруппы P1Q1, PQ2 и Q1, где P1 - некоторая максимальная подгруппа в P и Q2 - максимальная подгруппа в Q1. Так как F(G) = PQ1, то очевидно, что каждая 2-максимальная подгруппа группы G содержится в F(G). Следовательно, по лемме 2.3 каждая 2-максимальная подгруппа группы G субнормальна, в том числе и каждая строго 2-максимальная подгруппа группы G субнормальна. Теорема доказана.

Очевидным следствием теоремы 1 и утверждения [7, лемма 2.5] является следующий результат.

Следствие 1. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) G - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами;

(2) каждая 2-максимальная подгруппа субнормальна в G;

(3) каждая строго 2-максимальная подгруппа субнормальна в G.

3. Строение групп, у которых все строго 3-мак-симальные подгруппы субнормальны.

В дальнейшем p, q и г - попарно различные простые числа. В следующей теореме P, Q и R обозначают некоторые силовские p-, q- и г-подгруппы группы G соответственно.

Для доказательства второго основного результата работы нам потребуются следующие леммы.

Лемма 3.1 [11; 12]. Если каждая вторая максимальная подгруппа неразрешимой группы G является нильпотентной, то G изоморфна одной из групп A5 или SL(2,5).

Лемма 3.2 [13]. Пусть G - группа и H< K< G. Тогда:

(1) если H является S-перестановочной в G, то H является S-перестановочной в K;

(2) допустим, что H нормальна в G. Тогда K/H является S-перестановочной в G/H тогда и только тогда, когда K S-перестановочна в G;

(3) если H S-перестановочна в G, то H субнормальна в G.

Теорема 2. В том и только в том случае каждая строго 3-максимальная подгруппа группы G является субнормальной, когда либо G нильпотентна, либо G - группа одного из следующих типов:

I. G = [P]Q - группа Шмидта, где либо P'=1, либо ¡P'! = p;

II. G - бипримарная группа, не являющаяся группой Шмидта, одного из следующих видов:

(1) G = [P]Q, где P - минимальная нормальная подгруппа группы G, Q - циклическая группа и [Р]Ф(й) - группа Шмидта;

(2) G = ([P]Qi)xCq, где Р - минимальная нормальная подгруппа группы G, ¡Cqj = q и PQi - группа Шмидта;

(3) G = [P]Q, где Р - минимальная нормальная подгруппа группы G, Q = <a>x<b>, jaj = ¡bi = q, P<a> и P<b> - группы Шмидта;

(4) G = [P]Q, где ¡Pi = p, p > 2 и Q изоморфна группе кватернионов порядка 8;

(5) G = ([P]Qi)Cq, где P - минимальная нормальная подгруппа группы G, Q1 = <a>, Cq = <b>, ¡Q1Cqi = qe, ¡ai = qe-1 (в - натуральное), PQ1 - группа Шмидта, ab = a1+qB 1 и [P,C1] = 1 для всякой подгруппы C1, изоморфной Cq;

(6) G = [P]Q, где Ф(P) - минимальная нормальная подгруппа группы G, обе группы Ф(P)Q и G^(P) являются группами Шмидта, и максимальная подгруппа из Q совпадает с Z(G);

(7) G - подпрямое произведение двух различных изоморфных групп Шмидта с абелевыми си-ловскими подгруппами;

(8) G = [P1*Cp]Q, где P1 - минимальная нормальная р-подгруппа группы G, ¡Cpi= p, P1Q - группа Шмидта, максимальная подгруппа из Q содержится в Z(G) и [Cp,Q]=1;

(9) G = [[P1]Q]Cp, где ¡P^ = ¡Cp¡ = p, Q = q и Ng(Q) = [Q]Cp;

III. G - группа, порядок которой имеет в точности три простых делителя p, q, r и которая является группой одного из следующих видов:

(i) G = ([P]Q)R, где P и R - минимальные нормальные подгруппы группы G, Q - циклическая группа и F(G) = PRФ(Q);

(ii) G = [R](P*Q), где ¡P¡ = p, Q = q и R = F(G) -минимальная нормальная подгруппа группы G.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что G - ненильпотентная группа, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа является субнормальной. Тогда, ввиду теоремы 1, каждая максимальная подгруппа группы G либо нильпо-тентна, либо является группой Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами. Таким образом, в группе G каждая 2-максимальная подгруппа является ниль-потентной.

Предположим вначале, что группа G неразрешима. Согласно лемме 3.1, G изоморфна одной из групп A5 или SL(2,5). Допустим, что G изоморфна A5.

В этом случае каждая строго 3-максимальная подгруппа в в является субнормальной, что противоречит простоте А5. Поскольку А5 изоморфна факторгруппе 5Ц2,5) / 7(5Ц2,5)), то группа 5Ц2,5) также имеет не субнормальную строго 3-максимальную подгруппу, что противоречит условию. Таким образом, в - разрешимая группа.

Понятно, что каждая собственная подгруппа Н группы в является либо нильпотентной, либо группой Шмидта. Причем если Н - группа Шмидта, то Н максимальна в в. Поскольку в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы есть степень простого числа и число различных простых делителей порядка группы Шмидта равно двум, то п(в) < 3.

I. Предположим вначале, что в = [Р]0 является группой Шмидта.

Если Р - абелева группа, то в является группой типа I.

Пусть теперь Р - неабелева группа. Тогда | Р'| = | ф(Р)| *1. Если | Ф(Р)| > р2, то в группе Ф(Р)0 существует такая 2-максимальная подгруппа Е, что О < Е. Ясно, что Е является строго 3-максимальной подгруппой в в и Е не содержится в Г(в). По условию Е субнормальна в в, и поэтому Е содержится в Г(в) (по лемме 2.3). Полученное противоречие показывает, что | Р'| = | Ф(Р)| = р и в снова является группой типа I.

II. Теперь предположим, что в не является группой Шмидта и п(в) = {р, д}, где р * д.

Допустим вначале, что группа в имеет нормальную силовскую подгруппу Р, т. е. в = [Р]О. Предположим, что группа в имеет пару подгрупп Шмидта вида А = [Р]О1 и В = [Р1]О (Р1 < Р, 01 < О). Понятно, что А и В являются максимальными подгруппами в группе в. Так как в группе А каждая строго 2-макси-мальная подгруппа является субнормальной, то, по теореме 1, Р - абелева группа. Следовательно, Р является минимальной нормальной подгруппой в группе А, а следовательно, и в группе в. Аналогично можно показать, что Р1 является минимальной нормальной подгруппой в в, что невозможно. Таким образом, либо все подгруппы Шмидта группы в содержат силовскую р-подгруппу из в, либо все они содержат силовскую д-подгруппу из в.

Если все подгруппы Шмидта группы в содержат силовскую р-подгруппу из в, то в = [Р]0, где Р -минимальная нормальная подгруппа в в.

Допустим, что О - абелева группа. Если при этом группа О циклическая, то в является группой типа М(1).

Предположим теперь, что О - нециклическая группа. Пусть Н- подгруппа Шмидта группы в. Тогда |в:Н| = д и Н = [Р]О1, где О1 - циклическая максимальная подгруппа в О. По основной теореме о конечных абелевых группах О = О^Сд, где |Сд| = д. Пусть О.2 - максимальная подгруппа в О1. Тогда подгруппа РО2Сд является максимальной в группе в. Понятно, что эта подгруппа не является группой Шмидта и, следовательно, она нильпотентна. Это влечет [Р,Сд] = 1, и поэтому в является группой типа 11(2).

Если предположить, что максимальная подгруппа О.2 группы О1 единична, то подгруппа РСд является максимальной в группе в. Если при этом подгруппа РСд нильпотентна, то в снова является группой типа 11(2). Если же РСд - группа Шмидта, то в является группой типа 11(3).

Пусть теперь О - неабелева группа и |О| = дв (РЕ ДО). Если д = 2 и в = 3, то ввиду [14, V, теорема 4.4] О изоморфна либо группе кватернионов, либо диэдральной группе. В последнем случае О = [<а>]<Ь>, где |а| = 22, |Ь| = 2, аь = а-1. Тогда О имеет точно три максимальные подгруппы: <а>, <а2><Ь> и <а2><аЬ> и поэтому подгруппы вида <а2>, <Ь> и <аЬ> являются 2-максимальными подгруппами в О. Так как Р- минимальная нормальная подгруппа в в, то О является максимальной подгруппой в в. Тогда подгруппы <Ь> и <аЬ> являются строго 3-максималь-ными в группе в. В силу условия и леммы 2.3, каждая из этих подгрупп содержится в группе Г(в), что невозможно. Следовательно, О изоморфна группе кватернионов порядка 8. Тогда в силу д = 2 и леммы 2.1(5)(7) мы имеем |Р| = р, и поэтому в является группой типа 11(4).

Если теперь д = 2 и в > 3, либо д - нечетное простое, то по [14, V, теорема 4.4] О изоморфна одной из групп: Мв(д), Ов, Ов или Бв (см. [14, с. 190-191]). Если О изоморфна одной из групп Ов, Ов или 5в, то в силу [14, V, теорема 4.3] факторгруппа О / 1(О) изоморфна группе йв-1. В этом случае факторгруппа О / 7(О) имеет точно две максимальные нециклические подгруппы. Следовательно, группа О имеет по крайней мере две нециклические 2-максимальные подгруппы и поэтому в группе О существует по крайней мере две нециклические максимальные подгруппы. Это означает, что в группе в существуют максимальные подгруппы М1 и М2, которые содержат Р и не являются группами Шмидта. Тогда М1 и М2 являются нильпотентными нормальными подгруппами в в и поэтому группа в = М1М2 нильпотентна, противоречие. Следовательно, группа О не

может быть изоморфна одной из групп: De, Qe или Sg. Таким образом, группа Q изоморфна группе Me(q)= <a, b | ab = a1+q8-2, bq = aqB-1= 1> (см. [14, с. 190]). В этом случае группа G имеет вид G = [[P]Q1]Cq, где P

- минимальная нормальная подгруппа в G, Q1 = <а>, |а| = qe-1, Cq = <b>, |b| = q, PQ1 - группа Шмидта и ab = a1+qe-2.

Пусть C - множество всех подгрупп группы G, изоморфных подгруппе Cq. Предположим, что для некоторой подгруппы C1 из C выполняется [P,Ci] * 1. Из этого следует, что подгруппа PCi является группой Шмидта. Тогда PCl является максимальной подгруппой в G, и поэтому | Q |=q2, что противоречит неабелевости Q. Таким образом, G является группой типа II(5).

Предположим теперь, что любая подгруппа Шмидта группы G содержит некоторую силовскую q-подгруппу из G. Это означает, что Q = <a> - циклическая группа и P<aq> - максимальная подгруппа группы G с индексом, равным q. Так как подгруппа P<aq> не является группой Шмидта, то она нильпотентна. Следовательно, P<aq> = Px<aq> = F(G), и поэтому <aq> содержится в Z(G). При этом либо каждая максимальная подгруппа группы G, содержащая силовскую q-подгруппу группы G, является группой Шмидта, либо G имеет нильпотентную максимальную подгруппу, содержащую силовскую q-под-группу группы G.

Предположим, что верен первый случай. Пусть M - произвольная максимальная подгруппа группы G вида PiQx, где Pi < P. Так как M- группа Шмидта, в которой каждая строго 2-максимальная подгруппа субнормальна, то в силу теоремы 1 Pi - абелева минимальная нормальная подгруппа в M.

Предположим вначале, что P - неабелева группа. Тогда Ф^) * 1. Допустим, что Pi * Ф^). Тогда Ф(P)PlQ является подгруппой группы G. Так как PiQ

- максимальная подгруппа группы G, то либо Ф(P)PlQ = PiQ, либо Ф(P)PlQ = G. Если Ф(P)PlQ = PiQ, то Ф^) < Pi, и поэтому Ф^) = Pi, так как Pi - минимальная нормальная подгруппа в PiQ, что противоречит нашему допущению. Следовательно, Ф(P)PlQ = G. Тогда Ф^^! = P, и поэтому Pi = P, что невозможно. Таким образом, Pi = Ф^), и поэтому Pi - минимальная нормальная подгруппа в G. Так как Ф^) < Ф^) и группа G не является нильпотент-ной, то G/Ф^) - группа Шмидта с абелевыми силов-скими подгруппами. Поскольку каждая максимальная подгруппа группы G, содержащая силовскую q-подгруппу группы G, является группой Шмидта с

абелевыми силовскими подгруппами, то максимальная подгруппа группы Q совпадает с Z(G). Следовательно, G - группа типа II(6).

Теперь предположим, что P - абелева группа. Допустим, что Ф(Р) * 1. Аналогично, как и выше, можно показать, что P1 = Ф(Р) - минимальная нормальная подгруппа группы G и G/ФР - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами. Следовательно, G снова является группой типа II(6). Допустим теперь, что Ф(Р) = 1. В этом случае P является элементарной p-группой. Рассмотрим максимальную подгруппу M = PQ группы G. Так как M -группа Шмидта и P - абелева группа, то P1 является минимальной нормальной подгруппой в группе G. Рассмотрим теперь максимальную подгруппу T группы G такую, что G = [P1]T. Так как ввиду рассматриваемого случая T = [P2]Q - группа Шмидта (P2 < P) и P - абелева группа, то P2 является минимальной нормальной подгруппой в группе G. Таким образом, G- группа типа II(7).

Теперь предположим, что G имеет нильпотент-ную максимальную подгруппу M, содержащую подгруппу Q. Тогда группа M имеет вид P1 х Q, где P1 < P. Допустим, что |P11 > p. Пусть E - 2-максимальная подгруппа в P1Q, индекс которой равен p2. Тогда E является субнормальной строго 3-максимальной подгруппой в G и E не содержится в F(G), что противоречит лемме 2.3. Следовательно, | P11 = p.

Пусть H - подгруппа Шмидта группы G, содержащая Q. Тогда H - максимальная подгруппа в G, и поэтому HM = G. Пусть Hp - силовская p-подгруппа группы H. Заметим, что подгруппа P1 не содержится в Hp, так как P1Q - максимальная подгруппа в G. Тогда HpnP! = 1, так как |P11 = p, и поэтому HnM = Q. В силу теоремы 1 Hp - абелева группа, и поэтому Hp является минимальной нормальной подгруппой в группе G. Так как подгруппы P1Q и HpQ являются максимальными в группе G, то Ф^) < P1QnHpQ = (P1nHpQ)Q. Покажем, что P1nHpQ=1. Если P1nHpQ*1, то P1<HpQ, так как | P11 = p. Но тогда P1Q < HpQ, что невозможно, так как P1Q - максимальная подгруппа в G. Следовательно, P1nHpQ = 1, и поэтому Ф^) < Q. Так как P' < Ф(Р) < Ф^), то P' = 1. Таким образом, P -абелева группа. Так как максимальная подгруппа P1Q группы G нильпотентна, то [P1,Q] = 1. Следовательно, G является группой типа II(8).

Предположим теперь, что группа G не имеет нормальных силовских подгрупп. Пусть H - нормальная подгруппа группы G с индексом, равным p. Тогда Q является подгруппой в H. Допустим, что подгруппа Q нормальна в группе H. Тогда подгруппа Q

нормальна в группе G, так как подгруппа H нормальна в G, что противоречит рассматриваемому случаю. Следовательно, H = [P1]Q является подгруппой Шмидта группы G, и поэтому Q - циклическая группа. Ввиду теоремы 1 P1 является минимальной нормальной подгруппой в группе G.

Предположим, что Ng(Q) - нильпотентная подгруппа группы G. Тогда Q < Z(NG(Q)), так как Q - абелева группа. В силу утверждения [15, теорема 14.3.1] группа G обладает в этом случае нормальным q-до-полнением, что противоречит рассматриваемому случаю. Следовательно, Ng(Q) = [Q]<b> является подгруппой Шмидта в группе G с | Q | = q. Подгруппы H и Ng(Q) являются максимальными в группе G, и поэтому G = HNg(Q). Следовательно, P1<b> - силовская p-подгруппа группы G. По выбору подгруппы H, |G:H| = p, и поэтому P1n<b> = <Ьр>. Так как [Q]<b> -группа Шмидта, то подгруппа Q<bP> нильпотентна, и поэтому <Ьр> < Cp1(Q). С другой стороны, [P1Q -группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами, и поэтому по лемме 2.1(6) Cp1(Q) = 1. Следовательно, <Ьр> = 1, и поэтому |< b >| = p.

Итак, P1<b> = [PJ<b> - максимальная подгруппа группы G и по лемме 2.3 каждая строго 2-макси-мальная подгруппа из P1<b> содержится в F(G) = Р1. Из этого следует | Р1| = p, и поэтому G является группой типа II(9).

III. Наконец, рассмотрим случай, когда n(G) = = {p, q, r}, где p, q, r - различные простые делители |G|.

Обозначим через M некоторую нормальную подгруппу группы G такую, что |G:M| = q. Тогда группа M либо нильпотентна, либо является группой Шмидта.

Предположим, что группа M нильпотентна. Тогда G = [Р х R]Q и M = Р х R х Q1, где Q1 - некоторая максимальная подгруппа в Q. Подгруппы PQ и RQ не могут быть обе нильпотентными, и поэтому либо PQ и RQ - группы Шмидта, либо одна из этих подгрупп, например RQ, нильпотентна, а вторая является группой Шмидта.

Предположим, что имеет место первый случай. Тогда подгруппы PQ и RQ являются максимальными в G. Ввиду теоремы 1 Р и R - минимальные нормальные подгруппы в G. Кроме того, по лемме 2.1(1)(4), Q = <a> - циклическая группа и <aq> < < Z(<PQ,RQ>) = Z(G).

Теперь предположим, что подгруппа PQ = P<a> является группой Шмидта, а подгруппа RQ нильпотентна. Из этого следует, что подгруппа PQ максимальна в G и поэтому G = PQ х R, где |R| = r. Ввиду

теоремы 1 Р является минимальной нормальной подгруппой в в. Из того, что <ад> является характеристической подгруппой в О и О нормальна в ЯО, следует, что подгруппа <ад> нормальна в ЯО. Так как по лемме 2.1(4) <ад> нормальна и в группе РО, то подгруппа <ад> нормальна в в. Таким образом, в является группой типа 111(1).

Теперь предположим, что М является группой Шмидта и в не является группой типа 111(1). Не ограничивая общности, можно допустить, что М = [Я]Р, где Р = <Ь> - циклическая группа. Тогда в = [М]О = = [[Я]Р]О, где О - группа простого порядка д и О не является нормальной подгруппой в в. Действительно, если бы О была нормальной в в подгруппой, то в = М х О снова была бы группой типа 111(1).

Так как М = [Я]Р является группой Шмидта, то в силу теоремы 1 Я является минимальной нормальной подгруппой группы М, а следовательно, и группы в. Предположим, что ЯО - нильпотентная группа. Если при этом РО также является нильпо-тентной группой, то подгруппа О нормальна в в, что противоречит рассматриваемому случаю. Следовательно, РО = [Р]О является группой Шмидта. Так как при этом |Р| = р ввиду цикличности группы Р, то Св(Я) = ЯО, и поэтому подгруппа О нормальна в в, что вновь противоречит рассматриваемому случаю.

Таким образом, ЯО = [Я]О является группой Шмидта. Теперь предположим, что подгруппа РО = [Р]О также является группой Шмидта. Так как

при этом P- циклическая группа, то |P| = p. Но тогда p - 1 = qa для некоторого натурального а по лемме 2.1(5). Аналогично, из того, что RQ и RP являются группами Шмидта, следует r"- 1 = qß и Г"- 1 = py для некоторых натуральных n, в и у. Следовательно, p = qey-1 = 1 + qa, что невозможно. Следовательно, PQ - нильпотентная группа, и поэтому G = [R](PxQ), причем из максимальности в G подгруппы RQ следует, что P = <b> является группой простого порядка p. Из этого следует R = F(G). В этом случае G является группой типа III(ii).

Достаточность. Предположим, что G - группа одного из типов I-III теоремы. При непосредственной проверке легко убедиться, что в каждом из этих случаев любая 3-максимальная подгруппа группы G содержится в F(G). Тогда ввиду леммы 2.3 каждая 3-максимальная подгруппа из G является субнормальной, в том числе и каждая строго 3-максималь-ная подгруппа из G является субнормальной. Теорема доказана.

Очевидным следствием теоремы 2 и утверждения [7, теорема 3.3] является следующий результат.

Следствие 2. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) каждая 3-максимальная подгруппа субнормальна в G;

(2) каждая строго 3-максимальная подгруппа субнормальна в G.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Redei L. Ein Satz uber die endlichen einfachen Gruppen // Acta Math. 1950. Vol. 84. P. 129-153.

2. Huppert B. Normalteiler and maximal Untergruppen endlicher gruppen // Math. Z. 1954. Vol. 60. P. 409434.

3. Asaad M. Finite groups some whose n-maximal subgroups are normal // Acta Math. Hung. 1989. Vol. 54, no. 1-2. P. 9-27.

4. Луценко Ю. В., Скиба А. Н. Конечные ненильпотентные группы с нормальными или 5-квазинор-мальными n-максимальными подгруппами // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. 2009. № 1(52). С. 134-138.

5. Горбатова Ю. В. Строение конечных ненильпотентных групп с нормальными строго ¿-максимальными или строго 3-максимальными подгруппами // Приоритетные научные направления: от теории к практике : сб. мат. XXIV Междунар. науч.-практ. конф. Ч. 2. 2016. С. 30-35.

6. Горбатова Ю. В. Строение конечных ненильпотентных групп S-квазинормальными строго ¿-максимальными или строго 3-максимальными подгруппами // Новый взгляд. Междунар. науч. вестн. 2016. Вып. 13. С. 21-31.

7. Луценко Ю. В., Скиба А. Н. Конечные группы с субнормальными вторыми или третьими максимальными подгруппами // Матем. заметки. 2012. Т. 91, вып. 5. С. 730-740.

8. ШеметковЛ. А. Формации конечных групп. М. : Наука, 1978. 272 с.

9. Mann A. Finite groups whose n-maximal subgroups are subnormal // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 132. P. 395-409.

10 -

Herald of Omsk University 2019, vol. 24, no. 3, pp. 4-11

Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 3. С. 4-11

ISSN 1812-3996-

10. Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups. Berlin ; New York : Walter de Gruyter, 1992. 889 p.

11. Janko Z. Endliche Gruppen mit lauter nilpotent zweitmaximalen Untergruppen // Math. Z. 1962. Vol. 79. P. 422-424.

12. Suzuki M. The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 8, no. 4. P. 686-695.

13. Kegel O. Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen // Math. Z. 1962. Vol. 87. P. 205-221.

14. Gorenstein D. Finite groups. New York ; Evanston ; London : Harper and Row, 1968. 527 p.

15. Холл М. Теория групп. М. : Наука, 1962.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Горбатова Юлия Владимировна - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра математики и информационных технологий, Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ, Брянский филиал, 241007, Россия, г. Брянск, ул. Дуки, 61; e-mail: g.julia32@yandex.ru

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Gorbatova Julia Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Chief Lecturer, the Chair of Mathematics and Information Technology, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Bryansk Branch, 61, ul. Duki, Bryansk, 241007, Russia; e-mail: g.julia32@yandex.ru

Коновалова Марина Николаевна - старший преподаватель, кафедра математики и информационных технологий, Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ, Брянский филиал, 241007, Россия, г. Брянск, ул. Дуки, 61; e-mail: msafe83@mail.ru

Konovalova Marina Nikolaevna - Chief Lecturer, the Chair of Mathematics and Information Technology, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Bryansk Branch, 61, ul. Duki, Bryansk, 241007, Russia; e-mail: msafe83@mail.ru

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Горбатова Ю. В., Коновалова М. Н. Конечные группы с субнормальными строго 2- или 3-макси-мальными подгруппами // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 3. С. 4-11. РО!: 10.25513/1812-3996.2019. 24(3).4-11.

FOR CITATIONS

Gorbatova Ju.V., Konovalova M.N. Finite groups with subnormal strongly 2- or 3-maximal subgroups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 3, pp. 4-11. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(3).4-11. (in Russ.).