О НЕПРОСТЫХ КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О НЕПРОСТЫХ КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С. В. Путилов

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

Доказываются следующие теоремы: 1) Если в конечной группе О каждая неквазисубнормальная максимальная подгруппа нильпотентная или простая, то О разрешима или группа Шмидта; 2) Если в конечной группе О представители ¥ и $ хотя бы двух классов неквазисубнормальных ненильпотентных максимальных подгрупп имеют примарные индексы и собственные подгруппы в ¥ и $ 2- нильпотентны, то группа О разрешима.

Ключевые слова: конечная группа, квазисубнормальная подгруппа, максимальная подгруппа, разрешимая группа.

Введение

Исследования проводились в теории конечных групп. Обозначения и определения соответствуют [1].

В [2] доказана разрешимость ненильпотентной группы, в которой все максимальные подгруппы нильпотентны. В [3] показано, что ненильпотентная конечная группа О является группой Шмидта, если каждая максимальная подгруппа в О нильпотентная или простая. В [4] получена разрешимость конечной группы, в которой есть две несопряженные максимальные подгруппы примарных индексов с 2-нильпотентными собственными подгруппами. Здесь в теореме 1 продолжаются исследования на основе идей указанного результата из [3]. Теорема 2 обобщает, приведенное утверждение из [4], и результат автора из [14].

Используемые обозначения, определения, результаты

Буквами робозначаются простые числа; Р- множество всех простых чисел; 0~

конечная группа; М - подгруппа в G; |О| - порядок (число элементов) О ; |О : М| - индекс М в С; N (}(М)- нормализатор М в С; М <0- М нормальна в С, т.е. М(^(М) = 0;

О) - множество всех простых делителей |О|; О - р - группа, если тг(О) = {р}; ж'-дополнение к подмножеству ж в Р,т.е. Р = ж^>ж}, в частности, />' = Р\{/?}; Ор - силовская р - подгруппа в О ; $у1р (О) - множество всех силовских р -подгрупп в О ; Ор' - р 'дополнение к силовской р - подгруппе в О, т.е. Ор> - холлова подгруппа в О с индексом равным | Ор |; О - рй -группа, если |О| делится на р ; О р - замкнута, если Ор нормальна в О ; р - нильпотентна, если Ор' нормальна в О ; р - разложима, если Ор и Ор' нормальны в О; $ (О) — наибольшая нормальная разрешимая подгруппа в О; - симметрическая группа на п символах; Ап - знакопеременная группа на п символах; ¥4 - четверная группа Клейна; (А, Б^ - подгруппа в О, порожденная подгруппами А и В; А х В - прямое произведение подгрупп А и В в С, если А<0, В<0,АглВ = 1; [А~\В - полупрямое произведение подгрупп А и В в С, если А<0,АглВ = 1; 2п - циклическая группа порядка п; класс подгрупп в О - класс сопряженных подгрупп; группа Шмидта -ненильпотентная группа, в которой все собственные подгруппы нильпотентные; □- знак окончания доказательства.

Лемма 1[5, теорема 2.2.4]. Пусть Р - силовская р - подгруппа группы G и М -

квазисубнормальность подгруппы М в G, то Р нормальна в G.

Лемма 2 [3, теорема 1]. Если каждая максимальная подгруппа ненильпотентной группы G нильпотентна или проста, то G - группа Шмидта.

Лемма 3 [1, теорема 111.5.1]. Если каждая собственная подгруппа нильпотентна в конечной группе G, то G разрешима.

Лемма 4 [6, лемма 12]. Пусть М = М2 хМ^ - 2-разложимая максимальная2ё-подгруппа неразрешимой группы G. Если 8^) = 1, то М = G2■

Лемма 5 [13]. Конечная группа нечетного порядка разрешима.

Лемма 6 [6, лемма 13]. Если в конечной рё - группе G каждая максимальная подгруппа квазисубнормальна или р - разложима, то группа G непроста.

Лемма 7 [7, 8]. Простые группы с нильпотентной максимальной подгруппой изоморфны Р8Ь(2, д) с д = 9 или простым числом д = 2п ± 1 > 17.

Лемма 8 [1, теорема 11.6.2]. Пусть |Р£Ц2,д)| - порядок проективной специальной

линейной группы размерности 2 над конечным полем из с/ элементов д = р^, р е Р. Тогда

2

Лемма 10 [1, теорема 11.8.27(5)]. В группе Р8Ь(2, д) при д -1 = 0(шоё16) существует максимальная подгруппа 84.

Лемма 11 [1, теорема 1У.5.4]. Если в группе G каждая собственная подгруппа р -нильпотентна, то или G р - нильпотентна, или G является р - замкнутой группой Шмидта.

Лемма 12 [11, теорема А]. Пусть в группе G существует л -холлова подгруппа. Если 2 то любые две л - холловы подгруппы сопряжены в G.

Лемма 13 [12, замечание к Т.1]. Пусть G - неабелева простая группа. Если М -максимальная подгруппа в G с примарным индексом, то М не является холловой подгруппой в G только тогда, когда G = Ап, М = Лп_у с п = ра и простым числом р, а также при G = Р8^4(2) с индексом подгруппы М равным 27.

Лемма 14 [12, замечание к Т.1] Только в изоморфных простых группах ¿2(7) и ¿з(2) максимальные подгруппы имеют индексы, равные степеням различных простых чисел.

Лемма 15 [1, теорема 1.3.12]. Пусть А - нормальная подгруппа конечной группыG. Тогда фактор-группа АВ / А изоморфна фактор-группе В / А П В, для любой подгруппы В группы G.

Лемма 16 [1, теорема У1.4.3]. Любое произведение попарно перестановочных нилъпотентных групп разрешимо.

Лемма 17 [1, теорема 1.8.6]. Пусть<0 и А^г^А^ = 1. Тогда если фактор-группа G / N1, г = 1,2, разрешима, то группа G разрешима.

Лемма 18 [1, теорема 1.9.12]. Пусть N - неразрешимая минимальная нормальная подгруппа конечной группы О. Тогда N = N х N х ...хN, где N (г = 1,2,...,к)-изоморфные простые группы.

ненормальная максимальная подгруппа в G. Если отношение

влечет

Доказательство основных результатов Теорема 1. Если в конечной группе G каждая неквазисубнормальная максимальная подгруппа нильпотентная или простая, то G разрешима или группа Шмидта.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна и группа G- контрпример

минимального порядка. Пусть N и G = G / N - соответственно минимальная нормальная

подгруппа группы G и фактор-группа по подгруппе N . Если в группе G все максимальные

подгруппы квазисубнормальные, то по лемме 1 группа G нильпотентная. Пусть в группе G каждая максимальная подгруппа нильпотентная или простая. Тогда по лемме 2 факторгруппа G - группа Шмидта. Так как в общем случае группа G наследует условия теоремы, то по индукции G разрешима или группа Шмидта. По лемме 3 группа Шмидта разрешима. Поэтому, если подгруппа 8^) ф 1, то группа G разрешима. Значит, 8^) = 1. Тогда по лемме 4 каждая нильпотентная максимальная подгруппа является силовской 2 - подгруппой в G. Кроме того в группе G ненильпотентные максимальные подгруппы или простые, или квазисубнормальные. По лемме 1 нормализаторы силовских р-подгрупп, р ф 2, группы G будут включаться только в простые максимальные подгруппы.

Пусть А- произвольная простая неабелева максимальная подгруппа группы G и М~ максимальная нормальная подгруппа в С .Тогда 0 = АМи АглМ = \. Так как :М| = />еР, то порядок А равен р, что противоречиво. Пусть А=М. Тогда все силовские р - подгруппы, для р ф 2, нормальны в G , т.е. G 2-нильпотентна. По лемме 5 2-нильпотентная группа разрешима. Опять пришли к противоречию. Значит G - простая группа. Пусть в G есть только нильпотентные неквазисубнормальные максимальные подгруппы. Тогда по лемме 6 группа G непроста, что противоречиво.

Пусть в G есть нильпотентные и простые неквазисубнормальные максимальные

подгруппы. Тогда по лемме 7 О = Р8Ь(2, д) с д = 9 или простым числом д = 2п ±1 > 17 .

Пусть О = Р8Д2,9) . Так как по лемме 8 Ю = |Р8Ц2,9)| = ((9 -1) • (9 +1) • 9)/2 = 8 • 5 • 9, то по лемме9 |G: NG^3)1 = д + 1 = 10, откуда \No(Gз)| = 36 . Поскольку ^^3) -максимальная подгруппа в G , то по условию No ^3) - простая или квазисубнормальная подгруппа, что противоречиво. Следовательно, д ф 9.

Пусть простое число д = 2п +1. Тогда NО (Gд) = (д - 1)д /2 = (2п +1 -1) (2п +1)/2 = 2 • (2п + 1) и No ^д) - простая или квазисубнормальная максимальная подгруппа в G, что невозможно. Значит, д ф 2п +1.

Пусть д = 2п -1. Тогда ^^ )| = (д -1)д /2 = (2п -1 -1)(2п -1)/2 = (2п-1 -1)(2п -1),

откуда ^^^)|,2^ =1. Кроме того, д +1 = 2й-1 + 1 = 2й = |а2|. Значит, G = G2 • ^(вч).

Так как при п > 5 всегда д2-1 = (д-1)(д +1) = (2п-1-1)(2п-1 + 1) = 2п(2п-2) = = 2п+1(2п-1 -1) ^ 0(шod16) , то по лемме 10 в G есть максимальная подгруппа 84 . Поскольку Т = 84 непростая группа, то 84 - квазисубнормальная максимальная подгруппа в G . Кроме того подгруппа А4 = [^4^3 нормальная в 84. Так как ¥4 - характеристическая подгруппа в Д4, то Р4 <184. Поскольку слТ = Г2 для любой силовской 2 - подгруппы 02 из С , то

получим отношение У^ с: • Значит, ядро силовской 2-подгруппы в С не единичное,

что противоречиво. Поэтому, q Ф 2п -1.

Пусть в О есть только простые неквазисубнормальные максимальные подгруппы. По классификационной теореме [9,с.145] группа О или знакопеременная группа на п символах, п > 5, или группа типа Ли, или одна из 26 спорадических групп. Известно, что в знакопеременной группе на п символах, п > 5, есть максимальная подгруппа изоморфная симметрической группе на (п - 2) символах, которая непростая и включает некоторую

силовскую подгруппу группы О. Последнее противоречит лемме 1. Значит, О не может быть знакопеременной группой.

Пусть О -простая группа лиевского типа. Известно, что каждая максимальная параболическая подгруппа Я в простой группе лиевского типа над полем характеристики р имеет истинную нормальную р - подгруппу Р. Тогда максимальные параболические подгруппы в О будут квазисубнормальными. Так как Р ^ Я п Ор = Яр, для любой Ор е $у1р (О), то ядро силовской р - подгруппы в О не единичное. Значит, О не может

быть простой группой лиевского типа.

Пусть О - любая простая спорадическая группа. В [9,с.145] указан порядок группы О, а в [10] указаны все максимальные подгруппы группы О . Так как каждая спорадическая группа имеет непростые максимальные подгруппы, то в О существуют квазисубнормальные максимальные подгруппы. Тогда по [10] или в квазисубнормальной максимальной подгруппе есть примарная нормальная подгруппа, или она включает некоторую силовскую подгруппу группы О. В первом случае получим противоречие, как в группах лиевского типа. Во втором случае противоречие следует по лемме 1. □

Теорема 2. Если в конечной группе О представители ¥ и $ хотя бы двух классов неквазисубнормальных ненильпотентных максимальных подгрупп имеют примарные индексы и собственные подгруппы в ¥ и $ 2- нильпотентны, то группа О разрешима.

Доказательство. Пусть теорема неверна и группа О - контрпример минимального порядка.

Пусть О - простая группа. Если в О есть максимальная нильпотентная подгруппа, то по лемме 4 это будет силовская 2 - подгруппа группы О. Тогда индексы подгрупп ¥ и $ равны степени числа два. По лемме 11 подгруппы ¥ и $ или 2 - нильпотентны, или являются 2 - замкнутыми группами Шмидта четного порядка.

Пусть ¥ является 2 - замкнутой группой Шмидта четного порядка. Тогда ¥2 с О2 и

¥2 <1 (с?2,¥) = 0, что противоречиво. Значит, подгруппы ¥ и £ будут 2 - нильпотентными и

являются нормализаторами холловых 2'- подгрупп группы О. Так как по лемме 12 холловы 2 '- подгруппы из ¥ и $ сопряжены в группе О , то подгруппы ¥ и $ сопряжены в О , что противоречиво. Поэтому в О нет нильпотентных максимальных подгрупп.

Пусть ¥ и $ - группы Шмидта, которые включают силовскую 2 - погруппу из О. Тогда ¥ и $ сопряжены в О, как нормализаторы силовской 2-подгруппы группы О, что невозможно.

Пусть подгруппа ¥ является 2-замкнутой группой Шмидта нечетного индекса и подгруппа $ 2- нильпотентна. Тогда индекс подгруппы $ в О четный, откуда ¥ и $ имеют взаимно простые индексы в О .

Пусть подгруппы ¥ и $ 2-нильпотентны. По лемме 13 подгруппы ¥ и $ холловы в О . Если ¥ и $ имеют одинаковые индексы, то ¥ и $ сопряжены, как нормализаторы своих 2'- подгрупп, которые являются холловыми подгруппами в О и по лемме 12 сопряжены. Значит, индексы ¥ и $ в каждом рассмотренном случае взаимно простые.

Тогда по лемме 14 G изоморфна PSL (2,7) порядка 168. Известно, что в PSL (2,7)только три класса максимальных подгрупп, представители двух из которых изоморфны подгруппе S4 с индексом равным 7, а представитель третьего имеет индекс равный 8 . Так как S4 не 2-нильпотентна и не группа Шмидта, то пришли к противоречию. Значит, группа G непростая.

Пусть N - минимальная нормальная подгруппа в G. По лемме 3 и лемме 5 подгруппы F и S разрешимы. Пусть N не включается в F. Тогда G = FN и факторгруппа G / N = FN / N. Так как по лемме 15 FN / N изоморфна разрешимой группе F / F п N , то группа G / N разрешима. Тогда G разрешима, если N разрешима.

Пусть N включается в F и S. Если F / N нильпотентна, то G / N = (F / N)(GpN / N)

, где |G: F\ = ра, ^еР. Тогда по лемме 16 группа GIN разрешима, откуда G разрешима.

Пусть группы F / N и S / N ненильпотентны. Поскольку фактор-группа 2-нильпотентной группы 2-нильпотентна, а фактор-группа группы Шмидта является группой Шмидта или циклической группой, то G / N разрешима по индукции. Опять G разрешима. Значит, подгруппа N не включается в F и N не включается в S . Тогда по лемме 17 N - единственная минимальная нормальная неразрешимая подгруппа в G. По лемме 18 N = N х N х ••• х N, где N (i = 1,2,..., к) - изоморфные простые группы. Поскольку подгруппа N не включается в F и S, то G = FN и G = SN. Тогда по крайней мере один сомножитель в N не включается в F. Допустим, что N = K не включается в F

Пусть \G -.F\ = ра, р е Р, а > 1. Покажем, что | К: К сл F |= pß, где 1 < ß < а. Пусть A = N п F. Так как | G|=F || N |/| N п F |, то | G|/\F|=| N |/| N п F |, откуда | N: A|=| G: F |= pa. Поскольку KnF = KnNnF = KпА, то | K : KпF|=|K: K п A |=

| K |/| K пА |=|K || А |/| А || K пА |=| KA |/| А |=| KA: А |. Тогда из отношения

pa =| N: А|=|N: KA || KA: А | =| N: KA || K: KmF | следует, что | K: K пF | есть степень простого числа p .

Пусть | G: S |= qr, где у> 1 и простое число q отлично от p . Тогда среди прямых сомножителей в N найдется подгруппа, которая не включается в S . Пусть, например, N2 = L не включается в S. Тогда, аналогично как для K, можно показать, что

| L : L п S |= qs, где 1 <£ <у. Поскольку K = L, то в K существует подгруппа с индексом равным степени q. Таким образом, в K существуют две максимальные подгруппы примарных взаимно простых индексов. Тогда по лемме 14 подгруппа K изоморфна PSL (2,7), что противоречиво. □

Следствие 1 [14, теорема 4]. Если в конечной группе G все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы 2- нильпотентны и имеют примарные индексы, то G разрешима.

Следствие 2 [4, теорема 2.1]. Пусть А и B - несопряженные максимальные подгруппы в группе G . Предположим, что выполняются следующие требования: (1) А и B имеют примарные индексы в G; (2) все собственные подгруппы в А ив B 2-нильпотентны. Тогда группа G разрешима.

Список литературы

1. Huppert B. Endliche Gruppen I - Berlin - Heidelberg - New York; Springer Verlag, 1967. - 793 s.

2. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Матем. сб. - 1924.

- Т. 31. - С. 366-372.

3. Монахов В. С., Тютянов В. Н. О конечных группах с заданными максимальными подгруппами // Сиб. мат. журн. - 2014. - Т. 55. - № 3. - С. 553-561.

4. Монахов В.С., Ходанович Д.А., О разрешимости конечной группы с парой несопряженных подгрупп примарных индексов II // ПФМТ. - 2019. - Т. 38. - № 1.- С. 61-64.

5. Путилов С.В. К теории конечных групп // Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 63 с.

6. Путилов С. В. Максимальные подгруппы конечных групп // Ученые записки Брянского государственного университета. - 2018. - № 1. - С. 18-26. - Режим доступа: http://scim-brgu.ru/wp-content/arhiv/UZ-2018-N1.pdf.

7. Baumann B. Endliche nichtauflosbare Gruppen mit einer nilpotenten Untergruppen // J. Algebra. - 1976. - V.38. - P. 119-135.

8. Thompson J.G. A special class of non-solvable groups // Math. Z. - 1960. - Bd.72. - S. 458-462.

9. Горенстейн Д., Конечные простые группы. Введение в их классификацию // М. Мир. - 1985. - 352 с.

10. Wilson R.A., Maximal subgroups of sporadic groups // arXiv:1701.02095v2 [math.GR] 19 Jan 2017. - Р. 1-15.

11. Gross F. Conjugacy of odd order Hall Subgroups // Bull. London Math. Soc. - 1987. -V. 19. -№ 4. - P. 311-319.

12. Guralnick R.M. Subgroups of prime power index in a simple group// J. Algebra. -1983. - V. 81. - № 2. - P. 304-311.

13. Feit W., Tompson J.G. Solvability of groups odd order // Pacific J. Math. - 1963. -V.13 - P. 755-1029.

14. Путилов С.В. К теории разрешимых конечных групп // Ученые записки Брянского государственного университета. - 2019. - № 1. - С. 26-33. - Режим доступа: http://scim-brgu.ru/wp-content/arhiv/UZ-2019-N1.pdf.

Сведения об авторе

Путилов Сергей Васильевич - доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].

ABOUT THE NONSIMPLE FINITE GROUPS

S. V. Putilov

Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky

We prove the following theorems: 1) If in a finite group G every nonquasisubnormal maximal subgroups is nilpotent or simple, then G solvable or group Schmidt; 2) If a finite group G the representatives F and S of at least two classes nonquasisubnormal nonnilpotent maximal subgroups have primary indices, and own subgroups in F and S 2-nilpotent, then the group G is solvable.

Keywords: finite group, quasisubnormal subgroup, maximal subgroup, the index of the subgroup, solvable group.

References

1. Huppert B. Endliche Gruppen. I - Berlin - Heidelberg - New York; Springer Verlag, 1967. -793 s.

2. Schmidt O. Yu. Groups, all subgroups of which are special // Math. Sb. - 1924. - Т 31.

- С. 366-372.

3. Monakhov V. S., Tyutyanov V. N. On finite groups with given maximal subgroups // Sib. Maht. j. - 2014. - T.55- №3. - C. 553-561.

4. Monakhov V. S., Khadanovich D. A. On the solvability of a finite group with a pair of non-conjugate subgroups of primary indeces II // PFMT. - 2019. - V.38. - № 1. - P. 61-64.

5. Putilov S. V. To the theory of finite groups. - Bryansk: Group of companies «Ten». -2009. - 63 p.

6. Putilov S. V. Maximal subgroups of finite groups // Scientific notes of Bryansk state

a. University. - 2018. - №1. - P. 18-26. - Access mode: http://scim-brgu.ru/wp-content/arhiv/UZ2018-N1.pdf

7. Baumann B. Endliche nichtauflosbare Gruppen mit einer nilpotenten Untergruppen // J. Algebra. - 1976. - V.38. - P. 119-135.

8. Thompson J.G. A special class of non-solvable groups // Math. Z. - 1960. - Bd.72. -S.458-462.

9. Gorenstein D., Finite simple groups. Introduction to their classification // M. The World - 1985. - 352 c.

10. Wilson R.A., Maximal subgroups of sporadic groups // arXiv:1701.02095v2 [math.GR] 19 Jan 2017. - P. 1-15.

11. Gross F. Conjugacy of odd order Hall Subgroups // Bull. London Math. Soc. - 1987. -v.19. -№ 4. - P. 311-319.

12. Guralnick R.M. Subgroups of prime power index in a simple group// J. Algebra.-1983. - v.81. - № 2. - P. 304-311.

13. Feit W., Tompson J.G. Solvability of groups odd order // Pacific J. Math. - 1963. -v.13 - P. 755-1029.

14. Putilov S.V. The theory solvability of finite groups // Scientific notes of Bryansk state University. - 2019. - № 1. - C. 26-33. - Access mode: http://scim-brgu.ru/wp-content/arhiv/UZ-2019-N1.pdf.

About authors

Putilov S.V. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].