К теории конечных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512. 542

К ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

С.В. Путилов, А. В. Воронина, С. В. Гегеле, М. С. Ковалева, Е. М. Кабанова

Устанавливается р-нильпотентность и дисперсивность конечной группы с заданными полунормальными подгруппами. Получены новые оценки нильпотентной я-длины я-разрешимой конечной группы и р-длины метас-верхразрешимой конечной группы. Доказаны критерии включения определенной подгруппы в гиперцентр разрешимой конечной группы с нильпотентной холловой подгруппой.

Ключевые слова: конечная группа, полунормальная подгруппа, р-длина, метасверхразрешимая группа, гиперцентр.

Все рассматриваемые группы конечные. п(О) - множество всех простых делителей порядка группы G. Согласно [1], подгруппа Н группы G называется полунормальной в G, если существует такая подгруппа К из G, что 0=НК и НК1 - собственная подгруппа группы G для каждой подгруппы К1 из К, отличной от К. Подгруппу К называют супердобавлением к подгруппе Н в группе G. Все необходимые обозначения и определения можно найти в [2]. Gp - силовская р-подгруппа группы G, ре п^).

Под ^,р,г}-группой будем понимать конечную группу G порядка ^\=црг, где q,p,r -

простые числа, причем q>p>r, а также G=Q\(P*R), где Q=<a>, Р*Я=<Ь>, \Q\=q, \Р\=р,

\Щ =г, Q=G' - коммутант группы G.

Теорема 1. Пусть г - наименьший простой делитель порядка конечной группы G, а также для любого ре п^)\(г} каждая р-подгруппа группы G полунормальна в G и Р - силовская р-подгруппа из G. Тогда Р нормальна в G, когда в G нет секций изоморфных ^,р,г}-группе.

Доказательство. Пусть группа G - контрпример минимального порядка. Так как Р -полунормальная подгруппа в группе G, то, по определению полунормальной подгруппы, G=PD и РКс G, для любой подгруппы К из Б, отличной от Б. По лемме 2[1] Б будет холло-вой подгруппой в G. Кроме того, по лемме 1[1] подгруппа Р полунормальна в произведении РК. Если \п^)\=2, то по лемме 3 [3] подгруппа Р нормальна в группе G, что противоречиво. Следовательно, \п^)\>3.

Тогда подгруппа Б отлична от Бг. Пусть Бг - ненормальная подгруппа в Б. Ясно, что нормализатор Бг в Б будет собственной подгруппой в Б, а, следовательно, существует максимальная подгруппа М в Б, такая, что ЫБфг) е М. По теореме 1.7.6[2] подгруппа М ненормальна в Б. Поэтому в Б существует максимальная подгруппа М1 сопряженная с М и \БГ\ делит \М1 \. Поскольку Б - супердобавление к Р в G, то подгруппы РМ и РМ1 будут собственными подгруппами в G. Тогда по индукции подгруппа Р нормальна в РМ и Р нормальна в РМ1. Следовательно, подгруппы М и М1 содержатся в нормализаторе подгруппы Р в группе G. Так как М отлична от М1, то Б=<М,М1> и Б еЫо(Р). Получим, что G=PD еЫо(Р). Значит, Р нормальна в G, что противоречиво.

Следовательно, Бг нормальна в Б. Пусть Б - силовская ^-подгруппа в Б для

*ге п^)\(г}. Так как Б будет силовской *г-подгруппой в G, то Б -полунормальная подгруппа в G. Тогда по лемме 1[1] Б будет полунормальной в Б. Поэтому Б=Б Б, где ге {1,2,...,к}, к=\п(Б)\{г}\. Поскольку - холлова подгруппа в Б и (1в,*т)=1 для любых

5,те {1,2, ...,к} с условием ^фт, то Б=ББт. Следовательно, произведения РБ5 и РБт будут собственными подгруппами в G. Значит, по индукции подгруппа Р будет нормальной в РБЯ и Р будет нормальной в РБт. Тогда группа G=PDsPDm будет содержаться в нормализаторе Р в G, откуда подгруппа Р нормальна в G. Таким образом, \п(Б)\=2.

Пусть п(Б)={г^}. Если p>q, то по лемме 3[3] Р • G. Поэтому р<^ и • G. Ясно, что

Бг-собственная подгруппа в Б. Поэтому в Б существует максимальная подгруппа 5, такая, что Бг с 5. Если 5 ненормальна в Б, то существует подгруппа 51 сопряженная с 5 и \БГ\ делит

\5]\.

Проводя рассуждения аналогичные тому случаю, когда Бг ненормальна в Б, придем к противоречию. Следовательно, подгруппа 5 нормальна в Б. Кроме того, существует элемент хе Б\5, являющийся q-элементом.

Подгруппа Т=Р5 собственная в G. Рассмотрим подгруппу К=Р<х>А, где А с Бг. Подгруппы <х>А и К существуют в G по условию теоремы. Подгруппа К будет собственной в G и удовлетворять условию теоремы, когда или <х> с Бд, 1с А с Бг или <х>=Бд, 1с А с Бг. Тогда по индукции подгруппа Р нормальна в К. Так как Б=<х,5> включается в нормализатор Р в G, то группа G=PD включается в Ыо(Р). Значит, Р • G . Противоречие с выбором О.

Поэтому Бд=<х>, Бг=<у> и \Dq\=q, \Бг\=г. Кроме того, Бг=5 и Б=БЧ* Бг. Пусть Р1 -максимальная подгруппа в Р. Тогда по условию теоремы Р1Б-собственная подгруппа в G, откуда по индукции Р1 нормальна в Р1Б. Тогда Р1 нормальна в G. Рассмотрим факторгруппу G/P1, в которой по лемме 1[1] каждая р-подгруппа для р>г будет полунормальной. Тогда по индукции Р/Р1 нормальна в G/P1, откуда Р нормальна в G. Следовательно, в Р нет истинных подгрупп, то есть Р - циклическая группа и \Р\=р.

Итак, группа G=P (QxR), Q=Dq, R=Dr, \G\=qpr. По теореме IV 2.8 [2] подгруппа PQ нормальна в G. Так как факторгруппа G/PQ циклическая, то коммутант G' включается в PQ. По теореме IV 2.11 [2] коммутант G' будет циклической подгруппой G. Тогда из равенства G'=PQ получим, что Р • G. Поэтому G'=Q. Поскольку G/Q = QPR/Q @ PR, то подгруппа PR абелева. Следовательно, PR- циклическая группа, откуда

G=Q\(PXR), где Q=<a>, P^R=<b>. Значит, G будет {^р,г}-группой, что невозможно. Тео-

рема 1 доказана.

Следствие 1. Если выполняются все условия теоремы 1, то группа G будет г-нильпотентной с нильпотентным г- дополнением.

Доказательство. По теореме 1 каждая силовская р-подгруппа группы G будет нормальной подгруппой в G для любого реж^)\{г}. Поэтому их произведение будет нормальным нильпотентным г-дополнением в G. Следствие 1 доказано.

Следствие 2. Если в группе G выполняются все условия теоремы 1, то G дисперсивна по Оре.

Доказательство. Пусть я^)={р1, р2, р3, ■■■, рк=г}, а такжер1> р2> р3> ... >рк=г. Тогда по теореме 1 подгруппы Gp будут нормальными в G для 1=1, 2, ..., (к-1). Поэтому в G существуют нормальные подгруппы Gд , GPlGp2, GPl^РгGpъ, ..., GPlGA...Gд_l, которые образуют нормальный ряд группы G, факторы которого имеют порядки Gp , 1=1, 2, ..., к. Значит G

дисперсивна по Оре. Следствие 2 доказано.

Теорема 2. Пусть М - максимальная подгруппа группы G. Если М - полунормальная подгруппа в G, то супердобавление к М в G будет циклической р-группой и | G:M | =р, реж^).

Доказательство. Пусть А - супердобавление к М в G и В с А. Так как М полунор-мальна в G, то МВ с G. Тогда из максимальности М, следует, что В с М. Поэтому для любых

различных максимальных подгрупп C и D из A верно, что C с M, D с M. Откуда, A=<C, D>c M, что противоречиво. Значит, в A существует только одна максимальная подгруппа. Тогда A - циклическаяp-группа, для простого pep(G). Так как I A:B | =p, где B - максимальная подгруппа из A, то I G:M| = I g|/|M| = (Im|| A |)/(|Mn A ||M|)= I A |/I B|= p. Теорема 2 доказана.

Следствие 3. Если в конечной группе G каждая максимальная подгруппа полунор-мальна в G, то группа G сверхразрешима.

Доказательство. По теореме 2 индекс каждой максимальной подгруппы в группе G равен простому числу из ж(G) . Тогда по теореме VI. 9.5 [2] группа G сверхразрешима. Следствие 3 доказано.

Определение. Конечная группа G называется метасверхразрешимой, если в G есть сверхразрешимая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой сверхразрешима.

Теорема 3. Если G - конечная метасверхразрешимая группа, то lp(G)<2 для наибольшего простого делителя р порядка группы G.

Доказательство. Пусть G - метасверхразрешимая группа, N - нормальная сверхразрешимая подгруппа G, такая что G/N сверхразрешима и р - наибольший простой делитель порядка группы G.

Пусть р не делит |G/N|. Тогда Gp £ N. Поскольку подгруппа N сверхразрешима, то подгруппа Gp нормальна в N. Значит, Gp char N< G, откуда Gp < G. Поэтому lp(G)=l, что влечет lp(G)<2.

Следовательно, р делит |G/N|. Так как группа G/N - сверхразрешима, то силовская р-подгруппа GpN/N нормальна в G/N. Поскольку силовская р-подгруппа Np является характеристической в N, то Np нормальна в G и Np £ P=Op(G). Тогда можно построить нормальный ряд вида: <1>=Е< Р< PN< GpN< G группы G. Найдем порядки его факторов (GPN)/(PN) и G/(GpN). Так как

I I М |Gp||N||Np| IgIInI |Gp|

\GVN / NP\ = , 1 p" ' p| = = l_^

1 P 1 |NP| N n Gp||N||P| Np P| |P|

|G| GIN n Gl G : Gpl

и G/GpN\ = -г—1——t = —;-----;---- = i------г, то факторгруппа (GrN)/(PN) является р-

1 ' 1 \GrN\ |Gp||N N: Np| ^

группой и факторгруппа G/(GpN) будет р '-группой. Следовательно, lp(G)<2, где р - наибольший простой делитель порядка группы G. Теорема 3 доказана

Определим нильпотентную ж -длину ж - разрешимой конечной группы G. Пусть F(X) -подгруппа Фиттинга группы X и

P0n = l, N" /P" = Ож/(G/P"),P^1 /N" = F(G/N") , i=1, 2,.. Тогда наименьшее k, для

которого в ряде 1 = P0n £ N0n £ P" £ N1n £ ... выполняется равенство N" = G, называется ниль-потентной ж -длиной ж -разрешимой группы G и обозначается через l" (G). Всегда 1ж (G) < Гж (G), где 1ж (G) - ж -длина ж -разрешимой группы G. Если ж = {р}, р-простое число, то l" (G) = l ж (G) = lp (G). Равенство l ж (G) = l" (G) сохраняется также для ж -разрешимой группы с

нильпотентной ж -холловой подгруппой.

Теорема 4. Пусть G - ж -разрешимая конечная группа. Если коммутант ж -холловой подгруппы группы G является e -разложимой группой для e £ ж(F (G)), то

l" (G) < 1 + max pep lp (G).

Доказательство. Допустим, что теорема неверна, и группа G - контрпример минимального порядка. В соответствии с леммой 1 и леммой 7 из [4] условия теоремы 4 наследуются факторгруппами группы G. Тогда по лемме 2[4] справедливы отношения Ож,(G) = Ф^) = 1, и в группе

G существует единственная минимальная нормальная самоцентрализуемая подгруппа F = P" = Oq, (G) для некоторого простого q e ж . Поэтому F включается в ж -холлову подгруппу H группы G.

Пусть К - коммутант Ж -холловой подгруппы H. По условию теоремы подгруппа К будет e -разложимой. Так как F=F(G) и e £ Ж(F) = {q} , то e = {q} . Поэтому K=Q*D, где Q - силов-ская q-подгруппа группы К. Поскольку подгруппа D характеристическая в К, и К характеристическая в H, то D характеристическая в H. Значит, подгруппа D нормальна в H. Из того, что (|D|, |F|) = 1 следует включение подгруппы D в централизатор F, который совпадает с F,

что противоречиво. Следовательно, подгруппа D единичная. Тогда K=Q. Таким образом, подгруппа К является q-группой, что влечет абелевость силовских р-подгрупп группы G, для любого простого p e ж \ {q} . Поэтому по теореме VI. 6.6 из [2] справедливо lp (G) = 1 для всех

p e ж \ {q}, откуда следует отношение maxpep lp (G) = lq (G) .

Пусть F - силовская подгруппа группы G. Тогда в факторгруппе G/F ж -холлова подгруппа H /F абелева и по лемме 4 [4] l" (G / F) = 1. Поэтому

l" (G) < 2 < 1 + max pep lp (G),

что противоречит выбору группы G.

Значит, F не является силовской подгруппой группы G. Тогда lq (G) = lq (G / F) +1. Далее по индукции получаем, что

l" (G) = Гж (G / F) +1 < 1 + max pep lp (G / F) +1 = 1 + lq (G / F) +1 = 1 + (lq (G) -1) +1 =

= 1 + lq (G) = 1 + max pep lp (G).

Итак, lp (G) < 1 + max pep l ^),что противоречиво. Следовательно, контрпримера к

теореме 4 не существует. Теорема 4 доказана.

Следствие 4 (теорема 2 [4]). Если G - ж -разрешимая группа, у которой коммутант ж -холловой подгруппы нильпотентен, то lЖ (G) < 1 + max pep l (G)

Теорема 5. Пусть N - нормальная подгруппа разрешимой конечной группы G, в которой p-холлова подгруппа нильпотентна для p=p(N). Подгруппа N включается в гиперцентр Z¥ (G) группы G тогда и только тогда, когда порядок факторгруппы G/Cg(N) делится только на простые числа из p(N).

Доказательство. Необходимость. Пусть Nc Z¥ (G) и Q - силовская q-подгруппа группы G, где q - простое число с условием, что (q, |N|)=1. Так как N включается в Z¥ (G), то подгруппа NQ обладает возрастающим центральным рядом. Следовательно, NQ будет ниль-потентной группой. Тогда Q £ CG(N). Поскольку это справедливо для всех силовских q-подгрупп таких, что (q, |N])=1, то G/CaNA делится только на простые числа из p(N).

Достаточность. Пусть |G/CG(N)| делится только на простые числа из p(N) и S- любая p-холлова подгруппа в группе G. Тогда G=Cg(N)-S. Обозначим Nt=Zt(S) nN. Так как [Nt, G]= [Nt, Cg(N) S]= [Nt, S]£ Nn [Zt(S), S]£ Nn ZM(S)=

=Nt-1, то образуют подгруппы Nt центральную цепь в группе G. Следовательно, NtcZt(G). Поэтому для подходящего целого к справедливо N=NycZk(G)<zZ¥(G). Теорема 5 доказана.

Теорема 6. Пусть в разрешимой конечной группе G p-холлова подгруппа нильпотентна. Тогда и только тогда гиперцентр Z¥(G) содержит p-подгруппу Н группы G, когда Op(G)^Cg(H).

Доказательство. Необходимость. Пусть H^Z¥(G). Тогда из нильпотентности и нормальности Z¥(G) в G следует, что Н будет p-группой в Z¥(G). Поэтому по теореме 5 Op(G)^Cg(Hg), откуда Op(G)^Cg(H).

Достаточность. Пусть Op(G)cCG(H). Поскольку OP(G) - нормальная подгруппа в G, то OP(G)=( O77(G))xq1Cg(H)x=Cg(Hx) для любого элемента х из G. Следовательно O77(G)<z1 Cg(Hg). Пусть S - p-холлова подгруппа из G, которая содержит Н. Тогда G= O7(G) S=Cg(H) S. Поэтому HG=<Hg | geG>=<Hca | ceCG^), aeS>=<Ha | aeS>cS. Применяя теорему 5 получим, что HqHgqZ¥(G). Теорема 6 доказана.

It is established p-nilpotency and dispersible finite group with the set seminormal subgroups. New estimations nilpotent p-lengths p-solvable finite group and p-lengths metasupersolvable finite group are received. Criteria of inclusion of a certain subgroup in the hypercenter solvable finite group with nilpotent Hall a subgroup are proved.

The key words: finite group, seminormal subgroup, Ж-length, metasupersolvable group, hypercenter.

Список литературы

1. Монахов В.С. Конечные группы с полунормальной холловой подгруппой // Мат. Заметки. 2006. Т. 80, Вып. 4. С. 573-581.

2. HuppertB. Endliche Gruppen. I.: Springer 1967. 793 s.

3. Монахов В.С., Подгорная В.В. Конечные группы с полунормальными нециклическими силовскими подгруппами // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2004. Т. 6, Вып. 27. С. 5054.

4. Монахов В.С. Шпырко О.А. О нильпотентной п-длине конечной p- разрешимой

группы // Дискретная математика. 2001. Т. 13, Вып. 3. С. 145-152.

Об авторах

С.В. Путилов - канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, [email protected].

А.В. Воронина, С.В. Гегеле, М.С. Ковалева, Е.М. Кабанова - магистры 6 курса, Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, annet [email protected], g- svetulya@mail. ru.